Equações Exponenciais e Logarítmicas. Equações Exponenciais e Logarítmicas. Exemplos: Exemplos: a x = b x= log a b. 1) Resolva as equações: ) 5 = 3

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Equações Eponenciais e Logarítmicas. Equações eponenciais Eemplos: ) Resolva as equações: a) = b ) 5 = Prof.: Rogério Dias Dalla Riva Equações Eponenciais e Logarítmicas. Equações eponenciais.equações eponenciais.equações logarítmicas.eercícios a) = = log { log } b ) 5 = = 5 = 75 = log 5 75 { log 75} Equações eponenciais. Equações eponenciais Abordaremos agora as equações eponenciais que não podem ser reduzidas a uma igualdade de potências de mesma base pela simples aplicação das propriedades das potências. A resolução de uma equação deste tipo baseia-se na definição de logaritmo, isto é, se 0 < a e b > 0, tem-se: a = b = log a b Eemplos: ) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função X(t) = Ce kt, em que X(t) é o número de bactérias no tempo t 0; C, k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando que o número inicial de bactérias X(0) duplica em horas, quantas se pode esperar no fim de 6 horas? 6

2 . Equações eponenciais. Equações eponenciais kt t = 0 k 0 = = = X( t) Ce X(0) C e C k X() = C e = C ( duplica em horas) k ln e = k = ln k = k = ln k = ln ( ) ( ) + 8 = = = = 8 = = log 8 Então, para t = 6, vem: 6 ln ln X(6) = C e = C e ln( ) = C e ln = C e = 6 ln = C e = C,8 C 7 log8 0. Equações eponenciais. Equações logarítmicas Resposta: Ao final de 6 horas, o número de bactérias é aproimadamente,8 vezes o valor inicial. Podemos classificar as equações logarítmicas em três tipos: 8. Equações eponenciais. Equações logarítmicas Eemplos: + ) Resolva a equação =. o tipo: log a f() = log a g() É a equação que apresenta, ou é redutível a, uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base a (0 < a ). A resolução de uma equação deste tipo baseia-se na quarta consequência da definição.

3 . Equações logarítmicas. Equações logarítmicas Não nos devemos esquecer das condições de eistência do logaritmo, isto é, a base do logaritmo deverá ser positiva e diferente de e o logaritmando deverá ser positivo. Assim sendo, os valores encontrados na resolução da equação só serão considerados soluções da equação logarítmica proposta se forem valores que satisfaçam as condições de eistência do logaritmo. Esquematicamente, temos: Eemplos: ) Resolver a equação log ( ) = log ( 5). Se 0 < a, então log f = log g f = g > 0 a a 6. Equações logarítmicas. Equações logarítmicas Eemplos: ) Resolver a equação log ( 5) = log 7. log = log ( 5) = 5 > 0 = 5 = = não é solução da equação proposta, pois fazendo = em 5 encontramos. 5 = - < 0, logo a equação proposta não tem solução. Chegaríamos à mesma conclusão se, em vez de fazer = em 5, o fizéssemos em, já que = Equações logarítmicas. Equações logarítmicas ( ) log 5 = log 7 5 = 7 > 0 5 = 7 = = é solução da equação proposta e não há necessidade de verificarmos, pois 7 > 0 é satisfeita para todo real. { } Eemplos: ) Resolver a equação log ( 0) = log ( )

4 . Equações logarítmicas. Equações logarítmicas log 0 = log ( ) 0 = > = = 0 = ou = = não é solução, pois, fazendo = em, encontramos. = -6 < 0. = - é solução, pois, fazendo = - em, encontramos. (-) = 8 > 0. { } Eemplos: ) Resolver a equação log ( + ) =.. Equações logarítmicas. Equações logarítmicas o tipo: log a f() = α É a equação que apresenta, ou é redutível a, uma igualdade entre um logaritmo e um número real. A resolução de uma equação deste tipo é simples; basta aplicarmos a definição de logaritmo. Esquematicamente, temos: Se 0 < a e α R, então log f = α f = a α a log + = + = = 5 = 5 { 5} 0. Equações logarítmicas. Equações logarítmicas Não precisamos nos preocupar com a condição de eistência do logaritmo: sendo 0 < a, temos a α > 0 para todo α real e consequentemente f() = a α > 0. Eemplos: ) Resolver a equação log ( + ) =.

5 . Equações logarítmicas. Equações logarítmicas + = + = + = log 0 0 = ou = 5 {, 5} o tipo: incógnita auiliar São as equações que resolvemos fazendo inicialmente uma mudança de incógnita Equações logarítmicas. Equações logarítmicas Eemplos: [ ] ) Resolver a equação log + log ( ) =. Eemplos: ) Resolver a equação log log =. Atenção Fique atento para não confundir os símbolos log e log. No primeiro, é o logaritmando que está elevado ao epoente, enquanto no segundo é o próprio logaritmo que está elevado a esse epoente. O símbolo log também pode ser representado por (log ). 6. Equações logarítmicas. Equações logarítmicas [ ] log + log ( ) = + log ( ) = log ( ) = = = { } A equação proposta é equivalente à equação (log ) log = 0 Fazendo log = y, temos: y y = 0 y = ou y = Mas y = log, então: 7 log = = = log = = =, 0 5

6 . Equações logarítmicas. Eercícios Eemplos: + log log ) Resolver a equação + =. log + log Eercício : Resolver a equação log (5 7 ) = log ( ) ( + ) ( + ) 0 < + (I) e 5 7 = > 0 (II) = = = ou =. Equações logarítmicas. Eercícios Fazendo log = y, temos: + y y y + y + = ( + y )( + y ) + y = y( + y ) + + = + = y y y y y Mas y = log, então: log = = = Substituindo os valores encontrados na equação II, verificamos que = e = -/ não é solução, pois: para =, = () () = < 0 5 para =, = = < 0 Portanto: 6. Eercícios. Eercícios Eercício : Resolver a equação log ( + ) =. 0 < (I) log ( + ) = e + = (II) (II), temos: = + = 0 = ou = Somente = é solução, pois deve satisfazer (I). { } Eercício : Resolver a equação log ( + ) + log ( ) = + > 0 (I) e > (I) > 0 (II) [ ] log ( + ) + log ( ) = log ( + ) ( ) = ( + ) ( ) = = 8 = 0 = ou = 6

7 . Eercícios. Eercícios Portanto, somente = é solução, pois satisfaz a equação (I). { } Eercício 5: Resolver o sistema de equações + y = 7 log + log y = log > 0 e y > 0 Aplicando a propriedade dos logaritmos na segunda equação, temos: log + log y = log log y = log y =. Eercícios. Eercícios Eercício : Resolver a equação log ( ) + log ( ) = log 7 > 0 > e > (I) > 0 > O sistema proposto fica reduzido às equações: + y = 7 y = cujas soluções são = e y = ou = e y =. {(, ),(, ) }. Eercícios. Eercícios log ( ) + log ( ) = log 7 [ ] log ( ) ( ) = log 7 = + = = 8 0 = ou = Portanto, somente = é solução, pois satisfaz a equação (I). { } Eercício 6: Resolver o sistema de equações log + logy = log + cology = > 0 e y > 0 Lembrando que colog y = -log y e fazendo a substituição log = a e log y = b no sistema proposto, temos: a + b = a b = a = e b = 7

8 . Eercícios. Eercícios mas a = log e b = log y, então: log = = log y = y = {(, ) } Eercício 8: Resolva a equação log ( ) = log ( + 6) + log ( + ) > 0 > + 6 > 0 R > (I) + > 0 >. Eercícios. Eercícios Eercício 7: Resolva a equação log = > 0 e Aplicando logaritmo de base a ambos os membros, temos: log log = log = log log log + log = log + log log = log log log + = 0 Aplicando as propriedades e transformando os logaritmos à base, temos: log ( ) = log ( + 6) + log ( + ) log ( ) = log ( + 6) log ( + ) + 6 log ( ) = log = + + = + 6 = = 0 = ou = { }. Eercícios. Eercícios Fazendo log = y, temos: y y + = 0 y = ou y = Mas y = log, então: log = = log = = {, } Eercício : Resolva a equação log log = > log log = log log = log log = Fazendo log = y, teremos: y y = 0 y = ou y = mas y = log, então: log = = 6 log = = 6, 8

9 . Eercícios Eercício 0: Resolva a equação log + log = > 0 e log log + = log + = log log Fazendo log = y, teremos: y + = y = mas y = log, então: y log = = { }. Eercícios Eercício : Resolva a equação log log log = > 0 e { ;6; 6} 6 6 log log = log = log 6 6 log log 6 6 log log = log 6 Fazendo log = y, teremos: y y = y 6 y 5y + 6 = 0 y = ou y =. Eercícios mas y = log, então: log = = log = = 8 {, 8}