2º Trimestre ÁLGEBRA. Aula 7 _ Progressão Aritmética Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora

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Dina Neves Barroso
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1 2º Trimestre 1 ÁLGEBRA Aula 7 _ Progressão Aritmética Professor Luciano Nóbrega Maria Auxiliadora

2 SEQUÊNCIA NUMÉRICA 2 SEQUÊNCIA NUMÉRICA Denominamos por Sequência Numérica uma função f, cujo domínio é o conjunto dos números naturais não nulos e cujo contradomínio é o conjunto dos números reais. Em outras palavras, uma seqüência numérica é o conjunto de números reais dispostos em certa ordem. EXEMPLOS: O conjunto ordenado (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) é a seqüência de números pares; O conjunto ordenado (7, 9, 11, 13,15) é a seqüência de números impares maiores do que 7 e menores do que 15. O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,...) é uma seqüência de números que. Matematicamente quando temos uma sequência numérica qualquer, representamos o seu 1º termo por a 1, o 2º termo por a 2 e assim sucessivamente, sendo o n-ésimo termo a n. EXEMPLOS: (2, 4, 6, 8, 10) temos: a 1 = ; a 2 = ; a 4 =

3 SEQUÊNCIA NUMÉRICA 3 LEI DE FORMAÇÃO Para determinarmos uma seqüência numérica precisamos de uma lei de formação. Ou seja, uma função. EXEMPLO: A seqüência definida pela lei de formação a n = 2n² 1, apresenta a n como sendo o termo que ocupa a n-ésima posição na seqüência. Por esse motivo, a n é chamado de termo geral da sequência. Utilizando a lei de formação a n = 2n² - 1, atribuindo valores para n, encontramos alguns termos da seqüência. n = 1 a 1 = n = 2 a 2 = n = 3 a 3 = n = 4 a 4 = Assim a sequência formada é EXEMPLO: Determine os cinco primeiros elementos de uma sequência tal que a n = 10 n + 1.

4 4 SEQUÊNCIA NUMÉRICA EXEMPLO: (PUC SP) Seja n um número qualquer, inteiro e positivo. Se n for par, divida-o por 2; Se n for ímpar, multiplique-o por 3 e adicione 1 ao resultado. Sendo a 1 = 11, o termo que a n será igual a 1 quando n for igual a: A) 7 B) 8 C) 11 D) 15 E) 17 EXEMPLO: Complete a tabela: SEQUÊNCIA LEI DE FORMAÇÃO NÚMEROS NATURAIS NÚMEROS TRIÂNGULARES NÚMEROS QUADRADOS

5 5 PROGRESSÃO ARITMÉTICA Uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA é uma sequência numérica onde qualquer termo, a partir do segundo, pode ser obtido pela soma do termo imediatamente anterior com um valor constante denominado razão da P.A. EXEMPLOS: (1, 3, 5, 7,...) é uma P. A. de razão 2; (6, 3, 0, 3, 6, 9) é uma P.A. de razão 3. Conseqüências: A diferença entre dois termos consecutivos é constante e igual à razão da P.A., ou seja: a 4 a 3 = a 3 a 2 = a n a n 1 = r Se r > 0, então a P.A. é crescente; Se r = 0, então a P.A. é constate; Se r < 0, então a P.A. é decrescente. Um termo qualquer, a partir do segundo, é a média aritmética dos termos que lhe são eqüidistantes, ou seja:

6 6 PROGRESSÃO ARITMÉTICA FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. A Numa P.A. de razão r e primeiro termo a 1, podemos obter um termo qualquer a n através da seguinte relação: a n = a 1 + (n 1).r DEMONSTRAÇÃO Considere uma P.A. qualquer (a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n ) de razão igual a r. Observe que: a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = a 6 = a n =

7 7 Testando os Conhecimentos 1 Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a 1 = -10 e r = 3. 2 (MACK-SP) O trigésimo primeiro termo de uma progressão aritmética de primeiro termo 2 e razão 3 é: A) 63 B) 65 C) 92 D) 95 E) 98 3 (FEI-SP) A razão de uma PA de 10 termos, onde o primeiro termo é 42 e o último é 12, vale: A) -5 B) -9 C) -6 D) -7 E) 0 4 (PUC PR) Calculando o número de termos de uma PA, onde o primeiro termo é 0,5, o último termo é 45,5 e a razão é 1,5, obtém-se: A) 45 B) 38 C) 43 D) 31 E) 57 5 (IFPB) A razão de uma PA, na qual a 3 + a 5 = 20 e a 4 + a 7 = 29, vale: A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11

8 8 PROGRESSÃO ARITMÉTICA SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA Podemos calcular a soma de termos de uma P.A. se conhecermos o primeiro termo da progressão, o último termo e a quantidade de termos a serem somados através da fórmula: DEMONSTRAÇÃO (numérica) Considere a P.A. finita (1, 2, 3,..., 98, 99, 100) de razão igual a 1. Determine: a 1 + a n = a 2 +a n-1 = a 3 + a n-2 = Quantas parcelas iguais teríamos se somássemos todos os termos?

9 9 Testando os Conhecimentos 6 (UFPI) A soma dos números pares de 2 a 400 é igual á: A) 7432 B) 8200 C) D) E) (FATEC - SP) Se o tremo geral de uma PA é a n = 5n - 13, então a soma de seus 50 primeiros termos é: A) 5850 B) 5725 C) 5650 D) 5225 E) (UFRN) Caixas são empilhadas de modo que, vistas do topo para baixo, se observa o seguinte: Uma fica em cima de duas, duas em cima de três, três em cima de quatro, e assim sucessivamente. Um funcionário experiente sabia que, para obter o total de caixas num empilhamento desse tipo, bastava contar quantas havia na base. Para conferir que existiam 210 caixas empilhadas, ele constatou que, na base, o número de caixas era A) 30. B) 40. C) 20. D) 10.

10 10 TESTANDO OS CONHECIMENTOS Resolva os exercícios do livro: P. 196 _ 8 e 9 P. 203 _ 26, 29, 33 e 35 P.204 _ 42 e 43 P. 205 _ 50 P.208 _ 53, 54, 58, 59 e 62 OBS: Foram selecionados 14 exercícios de um total de 62 exercícios do referente capítulo do livro.

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