Sequências. 1. (Uem 2013) Seja r um número inteiro positivo fixado. Considere a sequência numérica definida por 1 r

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Anderson Castel-Branco Espírito Santo
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1 Sequências. (Uem 03) Seja r um número inteiro positivo fixado. Considere a sequência numérica a definida por r e assinale o que for correto. an an a 0) A soma dos 50 primeiros termos da sequência (a, a, a 3, a, a 5, ) é 500r. 0) A sequência (a, a, a, a 8, a 6, ) é uma progressão geométrica. 0) A sequência (a, a 3, a 5, a 7, a 9, ) é uma progressão aritmética. 08) O vigésimo termo da sequência (a, a, a, a 8, a 6, 0 ) é r. 6) A soma dos 30 primeiros termos da sequência (a, a, a 6, a 8, a 0, ) é 930r.. (Unesp 03) A sequência dos números n, n, n 3,, n i, está definida por n 3 ni, ni ni para cada inteiro positivo i. Determine o valor de n (Espm 0) Seja S a, a, a,..., a,... a sequência definida por 3 n a 5 e an a n para n. O produto dos infinitos termos dessa sequência é igual a: a) b) 0 c) 0 d) 5 e) 5. (Uftm 0) Em uma sequência, o termo geral é dado por an n k, (n *), sendo k uma constante. Determine: a) O valor do primeiro termo dessa sequência, sabendo-se que o quinto termo é igual a. b) A soma dos cinquenta primeiros termos dessa sequência. Página de

5. (Uel 0) Pontes de treliças são formadas por estruturas de barras, geralmente em forma triangular, com o objetivo de melhor suportar cargas concentradas.

2 5. (Uel 0) Pontes de treliças são formadas por estruturas de barras, geralmente em forma triangular, com o objetivo de melhor suportar cargas concentradas. Nas figuras a seguir, há uma sequência com, e 3 setores triangulares com as respectivas quantidades de barras de mesmo comprimento. Observando nas figuras que o número de barras é função do número de setores triangulares, qual é o número N de barras para n setores triangulares? n a) N 3 para n b) N 3n para n c) N 3n n para n d) N 3 (n ) para n e) N n para n 6. (Espm 0) A soma dos n primeiros termos de uma sequência numérica é dada pela expressão Sn 8n. Pode-se afirmar que seu décimo termo é igual a: a) 8 b) 3 c) 6 d) 50 e) 5 7. (Mackenzie 0) Em uma sequência numérica, a soma dos n primeiros termos é 3n +, com n natural não nulo. O oitavo termo da sequência é a) 36 b) 39 c) d) 3 e) 5 Página de

3 8. (G - cftmg 0) A soma dos n primeiros termos de uma sequência e dada pela fórmula 3 Sn 3n n. Desse modo, a diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa sequencia e igual a a) 5. b) 8. c) 3. d) (Fgv 0) Seja a,a,a 3,... uma sequência com as seguintes propriedades: I. a. II. an n an, para qualquer n inteiro positivo. III. an, para qualquer n inteiro positivo. a) Indique os 6 primeiros termos dessa sequência. b) Calcule o valor de a (Fgv 0) a) Determine o quarto termo da sequência (a, a, a 3,, a n, ) dada por: an an e a, com n. b) O jogo A torre de Hanói tem sido jogado desde o século dezenove. É formado por três hastes de plástico, metal ou madeira, diversos anéis de tamanhos diferentes e consiste em transferir e reconstruir a torre em torno de uma das duas hastes vazias, mas seguindo as regras: ª Somente um anel pode ser movido de cada vez. ª Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor. Para uma torre com dois anéis, o menor número de movimentos necessários para transferila é 3. Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma torre de 3 anéis no menor número possível de movimentos. Página 3 de

4 c) O menor número de movimentos a n para transferir uma torre de n anéis, n,, satisfaz a relação: an (an ). Qual é o menor número de movimentos necessários para transferir uma torre com 6 anéis?. (Uem 0) Considerando a seguinte equação de recorrência de números inteiros, n xn xn 5, em que n é um número inteiro positivo e x, assinale o que for correto. n 0) xn 5 para todo inteiro n >. 0) xn é um número composto para todo n. 0) xn xn é divisível por 5, qualquer que seja o inteiro positivo n, n. 08) xn 78 para algum inteiro positivo n, n. 6) A sequência x,x,x 3,...,x n,... é uma progressão aritmética.. (Uftm 0) O quarto termo de uma progressão geométrica descrita pela sequência n n a 3, com n *, é a). 7 b). 8 c) d) e) (G - cp 00) Qual é o próximo número da sequência abaixo? 8, 5, 30, 6,, 37, 5, Página de

5 . (Ufba 00) Considerando-se as sequências (a n ) e (b n ) definidas por b n n n n bn bn, a e n n 0) O produto de dois termos consecutivos quaisquer da sequência (a n ) é um número negativo. 0) Para qualquer n, tem-se < a n <. 0) A sequência (b n ) é crescente. 08) Existe n tal que a n =. 6) A sequência (b n ) é uma progressão aritmética. 3) A sequência (a n ) é uma progressão geométrica de razão negativa. 5. (Ufrgs 00) Na sequência, 3, 7,5..., cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma unidade ao dobro do termo anterior. O 3º termo dessa sequência é a) -. b) +. c) -. d) +. e) (Fgv 007) Considere a sequência cujo termo geral é a n = (-) n ( + 3n), onde n =,, 3,.... a) Escreva os seis primeiros termos dessa sequência. b) Calcule a soma dos 007 primeiros termos dessa sequência. 7. (Fgv 007) Duas sequências: (x, x, x 3,..., x n,...) e (y, y, y 3,..., y n,...) são tais que: y ; y x n y n / y n A sequência x, x, x 3,..., x n,... é uma progressão geométrica de razão. Escreva os 6 primeiros termos da sequência (y, y, y 3,..., y n,...). 8. (Fuvest 005) Uma sequência de números reais a, a, a 3,... satisfaz à lei de formação a n+ = 6a n, se n é ímpar a n+ = ( 3 ) a n, se n é par. Sabendo-se que a =, a) escreva os oito primeiros termos da sequência. b) determine a 37 e a Página 5 de

6 9. (Pucsp 00) Na sequência de termo geral a n = 5n + sen (n. ð/), com n N*, a soma dos 0 primeiros termos de ordem ímpar é igual a a) 800 b) 87 c) 896 d) 000 e) 0 0. (Unifesp 003) A soma dos termos que são números primos da sequência cujo termo geral é dado por a n =3n+, para n natural, variando de a 5, é a) 0. b) 6. c) 8. d) 33. e) Página 6 de

7 Gabarito: Resposta da questão : =. [0] Incorreto. Temos a a a3 a50 r r 3r 50r r 50r 50 75r 500r. [0] Correto. De acordo com a lei de formação, vem (a, a, a, a 8, a 6, ) (r, r, r, 8r,6r, ), ou seja, a sequência (a, a, a, a 8, a 6, ) é uma progressão geométrica com primeiro termo igual a r e razão r. r [0] Correto. De fato, (a, a 3, a 5, a 7, a 9, ) (r, 3r, 5r, 7r, 9r, ) é uma progressão aritmética com primeiro termo igual a r e razão 3r r r. [08] Incorreto. Conforme [0], vem a r r r. [6] Correto. Com efeito, a a a6 a60 r r 6r 60r r 60r r. Resposta da questão : Temos n6k 3, n 6k 5, n 6k3, n 6k, n6k e 7 n 6k 6, n n. k natural. Portanto, Resposta da questão 3: [E] para todo Sabendo que a 5 5 e (5, 5, 58, ). an an an a n, temos que a sequência S é igual a Portanto, o produto dos infinitos termos de S é dado por Página 7 de

8 Resposta da questão : a) Sabendo que o quinto termo é igual a, temos: a5 5 k k 0. Logo, o primeiro termo é: a 0. b) Como an an (n ) k (n k), para todo n natural positivo, temos que a sequência é uma progressão aritmética de razão igual a. Desse modo, a e, portanto, a soma dos cinquenta primeiros termos dessa sequência é dada por a a50 S50 50 ( 0) Resposta da questão 5: [E] Observa-se que cada figura tem duas barras a mais que a anterior, temos então uma P.A de razão : (3, 5, 7,..) Portanto, a figura n, terá número de barras igual a: N 3 n N n para n Resposta da questão 6: [E] Seja a 0 o décimo termo da sequência. Como a soma dos dez primeiros termos é igual à soma do décimo termo com a soma dos nove primeiros termos, temos que, a S S a a Resposta da questão 7: [E] a8 S8 S7 3.8 (3.7 ) 5 Resposta da questão 8: [B] 3 a S a a S 3 8 Portanto, 5 a 8 a 3 Página 8 de

9 Resposta da questão 9: a) De acordo com a lei de formação da sequência, temos que: a a a a a 3 a a a a 5 a a 3 a a 7 a a a 8 8 a 9 a a 5 a a a a 6 a a 3 a a 7 a a 5 a a 8 a Portanto, a sequência pedida é: (,,,,, 6,, 8,,0,, 36,,,, 6). b) Observando que: (n) a, n com n, vem ( 9) a. 50 Resposta da questão 0: a) a a 3 (a ) ((a ) ) (a ) 8a 7. Como a, segue que a Página 9 de

10 b) c) Queremos calcular a. 6 a (a ) a a. n n n n Do item (a) sabemos que a 5. Logo, a a 6 5 (a ) ( 5 ) 63. Resposta da questão : = 3. 0) Correto. Temos que x x 5 x3 x 5 n xn xn 5 x n n x n 5 n n n xn x 5 x n (5 ). 5 0) Incorreto. Para n 3, segue que 3 x 3 (5 ) 3. Mas 3 é primo ) Correto. Reescrevendo a diferença obtida em (0), obtemos xn x n. Portanto, 5 xn xn é divisível por 5, qualquer que seja o inteiro positivo n, n. n 08) Correto. Sabendo que n x n (5 ), vem que Página 0 de

11 (5 n ) 78 5 n 35 n 5. 6) Incorreto. De (0), temos que x3 x x x. Portanto, a sequência x, x, x,, x, não é uma progressão aritmética. 3 n Resposta da questão : [B] a = (-3) - = ( 3) 8 Resposta da questão 3: 8 Dividindo a sequência dada em duas outras sequências, temos: 8, 30,, 5... (P.A de razão ) e 5, 6, 37,... (P.A de razão ) Logo O termo pedido será 37 + = 8 Resposta da questão : = 3 Sequência A 9,,, sequencia B 3 5,,,,... 0) Verdadeira (-) n será positivo se n for par e negativo se n for ímpar. 0) Verdadeiro o módulo do numerador será sempre menor que o denominador. 0) Verdadeiro. 08) Falsa. 6) Verdade 3) Falsa. Resposta da questão 5: [E] O termo geral da sequência é a n = n Logo a 3 = 3 - Resposta da questão 6: a) -5, 8, -,, -7, 0 b) S = - 30 Resposta da questão 7: (,, 8, 8,, ) Resposta da questão 8: a), 6,,,,, 8 e 8. b) a 37 = 8. e a 38 = Página de

12 Resposta da questão 9: [D] Resposta da questão 0: [D] Página de

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