CPV O cursinho que mais aprova na GV

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1 O cursinho que mais aprova na GV FGV ADM Discursiva 24/outubro/2010 matemática aplicada 01. O gráfico no plano cartesiano expressa a alta dos preços médios de televisores de tela plana e alta definição, do modelo LCD, full HD, 32 polegadas, antes da Copa do Mundo na África do Sul e sua queda após o início. Os pontos A, A e C são colineares. Demonstre que o preço médio desse modelo em agosto de 2010 foi 8,3% menor, aproximadamente, que o preço médio do mesmo modelo em maio de Nos últimos anos, o salário-mínimo tem crescido mais rapidamente que o valor da cesta básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do salário-mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário-mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste, possam ser aproximados mediante funções polinomiais do 1º grau, f (x) = ax + b, em que x representa o número de anos transcorridos após a) Determine as funções que expressam os crescimentos anuais dos valores do salário-mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste. A equação da reta AA é dada por y = mx + n m = y x = \ m = 150 Þ y = 150x + n 1 2 Substituindo o ponto A, temos: 2500 = n \ n = 2650 Þ y = 150x Assim, no mês de agosto o preço será: y C = \ y C = 2200 Sendo p a porcentagem de redução, temos: (1 p) = 2200 \ 8,3% Para o salário-mínimo (f (x)), o coeficiente angular da reta é dado por y x = = O coeficiente linear da reta é 300. Assim, f (x) = 42x Para a cesta básica (g(x)), o coeficiente angular da reta é dado por y x = = O coeficiente linear da reta é 154. Assim, g(x) = 6x b) Em que ano, aproximadamente, um salário-mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo. Queremos: f (x) = 3. g(x) Þ 42x = 3. (6x + 154) 24x = 162 Þ x = 7 anos Portanto, o salário será suficiente para comprar aproximadamente 3 cestas básicas no ano de

2 2 FGV 24/10/2010 o cursinho que mais aprova na GV 03. a) Por volta de 1650 a.c., o escriba Ahmes resolvia equações como x + 0,5x = 30, por meio de uma regra de três, que chamava de regra do falso. Atribuía um valor falso à variável, por exemplo, x = 10, ,5. 10 = 15 e montava a regra de três: Valor falso Valor verdadeiro 10 x = x x = Resolva este problema do Papiro Ahmes pelo método acima: Uma quantidade, sua metade, seus dois terços, todos juntos somam 26. Qual é a quantidade? Do enunciado temos a seguinte equação: x + x 2 + x = E utilizando a regra do falso com x = 6, = 13: Valor falso Valor verdadeiro 6 x \ 6 = x Û x = 12 b) O matemático italiano Leonardo de Pisa ( ), mais conhecido hoje como Fibonacci, propunha e resolvia, pela regra do falso, interessantes problemas como este: Um leão cai em um poço de pés de profundidade. Pé é uma unidade de medida de comprimento. Ele sobe um sétimo de um pé durante o dia e cai um nono de um pé durante a noite. Quanto tempo levará para conseguir sair do poço? Resolva o problema pela regra do falso ou do modo que julgar mais conveniente. Observe que, quando o leão chegar a um sétimo de pé da boca do poço, no dia seguinte ele consegue sair. Considerando que ao subir 50 pés, no próximo dia o leão sairá do poço, temos a equação: 1 1 I. x - x = 50 Û x = 1575 dias 7 9 Portanto, o leão levará 1576 dias para sair do poço. Outra forma: Pela regra do falso e utilizando x = 63 na equação I: Valor falso Valor verdadeiro 63 x = x 2 50 Û x = 1575 dias. Portanto, o leão levará 1576 dias para sair do poço. 04. Ao tentar encontrar a intersecção do gráfico de uma função quadrática com o eixo x, um aluno encontrou as soluções: 2 + i e 2 i. Quais são as coordenadas do vértice da parábola? Sabe-se que a curva intercepta o eixo y no ponto (0,5). Como temos suas raízes, podemos expressar f (x) na forma f (x) = a (x (2 + i)). (x (2 i)) Þ f (x) = a. (x 2 4x + 5). Como f (0) = 5, temos: 5 = a. ( ) Þ a = 1. ( ) 4 Logo f (x) = x 2 4x + 5; x V = 2. 1 Desta forma, V = (2; 1). = 2 e y V = f (2) = Considere três trabalhadores. O segundo e o terceiro, juntos, podem completar um trabalho em 10 dias. O primeiro e o terceiro, juntos, podem fazê-lo em 12 dias, enquanto o primeiro e o segundo, juntos, podem fazê-lo em 15 dias. Em quantos dias, os três juntos podem fazer o trabalho? Tempo que cada um dos trabalhadores completam a obra: 1 o trabalhador x dias 2 o trabalhador y dias 3 o trabalhador z dias Definindo: rendimento = trabalho tempo Þ R = T t Quando os trabalhadores produzem em dupla, podemos somar os rendimentos: T T R 1 + R 2 = R total Û t + T t = 1 2 t Û total + = t1 t2 t total + = y z 10 Assim: + = x z 12 + = x y 15 Somando todas as equações membro a membro, temos: x + y + z = x y z = 60 \ = x y z 120 \ = x y z 8 \ juntos, os três completam o trabalho em 8 dias.

3 o cursinho que mais aprova na GV FGV 24/10/ a) Em um laboratório, uma caixa contém pequenas peças de mesma forma, tamanho e massa. As peças são numeradas, e seus números formam uma progressão aritmética: 5, 10, 15,..., 500 Se retirarmos ao acaso uma peça da caixa, qual é a probabilidade, expressa em porcentagem, de obtermos um número maior que 101? 07. O serviço de compras via internet tem aumentado cada vez mais. O gráfico ilustra a venda anual de ebooks, livros digitais, em milhões de dólares nos Estados Unidos. Temos a P.A. (5, 10, 15, 20,..., 500): a n = a 1 + (n 1). r 500 = 5 + (n 1). 5 \ n = 100 termos e uma parte dela, outra P.A. (105, 110,..., 500): a k = a 1 + (k 1). r 500 = (k 1). 5 \ k = 80 termos Portanto, a probabilidade será: P (a n > 101) = \ P (a n > 101) = 80% b) Explique por que podemos afirmar que 101! + 19 não é um número primo. 101! = = 19k, isto é, múltiplo de 19. Então 101! = 19k e 101! + 19 = 19k + 19 = 19 (k + 1) que é múltiplo de 19, portanto não é um número primo. Suponha que as vendas anuais em US$ milhões, possa ser estimada por uma função como y = a. e kx, em que x = 0 representa o ano 2002, x = 1, o ano 2003, e assim por diante; e é o número de Euler. Assim, por exemplo, em 2002 a venda foi de 7 milhões de dólares. A partir de que ano a venda de livros digitais nos Estados Unidos vai superar 840 milhões de dólares? Use as seguintes aproximações para estes logaritmos neperianos: ln 2 = 0,7; ln 3 = 1,1; ln 5 = 1,6 Se x = 0, y = 7 \ 7 = a. e k(0) \ a = 7 então y = 7. e kx Em 2009 (x = 7), temos que: 315 = 7. e k. 7 \ 45 = e 7k ln e 7k = ln 45 7k. ln e = ln (3 2. 5) 7k = 2ln 3 + ln 5 \ k = 38, 7 Para que y > 840 devemos ter 7. e kx > 840 e kx > 120 ln e kx > ln ( ) \ kx ln e > 3ln2 + ln3 + ln5 kx > 4,8 \ x > 48, \ x > 48, \ x > 8,84, k 38, 7 isto é, a venda irá exceder 840 milhões de dólares a partir de 2011.

4 4 FGV 24/10/2010 o cursinho que mais aprova na GV 08. a) Determine o quarto termo da sequência (a 1, a 2, a 3,... a n...) dada por: a n = 2a n e a 1 = 1, com n > 1. a n = 2. a n e a 1 = 1 a 2 = 2. a = = 3 a 3 = 2. a = = 7 a 4 = 2. a = = 15 \ a 4 = 15 b) O jogo A torre de Hanói tem sido jogado desde o século dezenove. É formado por três hastes de plástico, metal ou madeira, diversos anéis de tamanhos diferentes e consiste em transferir e reconstruir a torre em torno de uma das duas hastes vazias, mas seguindo as regras: 1 a Somente um anel pode ser movido de cada vez. 2 a Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor. Para uma torre com dois anéis, o menor número de movimentos necessários para transferi-la é 3. Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma torre de 3 anéis no menor número possível de movimentos

5 o cursinho que mais aprova na GV FGV 24/10/ c) O menor número de movimentos a n para transferir uma torre de n anéis, n > 1, satisfaz a relação: a n + 1 = 2 (a n 1 + 1). Qual é o menor número de movimentos necessários para transferir uma torre com 6 anéis? Como a menor quantidade de movimentos a n para transferir uma torre de n discos satisfaz a relação: a n + 1 = 2. (a n 1 + 1) a n + 1 = 2 a n a n = 2 a n (I) E como o menor número de movimentos para transferir uma torre com um único disco é 1, temos: a 1 = 1 (II) Por (I) e (II) temos que o menor número de movimentos segue a sequência apresentada no item a. Portanto, a 4 = 15 e, a partir daí: a 5 = = 31 a 6 = = 63 Þ 63 movimentos 09. a) Demonstre que as duas equações abaixo são identidades. 1 a (x + y) 2 2xy = x 2 + y 2 2 a (x + y). [(x + y) 2 3xy] = x 3 + y 3 1 a (x + y) 2 2xy = x 2 + 2xy + y 2 2xy = x 2 + y 2 2 a (x + y). [(x + y) 2 3xy] = (x + y). (x 2 + 2xy + y 2 3xy) = (x + y). (x 2 xy + y 2 ) = x 3 x 2 y + xy x 2 y xy 2 + y 3 = x 3 + y 3 b) Um cavalheiro, tentando pôr à prova a inteligência de um aritmético muito falante, propôs-lhe o seguinte problema: Eu tenho, em ambas as mãos, 8 moedas no total. Mas, se eu conto o que tenho em cada mão, os quadrados do que tenho em cada mão, os cubos do que tenho em cada mão, a soma disso tudo é o número 194. Quantas moedas tenho em cada mão? Mesmo que você resolva o problema por substituição e tentativa, faça o que é pedido no item C. c) Expresse o problema mediante um sistema de duas equações com duas variáveis. Resolva o sistema de equações usando, se julgar conveniente, as identidades do item A. Sendo x: número de moedas em uma das mãos y: número de moedas na outra mão temos: (x + y) + (x 2 + y 2 ) + (x 3 + y 3 ) = 194 (x + y) + (x + y) 2 2 xy + (x + y) [(x + y) 2 3xy] = x. (8 x) + 8. (8 2 3x. (8 x)) = 194 x 2 8x + 15 = 0 x = 3 ou x = 5 x = 3 e y = 5 ou x = 5 e y = 3 S = {(3; 5), (5; 3)} Temos: x: número de moedas em uma das mãos. 8 x: número de moedas na outra mão. Assim x + 8 x + x 2 + (8 x) 2 + x 3 + (8 x) 3 = (x + 8 x) 2 2. x (8 x) + (x + 8 x). [(x + 8 x) 2 3. x (8 x)] = x + 2x (64 24 x + 3x 2 ) = x + 2 x x + 24 x 2 = x x = 0 Þ x 2 8x + 15 = 0 x = 3 ou x = 5 Logo, ele tem 3 moedas em uma mão e 5 moedas na outra mão.

6 6 FGV 24/10/2010 o cursinho que mais aprova na GV 10. a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são os afixos dos números complexos: 3, 6i, 3 e 6i, respectivamente. b) Quais são as coordenadas dos vértices do losango A B C D que se obtém girando 90º o losango ABCD, em torno da origem do plano cartesiano, no sentido anti-horário? c) Por qual número devemos multiplicar o número complexo cujo afixo é o ponto B para obter o número complexo cujo afixo é o ponto B? y B (0;6) A' B' C ( 3;0) 0 A (3;0) D' x C' D (0; 6) a) A figura acima, consolida que: AC = 6 e BD = 12 Assim, a área do losango ABCD é dada por AC. BD = = b) Ao rotacionarmos o losango ABCD de 90º no sentido antihorário, obtemos o losango A'B'C'D', cujas coordenadas são A' (0; 3), B' ( 6; 0), C' (0; 3) e D' (6;0) ou seja, são os afixos dos números complexos 3i, 6, 3i e 6. c) Sendo z = x + yi o número complexo procurado, temos: z. 6 i = 6 Þ (x + yi). 6 i = 6 Þ 6 y + 6 xi = 6 Þ 6x = 0 x = 0 Þ 6y = 6 y = 1 \ z = i