ÁLGEBRA. Aula 4 _ Classificação das Funções Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora

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Filipe Peixoto Canejo
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1 1 ÁLGEBRA Aula 4 _ Classificação das Funções Professor Luciano Nóbrega Maria Auxiliadora

2 2 FUNÇÃO INJETORA É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B. A B Ou seja, x diferente tem y diferente!!!

3 3 FUNÇÃO SOBREJETORA É quando o conjunto Imagem da função for igual ao conjunto contradomínio. ( Im = CD ) M -1 1 H Se M é o conjunto das mulheres e H é o conjunto dos homens, então não se pode ter homem solteiro!!! 1 9 3

4 FUNÇÃO BIJETORA 4 É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora. M Injetora: x diferente tem y diferente -1 1 H Ou seja, homens e mulheres com os mesmos direitos!! Sobrejetora: NÃO SOBRAM elementos no contra domínio.

5 5 Testando seus conhecimentos 1º) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas: a) b) é injetora é sobrejetora

6 1º) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas: 6 c) d) é bijetora não é sobrejetora, nem injetora

7 2º) (UFRN) Seja B o conjunto formado por todos os brasileiros e 7R o conjunto dos números reais. Se f: B R é a função que associa a cada brasileiro sua altura, medida em centímetros, então f : Existem brasileiros com a a) é injetora e não é sobrejetora. mesma altura, portanto, b) é injetora e é sobrejetora. f não é injetora! c) não é injetora e é sobrejetora. Sobram elementos no d) não é injetora e não é sobrejetora. conjunto contra domínio, portanto, f não é sobrejetora! B Eu Thiago Mailson Francisli Claúdia Dennys R 1,73-2 1, ,70-2,3 1, π Resp. (d)

8 3º) (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E. Se f: E P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores, então: a) f é uma função sobrejetora. b) f não pode ser uma função bijetora. c) f não pode ser uma função injetora. d) f é necessariamente uma função injetora. Resp. (a) 8 E IFRN Empregad éstica Maris bela Flo foca Over dopping Conte râneo P

9 FUNÇÃO INVERSA: 9 D A idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o seguinte procedimento: 1º) Isola x ; 2º) Troca x por y e vice versa. R O símbolo para a f(x) função inversa de f é f -1 e lê-se função x y inversa de f. f -1 (x) O símbolo 1 em f -1 não é um expoente; f -1 (x) não significa 1 / f(x).

10 FUNÇÃO INVERSA: 10 TESTE DA RETA HORIZONTAL Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal. EXEMPLO: a função f(x) = x 2 tem inversa? y ou f(x) y=x 2 ou f(x)=x 2 reta horizontal x Conclusão: a função f(x)=x 2 não tem inversa.

11 4º) (UFSE) Considere a função bijetora y = ( 3x 1) : (x + 3), a expressão que define sua inversa é: A) (x + 3) : ( 3x 1) B) ( 3x + 1) : ( 3 x) C) ( 2x 1) : (x + 1) D) ( 3x 1) : (x + 3) Vejamos: y = ( 3x 1) : (x + 3) y = _3x 1_ x + 3 1º) Isolando x ; _3x 1_ = y x x 1 = y. (x + 3) 3x 1 = y. x + 3.y 3x y. x = 3.y + 1 Colocando x em evidência: x.(3 y) = 3.y + 1 x = _3.y + 1_ 3 y 2º) Troca x por y. y = _3.x + 1_ = ( 3.x + 1) : ( 3 x) 3 x

12 FUNÇÃO PAR: Uma função é PAR quando ela é simétrica em relação ao eixo y. f(x) = f(-x) y 12 f(x) = x² exemplo: f(x) = x² é par pois 2² = (-2)² = 4 x FUNÇÃO ÍMPAR: Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem. exemplo: f(x) = x³ é ímpar pois 2³ = - (-2)³ f(a) = - f(-a) y f(x) = x³ x

13 5º) a) Verifique se f(x) = 2x³ +5x é par ou ímpar: 13 Primeiro vejamos que f(1) = 2.1³ = 7 Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)³ + 5.(-1) = -7 Logo f(x) = 2x³ +5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x) ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7) b) Mostre que f(x) = 3x² é par: Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3 Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3 Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x) ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3

14 6º) Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráfico de f( x) será : 14 Lembre-se: Se f(x) = f(-x) Então a função f é par e ela é simétrica ao eixo y. Resp.:E

15 15 FUNÇÃO CRESCENTE ou DECRESCENTE: f(b) f(a) f g(b) g(a) g f(b) f(a) f g(b) g(a) g O a b O a b a b a b A função f é crescente A função g é decrescente A função f é crescente A função g é decrescente Diz-se que f é crescente f se para a < b, então f(a) < f(b). Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b).

16 7º) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos onde a função é: y x a) Decrescente ]0, 4[ b) Crescente ]- ; 0[ e ]4 ; + [

17 Função Composta Função composta Considere as funções f: A B e g: B C, então a função h: A C é a função composta g(f(x)), com x Є A. B A C x f(x) g(f(x)) Se x = 3 Ex: f(x) = x+2 e g(y) = y 2, então h(x) = g(f(x)) = (x+2) 2

18 Mais exemplos: Sejam as funções f(x) = x 2 1 e g(x) = 3x, calcule: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) Função Composta

19 19 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 Qual dos gráficos representa uma função injetora? 2 Ao analisar a função real f definida por f(x)=x²+4x-12, podemos afirmar que f é injetora? Justifique a resposta.

20 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 3 Em cada gráfico, analise o intervalo de crescimento e de decrescimento. 4 Dadas as proposições: p: Existem funções que não são pares nem ímpares.

20 20 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 3 Em cada gráfico, analise o intervalo de crescimento e de decrescimento. 4 Dadas as proposições: p: Existem funções que não são pares nem ímpares. q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica em relação ao eixo dos y. r: Toda função de A em B é uma relação de A em B. t: O gráfico cartesiano da função y = x / x é uma reta. Podemos afirmar que são falsas: a) Nenhuma b) Todas c) p,q e r d) t e) r e t

21 21 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 5 (PUC-RS) Seja a função definida por f(x) = (2x - 3) / 5x. O elemento do domínio de f que tem -2 / 5 como imagem é: a) 0 b) 2/5 c) -3 d) 3/4 e) 4/3 6 A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a: a) 2 b) -2 c) 0 d) 3 e) -3

22 22 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 7 (UFRJ) Considere a relação de M em N, representada no diagrama abaixo. Para que seja uma função de M em N, basta: A) apagar a seta (1) e retirar o elemento s; B) apagar a setas (1) e (4) e retirar o elemento k; C) apagar a seta (4) e retirar o elemento k; D) apagar a seta (2) e retirar o elemento k.

23 23 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 8 (UNESP SP) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo de energia (em kcal) para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função (h) = 17h, onde h indica a altura em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15,3)h. Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2975 kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a fórmula, em kcal, é: A) B) C) D) 2601.

24 24 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 9 (UFRN) Na figura abaixo, tem-se o gráfico de uma reta que representa a quantidade, medida em m, de um medicamento que uma pessoa deve tomar em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção. O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em cada dose: A) 7 m B) 9 m C) 8 m D) 10 m

25 25 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 10 (UFRN) Na tabela abaixo, X representa dias, contados a partir de uma data fixa, e Y representa medições feitas em laboratório, nesses dias, para estudo de um fenômeno. X Y De acordo com a tabela, pode-se afirmar que as grandezas são: A) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática. B) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função linear. C) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função linear. D) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática.

26 26 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 11 (UFCE) Qual dos gráficos abaixo não pode representar uma função?

27 27 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 12 (UFRN) Determine o valor da expressão para a = a 2 a a 2a 2

28 28 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 13 Vimos que se uma função ƒ é bijetora então ela admite uma função inversa ƒ -1. Diante de duas funções, ƒ e g, podemos obter uma composição entre elas, ou seja, uma função h = ƒ(g(x)) ou j = g(ƒ(x)). Dadas as funções ƒ(x) = 5x + 1 e g(x) = 6x 4, resolva a equação ƒ -1 (g(x)) = 0, seguindo o procedimento em cada item: a) Determine ƒ -1 (x); b) Na função ƒ -1 (x) obtida no item (a), substitua x por g(x), em seguida, iguale a zero e resolva a equação;

29 29 TESTANDO OS CONHECIMENTOS RELEMBRANDO: Resolva os exercícios do livro: P.89 _ 4 P.95 _ 9 P.99 _ 10 P.100 _ 11 P.101 _ 14 e 15 P.107 _ 17 e 19 P.112 _ 23 e 25 OBS: Foram selecionados 10 exercícios de um total de 36 exercícios do referente capítulo do livro.

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