Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES e FUNÇÕES
|
|
- Thomaz Lameira da Rocha
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 PAR ORDENADO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA... 4 RELAÇÃO... 8 DOMÍNIO E IMAGEM CONTRA-DOMÍNIO RELAÇÃO INVERSA PROPRIEDADES DA RELAÇÃO INVERSA FUNÇÕES IMAGEM DE UMA FUNÇÃO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO FUNÇÃO CONSTANTE RESPOSTAS REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro Matemática de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouro Preto durante o triênio Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES e FUNÇÕES
2 PAR ORDENADO Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim, {1; 2}, {7, -3} ou {a, b} indicam pares. Lembrando o conceito de igualdade de conjuntos, observamos que inverter os elementos não gera um par diferente, assim, temos: {1, 2} = {2, 1} {7, 3} = { 3. 7} {a, b} = {b, a} Em matemática, existem situações em que há a necessidade de distinguir dois pares pela ordem de seus elementos. Ex.1: Imaginemos que o time de futebol da escola será formada por 10 atletas (titulares e reservas) escolhidos entre os alunos do 1º e 2º anos. Podemos indicar a quantidade de alunos escolhidos de cada série no seguinte esquema: anotamos entre parênteses primeiro o número de alunos selecionados no 1º ano e depois o do 2º ano. que (7, 3) e (3, 7) são dois PARES ORDENADOS diferentes. Ex.2: No sistema de equações x y 3 x y 1 x = 2 e y = 1 é a solução ao passo que x = 1 e y = 2 não é solução. Se representássemos por um conjunto, teríamos: { 2, 1} é solução e {1, 2} não seria solução e aí há uma contradição pois {2, 1} = {1, 2}. Por causa disso, dizemos que a solução é o PAR ORDENADO (2, 1) em que fica subentendido que o primeiro valor se refere à incógnita x e o segundo é referente à incógnita y. Admitiremos a noção de PAR ORDENADO como conceito primitivo. Podemos formar a idéia de par ordenado, imaginando-o como um conjunto de dois elementos considerando-os numa dada ordem. Para lembrar que a ordem está sendo considerada, na representação do par ordenado, utilizamos parênteses e não chaves como nos conjuntos em geral e para cada elemento a e cada elemento b, admitiremos a existência de um terceiro elemento (a, b) que denominamos par ordenado, de modo que se tenha: Então (3, 7) indicará que foram escolhidos 3 alunos do 1ºano e 7 do 2º ano e (7, 3) nos dirá que 7 alunos são do 1º ano e 3 são oriundos do 3º ano. (5, 5) indicaria, por exemplo, que foram escolhidos 5 alunos de cada série, etc. Observamos, neste caso, que (3, 7) e (7, 3) representam dois modos diferentes de selecionar os alunos para o time de futebol. Em (7, 3) e (3, 7) temos as mesmas quantidades, porém em ordens diferentes. Por isso, dizemos (a, b) = (c, d) a = c e b = d Ou seja, impomos que dois pares ordenados são iguais se, e somente se, tiverem os primeiros termos iguais entre si e os segundos termos também iguais entre si. Veja, a seguir, alguns exemplos: CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG CAMPUS OURO PRETO
3 Ex.1: (a, b) = (3, 7) a = 3 e b = 7 Ex.2: (a, b) = (7, 3) a = 7 e b = 3 Ex.3: (a, b) = (5, 5) a = 5 e b = 5 Note que em um par ordenado, podemos ter termos iguais. PRODUTO CARTESIANO Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}, vamos formar os pares ordenados que têm o primeiro elemento em A e o segundo elemento em B. Observe o esquema em que cada flecha representa um par: O conjunto formado pelos pares ordenados obtidos é denominado PRODUTO CARTESIANO DE A POR B e o indicamos por A x B onde lemos A cartesiano B. Desta forma, temos então: A x B = {(1,1); (1, 2); (1,3); (1,4);(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (3,1); (3,2); (3,3); (3, 4)} De forma genérica, o produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto A x B formado pelos pares ordenados que trazem o primeiro elemento extraído de A e o segundo de B ou: A x B = {(x, y) x A e y B} (Lemos: A cartesiano B é igual ao conjunto formado por pares ordenados x, y tal que x pertence a A e y pertence a B) Observações: 1. Se A B então A x B B x A, ou seja, o produto cartesiano não é comutativo 2. Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente, então A x B é um conjunto finito com m n elementos Veja a mesma formação, agora numa tabela: 3. Se A ou B for infinito e nenhum dos dois for vazio, então A x B é um conjunto infinito. Ex.1: Dados A = {a, e, i} e B = {p, q}, determinar: a) A X B b) B X A c) A 2 d) B 2 Solução: a) A X B = {(a, p); (a, q); (e, p); (e, q); (i, p); (i, q)} MATEMÁTICA I 3 RELAÇÕES e FUNÇÕES
4 b) B X A = {(p, a); (p, e); (p, i); (q, a); (q, e); (q, i)} c) A 2 = A X A = {(a, a); (a, e); (a, i); (e, a); (e, e); (e, i); (i, a); (i, e); (i, i)} d) B 2 = B X B = {(p, p); (p, q); (q, p); (q, q)}. Ex.2: Se A tem 4 elementos e B tem 9 elementos, quantos elementos tem: a) A X B b) B X A c) A 2 d) B 2 Solução: a) elementos. b) elementos. c) elementos. d) elementos. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA No plano cartesiano acima, temos: O número a é a abscissa do ponto P. O número b é a ordenada do ponto P. O eixo OX é chamado de eixo das abscissas. O eixo OY é chamado de eixo das ordenadas. O ponto O é a origem e tem coordenadas (0, 0). Pares ordenados de números reais podem ser representados por pontos em um plano chamado de PLANO CARESIANO. O Plano Cartesiano é determinado por duas retas orientadas perpendiculares num ponto chamado de origem. Cada ponto deste plano será associado à um par ordenado (a, b) de números reais da seguinte forma: 1. Sobre a reta horizontal, chamada de eixo OX, marcamos o ponto referente ao número a. 2. Traçamos a reta y paralela à reta y passando por a. 3. Sobre a reta vertical, chamada de eixo OY, marcamos o ponto referente ao número b. 4. Traçamos a reta x paralela à reta x passando por b. 5. O encontro entre x e y será o afixo do ponto P de coordenadas (a, b). A cada par de números reais fazemos corresponder um único ponto do plano e a cada ponto do plano, fazemos corresponder um único par ordenado de números reais. Essa correspondência é denominada de Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais (ou simplesmente Sistema Cartesiano Ortogonal). Ortogonal porque os eixos formam entre si um ângulo de 90º e Cartesiano é homenagem à René Descartes, um matemático considerado o pai da filosofia moderna Ex.: 1 Veja no plano cartesiano a seguir a localização de cada dos pontos abaixo: A (2, 4) B (-2, 3) C (-3, -3) D (1, -2) E (4, 0) F (0, 5) G (-2, 0) H (0, -4) CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO
5 Ex.2: Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}. Faça A x B e a seguir represente os pares ordenados num sistema cartesiano ortogonal. Solução A x B = {(1,1); (1, 2); (1,3); (1,4);(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (3,1); (3,2); (3,3); (3, 4)} 1) Represente corretamente no plano cartesiano abaixo, cada um dos pares ordenados a seguir: A (1, 1) D (-3, -2) G (0, -2) B (3, 2) E (1, -4) H (3, 0) C (-4, 5) F (0, 5) J (-4, 0) MATEMÁTICA I 5 RELAÇÕES e FUNÇÕES
6 2) Determine as coordenadas de cada dos pontos marcados no sistema abaixo. 4) Sendo A = { } e B = {3, 4, 5, 7}. Represente num sistema ortogonal o conjunto A x B. A C E G J B D F H 3) Assim como na questão 160, localize os seis pontos abaixo no plano cartesiano L 3; 3 P ; M 0,5; 4 Q 0; 10 N 3; R ; 3 2 Também podemos representar graficamente produtos cartesianos formados a partir de conjuntos determinados por intervalos. Ex.1: Sendo A = {x R 1 < x 6 } e B = {y R 2 y 5 }, representar graficamente A x B. CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO
7 Ex.2: Sendo A = {x R 1 x 4 } e B = {y R y = 2 }, representar graficamente A x B. Ex.3: Sendo A = {x R 1 x 4 } e B = {y R 2 y 4 }, representar graficamente A x B. b) B x A c) A x A 5) Sendo A = {x 1 x 6 } e B = {x -2 x < 3 }, representar graficamente: a) A x B. MATEMÁTICA I 7 RELAÇÕES e FUNÇÕES
8 RELAÇÃO Quando começamos a falar de produto cartesiano, citamos dois conjuntos, A e B e formamos A x B. Naquele exemplo, tínhamos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4} e o A x B apresentava 12 elementos. Destes 12 elementos, vamos formar agora o conjunto R dos pares ordenados que têm o primeiro termo em A e o segundo termo em B tais que o 1º termo é menor que o 2º. Veja no diagrama a seguir como ficaria este conjunto. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7, 9}, determinar as relações de A em B: a) S = {(x, y) A x B x + y = 6} b) M = {(x, y) A x B xy 6} Solução: Em a), a relação S é formada pelos pares ordenados (x, y) onde x A e y B, com a soma dos termos x + y = 6. Estes pares são (1, 5), (3, 3) e (5, 1), então, S = {(1, 5), (3, 3), (5, 1)} Pares com soma igual a 6 R = {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3, 4)} Este conjunto R, que é um subconjunto de A x B, é exemplo de uma relação de A em B. Em b), a relação M é formada pelos pares ordenados (x, y) onde x A e y B, com o produto dos termo menor ou igual a 6. Nesta condição, os pares são (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 1) e (5, 1) então, M = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 1), (5, 1)} De modo geral, denominamos relação de A em B a todo subconjunto de A x B. R é relação de A em B R A x B Veja, agora, outros exemplos que ilustram relações. Pares com produto menor ou igual a 6 CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO
9 d) B 2 7) Determine A x B e B x A em cada caso abaixo: a) A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {9} A x B = B x A = 6) Dados A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, forme todos os pares ordenados de: a) A x B b) A = {5} e B = {7} A x B = b) B X A B x A = c) A 2 MATEMÁTICA I 9 RELAÇÕES e FUNÇÕES
10 c) A = {4, 8, 12} e B = Ø A x B = 9) Dados A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e B = {2, 4, 6, 8, 10}, forme as seguintes relações: a) K = {(x, y) A x B x + y = 12} B x A = b) L = {(x, y) A x B x + y 15} 8) Se um conjunto A tem 5 elementos e B tem 10 elementos: a) quantos elementos tem A x B? c) M = {(x, y) A x B x + y < 8} b) quantos elementos tem B x A? 10) Dados A = {3, 6, 9, 12} e B = {1, 3, 5, 7, 9}, determine T = = {(x, y) A x B x 2 + y 2 < 50} c) Os conjuntos A x B e B x A são iguais? Justifique. CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG CAMPUS OURO PRETO
11 11) Sabendo que {(1, 2), (4, 2)} A 2 e n(a 2 ) = 9, represente, pelos elementos, o conjunto A 2. (Veja a resolução desta questão nas respostas) 13) Considerando A B, {(0, 5), ( 1, 2), (2, 1)} A x B e n(a x B) = 12, represente A x B pelos seus elementos. 12) Se {(1, 2), (3, 0)} A 2 e n(a 2 ) = 16, então represente A 2 pelos seus elementos. 14) Sendo A = {x Z 2 < x 4} e B o conjunto dos múltiplos de 3 compreendidos entre 7 e 35, quantos elementos tem A x B? MATEMÁTICA I 11 RELAÇÕES e FUNÇÕES
12 15) Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, enumere os pares ordenados e construa o plano cartesiano da relação R de A em A dada por R = { (x, y) A 2 mdc (x, y) = 2 }. DOMÍNIO E IMAGEM Seja R uma relação de A em B que, a partir de agora representaremos R: A B. Chamamos de DOMÍNIO de R o conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes à relação R. O domínio de uma relação será representado por D, assim, x D y, y B, x yr (Lemos: x é parte do domínio se, e somente se existe y pertencente a B tal que o par ordenado x, y pertence à relação R) 16) Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, enumere os pares ordenados e construa o plano cartesiano da relação R de A em A dada por R = { (x, y) A 2 são primos entre si }. Chamamos de IMAGEM de R o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados (x, y) pertencentes a R. A imagem será representada por Im e é sempre um subconjunto de B. y Im x, x A, x yr (Lemos: y é parte da imagem se, e somente se, existe x pertencente a A tal que o par ordenado (x, y) pertence à relação R) Em outras palavras, podemos dizer que o domínio é formado por todos os valores que x assume e a imagem são os valores admitidos por y. Quando representado pelo diagrama de Venn, o domínio é o conjunto formados pelos elementos de onde saem as flechas e a imagem é o conjunto dos elementos que recebem flecha. Veja, a seguir, alguns exemplos: CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG CAMPUS OURO PRETO
13 Ex. 1: Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e B = { -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Consideremos R: A B como uma relação que associa cada elemento de A à sua metade em B. Observe a figura: CONTRA-DOMÍNIO Numa relação R: A B dada por R = {(x, y) (x, y) A B}, o conjunto B é chamado de contra-domínio. Em outras palavras, o contra-domínio é o conjunto formado por todos os valores que y pode assumir. 17) Determine Domínio e Imagem de cada uma das relações abaixo: a) A = {(1; 1), (1; 3), (2; 4)} D = Im = Os elementos destacados no conjunto A formam o domínio e os elementos destacados no conjunto B, formam a imagem. Note que, assim, o domínio é um subconjunto de A e a imagem é um sub-conjunto de B. Ex.2: Seja A = {x R 3 < x 4} e B = {x R 1 x < 3}, qual o domínio e imagem da relação R = {(x, y) A B y = x 1} Resolução: b) B = {( 2; 4), ( 1; 1), (3; 7), (2; 1)} D = Im = c) C = {(2; 1), (1; 3), (5; 2)} D = Im = d) D = {(1 + 2; 2; 2 ), (1 3; 1)} D = Im = MATEMÁTICA I 13 RELAÇÕES e FUNÇÕES
14 e) E = {(3; 1 2 ), (5 2 ; 1), (3 2 ; 0)} D = b) R = {(x, y) A B x 2 = y} Im = 18) Em cada uma das relações de A em B abaixo, pede-se: I) Enumerar os pares ordenados que formam as relações. II) Representar por meio de diagrama de Venn e flechas. III) Fazer a representação no plano cartesiano. IV) Estabelecer Imagem. V) Estabelecer Domínio. Para tal, considere A = { 2, 1, 0, 1, 2} e B = { 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4}. a) R = {(x, y) A B x + y = 2} D = Im = c) R = {(x, y) A B x = y} D = Im = D = Im = CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG CAMPUS OURO PRETO
15 d) R = {(x, y) A B x + y > 2} 19) Dado o conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, enumere os pares ordenados, construa o gráfico cartesiano e determine a imagem da relação R: A A onde: a) R = {(x; y) mdc(x, y) = 2} D = Im = e) R = {(x, y) A B (x y) 2 = 1} Im = b) R = {(x; y) x e y são primos entre si} Im = D = Im = MATEMÁTICA I 15 RELAÇÕES e FUNÇÕES
16 20) Se R é a relação binária de A em B tal que A = { x R 1 x 6} e B = { y R 1 y 4} definida por R = {(x; y) A x B x = 2y}, pede-se a) A representação cartesiana de A X B. 21) Se R e S são relações binárias de A em B sendo A = {x Z 2 x 5} e B = { xz 2 x 3} definidas por R = {(x; y) 2 divide x y} e S = {(x; y) (x 1) 2 = (y 2) 2 }, pede-se: a) As representações cartesianas de R e S. b) A representação cartesiana de R. c) Domínio e imagem de R CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG CAMPUS OURO PRETO
17 b) Domínio e Imagem de R e S. Ex.1: Se A = {2; 3; 4; 5} e B = {1; 3; 5; 7}, quais são os elementos de R e R -1 sabendo que R = {(x; y) A x B x < y} Solução: c) R S. RELAÇÃO INVERSA Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto R 1 = {(y, x) B x A (x, y) R} Como R -1 é um subconjunto de B x A, então R -1 é uma relação binária de B em A à qual daremos o nome de relação inversa de R. (y, x) R 1 (x, y) R Decorre desta definição que R -1 é o conjunto dos pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos de cada par. Observando os diagramas, podemos descrever os pares ordenados. R = {(2; 3), (2; 5), (2; 7), (3; 5), (3; 7), (4; 7), (5; 7)} R 1 = {(3; 2), (5; 2), (7; 2), (5; 3), (7; 3), (7; 4), (7; 5)} MATEMÁTICA I 17 RELAÇÕES e FUNÇÕES
18 Ex.2: Se A = { x R 1 x 4} e B = { y R 2 x 8}, representar no plano cartesiano as relações R e R -1 sendo R = { (x; y) A x B y = 2x}. 22) Enumerar os elementos de R -1, relação inversa de R, nos seguintes casos: a) R = {(1; 3), (3; 1), (2; 3)} b) R = {(1; -1), (2; -1), (3; -1), (-2; 1)} PROPRIEDADES DA RELAÇÃO INVERSA As seguintes propriedades da relação inversa são evidentes e podemos percebe-las simplesmente observando os dois exemplos anteriores. c) R = {(-3; -2), (1; 3), (-2; -3), (3; 1)} P1: A imagem de uma relação é o domínio de sua inversa. P2: O domínio de uma relação é a imagem de sua inversa. P3: (R -1 ) -1 = R CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG CAMPUS OURO PRETO
19 23) Enumerar os elementos e esboçar os gráficos de R e R -1, relações binárias de A = { x N x 10 }. (Dica: faça R e R -1 no mesmo plano usando cores distintas) a) R = {(x; y) A 2 x + y = 8} c) R = {(x; y) A 2 y = (x 3) 2 + 1} d) R = {(x; y) A 2 y = 2 x } b) R = {(x; y) A 2 x + 2y = 10} MATEMÁTICA I 19 RELAÇÕES e FUNÇÕES
20 24) A = {x R 1 x 6 } e B = {y R 2 y 10 }. c) R = {(x; y) A x B y = x + 2 } Dados os conjuntos A e B acima e as relações R a seguir, pede-se o gráfico cartesiano dessas relações e das respectivas relações inversas. a) R = {(x; y) A x B x = y } d) R = {(x; y) A x B x + y =7 } b) R = {(x; y) A x B y = 2x } 25) Considere a relação R: Z Z R = { (x; y) Z 2 x + y = 3} Escreva: a) Im (R) CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG CAMPUS OURO PRETO
21 b) D (R) b) D (R) c) Nesta relação, existe algum elemento do domínio que não possui imagem? E existe algum elemento que possui mais de uma imagem? c) Nesta relação existe algum elemento do domínio que não possui imagem? E existe algum elemento que possui mais de uma imagem? d) Faça a representação cartesiana desta relação. d) Faça a representação cartesiana desta relação. 26) Vamos responder as mesmas perguntas propostas na questão anterior, agora para a relação R = { (x; y) 2 y = x 2 } Escreva: a) Im (R) MATEMÁTICA I 21 RELAÇÕES e FUNÇÕES
22 FUNÇÕES Dados dois conjuntos não vazios A e B *, uma relação f de A em B recebe a denominação de função de A em B se, e somente para todo x A existe um único (x, y) f. f é uma função de A em B ( x A, y B (x; y) f) Vamos considerar os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = { -1, 0, 1, 2, 3} e as seguintes relações binárias: R = {(x; y) A x B y = x + 1} S = {(x; y) A x B y 2 = x 2 } T = {(x; y) A x B y = x} V = {(x; y) A x B y = (x -1) 2-1} W = {(x; y) A x B y = s} Começaremos pela relação R: É importante notar que: Todo elemento de A deve ser associado a um elemento de B; Para um dado elemento de A associamos um único elemento de B. Usando o conceito de domínio e imagem que já estudamos em relações, podemos dizer também, que: f : A B é uma função se todo elemento do domínio possui somente uma imagem. Veja, a seguir, alguns exemplos que ilustram relações de A em B. Note que algumas delas expressam função e outras não. Desta forma temos: R = { (0; 1), (1; 2), (2; 3) } Para cada elemento x A com exceção do 3, existe um só elemento y B tal que (x; y) R. Para o elemento 3 A, não existe y B tal que (3; y) R. Neste caso, como existe elemento de A que não possui imagem, R NÃO é uma função de A em B. * Em todo nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e B são conjuntos formados por números reais, ou seja, A e B estão contidos em R. CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG CAMPUS OURO PRETO
23 Vejamos agora a relação S que associa x e y em pares de números que possuem o mesmo quadrado. Veja a relação V agora: V = { (0; 0), (1; -1), (2; 0), (3; 3) } S = { (0; 0), (1; -1), (1; 1), (2; 2), (3; 3)} Para cada elemento x A, com exceção do 1, existe um só elemento y B tal que (x; y) S. Para o elemento 1, existem dois elementos de B, o 1 e o -1, tais que (1, -1) S e (1, 1) S. Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) V. Então S É UMA FUNÇÃO de A em B. Vamos encerrar esta série com a relação W.: Assim, S NÃO é uma função pois existe elemento do domínio que possui mais de uma imagem. Agora, a relação T: W = { (0; 2), (1; 2), (2; 2), (3; 2) } Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) W. T = { (0; 0), (1; 1), (2; 2), )3; 3) } Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) T. Então T É UMA FUNÇÃO de A em B. Então W É UMA FUNÇÃO de A em B. Estas três últimas relações: T, V e W que apresentam a particularidade: Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) pertence à relação, logo são funções de A em B. MATEMÁTICA I 23 RELAÇÕES e FUNÇÕES
24 Quando analisamos uma relação a partir da representação por diagrama de flechas em dois conjuntos A e B, devemos observar duas condições para que a relação de A em B seja uma função de A em B: 1. Deve sair flecha de TODOS os elementos de A. 2. Deve sair apenas uma flecha de cada elemento de A. Estas duas condições apenas afirmam o que foi dito no início da página 22 desta apostila. Lá está afirmando que f: A B é uma função se todo elemento de A possui uma (condição 1) e somente uma (condição 2) imagem. c) d) Função? Justifique: Função? Justifique: Vamos identificar, nos diagramas a seguir, onde está e onde não está representada uma função de A em B justificando, quando for o caso. a) Função? Justifique: e) Função? Justifique: b) Função? Justifique: f) Função? Justifique: CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG CAMPUS OURO PRETO
25 b) A = [-2; 2] e B = Função? Justifique: c) A = [0; 4] e B = Função? Justifique: Podemos verificar também se uma relação é ou não função a partir de sua representação gráfica. Para tal, basta verificarmos se todas as retas paralelas ao eixo das ordenadas que podemos traçar dentro do domínio da relação toca o gráfico em um e somente um ponto, veja nos exemplos que seguem. Vamos identificar, nos gráficos a seguir, onde está e onde não está representada uma função de A em B ficando atentos para o domínio determinado e justificando, quando for o caso. a) A = [-1; 2] e B = Função? Justifique: EXEMPLOS COMPLEMENTARES Ver R.6 e R7 das Páginas 123 e ) Assim como foi feito no exemplo da página 24, identifique cada uma das relações de A em B abaixo, apresentadas sob forma de diagrama, como função ou não e a seguir, justifique. a) MATEMÁTICA I 25 RELAÇÕES e FUNÇÕES
26 b) f) c) 28) Dentre os gráficos abaixo, identifique aqueles que apresentam ou não apresentam função justificando sua resposta ficando sempre atento ao domínio dado. a)d = [1; 4] d) b) D = [-4; 3] e) c) D = [-7; 7] CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG CAMPUS OURO PRETO
27 d) D = [-4; 4] h) D = e) D = IMAGEM DE UMA FUNÇÃO Dada uma função f: A B sendo f = {(x, y) A x B}, assim como vimos nas relações, os valores que a ordenada y admite, formam o conjunto chamado IMAGEM. Veja, nos dois exemplos a seguir, a determinação da imagem de uma função. f) D = Ex.: Dado A = {1, 2, 3, 4}, consideremos a função f: A definida por f(x) = 2x, temos: Para x = 1, f Para x = 2, f Para x = 3, f Para x = 4, f g) D = A imagem desta função é Im(f) = {2; 4; 6; 8} MATEMÁTICA I 27 RELAÇÕES e FUNÇÕES
28 Ex.: Determinar a imagem da função f: D R definida por f(x) = x 3 x + 10, sendo D = { -2; -1; 0; 1; 2}. Para x = -2 f ) Determine o conjunto imagem em cada uma das funções a seguir apresentadas sob forma de diagrama de flechas. a) Para x = -1 f Para x = 0 3 f Para x = 1 3 f Para x = 2 3 f b) Logo, Im(f) = {4; 10; 16} Observe que três elementos do domínio (-1, 0 e 1) possuem a mesma imagem (10). Isto é permitido no conceito de função, pois ele exige que cada elemento do domínio tenha somente uma imagem. Nada impede que um mesmo elemento do contra-domínio tenha mais de uma contra-imagem. c) Lembre-se que, para que f: A B seja uma função o que não pode ocorrer é um dado elemento de A não ter imagem ou ter mais de uma imagem. CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG CAMPUS OURO PRETO
29 30) Sendo f: A, uma função definida por f(x) = 3x 2 + 1, determine a imagem de f sabendo que 2 A 5; 5; ; 3; c) f 2 d) f1 2 31) Seja f: a função definida por 2 fx. Calcule: x 2 1 f 1 a) ) Se fx, qual é o valor de x x 1 f(1) + f(2) + f(3)? 1 b) f 2 MATEMÁTICA I 29 RELAÇÕES e FUNÇÕES
30 33) Determine a imagem de cada função: 1 a) f: A dada por fx x e x 1 1 A ; ; 1; 2; ) Na função f: definida por f(x) = 7x 3, para que valor de x tem-se f(x) = 18? 35) Na função f: definida por f(x) = x 2 2x, para que valor de x tem-se f(x) = 3? E f(x) = 0? b) f: D dada por fx x 1 1 D 2; 1; 0; 1; 2 e CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG CAMPUS OURO PRETO
31 x 1 36) Uma função definida por fx tem 2x 1 imagem Im(f) = {-3; -1; 1; 3; 5}. Qual o domínio de x? 37) Dada fx x 1, calcule o valor de x para o qual se tem f(x) = 2. ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 123 Exercícios 17 a 22 Imagem a partir de um Gráfico Para determinar a imagem de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo vertical que possuem uma contra-imagem no eixo OX. De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas horizontais. Todas aquelas que tocarem o gráfico em pelo menos um ponto determinam, no eixo OY a imagem. Veja nos exemplos a seguir. Vamos determinar a imagem de cada uma das funções abaixo apresentadas pelos seus gráficos. a) Im = [a; b] MATEMÁTICA I 31 RELAÇÕES e FUNÇÕES
32 b) 38) Seguem 12 gráficos montados em uma malha quadriculada. Sabendo que cada quadrinho representa uma unidade, determine a imagem da função em cada caso. a) Im = [a; b] c) Im = [a; b[ - {0} b) d) Im = [-2; 0[ ]1; 3[ c) e) Im = {1; 3} CÁSSIO VIDIGAL 32 IFMG CAMPUS OURO PRETO
33 d) g) e) h) f) i) MATEMÁTICA I 33 RELAÇÕES e FUNÇÕES
34 j) DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO Considerando que toda função de A em B é uma relação binária então f tem uma imagem, como já vimos, e também um domínio. Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x A para os quais existe y B tal que (x; y) f. Como pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedades, temos, nas funções: Domínio = conjunto de partida k) É importante ressaltar que os elementos que formam o domínio são aqueles assumidos pela abscissa, desta forma, no plano cartesiano, o domínio são os valores neste eixo (eixo horizontal). DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO Tomemos algumas funções e determinemos o seu domínio: l) Ex.1: f(x) = 2x Notemos que 2x R para todo x R, temos, então D = R Ex.2: f(x) = x 2 Notemos que x 2 R para todo x R, temos, então D = R Ex.3: x f 1 x 1 Notemos que x diferente de zero, temos, então, D = R. R se, e somente se, x é real CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG CAMPUS OURO PRETO
35 Ex.4: x f x Notemos que x R se, e somente se, x é real e não negativo, então D = R + d) fx x 1 Ex.: 5 x f Notando que então, D = R 3 x 3 x R para todo x R, temos, 39) Determine o domínio de cada uma das funções reais a seguir: a) fx 3x 2 e) fx 1 x 1 b) fx 1 x 2 f) fx x 2 x 2 c) fx x 1 x 2 4 g) 3 f x 2x 1 MATEMÁTICA I 35 RELAÇÕES e FUNÇÕES
36 h) fx 3 1 2x 3 Ex.1: D = [a; b] Ex.: 2 i) fx 3 x 2 x 3 D = [a; b] Ex.: 3 Domínio a partir de um Gráfico Para determinar o domínio de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo horizontal que possuem uma imagem no eixo OY. Ex.: 4 D = De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas verticais. Todas aquelas que tocarem o gráfico determinam, no eixo OX, o domínio. Lembre-se que nenhuma destas retas verticais podem tocar o gráfico em mais de um ponto. Caso isto ocorra, o gráfico não representa uma função. Veja nos exemplos a seguir. D = * CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG CAMPUS OURO PRETO
37 d) 40) Todos os gráficos a seguir representam funções. Determine o domínio de cada uma delas. a) b) ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 127 Exercícios 24, 25 e 26 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Quando o domínio e o contradomínio de uma função f são subconjuntos de R, dizemos que f é uma função real de variável real. Neste caso, podemos fazer uma representação geométrica da função assinalando num sistema de coordenadas cartesianas os pontos (x; y) com x D e y = f(x). Estes pontos formam o que chamamos de gráfico de f. c) Ex.1: Fazer o gráfico da função f(x) = 2x 3 definida no domínio D(f) = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Resolução: Para cada x D(f), calculamos y = f(x) e obtemos um ponto (x; y) do gráfico. Temos: Para x = 0 y f Para x = 1 y f Para x = 2 y f Para x = 3 y f Para x = 4 y f Para x = 5 y f MATEMÁTICA I 37 RELAÇÕES e FUNÇÕES
38 O gráfico de f é formado pelos pontos A(0; -3), B(-1; 1), C(2; 1), D(3; 3), E(4; 5) e F(5; 7). Ex.3: Fazer o gráfico da função f(x) = 2x 3 definida no domínio D(f) = R Resolução: Temos, mais uma vez, a mesma lei dos exemplos anteriores, y = f(x) = 2x 3, mas o domínio é formado por todos os números reais. Assim, além do segmento AF, devemos considerar pontos À direita, com abscissa x > 5 e pontos à esquerda com x < 0. Veja, por exemplo: Para x = 6 y f Para x = -1 y f O gráfico é, neste caso, a reta AF que não tem fim de um lado nem de outro. Ex.2: Fazer o gráfico da função f(x) = 2x 3 definida no domínio D(f) = {x R 0 x 5}. Resolução: Neste caso temos a mesma lei do exemplo anterior, y = f(x) = 2x 3, porém o intervalo do domínio é [0; 5]. Assim, além dos pontos A,B C, D, E e F, devemos, também, considerar os pontos situados entre eles, no segmento de reta AF. Veja, por exemplo: Para x = 0,5 y f0,5 20,5 3 2 Para x = 2,25 y f2,25 22,25 3 1, 5 CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG CAMPUS OURO PRETO
39 41) Faça o gráfico da função f(x) = 6 x nos casos: a) sendo o domínio D = {1; 2; 3; 4; 5} 42) Faça o gráfico da função x casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2} x f nos 2 b) sendo D = {x 1 x 5} b) sendo D = {x -2 x 2} c) sendo D = c) sendo D = MATEMÁTICA I 39 RELAÇÕES e FUNÇÕES
40 2 43) Faça o gráfico da função x x casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2} f nos c) sendo D = Para x = -2, y = Para x = -1, y = Para x = 0, y = Para x = 1, y = Para x = 2, y = 44) Faça o gráfico da função fx x nos casos. a) sendo o domínio D = {0; 1; 2; 3; 4} b) sendo D = {x -2 x 2} b) sendo D = +. CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG CAMPUS OURO PRETO
41 x 1 45) Faça o gráfico da função fx com 2 domínio D = R. (Obtenha pontos do gráfico escolhendo valores para x e calculando y = f(x)) 46) Faça o gráfico de f(x) = 2x + 1 com domínio D = [0; 3[ MATEMÁTICA I 41 RELAÇÕES e FUNÇÕES
42 47) Faça o gráfico de f: [-1; 5], definida 5 x por fx. 2 48) Faça o gráfico de f: [-2; 2], definida 2 x por fx. 2 CÁSSIO VIDIGAL 42 IFMG CAMPUS OURO PRETO
43 FUNÇÃO CONSTANTE Dado um número real k, podemos considerar uma função que a todo número real x faz corresponder o número k: f:, com f(x) = k ( x ) Esta função é denominada função constante. O gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas passado por todos os pontos de ordenada y = k. Ex.2: Construir o gráfico da função f: + dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), mas agora há uma restrição no domínio. Veja: Observe que o domínio é D(f) = imagem é Im(f) = { k }. e a 49) Faça o gráfico da função f: dado por f(x) = - 1. Ex.1: Construir o gráfico da função f: dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), veja: 50) Faça o gráfico da função 1, se x 0 f: dado por f x. -1 se x 0 MATEMÁTICA I 43 RELAÇÕES e FUNÇÕES
44 RESPOSTAS b) 1) c) 2) A(-3, 5) B(1, 3) C(0, 2) D(3, 1) E(-2, 0) F(4, -1) G(-3, -2) H(-2, -2) J(-2, 0) 3) 4) 5) a) 6) a) A x B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} b) B X A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)} c) A 2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} d) B 2 = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)} 7) a) A x B = {(1, 9), (2, 9), (3, 9), (4, 9), (5, 9)} B x A = {(9, 1), (9, 2), (9, 3), (9, 4), (9, 5),} b) A x B = {(5, 7)} B x A = {(7, 5)} c) A x B = Ø B x A = Ø 8) a) 50 b) 50 c) Não pois o produto cartesiano não admite a propriedade comutativa. A x B = B x A se, e somente se A = B ou se um dos conjuntos for vazio. 9) a) K = {(2, 10), (4, 8), (6, 6), (8, 4)} b) L = {(5, 10), (6, 10), (7, 8), (7, 10), (8, 8), (8, 10)} c) M = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (5, 2)} 10) T = {(3, 1), (3, 3), (3, 5), (6, 1), (6, 3)} CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG CAMPUS OURO PRETO
45 11) (Resolução) O número de elementos de A 2 é igual ao quadrado de elementos de A, portanto n(a 2 ) = [n(a)] 2 [n(a)] 2 = 9 n(a) = 3 Se A é um conjunto de 3 elementos, (1, 2) A 2 e (4, 2) A 2, concluímos que A = {1, 2, 4} Assim sendo, A 2 = A x A = {(1; 1), (1; 2), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 4), (4; 1), (4; 2), (4; 4)} 12) A 2 = {(-2; -2), (-2; 0), (-2; 1), (-2; 3), (0; -2), (0; 0), (0; 1), (0; 3), (1; -2), (1; 0), (1; 1), (1; 3), (3; -2), (3; 0), (3; 1), (3; 3)} 13) A x B = {(-1; -1), (-1; 0), (-1; 2), (-1; 5), (0; -1), (0; 0), (0; 2), (0; 5), (2; -1), (2; 0), (2; 2), (2; 5)} 14) 54 15) R = {(2; 2), (2; 4), (2; 6), (4; 2), (4; 6), (6; 2), (6; 4)} c) D = {1, 2, 5} Im = {-3, 1, 2 } d) D = { 1 3, 1 2 } e) Im = {1, 2 } D = {3, 2 5, 2 3 } Im = { 2 1, -1, 0} 18) a) R = {(-2; 4), (-1; 3), (0; 2), (1; 1) 16) R = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5), (3; 1), (3; 2), (3, 4), (3; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (5; 1), (5, 2), (5; 3), (5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 5)} D = {-2; -1; 0; 1} Im = {1; 2; 3; 4} b) R = {(-2; 4), (2; 4), (-1; 1), (1; 1)} 17) a) D = {1, 2} Im = {1, 3, 4} b) D = {-2, -1, 2, 3} Im = {-7, 1, 4} D = {-2; -1; 1; 2} Im = {1; 4} MATEMÁTICA I 45 RELAÇÕES e FUNÇÕES
46 c) R = {(-2; -2), (-2; 2), (-1; -1), (-1; 1), (1; -1), (1; 1), (2; -2), (2; 2)} D = A Im = {-3; -2; -1; 1; 2; 3} 19) a) R = {(2; 2), (2; 4), (2; 6), (4; 2), (4; 6), (6; 2), (6; 4)} D = {-2; -1; 1; 2} Im = {-2; -1; 1; 2} d) R = {(-1; 4), (0; 3), (0; 4), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4)} Im = {2; 4; 6} b) R = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5), (3; 1), (3; 2), (3; 4), (3; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 5)} D = {-1; 0; 1; 2} Im = {1; 2; 3. 4} e) R = {(-2; -3), (-2; -1), (-1; -2), (0; -1), (0; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 3)} 20) a) Im = A CÁSSIO VIDIGAL 46 IFMG CAMPUS OURO PRETO
47 b) b) R= {(0; 5), (2; 4), (4; 3), (6; 2), (8; 1), (10; 0) } R -1 = {(5; 0), (4; 2), (3; 4), (2; 6), (1; 8), (0; 10) } 21) a) c) d = [2; 6] e Im = [1; 3] c) R= {(0; 10), (1; 5), (2; 2), (3; 1), (4; 2), (5; 5), (6; 10)} R -1 = {(10; 0), (5; 1), (2; 2), (1; 3), (2; 4), (5; 5), (10; 6)} b) D = A e Im = B c) R S = Ø 22) a) R -1 = {(2; 1), (1; 3), (3; 2)} b) R -1 = {(-1; 1), (-1; 2), (-1; 3), (1; -2)} c) R -1 = {(-2; -3), (3; 1), (-3; -2), (1; 3)} 23) a) R = {(0; 8), (1; 7), (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), (1; 7), (8; 0)} R -1 = {(0; 8), (1; 7), (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), (1; 7), (8; 0)} 23) (Cont.) d) R= {(0; 1), (1; 2), (2; 4), (3; 8)} R -1 = {(1; 0), (2; 1), (4; 2), (8; 3)} 23) (Cont.) 24) a) MATEMÁTICA I 47 RELAÇÕES e FUNÇÕES
48 b) d) pois todo número possui apenas um quadrado c) d) 27) a) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem. 25) a) Im (R) = {-3, -2, -1, 0,1, 2, 3} b) D (R) = {-3, -2, -1, 0,1, 2, 3} c) O 4, por exemplo, não possui imagem e o 2 possui duas imagens que são -1 e 1. d) b) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem. c) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem. d) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem. e) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem. 26) a) Im (R) = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36,... } b) D (R) = {..., -3, -2, -1, 0,1, 2, 3,...} c) Não pois qualquer número pode ser elevado ao quadrado. Não f) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem. 28) a) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem. CÁSSIO VIDIGAL 48 IFMG CAMPUS OURO PRETO
49 b) Função c) Função d) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem. e) Função f) Função g) Não é função pois existem elementos do domínio que não possuem imagem. h) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem. 29) a) Im = {-1; 0; 1} b) Im = {-1} c) Im = {-1, 2} 30) Im f 7 ; 10; ; ) a) 1 b) ) c) ) a) Im f 2 2 d) ; ; Im f 1; 2; 3; 4 b) 34) Resolução: f x 7x 3 e 7x x 21 x 3 f x 18 35) f(x) = 3 para x = 3 ou x = -1 f(x) = 0 para x = 0 ou x = 2 c) Im = [-2; 2] d) Im = {y -4 x -2 ou -1 < x 4} e) Im = {y x -1} f) Im = {y x > 2 ou x = 1} g) Im = {-2; -1; 0; 2; 3; 4} h) Im = [1; 4[ i) Im = [-4; 3[ j) Im = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} k) Im = [-2; 3] 39) a) D b) D 2 ou D c) Resolução x 1 fx 2 x 4 2 x 4 0 x x 2 x 2 4 x 2 D x x 2 e x 2 d) D x x 1 e) D x x 1 f) D x x 2 e x 2 g) D 3 h) D 2 D 3 i) 40) a) [-3; 4[ b) [-3; 3] - {-1; 1} c) * d) * 41) a) 36) D f 2 ; 7 0; 2; 4 ; ) x = 3 38) a) Im = {-2, 0, 2} b) Im = MATEMÁTICA I 49 RELAÇÕES e FUNÇÕES
50 b) 43) a) b) c) c) 42) a) 44) a) b) b) c) 45) CÁSSIO VIDIGAL 50 IFMG CAMPUS OURO PRETO
51 46) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA DANTE, Luiz Roberto; Matemática. São Paulo, Ática, 2004 MACHADO, Antônio dos Santos; Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual, 1988 IEZZI, Gelson e outros; Matemática, Volume único. São Paulo, Atual, ) 48) VÍDEOS SUGERIDOS NESTA APOSTILA Pág Pág ) Pág ) Pág MATEMÁTICA I 51 RELAÇÕES e FUNÇÕES
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.
CONCEITO DE FUNÇÃO... 2 IMAGEM DE UMA FUNÇÃO... 8 IMAGEM A PARTIR DE UM GRÁFICO... 12 DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO... 15 DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO... 15 DOMÍNIO A PARTIR DE UM GRÁFICO... 17 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO...
Leia maisEm Matemática existem situações em que há necessidade de distinguir dois pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equações
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Relações Prof.: Rogério Dias
Leia maisRelações. Relações. {1, 2} = {2, 1}, {3, -1} = {-1, 3}, {a, b} = {b, a}.
UNIVERSIDDE DO ESTDO DE MTO GROSSO CMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FCULDDE DE CIÊNCIS EXTS E TECNOLÓGICS CURSO DE ENGENHRI CIVIL DISCIPLIN: FUNDMENTOS DE MTEMÁTIC Relações. Par ordenado Em Matemática eistem
Leia maisNotas de Aula Disciplina Matemática Tópico 03 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
1. Funções : Definição Considere dois sub-conjuntos A e B do conjunto dos números reais. Uma função f: A B é uma regra que define uma relação entre os elementos de A e B, de tal forma que a cada elemento
Leia maisFUNÇÕES I- PRÉ-REQUISITOS PARA O ESTUDO DAS FUNÇÕES
FUNÇÕES I- PRÉ-REQUISITOS PARA O ESTUDO DAS FUNÇÕES 1- PRODUTO CARTESIANO 1.1- Par Ordenado - Ao par de números reais a e b, dispostos em uma certa ordem, denominamos par ordenado e indicamos por: (a,
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE 2
EIXO DE SIMETRIA... COEFICIENTES a, b E c NO GRÁFICO... SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA...4 INEQUAÇÕES DO º GRAU...9 INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE... 4 SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO º GRAU... 8 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA...
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU
FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 6 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 7 SINAL DE UMA
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU
FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... 5 GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... 5 IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 7 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 7 SINAL DE
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
DEFINIÇÃO... EQUAÇÃO REDUZIDA... EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA... 3 RECONHECIMENTO... 3 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA... 1 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA... 17 PROBLEMAS
Leia maisIntrodução às Funções
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Introdução às Funções Prof.:
Leia maisCapítulo 1. Conjuntos e Relações. 1.1 Noção intuitiva de conjuntos. Notação dos conjuntos
Conjuntos e Relações Capítulo Neste capítulo você deverá: Identificar e escrever os tipos de conjuntos, tais como, conjunto vazio, unitário, finito, infinito, os conjuntos numéricos, a reta numérica e
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS... 2 RETA NUMERADA... 2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS... 4 SUBCONJUNTOS DE Z... 5 NÚMEROS OPOSTOS... 5 VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO INTEIRO... 6 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS...
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES
FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA... MÓDULO... 6 PROPRIEDADES DO MÓDULO... 6 FUNÇÃO MODULAR... 9 GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR... 9 EQUAÇÕES MODULARES... 7 INEQUAÇÕES MODULARES... 3 RESPOSTAS... 37
Leia maisGênesis S. Araújo Pré-Cálculo
Gênesis Soares Jaboatão, de de 2016. Estudante: PAR ORDENADO: Um par ordenado de números reais é o conjunto formado por dois números reais em determinada ordem. Os parênteses, em substituição às chaves,
Leia maisMATEMÁTICA. Conceito de Funções. Professor : Dêner Rocha
MATEMÁTICA Conceito de Funções Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1 Noção de Função 1º) Dados A = {-, -1, 0, 1, } e B = {-8, -6, -4, -3, 0, 3, 6, 7} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula
Leia maisEquação de 1º Grau. ax = -b
Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: 2x + 8 = 0 5x - 4 = 6x + 8 3a
Leia maisPlano Cartesiano. Relação Binária
Plano Cartesiano O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é
Leia maisCentro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo Aula 1 Professor: Carlos Sérgio. Revisão de Funções
Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo - 01. Aula 1 Professor: Carlos Sérgio Revisão de Funções Sistema cartesiano ortogonal O Sistema de Coordenadas Cartesianas,
Leia maisESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI
ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES NOME: N O : blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1 FUNÇÃO IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO O conceito de função é um
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO EXPONENCIAL
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS... 2 FUNÇÃO EXPONENCIAL... 5 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS... 10 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS... 17 RESPOSTAS... 22 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... 24 No final das séries de exercícios podem
Leia maisConjuntos Numéricos. I) Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3,... }
Conjuntos Numéricos I) Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3,... } II) Números Inteiros Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z III) Números Racionais
Leia maisn. 26 PRODUTO CARTESIANO
n. 26 PRODUTO CARTESIANO Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596 1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim era Renatus
Leia maisEsboço de Plano de Aula. Conteúdo específico: O uso do software WXMaxima nas equações do 1º Grau.
Esboço de Plano de Aula Bolsista: Rafael de Oliveira. Duração: 120 minutos. Conteúdo: Equações do 1º Grau. Conteúdo específico: O uso do software WXMaxima nas equações do 1º Grau. Objetivo geral: Permitir
Leia maisCapítulo 2. Retas no plano. 1. Retas verticais e não-verticais. Definição 1
Capítulo 2 Retas no plano O objetivo desta aula é determinar a equação algébrica que representa uma reta no plano. Para isso, vamos analisar separadamente dois tipos de reta: reta vertical e reta não-vertical.
Leia maisCapítulo 2. f : A B. 3. A regra em (3) não define uma função de A em B porque 4 A está associado a mais de um. elemento de B.
Departamento de Matemática Disciplina MAT154 - Cálculo 1 Capítulo 2 Funções 2.1 Definição Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento
Leia mais1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO. Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0.
MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. EXEMPLOS: f(x) = 5x 3, onde a = 5 e b = 3 (função afim)
Leia maisLTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE:
Matemática Aplicada - https://ranildolopes.wordpress.com/ - Prof. Ranildo Lopes - FACET 1 Faculdade de Ciências e Tecnologia de Teresina Associação Piauiense de Ensino Superior LTDA APES PROF. RANILDO
Leia maiseixo das ordenadas y eixo das abscissas Origem 1º quadrante 2º quadrante O (0, 0) x 4º quadrante 3º quadrante
PLANO CARTESIANO eixo das ordenadas y 2º quadrante 1º quadrante eixo das abscissas O (0, 0) x Origem 3º quadrante 4º quadrante y ordenado do ponto P 4 P P(3, 4) O 3 x abscissa do ponto P No caso, 3 e 4
Leia maisCapítulo 2. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas.
Capítulo 2 Funções Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento em A associa um único elemento em B. A notação usual para uma função f
Leia mais2 Igualdade e Operações com pares ordenados. 1 Conjunto R 2. 3 Vetores. 2.1 Igualdade. 1.2 Coordenadas Cartesianas no Plano
1 Conjunto R 1.1 Definição VETORES NO PLANO Representamos por R o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, ou seja: R = {(x, y) x R y R} 1. Coordenadas Cartesianas no Plano Em um plano α,
Leia mais1. Conceito de função. 1, existe um só elemento y B tal que (x, y) S. 1. Conceito de função. 1. Conceito de função
UNIVERSIDDE DO ESTDO DE MTO GROSSO CMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FCULDDE DE CIÊNCIS EXTS E TECNOLÓGICS CURSO DE ENGENHRI CIVIL DISCIPLIN: FUNDMENTOS DE MTEMÁTIC Introdução às Funções. Conceito de função
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
EQUAÇÃO GERAL DA RETA... EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA... 8 EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA... 4 EQUAÇÃO PARAMÉTRICA... 5 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO... 8 CONDIÇÃO DE PARALELISMO... 6 CONDIÇÃO DE
Leia maisFunção Afim. Definição. Gráfico
Função Afim Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função
Leia maisNotas de aulas. álgebra abstrata
1 Notas de aulas de álgebra abstrata UEMA LICENCIATURA EM MATEMATICA Elaborada por : Raimundo Merval Morais Gonçalves Licenciado em Matemática/UFMA Professor Assistente/UEMA Especialista em Ensino de Ciências/UEMA
Leia maisUm par ordenado é indica por x e y dentro de parêntese e separado por vírgula.
PRODUTO CARTESIANO PAR ORDENADO Um par ordenado é indica por x e y dentro de parêntese e separado por vírgula. ( x, y ) pode ser indicado para representar uma determinada posição e que esta ordem de primeiro
Leia maisCapítulo 2- Funções. Dado dois conjuntos não vazios e e uma lei que associa a cada elemento de um único elemento de, dizemos que é uma função de em.
Conceitos Capítulo 2- Funções O termo função foi primeiramente usado para denotar a dependência entre uma quantidade e outra. A função é usualmente denotada por uma única letra,,,... Definição: Dado dois
Leia maisCapítulo 1. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas.
Capítulo 1 Funções Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento em A associa um único elemento em B. A notação usual para uma função f
Leia maisCÁLCULO I. 1 Funções. Objetivos da Aula. Aula n o 01: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função;
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 01: Funções. Objetivos da Aula Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função; Denir funções compostas e inversas.
Leia maisCoordenadas e distância na reta e no plano
Capítulo 1 Coordenadas e distância na reta e no plano 1. Introdução A Geometria Analítica nos permite representar pontos da reta por números reais, pontos do plano por pares ordenados de números reais
Leia maisMatemática Básica Relações / Funções
Matemática Básica Relações / Funções 04 1. Relações (a) Produto cartesiano Dados dois conjuntos A e B, não vazios, denomina-se produto cartesiano de A por B ao conjunto A B cujos elementos são todos os
Leia maisCÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral
Leia maisCapítulo Coordenadas no Espaço. Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional.
Capítulo 9 1. Coordenadas no Espaço Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional. Um sistema de eixos ortogonais OXY Z em E consiste de três eixos ortogonais entre si OX, OY e OZ com a mesma
Leia maisMatemática Aplicada à Informática
Matemática Aplicada à Informática Unidade 9.0 Construindo Gráfico de uma Função Curso Técnico em Informática Aline Maciel Zenker SUMÁRIO SUMÁRIO... 2 GRÁFICOS DE FUNÇÃO DE 1º GRAU... 3 1 CARACTERÍSTICAS
Leia maisAula 19 Elipse - continuação
MÓDULO 1 - AULA 19 Aula 19 Elipse - continuação Objetivos Desenhar a elipse com compasso e régua com escala. Determinar a equação reduzida da elipse no sistema de coordenadas com origem no ponto médio
Leia maisNúmeros Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c
Números Reais Víctor Arturo Martínez León (victor.leon@unila.edu.br) 1 Os números racionais Os números racionais são os números da forma a, sendo a e b inteiros e b 0; o conjunto b dos números racionais
Leia maisAula 14 Círculo. Objetivos
Aula 1 Círculo MÓDULO 1 - AULA 1 Objetivos Determinar a equação do círculo de centro C e raio r, como um lugar geométrico. Aprender os conceitos de retas tangente e normal num ponto P de um círculo. Esboçar
Leia maisFunções EXERCÍCIOS ( ) ( )
Funções Quando relacionamos grandezas variáveis, onde variando uma interfere no valor de outra, estamos trabalhando com conceito de função. Por eemplo, um taista abastece seu carro no posto de combustível
Leia maisCapítulo 3. Fig Fig. 3.2
Capítulo 3 3.1. Definição No estudo científico e na engenharia muitas vezes precisamos descrever como uma quantidade varia ou depende de outra. O termo função foi primeiramente usado por Leibniz justamente
Leia maisPonto 1) Representação do Ponto
Ponto 1) Representação do Ponto Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Plano Cartesiano, sistemas de coordenadas: pontos e retas Na geometria
Leia maisA origem de i ao quadrado igual a -1
A origem de i ao quadrado igual a -1 No estudo dos números complexos deparamo-nos com a seguinte igualdade: i 2 = 1. A justificativa para essa igualdade está geralmente associada à resolução de equações
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
INTRODUÇÃO... FUNÇÃO SENO... FUNÇÃO COSSENO... 8 FUNÇÃO TANGENTE... EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS... 5 RESPOSTAS... 5 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... 5 No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões
Leia maisIntrodução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos. Considere incialmente o conjunto dos números naturais :
Introdução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos Considere incialmente o conjunto dos números naturais : Neste conjunto podemos resolver uma infinidade de equações do tipo A solução pertence
Leia maisFUNÇÕES Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro. Autoria: Prof. Denise Candal
FUNÇÕES Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro Autoria: Prof. Denise Candal Plano Cartesiano Fixando em um plano dois eixos reais Ox e Oy, perpendiculares entre si no ponto O, podemos determinar
Leia maisCapítulo 1-Sistemas de Coordenadas, Intervalos e Inequações
Capítulo 1-Sistemas de Coordenadas, Intervalos e Inequações 1 Sistema Unidimensional de Coordenadas Cartesianas Conceito: Neste sistema, também chamado de Sistema Linear, um ponto pode se mover livremente
Leia maisAXB = {(x, y) x A e y B}
CENTRO UNIVERSITÁRIO DO NORTE PAULISTA LÓGICA E MATEMÁTICA DISCRETA 2010 1 Produto Cartesiano Par ordenado: são dois elementos em uma ordem fixa, (x,y) Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos A e B, não
Leia maisFunção do 2 o Grau. 11.Sinal da função quadrática 12.Inequação do 2 o grau
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Função do o Grau Prof.: Rogério
Leia maisApostila organizada por: Vanderlane Andrade Florindo Silvia Cristina Freitas Batista Carmem Lúcia Vieira Rodrigues Azevedo
Instituto Federal Fluminense Campus Campos Centro Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE) Com esta apostila espera-se levar o aluno a: Apostila organizada por: Vanderlane Andrade Florindo Silvia
Leia maisVetores no plano Cartesiano
Vetores no plano Cartesiano 1) Definição de vetor Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade). 1. A
Leia maisMatemática - 3ª série Roteiro 04 Caderno do Aluno. Estudo da Reta
Matemática - 3ª série Roteiro 04 Caderno do Aluno Estudo da Reta I - Inclinação de uma reta () direção É a medida do ângulo que a reta forma com o semieixo das abscissas (positivo) no sentido anti-horário.
Leia maisInstituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA 4. Geometria Analítica 4.1. Introdução Geometria Analítica é a parte da Matemática,
Leia maisCurso de Administração Centro de Ciências Sociais Aplicadas Universidade Católica de Petrópolis. Matemática 1. Revisão - Conjuntos e Relações v. 0.
Curso de Administração Centro de Ciências Sociais Aplicadas Universidade Católica de Petrópolis Matemática 1 Revisão - Conjuntos e Relações v. 0.1 Baseado nas notas de aula de Matemática I da prof. Eliane
Leia maisÉ um sistema formado por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si. Origem. Continua
RELAÇÕES É um sistema formado por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si. Origem Continua Continuação O eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das ordenadas. Esses eixos dividem
Leia maisFunção Inversa. 1.Função sobrejetora 2.Função injetora 3.Função bijetora 4.Função inversa
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Função Inversa Prof.: Rogério
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Curso de Engenharia Civil Período 2014.1 Prof. da Disciplina Luiz Gonzaga Damasceno, M. Sc E-mails: damasceno12@hotmail.com damasceno12@uol.com.br damasceno1204@yahoo.com.br Site: www.damasceno.info damasceno.info
Leia maisAULA 4 - MATEMATICA BÁSICA: FUNÇÃO DO 1º GRAU
UL - MTEMTIC ÁSIC: FUNÇÃO DO º GRU. Definição e eemplos (Revisão) Função é uma relação entre dois conjuntos e definida por uma lei de formação f (ou regra), onde cada elemento de está relacionado com apenas
Leia maisAula 2 A distância no espaço
MÓDULO 1 - AULA 2 Objetivos Aula 2 A distância no espaço Determinar a distância entre dois pontos do espaço. Estabelecer a equação da esfera em termos de distância. Estudar a posição relativa entre duas
Leia maisPlano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência
Plano cartesiano, Retas e Alex Oliveira Circunferência Sistema cartesiano ortogonal O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A intersecção dos eixos x e y é
Leia maisESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI
ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES NOME: N O : blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1 FUNÇÃO IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO O conceito de função é um
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Terceiro Ano - Médio. Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M.
Material Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Equação da Reta Terceiro Ano - Médio Autor: Prof Angelo Papa Neto Revisor: Prof Antonio Caminha M Neto 1 Condição de alinhamento de três pontos Consideremos
Leia maisPortal da OBMEP. Material Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Terceiro Ano - Médio
Material Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Equação da Reta Terceiro Ano - Médio Autor: Prof Angelo Papa Neto Revisor: Prof Antonio Caminha M Neto 1 Condição de alinhamento de três pontos Consideremos
Leia maisA noção intuitiva de função
Funções A noção intuitiva de função Situação 1 João vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B Veja as condições dos planos: Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por
Leia maisRESUMO - GRÁFICOS. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e está ligado à inclinação da reta
RESUMO - GRÁFICOS Função do Primeiro Grau - f(x) = ax + b O gráfico de uma função do 1 o grau, y = ax + b, é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e está ligado à inclinação
Leia maisMaterial Teórico - Sistemas Lineares e Geometria Anaĺıtica. Sistemas com três variáveis - Parte 1. Terceiro Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Sistemas Lineares e Geometria Anaĺıtica Sistemas com três variáveis - Parte 1 Terceiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof Antonio Caminha M Neto
Leia maisALUNO(A): Prof.: André Luiz Acesse: 02/05/2012
1. FUNÇÃO 1.1. DEFINIÇÃO Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,y) no qual duas duplas ordenadas distintas não podem ter o mesmo primeiro número, ou seja, garante que y seja único para
Leia maisINTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÃO. Prof. Ade1000son
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÃO Prof. Ade1000son CONCEITO DE FUNÇÃO 2 Sistema Cartesiano de Coordenadas Foi o matemático e filósofo francês René Descartes o criador da parte da Matemática que relaciona
Leia maisCampos dos Goytacazes/RJ Maio 2015
Instituto Federal Fluminense Campus Campos Centro Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE) Apostila organizada por: Vanderlane Andrade Florindo Silvia Cristina Freitas Batista Carmem Lúcia Vieira
Leia maisUnidade 2 Conceito de Funções
Unidade 2 Conceito de Funções Conceito Sistema Cartesiano Ortogonal Estudo do domínio, contradomínio e imagem de função Representações de funções por meio de tabelas, gráficos e fórmulas Conceito de Função
Leia maisFUNÇÕES PROFESSOR: JARBAS
FUNÇÕES PROFESSOR: JARBAS Aplicação do conceito O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar em destaque em vários de seus ramos, bem como em outras áreas do conhecimento.
Leia maisCÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes;
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 02: Funções Objetivos da Aula Denir e reconhecer funções; Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares,
Leia maisUNIDADE III INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÃO PARTE 2 de 2
UNIDADE III INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÃO PARTE de 3.0. IMAGEM DE UM ELEMENTO ATRAVÉS DO DIAGRAMA DE FLECHAS 3.. IMAGEM DE UM ELEMENTO ATRAVÉS DE Y = F(X) 3.. IMAGEM DE UM ELEMENTO ATRAVÉS DO GRÁFICO
Leia mais6. FUNÇÃO QUADRÁTICA 6.1. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES
47 6. FUNÇÃO QUADRÁTICA 6.1. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES Na figura abaixo, seja a reta r e o ponto F de um determinado plano, tal que F não pertence a r. Consideremos as seguintes questões: Podemos obter,
Leia maisCÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Listar as principais funções e seus grácos.
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 02: Funções. Objetivos da Aula Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função; Listar as
Leia maisPesquisa Operacional. Prof. José Luiz
Pesquisa Operacional Prof. José Luiz Prof. José Luiz Função Linear - Introdução O conceito de função é encontrado em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos em um determinado período
Leia maisA noção intuitiva de função
Funções A noção intuitiva de função Situação 1 João vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. Veja as condições dos planos: Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por
Leia maisFundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica
Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: Funções 10/04/14 e 11/04/14 Definição de função Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma relação f de A em
Leia maisRevisão de conceitos Matemáticos. Matemática e Fundamentos de Informática
Revisão de conceitos Matemáticos Matemática e Fundamentos de Informática 1 1 Conjuntos Teoria dos conjuntos Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar
Leia maisProduto Cartesiano. Exemplo: Dados os conjuntos A = {5,6} e B = {2,3,4}, vamos determinar o produto cartesiano AXB;
Produto Cartesiano Par ordenado: são dois elementos em uma ordem fixa, (x,y) Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto indicado por
Leia maisA ordem em que os elementos se apresentam em um conjunto não é levada em consideração. Há
1 Produto Cartesiano Par Ordenado A ordem em que os elementos se apresentam em um conjunto não é levada em consideração. Há casos entretanto em que a ordem é importante. Daí a necessidade de se introduzir
Leia maisO gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo ponto (0, c). A imagem é o conjunto Im = {c}.
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Funções do 1 o Grau Prof.:
Leia maisFUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA A
VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA A Rio de Janeiro / 007 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO SUMÁRIO
Leia maisFunções. Pré-Cálculo. O que é uma função? O que é uma função? Humberto José Bortolossi. Parte 2. Definição
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções Parte 2 Parte 2 Pré-Cálculo 1 Parte 2 Pré-Cálculo 2 O que é uma função? O que é uma função?
Leia maisAula Exemplos diversos. Exemplo 1
Aula 3 1. Exemplos diversos Exemplo 1 Determine a equação da hipérbole equilátera, H, que passa pelo ponto Q = ( 1, ) e tem os eixos coordenados como assíntotas. Como as assíntotas da hipérbole são os
Leia maisInstituto Federal Fluminense Campus Campos Centro Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE)
Instituto Federal Fluminense Campus Campos Centro Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE) Apostila Organizada por: Kamila Gomes Ludmilla Rangel Cardoso Silva Carmem Lúcia Vieira Rodrigues Azevedo
Leia maisPosição relativa entre retas e círculos e distâncias
4 Posição relativa entre retas e círculos e distâncias Sumário 4.1 Distância de um ponto a uma reta.......... 2 4.2 Posição relativa de uma reta e um círculo no plano 4 4.3 Distância entre duas retas no
Leia maisA idéia de função. O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática. https://ueedgartito.wordpress.com.
Matemática Básica Unidade 5 Estudo de Funções RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE: O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática. https://ueedgartito.wordpress.com A idéia
Leia maisFormação Continuada Nova Eja. Matemática Nova Eja- Módulo 1 1 Bimestre/ 2014 PLANO DE AÇÃO 1
Formação Continuada Nova Eja Matemática Nova Eja- Módulo 1 1 Bimestre/ 2014 PLANO DE AÇÃO 1 Coordenadas Cartesianas Nome: Walter Campos Tutor: Josemeri Araújo Silva Regional: Noroeste Fluminense S u m
Leia maisPC Polícia Civil do Estado de São Paulo PAPILOSCOPISTA
PC Polícia Civil do Estado de São Paulo PAPILOSCOPISTA Concurso Público 2016 Conteúdo Teoria dos conjuntos. Razão e proporção. Grandezas proporcionais. Porcentagem. Regras de três simples. Conjuntos numéricos
Leia maisAulas 10 e 11 / 18 e 20 de abril
1 Conjuntos Aulas 10 e 11 / 18 e 20 de abril Um conjunto é uma coleção de objetos. Estes objetos são chamados de elementos do conjunto. A única restrição é que em geral um mesmo elemento não pode contar
Leia maisPara simplificar a notação, também usamos denotar uma sequência usando apenas a imagem de :
Sequências Uma sequência é uma função f de em, ou seja. Para todo número natural i associamos um número real por meio de uma determinada regra de formação. A sequencia pode ser denotada por: Ou, por meio
Leia maisLista 3 com respostas
Lista 3 com respostas Professora Nataliia Goloshchapova MAT0105-1 semestre de 2019 Exercício 1. Sendo que w = ( u v) ( u + v), determine o ângulo entre os vetores u e v, sabendo que u = v = w = 1 e u v
Leia mais