MATEMÁTICA. Função Composta e Função Inversa. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "MATEMÁTICA. Função Composta e Função Inversa. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1"

Norma Esteves Fonseca
6 Há anos
Visualizações:

1 MATEMÁTICA Função Composta e Função Inversa Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1

2 Função Composta A função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B. Matematicamente falando, temos que f: A B e g: B C, denomina a formação da função composta de g com f, h: A C. Dizemos função g composta com a função f, representada por gof. Exemplo 1 Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos: a) g o f (g o f)(x) = g(f(x)) g(x) = x² + 5 g(4x) = (4x)² + 5 g(4x) = 16x² + 5 (g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5 b) f o g (f o g)(x) = f(g(x)) f(x) = 4x f(x² + 5) = 4 * (x² + 5) f(x² + 5) = 4x² + 20 (f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 20 Exemplo 2 Vamos determinar g(f(x)) e f(g(x)), em relação às funções f(x) = x + 2 e g(x) = 4x² 1. (g o f)(x) = g(f(x)) g(x) = 4x² 1 g(x + 2) = 4 * (x + 2)² 1 g(x + 2) = 4 * (x + 2) * (x + 2) 1 g(x + 2) = 4 * (x² + 2x + 2x + 4) 1 g(x + 2) = 4 * (x² + 4x + 4) 1 g(x + 2) = 4x² + 16x g(x + 2) = 4x² + 16x + 15 Monster Concursos 2

3 (g o f)(x) = g(f(x)) = 4x² + 16x + 15 (f o g)(x) = f(g(x)) f(x) = x + 2 f(4x² 1) = (4x² 1) + 2 f(4x² 1) = 4x² f(4x² 1) = 4x² + 1 (f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 1 Veja mais um exemplo exemplo. Um terreno foi dividido em 10 lotes, todos estes em forma quadrada e de mesma área. Represente a função da área do terreno utilizando a área dos lotes. x = medida de cada lote y = f(x) = área de cada lote g(x) = área do terreno Veja que a área de cada lote é dada pela função f(x): Para calcular a área de todo o terreno, devemos saber a área de cada lote, área esta que é informada pela função f(x). Como temos 10 lotes, teremos que a área do terreno será dada da seguinte maneira: Veja que para chegar à área do terreno tivemos que utilizar a função f(x), ou seja, a função g(y) depende da função f(x), por isso trata-se de uma função composta. Realizando a composição teremos que: Sendo assim, definiremos a função composta, em uma linguagem matemática. Monster Concursos 3

4 Exemplo: (Unifor CE) Primeiramente devemos esboçar a composição da fog. Calculando g (-3 2). Função Sobrejetora Vamos analisar o diagrama de flechas ao lado: Como sabemos o conjunto A é o domínio da função e o conjunto B é o seu contradomínio. É do nosso conhecimento que o conjunto imagem é o conjunto formado por todos os elementos do contradomínio que estão associados a pelo menos um elemento do domínio e neste nosso exemplo, todos os elementos de B estão associados a pelo menos um elemento de A, logo nesta função o contradomínioé igual ao conjunto imagem. Classificamos como sobrejetora as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem. Note que em uma função sobrejetora não existem elementos no contradomínio que não estão flechados por algum elemento do domínio. Monster Concursos 4

5 Nesta função de exemplo temos: Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 } Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 } Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 } Esta função é definida por: Substituindo a variável independente x, de 3x 2, por qualquer elemento de A, iremos obter o elemento de B ao qual ele está associado, isto é, obteremos f(x). Do que será explicado a seguir, poderemos concluir que embora esta função seja sobrejetora, ela não é uma funçãoinjetora. Função Injetora Vejamos agora este outro diagrama de flechas: Podemos notar que nem todos os elementos de B estão associados aos elementos de A, isto é, nesta função o conjunto imagem difere do contradomínio, portanto esta não é uma função sobrejetora. Além disto podemos notar que esta função tem uma outra característica distinta da função anterior. Monster Concursos 5

6 Veja que não há nenhum elemento em B que está associado a mais de um elemento de A, ou seja, não há em B qualquer elemento com mais de uma flechada. Em outras palavras não há mais de um elemento distinto de A com a mesma imagemem B. Nesta função temos: Domínio: D(f) = { 0, 1, 2 } Contradomínio: CD(f) = { 1, 2, 3, 5 } Conjunto Imagem: Im(f) = { 1, 3, 5 } Definimos esta função por: Veja que não há no D(f) qualquer elemento que substituindo x em 2x + 1, nos permita obter o elemento 2 do CD(f), isto é, o elemento 2 do CD(f) não é elemento da Im(f). Função Bijetora Na explicação do último tipo de função vamos analisar este outro diagrama de flechas: Do explicado até aqui concluímos que este é o diagrama de uma função sobrejetora, pois não há elementos em B que não foram flechados. Concluímos também que esta é uma função injetora, já que todos os elementos de B recebem uma única flechada. Monster Concursos 6

7 Esta função tem: Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 } Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 } Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 } Esta função é definida por: Ao substituirmos x em -4x, por cada um dos elementos de A, iremos encontrar os respectivos elementos de B, sem que sobrem elementos em CD(f) e sem que haja mais de um elemento do D(f) com a mesma Im(f). Funções que como esta são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras. FUNÇÃO INVERSA Para determinar se uma função possui inversa é preciso verificar se ela é bijetora, pois os pares ordenados da função f devem pertencer à função inversa f 1 da seguinte maneira: (x,y)? f -1 (y,x)? f. Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-5,-3,-1,1,3} e a função A B definida pela fórmula y = 2x 1, veja o diagrama dessa função abaixo: Então: f = { (-2,-5); (-1,-3); (0,-1) ; (1,1) ; (2,3)} Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está associado a um elemento diferente no Monster Concursos 7

8 conjunto da imagem. Por ser bijetora essa função admite inversa. A sua função inversa será indicada por f -1 : B A definida pela fórmula x = (y+1)/2. Veja o diagrama abaixo: Então: f -1 = {(-5,-2); (-3,-1) ; (-1,0); (1,1) ; (3,2)} O que é domínio na função f vira imagem na f -1 e vice-versa. Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos. Dada a função y = 3x 5 determinaremos a sua inversa da seguinte maneira: 1º passo: isolar x. y = 3x 5 y + 5 = 3x x = (y + 5)/3 2º passo: troca-se x por y e y por x, pois é mais usual termos como variável independente a letra x. y = (x + 5)/3 Portanto, a função f(x) = 3x 5 terá inversa igual a f 1 (x) = (x + 5)/3 Exemplos 1 Dada a função f(x) = x² a sua inversa será: Isolando x: y = x² y = x Invertendo x por y e y por x: Monster Concursos 8

9 y = x Portanto, f 1 (x) = x Exemplo 2 Dada a função, a sua inversa será: Nessa resolução iremos seguir o processo contrário, veja: Trocando x por y e y por x: Isolando y: x (3y 5) = 2y +3 3xy 5x = 2y + 3 3xy 2y = 3 + 5x y (3x 2) = 3 + 5x Portanto, a função inversa da função será f -1 (x) =. Exemplo prático: Monster Concursos 9

10 Seja uma função bijetora f(x) = 3x + 6, teremos que a inversa de f(x), ou seja f -1 (x), será, pois y = 3x + 6 para a inversa x = 3y + 6, então. Calcular f(3) temos f(3) = = 15. Agora ao calcularmos f -1 (15) = (15-6)/3 = 3. Assim percebe-se a relação entre a função e a sua inversa. Consequência gráfica para este exemplo. (que pode ser generalizada) Monster Concursos 10

Documentos relacionados

Gênesis S. Araújo Pré-Cálculo

Gênesis S. Araújo Pré-Cálculo Gênesis Soares Jaboatão, de de 2016. Estudante: PAR ORDENADO: Um par ordenado de números reais é o conjunto formado por dois números reais em determinada ordem. Os parênteses, em substituição às chaves,