FUNÇÕES Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro. Autoria: Prof. Denise Candal

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Nelson Castel-Branco de Sintra
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1 FUNÇÕES Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro Autoria: Prof. Denise Candal

2 Plano Cartesiano Fixando em um plano dois eixos reais Ox e Oy, perpendiculares entre si no ponto O, podemos determinar um ponto deste plano: esse sistema de eixos é conhecido como sistema cartesiano ortogonal de coordenadas; o plano que contém esse sistema é chamado de plano cartesiano; o ponto O é a origem do sistema; os eixos Ox e Oy, denominados de eixos coordenados, são respectivamente o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas;

3 Plano Cartesiano Os eixos coordenados separam o plano cartesiano em quatro regiões denominadas de quadrantes.

4 Um meteorologista, para analisar a variação de temperatura numa determinada região, durante sete dias, enumerou os dias de 1 a 7 e registrou em cada dia a temperatura média, obtendoassim a seguintetabela:

5 Podemos dizer que o cientista estabeleceu uma relação do conjunto de dias A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} no conjunto das medidas das temperaturas B = {18, 19, 16, 13, 15}, associando a cada dia a temperatura médiacorrespondente.

6 Diagrama de Flechas Não é possível exibir esta imagem no momento.

7 Gráfico Cartesiano

8 Introdução Intuitivamente, função é uma relação especial entre dois conjuntos na qual todo elemento do primeiro conjunto deve ter, obrigatoriamente, elemento associado no segundo conjunto, e, cada elemento do primeiro conjunto só pode ter um e apenas um elemento associado no segundo conjunto.

9 Função Definição formal: Sejam A e B quaisquer dois conjuntos não vazios. A relação f de A para B é chamada uma função se para todo a A, existe um único b B tal que (a,b) f, e se lê: f é função de A em B. f: A B

10 Função Exemplos: f

11 Função Exemplos: A B f

12 Função Exemplos:

13 Função Exemplos:

14 Função Exemplos: t

15 Função Exemplos: t

16 Função Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD) e conjunto imagem (Im) são válidos.

17 Função - Imagem de um elemento através do diagrama de flechas Consideremos a função descrita no diagrama de flechas a seguir. Se um elemento y de B estiver associado a um elemento x de A, através de f, então diremos que y é a imagem de x, através de f. Indica-se y = f (x) (lê-se y é igual a f de x ou y é a imagem de x através de f ).

18 Função - Imagem de um elemento através do diagrama de flechas 6 = f (1) 7 = f (2) 8 = f (3) 8 = f (4) 11 = f (5) D = {1,2,3,4,5}; CD = {6,7,8,9,10,11}; Im = {6,7,8,11}

19 Exemplo: Sejam A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e B = {-6, -3, 0, 3, 6, 12}. Representar a relação R = {(x, y) A X B y = 3x} em diagrama de flechas e determinar o domínio e a imagem de R. A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} B = {-6, -3, 0, 3, 6, 12} R = {(x, y) A X B y = 3x} x 3x y (-2) (-1) (0) (1) (2) (3) 9

20 D = {-2, -1, 0, 1, 2}; Im = {-6, -3, 0, 3, 6}

21 Função Imagem de um elemento através de y = f(x) Considerando os conjuntos A = [-3, 8], B = [-10, 20] e a função f : A B, onde cada x, x A, é associado a um único f(x), f(x) B, através da lei f(x) = 2x + 1. A lei f(x) = 2x + 1 nos diz que a imagem de cada x do domínio de f é o número 2x + 1 do contradomínio.

22 Função Imagem de um elemento através de y = f(x) a imagem do elemento 4, através de f, é: f (4) = f (4) = 9; logo, (4, 9) f a imagem do elemento 1/2, através de f, é: f (1/2) = 2 1/2 + 1 f (1/2) = 2; logo, (1/2, 2) f

23 Função Funções Compostas São as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que, por sua vez, gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A.

24 Função Funções Compostas Exemplos: Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1, determine a função composta g(f(x)) ou gof. - A função f(x) será o x da função g(x)!

25 Função Funções Compostas Basta substituir em g(x) o valor de x por f(x), ou seja, por (2x + 3): g(x) = x 1 f(x) = 2x + 3 Então: g(f(x)) = (2x + 3) -1 = 2x + 2

26 Função Funções Compostas Exemplos: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x- 4. Determine as funções compostas: f(g(x)) e g(f(x)).

27 Função Funções Compostas f(u)=4u+2 e g(x)=7x f(g(x)) g(x) é o u da f(u) f(g(x)) = 4.(7x-4) + 2 = 28x g(f(x)) f(u) é o x da g(x) g(fx)) = 7 (4u+2) 4 = 28u+10

28 Função FUNÇÃO INVERSA Dada uma função bijetora f:a B, denomina-se função inversa de f à função g:b A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f -1.

30 Função FUNÇÃO INVERSA f -1 f(x)=2x é calculada substituindo o y pelo x e vice-versa e colocando o y em evidência novamente: y = 2x x = 2y 2y = x y=x/2 = g(x)

31 Função FUNÇÃO INVERSA g -1 g(x)=x/2 é calculada substituindo o y pelo x e vice-versa e colocando o y em evidência novamente: y = x/2 x = y/2 y/2 = x y=2x = f(x)

32 Função - Função afim Uma função definida por f: R R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x R. A lei que define função afim é:

33 Função - Função afim Na f(x) = ax + b, a e b são números reais e a 0. O número a é chamado coeficiente de x e b é chamado de constante.

34 Função - Função afim Exemplos: f(x) = 5x 3, onde a = 5 e b = -3 f(x) = -2x 7, onde a = -2 e b = -7 f(x) = x/3 + 2/5, onde a = 1/3 e b = 2/5 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

35 Função - Função afim O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.

36 Função - Função afim Casos Particulares: funções linear e constante. Função linear Uma função definida por f: R R chama-se linear quando existe uma constante a R tal que f(x) = ax para todo x R. A lei que define uma função linear é a seguinte:

37 Função - Função afim O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.

38 Função - Função afim Função constante Uma função definida por f: R R chama-se constante quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x R. A lei que define uma função constante é:

39 Função - Função afim O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b.

40 Função - Gráficos O gráfico de uma função de 1 grau y = ax + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos O x e O y. Exemplo: Construir o gráfico da função y = 3x - 1 Atribuímos valores para x e calculamos o valor de y. Desta maneira obtemos diversos pares ordenados que podem ser plotados no plano cartesiano.

41 Função - Gráficos y = 3x 1 x 3x-1 y (-2) (-1) (0) (1) (2) (3) -1 8 Pares: (-2,-7); (-1,-4); 0,-1); (1,2); (2,5); (3,8)

42 Função - Gráficos y = 3x - 1 y x y ,0-1 1 x 3 8

43 Função Variação de sinal da Função de 1 Grau Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.

44 Função Variação de sinal da Função de 1 Grau Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar seu sinal. Quando y=0, a reta corta o eixo x: 0 = ax+b ax = -b x = -b/a -b/a x Neste ponto, y=0

45 Função Chamamos o valor de x, quando y=o de raiz da função. 1º Caso: a>0 Função Crescente

46 Função Chamamos o valor de x, quando y=o de raiz da função. 2º Caso: a<0 Função Decrescente

47 Função Exemplo: Estudar o sinal da função y = 2x-1 a = 2 a > 0 função crescente! Raiz: 2x-1=0 x= ½ - Para x>1/2, y é positivo - Para x<1/2, y é negativo 1/2 x

48 Função Exemplo: Estudar o sinal da função y = -2x + 5 a = -2 a < 0 função decrescente! Raiz: -2x+5=0 x= 5/2 - Para x>5/2, y é negativo - Para x<5/2, y é positivo 5/2 x

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