Relações. Relações. {1, 2} = {2, 1}, {3, -1} = {-1, 3}, {a, b} = {b, a}.

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1 UNIVERSIDDE DO ESTDO DE MTO GROSSO CMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FCULDDE DE CIÊNCIS EXTS E TECNOLÓGICS CURSO DE ENGENHRI CIVIL DISCIPLIN: FUNDMENTOS DE MTEMÁTIC Relações. Par ordenado Em Matemática eistem situações em que há necessidade de distinguir dois pares pela ordem dos elementos. Por eemplo, no sistema de equações + = = = e = é solução, ao passo que = e = não é solução. Se representássemos por um conjunto, teríamos: {, } seria solução e {, } não seria solução. Prof.: Rogério Dias Dalla Riva Relações. Par ordenado.par ordenado.sistema cartesiano ortogonal.produto cartesiano.relação binária.domínio e imagem.relação inversa 7.Propriedades das relações Há uma contradição pois, sendo {, } = {, }, o mesmo conjunto é e não é solução. Por causa disso dizemos que a solução é o par ordenado (, ) em que fica subentendido que o primeiro elemento refere-se à incógnita e o segundo elemento refere-se à incógnita.. Par ordenado. Par ordenado Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. ssim, [, ], [, -], [a, b] indicam pares. Lembrando do conceito de igualdade de conjuntos, observamos que inverter a ordem dos elementos não produz um novo par: {, } = {, }, {, -} = {-, }, {a, b} = {b, a}. dmitiremos a noção de par ordenado como conceito primitivo. Para cada elemento a e cada elemento b, admitiremos a eistência de um terceiro elemento (a, b) que denominamos par ordenado, de modo que se tenha ( a, b) = ( c, d) a = c e b = d

2 . Sistema cartesiano ortogonal. Sistema cartesiano ortogonal Consideremos dois eios e perpendiculares em O, os quais determinamo plano α. condu- Dado um ponto P qualquer, zamos por ele duas retas: ' ' // e // P α Denominemos P a intersecção de com e P a intersecção de com. d)eio das abscissas é o eio (ou O). e)eio das ordenadasé o eio (ou O). f) sistema de eios cartesiano (ou ortonormal ou retangular) é o sistema O. g) origem do sistema é o ponto O. h) plano cartesiano é o plano α Sistema cartesiano ortogonal. Sistema cartesiano ortogonal P P α Eemplo: Localizar os pontos (, 0), (0, -), C(, ), D(-, ), E(-7, -), F(, -), G(/, 9/) e H(-/, -9/) no plano cartesiano lembrando que, no par ordenado, o primeiro número representa a abscissa e o segundo a ordenada do ponto. O P 8. Sistema cartesiano ortogonal. Sistema cartesiano ortogonal Nessas condições, definimos: D C G a)abscissa de P é o número real P representado por P. b) ordenada de P é o número real P representado por P. E c) coordenadas de P são os números reais P e P, geralmente indicados na forma de um par ordenado ( P, P ) em que P é o primeiro termo. H F 9

3 . Produto cartesiano. Produto cartesiano Sejam e dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de por o conjunto cujos elementos são todos pares ordenados (, ), em que o primeiro elemento pertence a e o segundo elemento pertence a. = (, )/ e { } O símbolo lê-se cartesiano ou produto cartesiano de por. Se ou for o conjunto vazio, definiremos o produto cartesiano de por como sendo o conjunto vazio. = = = o ) Se = {, }, então o conjunto (que também pode ser indicado por e lê-se dois ) é: = {(, ), (, ), (, ), (, )} (, ) (, ) (, ) (, ). Produto cartesiano. Produto cartesiano Eemplos: o ) Se = {,, } e = {, }, temos = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} e = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} { R } { } = {(,) / } o ) Se = / < e =, então temos representação gráfica de dá como resultado o conjunto de pontos do segmento paralelo ao eio dos da figura abaio. e as representações no plano cartesiano são as seguintes: 7. Produto cartesiano. Produto cartesiano (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) { R } { } o ) Se = / e = R /, temos { (, ) R / e } = representado graficamente no plano cartesiano pelo conjunto de pontos de um retângulo. Notemos que { (, ) R / e } = é representado por um retângulo distinto do anterior. 8

4 . Produto cartesiano. Produto cartesiano 9 Resolução: {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} X =, ;, ;, ;, ;, ;, {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} X =, ;, ;, ;, ;, ;, {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} X C =, ;,0 ;, ;, ;,0 ;, ;, ;,0 ;, {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} C X =, ; 0, ;, ;, ; 0, ;, ;, ; 0, ;, {( ) ( ) ( ) ( )} =, ;, ;, ;, {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} C =, ;,0 ;, ; 0, ; 0,0 ; 0, ;, ;,0 ;,. Produto cartesiano. Produto cartesiano Observações: a ) Se, então, isto é, o produto cartesiano de dois conjuntos não goza da propriedade comutativa. a ) Se e são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente, então é um conjunto finito com m. n elementos. a ) Se ou for infinito e nenhum deles for vazio, então é um conjunto infinito. 0 Eercício : Dados os conjuntos = {XR/ } = {XR/- } C = {XR/- < } representar graficamente os seguintes conjuntos: X, X C, X C, C X,, C.. Produto cartesiano. Produto cartesiano Eercício : Dados os conjuntos = {,, }, = {-, } e C = {-, 0, } representar pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos: a) X b) X c) X C d) e) C Eercício : Dados os conjuntos = {,,, } e = {XR/ } representar graficamente os conjuntos: X, X e ( X ) U ( X ).

5 . Produto cartesiano. Produto cartesiano Eercício : Sabendo que {(, ), (, )} T e n( ) = 9, represente pelos elementos o conjunto. Eercício : Considerando T, {(0, ), (-, ), (, -)} T X e n( X ) =, represente X pelos seus elementos. 8. Produto cartesiano. Relação binária Resolução: O número de elementos de é igual ao quadrado do número de elementos de, portanto n( ) = [n()] = 9 n =. Se é um conjunto de três elementos, (, ) X e (, ) X, concluímosque = {,, }. ssim sendo, X = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (,), (,), (,)} Consideremos os conjuntos = {,, } e = {,,,, }. O produto cartesiano de por é o conjunto {(, ) / e } = formado por. = elementos representados na figura ao lado. Se agora considerarmos o conjunto de pares ordenados (, ) de tais que (lêse: é divisor de ), teremos { } { } R = (, ) / = (,),(,),(,),(,),(,),(,), que é chamado relação entre os elementos de e de ou, mais simplesmente, uma relação binária de em. 9. Produto cartesiano. Relação binária Eercício : Se {(, -), (, 0)} T e n( ) =, represente pelos elementoso conjunto. O conjunto R está contido em e é formado por pares (, ), em que o elemento de é associado ao elemento de mediante um certo critério de relacionamento ou correspondência. 7 0

6 . Relação binária. Relação binária Será bastante útil a representação da relação por meio de flechas, como na figura abaio. Quando o par (, ) pertence à relação R, escrevemos R (lê-se: erre ). (,) R R e se o par (, ) não pertence à relação R, escrevemos R (lê-se: não erre ). (,) R R. Relação binária. Relação binária Dados dois conjuntos e, chama-se relação binária de em todo subconjunto R de. R é relação binária de em R Se, eventualmente, os conjuntos e forem iguais, todo subconjunto de é chamado relação binária em. R é relação binária em R Eemplos: o ) Se = {,,,, } e = {,,, }, quais são os elementos da relação R = {(, ) / < } de em? Os elementos de R são todos os pares ordenados de nos quais o primeiro elemento é menor que o segundo, isto é, são os pares ordenados pela associação de cada elemento com cada elemento de tal que <. Temos então: R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}. Relação binária. Relação binária Utilizaremos as seguintes nomenclaturas já consagradas: = conjunto de partida da relação R = conjunto de chegada ou contradomínio da relação R o ) Se = {,,,, } e = {,,,,, }, quais são os elementos da relação binária R de em assim definida: R = +? Fazem parte da relação todos os pares ordenados (, ) tais que, e = +.

7 . Relação binária. Relação binária Utilizando as representações gráficas: Eercício 7: Pede-se para (a) enumerar pares ordenados; (b) representar por meio de flechas e, (c) fazer o gráfico cartesiano da relação binária de = {-, -, 0,, } em = {-, -, -,,,, } definida por R + = Relação binária. Domínio e imagem o ) Se = {-, 0,, }, quais são os elementos da relação R = {(, ) / = }? que: Fazendo a representação gráfica, notamos R = {(0, 0), (, ), (, -), (-, -), (-, ), (, )} 0 0 Domínio: Seja R uma relação de em. Chama-se domínio de R o conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R. D, / (, ) R Decorre da definição que D Relação binária. Domínio e imagem { R } { } o ) Se = / e = R /, pede-se a representação cartesiana de e R = {(, ) / = }. R Imagem: Chama-se imagem de R o conjunto Im de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Im, / (, ) R Decorre da definição que Im. 9 7

8 . Domínio e imagem. Domínio e imagem Eemplos: o ) Se = {0,,, } e = {,,,,, }, qual é o domínio e a imagem da relação R = {(, ) / é múltiplo de }? R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Im D = {,, } Im = {,,, } D. Domínio e imagem. Domínio e imagem Utilizando o esquema das flechas é fácil perceber que D é o conjunto dos elementos de dos quais partem flechas e que Im é o conjunto dos elementos de aos quais chegam flechas. Eercício 8: Estabelecer o domínio e a imagem das seguintes relações: a){(, ), (, ), (, )} 0 D Im b){(-, ), (-, ), (, -7), (, )} c){(, /), (/, -), (/, 0)} 7. Domínio e imagem. Domínio e imagem { R } { } o ) Se = / e = R /, qual é o domínio e a imagem da relação R = {(, ) / = }? Utilizando a representação cartesiana, temos: { R / } e Im { R / } D = = Eercício 9: Sejam os conjuntos = {-, -, 0,,,,, }, = {-, -, 0,, } e R a relação binária de em definida por Pede-se: R = a) enumerar os pares ordenadosde R; b) enumerar os elementos do domínio e da imagem de R; c) fazer o gráfico cartesiano de R. 8 8

9 . Domínio e imagem. Relação inversa Eercício 0: Se R é a relação binária de = { X R / } em = { X R / } definida por Utilizando o esquema das flechas, R R - R = Pede-se: a) a representaçãocartesiana de X b) a representação cartesiana de R 7 7 c) o domínio e a imagem de R. 9. Relação inversa. Relação inversa Dada uma relação binária R de em, consideremos o conjunto {(, ) / (, ) } R = R Como R - é subconjunto de, então R - é uma relação binária de em, à qual daremos o nome de relação inversa de R. (, ) (, ) R R Decorre dessa definição que R - é o conjunto dos pares ordenados obtido a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos em cada par. 0 { R } { } o ) Se = / e = R / 8, representar no plano cartesiano as relações R = {(, ) / = } e sua inversa R -. 8 R R - 8. Relação inversa. Relação inversa Eemplos: o ) Se = {,,, } e = {,,, 7}, quais são os elementosde R = {(, ) / < } e de R -? R = {(,),(,),(,7),(,),(,7),(,),(,7),(,7) } R = {(,),(,),(7,),(,),(7,),(,),(7,),(7,) } Eercício : Dados os conjuntos = { X R / }, = { X R / 0} e a seguinte relação binária T = {(, ) X X / = + } pede-se o gráfico cartesiano dessa relação e da respectiva relação inversa. 9

10 7. Propriedades das relações São evidentes as seguintes propriedades: a) D(R - ) = Im(R) isto é, o domínio de R - é igual a imagem de R b) Im(R - ) = D(R) isto é, a imagem de R - é igual ao domínio de R c) (R - ) - = R isto é, a relação inversa de R - é a relação R 0