Inequações Exponenciais e Logarítmicas. Inequações Exponenciais e Logarítmicas. Exemplos:

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Inequações Eponenciais e Logarítmicas. Inequações eponenciais A resolução de uma inequação deste tipo baseia-se no crescimento ou decrescimento da função logarítmica, isto é, se a >, b > e < c, tem-se: log log se c c a > c b > I) a > b logc a < log c b se < c < logc a log c b se c < > II) a < b logc a > log c b se < c < Prof.: Rogério Dias Dalla Riva Inequações Eponenciais e Logarítmicas. Inequações eponenciais.inequações eponenciais.inequações logarítmicas.eercícios Eemplos: ) Resolva as inequações: a) > b). Inequações eponenciais. Inequações eponenciais Enfocaremos agora as inequações eponenciais que não podem ser reduzidas a uma desigualdade de potências de mesma base por meio de simples aplicações das propriedades de potências. Tomando os logaritmos de ambos os membros da desigualdade na base e mantendo a desigualdade, pois a base do logaritmo é maior que, temos: > log > log log > log > log { R / log } S = > 6

2 . Inequações eponenciais. Inequações eponenciais A escolha da base para o logaritmo visou obter uma simplificação na resolução. Obteríamos o mesmo resultado se tomássemos os logaritmos em qualquer outra base. ( ) + 9 > > > > 6 8 Por eemplo, tomando os logaritmos na base / e invertendo a desigualdade, temos: 9 9 > 6 log9 > log9 6 > log > log < log log < log (log < ) log > > log log 7 S = R / > log Inequações eponenciais. Inequações logarítmicas 8 8 b) 8 log 8 log log8 Assim como classificamos as equações logarítmicas em três tipos básicos, vamos também classificar as inequações em três tipos: S = R / log8 8. Inequações eponenciais. Inequações logarítmicas Eemplos: + ) Resolva a inequação >. o tipo: log a f() > log a g() É a inequação que é redutível a uma desigualdade entre dois logaritmos de mesma base a ( < a ). Como a função logaritmo é crescente se a > e decrescente se < a <, devemos considerar dois casos: 9

3 . Inequações logarítmicas. Inequações logarítmicas o caso Quando a base é maior que, a relação de desigualdade eistente entre os logaritmandos é de mesmo sentido que a dos logaritmos. Não nos devemos esquecer que, para eistirem os logaritmos em R, os logaritmandos deverão ser positivos. Esquematicamente, temos: Eemplos: ) Resolver a inequação log ( ) < log 6. Se a >, então log f > log g f > g > a a 6. Inequações logarítmicas. Inequações logarítmicas o caso Quando a base é menor que, a relação de desigualdade eistente entre os logaritmandos é de sentido contrário à dos logaritmos. Também não nos podemos esquecer que os logaritmandos deverão ser positivos para que os logaritmos sejam reais. Esquematicamente, temos: Observe que a base é maior que, logo a desigualdade entre os logaritmandos tem o mesmo sentido que a dos logaritmos. 7 log ( ) < log6 < < 6 < < 7 S = R / < < Se < a <, então log f > log g < f < g a a 7. Inequações logarítmicas. Inequações logarítmicas Agrupando os dois casos num só esquema, temos: f > g > se a > log af > log ag ou < f < g se < a < Eemplos: ) Resolver a inequação log ( ) > log. 8

4 . Inequações logarítmicas. Inequações logarítmicas Observe que agora a base é menor que, logo a desigualdade entre os logaritmandos tem sentido contrário à dos logaritmos. log > log < < log 6 log 6 8 ou { R / ou } S = > < > e ou < < < < 9. Inequações logarítmicas. Inequações logarítmicas - - { R / ou } S = < < < < o tipo: log a f() > k ou log a f() < k É a inequação logarítmica que é redutível a uma desigualdade entre um logaritmo e um número real. Para resolvermos uma inequação deste tipo, basta notarmos que o número real k pode ser assim epresso k = k. log a a = log a a k. Inequações logarítmicas. Inequações logarítmicas Eemplos: ) Resolver a inequação log ( 6) log. Portanto são equivalentes as inequações: log a f() > k log a f() > log a a k e log a f() < k log a f() < log a a k

5 . Inequações logarítmicas. Inequações logarítmicas Pelo estudo já feito no tipo anterior, temos, esquematicamente: Eemplos: ) Resolver a inequação log ( ) >. k f > a se a > log af > k k < f < a se < a < k < f < a se a > log af < k k f > a se < a < 8. Inequações logarítmicas. Inequações logarítmicas Eemplos: ) Resolver a inequação log ( + ) <. log > < < > < ou > e < < < < 6 9. Inequações logarítmicas. Inequações logarítmicas 7 log ( + ) < < + < < < 7 S = R / < < -/ -/ / / S = R / < < ou < < 7

6 . Inequações logarítmicas. Inquações logarítmicas Eemplos: ) Resolver a inequação log ( 7 + ). Eemplos: ) Resolver a inequação log log + >.. Inequações logarítmicas. Inequações logarítmicas log ou + + S = R / ou A equação proposta é equivalente à equação (log ) log + > Fazendo log = y, temos: y y y y + > < ou > Mas y = log, então: log < < < < < log > > > 9 { R / e 9} S = < < >. Inequações logarítmicas. Inequações logarítmicas o tipo: incógnita auiliar São as inequações que resolvemos fazendo inicialmente uma mudança de incógnita. Outra forma de resolver inequações logarítmicas sem a preocupação de análise de casos específicos é ficar atento ao enunciado abaio: O primeiro passo na resolução de uma inequação logarítmica é determinar as condições de eistência dos logaritmos que nela comparecem. log b = a < a e b > 6 6

7 . Eercícios. Eercícios Eercício : Resolva a inequação log ( ) + log ( ) Antes de aplicarmos as propriedades operatórias dos logaritmos devemos estabelecer a condição para a eistência dos logaritmos, isto é: > > e > > > Eercício : Resolva a inequação log log ( log ) > Antes de aplicarmos as propriedades operatórias dos logaritmos devemos estabelecer a condição para a eistência dos logaritmos, isto é: > log > > < < log ( log ) > log < <. Eercícios. Eercícios Resolvendo a inequação, temos: [ ] log ( ) + log ( ) log ( ) ( ) + A solução da inequação proposta são os valores de que satisfazem simultaneamente e ; portanto: Resolvendo a inequação, temos: log log ( log ) > log ( log ) > log < < A solução da inequação proposta são os valores de que satisfazem simultaneamente e ; portanto:. Eercícios. Eercícios { R / } S = < { R / } S = < < 7

8 . Eercícios. Eercícios Eercício : Determine os valores de a para que a equação + log a = admita raízes reais. Antes de iniciarmos a resolução da inequação, devemos estabelecer a condição para a eistência do logaritmo, isto é: a > A solução admitirá raízes reais se o discriminante não for negativo ( ). = 6 log a log a a a 6 { R / 6} S = a < a Como a base pode ser maior ou menor que, devemos eaminar dois casos: o ) Se >, temos: log + > + > + + > < > 6 ou (III). Eercícios. Eercícios Eercício : Resolva a inequação log + > A solução neste caso é dada por: Antes de resolvermos a inequação, devemos levantar a condição para a eistência do logaritmo. + > < ou > < (III) (III) / S = R / >. Eercícios. Eercícios / / < < ou > o ) Se < < (IV), temos: log + + > < + + < < < 6 (V) 8

9 . Eercícios A solução neste caso é dada por: / (IV) (V) (IV) (V) + / S = R / < <. Eercícios A solução da inequação proposta é: + S = S S = R / < < e > 9

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