Relações. George Darmiton da Cunha Cavalcanti CIn - UFPE

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1 Relações George Darmiton da Cunha Cavalcanti CIn - UFPE

2 Relações Binárias Sejam X e Y dois conjuntos. Uma relação entre X e Y é um subconjunto de produto cartesiano X Y. No caso de X = Y, a uma relação R X X entre X e X chama-se relação (binária) sobre X. Usualmente X 2 significa X X, X 3 significa X X X (conjunto dos ternos ordenados de elementos de X), e mais geralmente, X n significa o conjunto das n-tuplas ordenadas de elementos de X. Assim, chama-se relação n-ária sobre X a qualquer subconjunto de X n.

3 Exemplo Considerando o conjunto X = {1, 2, 3}. O conjunto R = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)} é uma relação binária sobre X, pois é um subconjunto de X 2.

4 Exemplo Sendo X = {1, 2, 3, 4} e R = {(x, y) X 2 : x + y 5}, tem-se que R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} X 2 então R é uma relação binária sobre X.

5 Notação Sejam X um conjunto e R uma relação binária sobre X. Dado um par (x, y) X 2 escreve-se xry ou (x, y) R Pois (x, y) é um elemento de R. E escreve-se xry ou (x, y) R para designar que (x, y) não é elemento de R.

6 Exemplo Sendo X = {1, 2, 3, 4} e R = {(x, y) X 2 : x + y 5}, tem-se que R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} X 2 4R1 3R4 (1, 1) R (2, 4) R

7 Representando uma Relação Seja X = {x 1, x 2,..., x n } um conjunto e R uma relação binária sobre X. Formas de representar uma relação Através de matriz de adjacências Através de diagrama

8 Representando uma Relação (Matriz de Adjacências) A matriz de adjacências de R é a matriz A = [a ij ] n n M n n ({0, 1}) definida por a ij = 1 0 se se xi, x j x, x i j R R Note-se a importância da indexação dos elementos de X, para a construção da matriz A.

9 Representando uma Relação (Diagrama) Os elementos de X são pontos do diagrama. Dois pontos deste diagrama x i e x j estão unidos por uma seta de x i para x j se o par (x i, x j ) R. Esquematicamente tem-se, se (x i, x j ) R x i x j Se x i x j x i Se x i = x j

10 Exemplo Usando exemplo anterior, em que X = {1, 2, 3, 4} R = {(x, y) X 2 : x + y 5}, foi visto que R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 1),(2, 2),(2, 3),(3, 1),(3, 2),(4, 1)} A Matriz de Adjacências de R é:

11 Exemplo (continuação) R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 1),(2, 2),(2, 3),(3, 1),(3, 2),(4, 1)} E o diagrama de R é:

12 Classificação de Relações Binárias Sejam X um conjunto e R uma relação binária sobre X Diz-se que R é uma relação Reflexiva Se xrx, para qualquer x X Simétrica Se xry implica yrx, para quaisquer x,y X Anti-simétrica Se xry e yrx implica x=y, para quaisquer x,y X Transitiva Se xry e yrz implica xrz, para quaisquer x,y,z X

13 Relações Reflexivas Quais das relações abaixo são reflexivas? Sim Sim Não Não Sim 1) Relação (menor ou igual) no conjunto Z. 2) Relação numa coleção C de conjuntos. 3) Relação (perpendicularidade) em um conjunto L de retas no plano. 4) Relação (paralelismo) em um conjunto L de retas no plano. 5) Relação de divisibilidade no conjunto N. x y se existe um z tal que xz=y.

14 Relações Simétricas Quais das relações abaixo são simétricas? Não Não Sim Sim Não Relação (menor ou igual) no conjunto Z. Relação numa coleção C de conjuntos. Relação (perpendicularidade) em um conjunto L de retas no plano. Relação (paralelismo) em um conjunto L de retas no plano. Relação de divisibilidade no conjunto N. x y se existe um z tal que xz=y.

15 Relações Anti-simétricas Quais das relações abaixo são anti-simétricas? Sim Sim Não Não Sim Relação (menor ou igual) no conjunto Z. Relação numa coleção C de conjuntos. Relação (perpendicularidade) em um conjunto L de retas no plano. Relação (paralelismo) em um conjunto L de retas no plano. Relação de divisibilidade no conjunto N. x y se existe um z tal que xz=y.

16 Observação As propriedades de simetria e anti-simetria não são mutuamente excludentes. Exemplo 1 A relação R={(1,3), (3,1), (2,3)} Não é simétrica nem anti-simétrica Exemplo 2 A relação R={(1,1), (2,2)} É simétrica e anti-simétrica

17 Relações Transitivas Quais das relações abaixo são transitivas? Sim Sim Não Não Sim Relação (menor ou igual) no conjunto Z. Relação numa coleção C de conjuntos. Relação (perpendicularidade) em um conjunto L de retas no plano. Relação (paralelismo) em um conjunto L de retas no plano. Nenhuma reta é paralela a si mesma. a b e b a, é falso que a a Relação de divisibilidade no conjunto N. x y se existe um z tal que xz=y.

18 Funções

19 Introdução Funções são usadas para definir estruturas importantes, como: Seqüências e strings x f(x) = x+3 f(x) São usadas também para estimar quanto tempo o computador resolverá um problema de um determinado tamanho.

20 Sejam A e B dois conjuntos. Definição Uma função f de A para B relaciona exatamente um elemento de B para cada elemento de A. Escreve-se f(a) = b Se b é o único elemento de B assinalado pela função f pata o elemento a de A Se f é uma função de A para B, escreve-se f: A B

21 A função f mapeia de A para B a f b=f(a) A f B

22 Definição Se f: A B O domínio de f é A O contradomínio de f é B Se f(a) = b b é a imagem de a O range de f é O conjunto de todas as imagens elementos de A

23 Exemplo A B C D E Amarelo Azul Preto Verde Vermelho f é a função Domínio de f = {A,B,C,D,E} Contradomínio = {Amarelo, Azul, Preto, Verde, Vermelho} Range de f = {Amarelo, Azul, Preto, Vermelho}

24 Exemplo Em linguagens de programação o domínio e o contradomínio são freqüentemente especificadas Contradomínio Em Java int floor(float real){...} Em Pascal function floor(x: real): integer Domínio

25 Definição Duas funções reais com o mesmo domínio podem ser multiplicadas e\ou somadas. Sejam f 1 e f 2 funções de A em R. Então f 1 +f 2 e f 1 f 2 são, também, funções de A em R definidas por: (f 1 +f 2 )(x) = f 1 (x)+f 2 (x) (f 1 f 2 )(x) = f 1 (x)f 2 (x)

26 Exemplo f 1 e f 2 funções de R em R. f 1 = x 2 f 2 = x x 2 f 1 +f 2? (f 1 +f 2 )(x) = f 1 (x)+f 2 (x) = x 2 + x x 2 = x f 1 f 2? (f 1 f 2 )(x) = f 1 (x)f 2 (x) = x 2 (x x 2 ) = x 3 x 4

27 Funções Injetoras Injetoras Imagens distintas para membros distintos do domínio Uma função f é injetora se e somente se f(x)=f(y) implica que x=y do domínio de f.

28 Exemplo Determinar se a função f de {a,b,c,d} para {1,2,3,4,5} é injetora, dado que f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 e f(d)=3. a b c d É injetora.

29 Exemplo Determinar se a função f(x)=x 2 com domínio nos números inteiros é injetora. Não é injetora, pois f(1) = f(-1) = 1, mas 1 1 Essa função passará a ser injetora se seu domínio for Z +

30 Exemplo Determinar se a função f(x) = x + 1 é injetora. Note que x+1 y+1 sempre que x y Assim, f é injetora.

31 Definições Dada uma função f cujos domínio e contradomínio são subconjuntos dos reais, são chamadas Monotonicamente crescente Se f(x)<f(y) sempre que x<y e x e y pertencerem ao domínio de f Monotonicamente decrescente Se f(x)>f(y) sempre que x>y e x e y pertencerem ao domínio de f Funções monotonicamente crescente e monotonicamente decrescente são injetoras.

32 Funções Sobrejetoras Uma função f de A para B é chamada sobrejetora se e somente se Para todo elemento b B existe um elemento a A de forma que f(a)=b a b c d

33 Exemplo A função f(x)=x 2 de Z em Z é sobrejetora? A função f não é sobrejetora pois não existe um inteiro x com x 2 = 1

34 Exemplo A função f(x)=x+1 de Z em Z é sobrejetora? Essa função é sobrejetora, pois Para cada inteiro y existe um inteiro x de forma que f(x)=y. Note que f(x)=y se e somente se x + 1 = y E isso acontece se e somente se x = y 1

35 Bijetora Uma função é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. a b c Injetora Não sobrejetora a b c d Não injetora Sobrejetora a b c d Injetora Sobrejetora

36 Exemplos de tipos de correspondências a b c d Não injetora Não sobrejetora a b c Não é função

37 Exemplo A função identidade é da seguinte forma i A : A A, Sabendo que i A (x) = x A função i A é injetora e sobrejetora Logo, ela é bijetora

38 Função Inversa Seja f uma função bijetora de A em B f: A B Sua função inversa f -1 : B A Para os elementos a em A tal que f(a)=b tem-se f -1 (b) = a

39 Função Inversa Se a função f não é bijetora, não é possível definir sua inversa. Se f não é injetora Algum elemento b do contradomínio é a imagem de mais de um elemento do domínio. Se f não é sobrejetora Para algum elemento b do contradomínio não existe um elemento a no domínio de forma que f(a) = b

40 Função Inversa f a=f -1 (b) A f -1 f f -1 b=f(a) B

41 Função Inversa: exemplos f: {a,b,c} {1,2,3} f(a)=2, f(b)=3 e f(c)=1 É inversível? Sim, f -1 (1)=c, f -1 (2)=a e f -1 (3)=b f:z Z, f(x)=x+1 É inversível? Sim, f -1 (y) = y 1

42 Função Inversa: exemplos f:z Z, f(x) = x 2 É inversível? Não. Pois, f(-1)=f(1)=1 não é injetora Se uma função inversa pudesse ser definida nessas circunstâncias, ela teria que assinalar dois elementos para 1.

43 Composição de Funções Seja g uma função de A em B e f uma função de B em C. g: A B f: B C A composição das funções f e g é definida como (fg)(a) = f(g(a)) Uma composição não pode ser definida a menos que o range de g seja um subconjunto do domínio de f.

44 Composição de Funções fg g a g(a) f(g(a)) f g f A B C fg

45 Composição de Funções: exemplo g:{a,b,c} {a,b,c} g(a)=b, g(b)=c, g(c)=a f:{a,b,c} {1,2,3} f(a)=3, f(b)=2, f(c)=1 fg? (fg)(a)=f(g(a))=f(b)=2 (fg)(b)=f(g(b))=f(c)=1 (fg)(c)=f(g(c))=f(a)=3 gf? Não é definido, pois o range de f não é um subconjunto do domínio de g.

46 Composição de Funções: exemplo f e g são funções de Z em Z f(x) = 2x + 3 g(x) = 3x + 2 A operação de composição de funções não é comutativa fg? (fg)(x) = f(g(x)) =f(3x+2) =2(3x+2)+3 =6x+7 gf? (gf)(x) = g(f(x)) = g(2x+3) = 3(2x+3)+2 =6x+11

47 Composição de uma função e sua inversa f: A B é bijetora Assim, f -1 existe e é bijetora de B A (f -1 f)(a) = f -1 ( f(a)) =f -1 (b) =a f -1 (b)=a quando f(a)=b f(a)=b quando f -1 (b)=a (f f -1 )(b) = f ( f -1 (b)) =f -1 (a) =b f -1 f = i A e f f -1 = i B Sabendo que i A e i B são funções identidade de A e B (f -1 ) -1 = f