CURSO ON-LINE MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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1 Conteúdo 1. Apresentação.... Progressão Aritmética Relação das questões comentadas Gabaritos

2 1. Apresentação Seja bem vindo ao Ponto dos Concursos. Esta é a aula demonstrativa de Matemática e Raciocínio Lógico do curso voltado para o Senado Federal (Analista e Consultor Legislativo). Meu nome é Guilherme Neves. Sou matemático e comecei a lecionar em cursos preparatórios para concursos aos 17 anos de idade, antes mesmo de iniciar o meu curso de Bacharelado em Matemática na UFPE. Minha vida como professor sempre esteve conectada com os concursos públicos nas matérias de índole matemática (matemática financeira, estatística e raciocínio lógico). Sou autor do livro Raciocínio Lógico Essencial Editora Campus-Elsevier. A banca organizadora do último concurso foi a FGV. Desta forma, daremos preferência na resolução de questões da referida banca e toda a teoria será explicada em minuciosos detalhes. Nosso curso seguirá o seguinte cronograma baseado no último edital. Aula 0 (demonstrativa) Sequências numéricas. Progressões aritméticas. Aula 1 Progressão Geométrica. Números inteiros, racionais e reais. Sistema legal de medidas. Razões e proporções. Regras de três simples e compostas. Aula Porcentagens. Equações e inequações de 1. e de. graus. Funções e gráficos. Aula 3 Geometria Básica Aula 4 Juros simples e compostos Aula 5 Conceitos básicos de probabilidade e estatística. Aula 6 Aula 7 Estruturas lógicas, lógica da argumentação, diagramas lógico. (parte 1) Estruturas lógicas, lógica da argumentação, diagramas lógico. (parte ). Progressão Aritmética Progressão aritmética é uma sequência formada por números e que obedece determinada lei de formação. Considere uma sequência de números reais,,,,. Esta sequência será chamada de Progressão Aritmética (P.A.) se cada termo, a partir do segundo, for igual à soma do anterior com uma constante real. O número real é denominado razão da progressão aritmética.

3 é o primeiro termo, é o segundo termo, e assim por diante. O termo de ordem n é chamado n-ésimo termo. Exemplos: Progressão Aritmética Primeiro termo ( ) Razão ( ),5,8,11,14, 3 14, 11, 8, 5,, 1, 4, 14 3,,,,, 0 Para calcular a razão de uma progressão aritmética basta calcular a diferença entre dois termos consecutivos. No nosso primeiro exemplo, No segundo exemplo, No terceiro exemplo, 0 Classificação i) A progressão aritmética é crescente se e somente se a razão é positiva. Este caso corresponde ao nosso primeiro exemplo. ii) A progressão aritmética é decrescente se e somente se a razão é negativa. Este caso corresponde ao nosso segundo exemplo. iii) A progressão aritmética é constante se e somente se razão é igual a 0. Este caso corresponde ao nosso terceiro exemplo. Resumo Fórmula do Termo Geral Considere a progressão aritmética,,,,. Existe uma expressão que permite calcular qualquer termo da progressão conhecidos um termo qualquer e a razão. Comecemos com a expressão básica que relaciona um termo qualquer com o primeiro termo e a razão. 3

4 1 Em que é o primeiro termo, é a razão da progressão e é o termo de ordem n (n-ésimo termo). Voltemos àquela P.A. do nosso exemplo inicial: (, 5, 8, 11, 14,...). Se quisermos calcular o próximo termo, basta efetuar = 17. E o próximo? = 0. E assim podemos ir calculando termo a termo. O problema surge assim: Qual o milésimo termo dessa progressão? Se queremos calcular o milésimo termo, deveremos efetuar: O empecilho desta fórmula é que ficamos presos a só poder calcular os termos da progressão se soubermos quem é o primeiro termo. Porém, podemos fazer uma modificação nesta fórmula de forma que conhecendo um termo qualquer da progressão e a razão, poderemos calcular qualquer outro termo da progressão. Vejamos um exemplo: Suponha que o décimo termo ( ) de uma progressão aritmética seja igual a 5 e a razão seja igual a 4. Qual o vigésimo sétimo termo dessa progressão? Se você prestar bem atenção à fórmula 1 perceberá que não poderemos utilizá-la da forma como está disposta. Pois só podemos utilizá-la se soubermos o valor do primeiro termo. Vamos fazer uma analogia. Imagine que você se encontra no décimo andar de um prédio e precisa subir para o vigésimo sétimo andar. Quantos andares é preciso subir? A resposta é 17 andares. É o mesmo que acontece com os termos de uma P.A.: Se estamos no décimo termo e preciso me deslocar até o vigésimo sétimo termo, é preciso avançar 17 termos (7 10 = 17). E para avançar cada termo, devemos adicionar a razão. Assim,

5 Ainda fazendo a analogia da P.A. com os andares de um prédio, para descer do vigésimo sétimo andar para o décimo andar, deveremos descer 17 andares. Na P.A. deveremos subtrair 17 vezes a razão (pois estamos voltando na P.A.) Soma dos termos de uma Progressão Aritmética Considere uma progressão aritmética de termos, a saber:,,,, A soma dos termos desta progressão é igual a: 1 Exemplo: Qual a soma dos mil primeiros termos da progressão aritmética (, 5, 8, 11,...). O primeiro passo é calcular o milésimo termo: este cálculo foi efetuado anteriormente e sabemos que Assim, a soma dos mil primeiros termos é dada por: Resolveremos agora questões envolvendo sequências numéricas em geral e questões sobre progressões aritméticas. Vale a pena notar que das grandes bancas que organizam concursos públicos, duas se destacam em relação à sequências numéricas: FGV e FCC. Vamos em frente. 01. (MPU 007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado abaixo. 5

6 Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número a) 36 b) 418 c) 4 d) 345 e) 366 Observe os números da terceira coluna: (3, 10, 17,...). Temos uma progressão aritmética em que o primeiro termo é igual a 3 e a razão é igual a 7. Queremos calcular o tricentésimo quadragésimo sexto termo. Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética. Assim, o termo de ordem 346 é dado por: Letra B (FNDE 007 FGV) Observe a sequência de figuras abaixo. Quando terminarmos a figura 0, o número total de bolinhas utilizadas terá sido de: a) 70 b) 840 c) 780 d) 680 e) 880 6

7 A figura 1 possui 4 bolinhas, a figura possui 8 bolinhas, a figura 3 possui 1 bolinhas... Temos uma P.A. com primeiro termo igual a 4 e razão igual a 4. Para calcularmos o total de bolinhas utilizadas ao terminar a figura 0, devemos calcular o vigésimo termo Assim, a soma dos vinte primeiros termos da progressão é igual a Letra B (Senado Federal/008/FGV) Você vê abaixo os números triangulares: 1, 3, 6,.... O 60º número triangular é: a) 1830 b) 1885 c) 1891 d) 1953 e) 016 A FGV foi generosa em colocar a figura para que possamos entender o processo de formação dos números triangulares. O primeiro número triangular é igual a 1. O segundo número triangular é igual a 1 +, ou seja, O terceiro número triangular é igual a , ou seja,

8 Para calcular o sexagésimo número triangular, devemos calcular a soma Trata-se da soma de uma progressão aritmética de 60 termos em que o primeiro termo é igual a 1 o último termo é igual a Letra A (TCE/PB/006/FCC) Usando palitos de fósforos inteiros é possível construir a seguinte sucessão de figuras compostas por triângulos: Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura composta de 5 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados é: a) 45 b) 49 c) 51 d) 57 e) 61 Observe a quantidade de palitos em cada figura 3,5,7,9,.... Temos uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 3 e razão igual a. Temos que calcular o vigésimo quinto termo. a5 = a1 + 4 r = 3+ 4 = 51palitos. Letra C 05. (Senado Federal/008/FGV) Os números naturais são colocados em um quadro, organizados como se mostra abaixo: O número 008 está na coluna: 8

9 a) F b) B c) C d) I e) A Observe a lei de formação de cada uma das colunas. A números que divididos por 9 deixam resto igual a 1. C números que divididos por 9 deixam resto igual a. E números que divididos por 9 deixam resto igual a 3. G números que divididos por 9 deixam resto igual a 4. I números que divididos por 9 deixam resto igual a 5. H números que divididos por 9 deixam resto igual a 6. F números que divididos por 9 deixam resto igual a 7. D números que divididos por 9 deixam resto igual a 8. B números que divididos por 9 deixam resto igual a 0. Para descobrir em qual coluna encontra-se o número 008, devemos dividir 008 por Como o resto da divisão é igual a 1, concluímos que o número 008 está na coluna A. Letra E 06. (CODESP 010/FGV) Observe a sequência numérica a seguir: Mantida a lei de formação, os dois próximos algarismos na sequência serão a) 5 b) 37 c) 7 d) 15 e) 05 9

10 A lei de formação é a seguinte: escreva 3 números ímpares, escreva um número par. Observe: O próximo número ímpar a ser escrito é 5. Letra A 07. (CAERN 010/FGV) Considere a sequência de números definida abaixo: - o primeiro termo vale 7; - o segundo termo vale 4; - do terceiro em diante, cada termo será a diferença entre os dois termos anteriores, sendo essa diferença sempre expressa com sinal positivo. O 8º termo dessa sequência vale a) b) 3 c) 4 d) 1 e) 0 O primeiro termo é 7 e o segundo termo é 4. 7,4, Do terceiro em diante, cada termo será a diferença entre os dois termos anteriores, sendo essa diferença sempre expressa com sinal positivo. O terceiro termo é O quarto termo é O quinto termo é 3 1. O sexto termo é ,4,3, 7,4,3,1, 7,4,3,1,, 10

11 O sétimo termo é 1 1. O oitavo termo é Letra E 7,4,3,1,,1 7,4,3,1,,1,1, 7,4,3,1,,1,1,0 08. (FNDE/007/FGV) Na sequência numérica 3, 10, 19, 30, 43, 58,..., o termo seguinte ao 58 é: a) 75 b) 77 c) 76 d) 78 e) 79 3,10,19,30,43, 58, Para manter o padrão, devemos somar 17 ao número 58. Assim, o próximo número é = 75. Letra A 09. (FNDE/007/FGV) Na sequência de algarismos 1,,3,4,5,4,3,,1,,3,4,5,4,3,,1,,3,..., o 007º algarismo é: a) 1 b) c) 4 d) 5 e) 3 Observe a periodicidade da sequência acima. Há uma repetição dos algarismos 1,,3,4,5,4,3,, retornando novamente para o algarismo 1. Temos então uma repetição a cada 8 algarismos. Temos que 007 = (obtémse este resultado dividindo 007 por 8). Isso quer dizer que o grupo 1,,3,4,5,4,3, se repete 50 vezes e ainda restam 7 algarismos. Os próximos 7 algarismos são 1,,3,4,5,4,3. Portanto o 007º algarismo é 3. Letra E 11

12 10. (EBDA 006/CETRO) As formigas, quanto mais próximo o inverno, mais elas trabalham. Em uma colônia, a cada dia que passa, elas trazem 3 folhas a mais que o dia anterior, que servirão de alimento para todas. No primeiro dia as formigas trouxeram 0 folhas, no segundo dia, 3 e assim por diante até o trigésimo dia, então o total de folhas armazenadas por essa colônia, foi de: (A) 90 (B) 905 (C) (D) 1.90 (E) A quantidade de folhas trazidas pelas formigas ao longo dos dias formam uma progressão aritmética de razão 3. 0, 3, 6, O problema pede o total de folhas armazenadas por essa colônia até o trigésimo dia. Ou seja, queremos saber a soma dos 30 primeiros termos desta progressão aritmética. Para isto, devemos calcular o trigésimo termo Assim, a soma dos trinta primeiros termos será Letra C (IMBEL 004/CETRO) O 4º termo da P.A. (1/,, 7/,...) é (A) 38 (B) 8 (C) 45 (D) 35 (E) 73/ O primeiro passo é calcular a razão da progressão. Para isto,devemos calcular a diferença entre dois termos consecutivos

13 Sabemos que o primeiro termo é igual a 1/ e a razão é igual a 3/. Queremos calcular o 4º termo. Do 1º ao 4º termo deveremos avançar 3 termos. Assim, Letra D (Pref. Municipal de Barueri 006/CETRO) A distância entre as placas na estrada da figura abaixo é sempre a mesma. Uma das alternativas apresenta valores corretos e organização em ordem crescente, no distanciamento entre as placas de quilometragens indicadas, que podem substituir as letras A, B e C observadas no desenho, assinale-a. a) km 3, km 5 e km 10. b) km 1,5 ; km 1,5 e km 0/1 c) km 85/4 ; km 1,5 e km 61/1 d) km 85/4 ; km 1 e km 00/10 e) km 1, km e km 3. Se a distância entre as placas na estrada da figura é a mesma, então os valores que serão escritos nas placas formarão uma Progressão Aritmética crescente. O primeiro termo da progressão é igual a 1 e o quinto termo da progressão é igual a. Sabemos que Dessa forma,

14 Assim, a progressão aritmética será: 0,5 (1; 1,5; 1,5; 1,75; ) A resposta é a alternativa c) km 85/4 ; km 1,5 e km 61/1, pois 85/4 = 1,5 e 61/1=1,75. Letra C 13. (TCE PB 006 FCC) Considere que a seguinte sequência de figuras foi construída segundo determinado padrão. Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 5 deverá ser igual a a) 97 b) 99 c) 101 d) 103 e) 105 A primeira figura possui 5 pontos, a segunda figura possui 9 pontos, a terceira figura possui 13 pontos, e assim sucessivamente. Temos uma progressão aritmética com primeiro termos igual a 5 e razão igual a 4. O vigésimo quinto termo é dado por: Letra C (TRT SC 005/FEPESE) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de gude; então pegou sua coleção de bolas de gude e formou uma sequência de T (a inicial de seu nome), conforme a figura 14

15 Supondo que o guri conseguiu formar 10 T completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía: a) exatamente 41 bolas de gude. b) menos de 0 bolas de gude. c) pelo menos 30 bolas de gude. d) mais de 300 bolas de gude. e) exatamente 300 bolas de gude. A primeira figura possui 5 pontos, a segunda figura possui 9 pontos, a terceira figura possui 13 pontos, e assim sucessivamente. Temos uma progressão aritmética com primeiro termos igual a 5 e razão igual a 4. Quantas bolinhas Tisiu utilizou ao completar o décimo T? Devemos somar os 10 primeiros termos desta progressão aritmética Dessa forma, a soma dos dez primeiros termos da P.A. é dada por: Como o problema não afirmou que ele utilizou TODAS as suas bolinhas de gude, podemos afirmar que Tisiu tem NO MÍNIMO 30 bolas de gude. Letra C 15. (Agente Administrativo DNOCS 010/FCC) Os termos da sequência (1, 15, 9, 18, 1, 15, 30, 33, 7, 54, 57,...) são sucessivamente obtidos através de uma lei de formação. Se x e y são, respectivamente, o décimo terceiro e o décimo quarto termos dessa sequência, então: (A) x. y = (B) y = x + 3 (C) x = y

16 (D) y = x (E) x/y = 33/34 Observe que o raciocínio é o seguinte: Adiciona-se 3, subtrai-se 6, multiplica-se por. O décimo terceiro termo é 10 e o décimo quarto termo é 105. Letra B 16. (Agente de Estação Metro SP 007/FCC) Considere que os termos da sequência (80, 84, 41, 416, 08, 1, 106,...) são obtidos sucessivamente segundo determinado padrão. Mantido esse padrão, obtêm-se o décimo e o décimo primeiro termos dessa seqüência, cuja soma é um número compreendido entre (A) 0 e 40. (B) 40 e 80. (C) 80 e 10. (D) 10 e 160. (E) 160 e

17 Observe que utilizamos o seguinte raciocínio: adiciona-se 4, divide-se por., O décimo termo é 59 e o décimo primeiro termo é 9,5. A soma destes termos é igual a 88,5. Letra C 17. (PM-BA 009/FCC) Os termos da sequência (5; ; 11; 33; 30; 15; 45; 4; 1; 63;...) são obtidos segundo um determinado padrão. De acordo com esse padrão o décimo terceiro termo da sequência deverá ser um número (A) não inteiro. (B) ímpar. (C) maior do que 80. (D) divisível por 4. (E) múltiplo de 11. O padrão adota é o seguinte: subtrai-se 3, divide-se por e multiplica-se por 3. 17

18 Como 60 é divisível por 4, a resposta é a letra D. 18. (AGPP Pref. de São Paulo 008/FCC) Considere a seguinte seqüência de igualdades: = = = = Com base na análise dos termos dessa seqüência, é correto afirmar que a soma dos algarismos do produto é (A) 8 (B) 9 (C) 30 (D) 31 (E) 33 Seguindo o padrão, observa-se que: i) O último algarismo é 5. ii) A quantidade de algarismos 1 é igual a quantidade de algarismos 3. iii) A quantidade de algarismos é uma unidade maior que a quantidade de algarismos Como há 7 algarismos 3, concluímos que há 7 algarismos 1 e 8 algarismos. Portanto: = A soma dos algarismos é igual a Letra A 19. (TCE-SP 010/FCC) Considere que os números inteiros e positivos que aparecem no quadro abaixo foram dispostos segundo determinado critério. 18

19 Completando corretamente esse quadro de acordo com tal critério, a soma dos números que estão faltando é (A) maior que 19. (B) 19. (C) 16. (D) 14. (E) menor que 14. Esta é uma questão de olho. Quem perceber que o raciocínio está nas diagonais, rapidamente resolve a questão. Continuando, teremos: 19

20 A soma dos números que estão faltando é: Letra A 0

21 3. Relação das questões comentadas 01. (MPU 007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado abaixo. Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número a) 36 b) 418 c) 4 d) 345 e) (FNDE 007 FGV) Observe a sequência de figuras abaixo. Quando terminarmos a figura 0, o número total de bolinhas utilizadas terá sido de: a) 70 b) 840 c) 780 d) 680 e) 880 1

22 03. (Senado Federal/008/FGV) Você vê abaixo os números triangulares: 1, 3, 6,.... O 60º número triangular é: a) 1830 b) 1885 c) 1891 d) 1953 e) (TCE/PB/006/FCC) Usando palitos de fósforos inteiros é possível construir a seguinte sucessão de figuras compostas por triângulos: Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura composta de 5 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados é: a) 45 b) 49 c) 51 d) 57 e) (Senado Federal/008/FGV) Os números naturais são colocados em um quadro, organizados como se mostra abaixo: O número 008 está na coluna: a) F b) B c) C d) I e) A

23 06. (CODESP 010/FGV) Observe a sequência numérica a seguir: Mantida a lei de formação, os dois próximos algarismos na sequência serão a) 5 b) 37 c) 7 d) 15 e) (CAERN 010/FGV) Considere a sequência de números definida abaixo: - o primeiro termo vale 7; - o segundo termo vale 4; - do terceiro em diante, cada termo será a diferença entre os dois termos anteriores, sendo essa diferença sempre expressa com sinal positivo. O 8º termo dessa sequência vale a) b) 3 c) 4 d) 1 e) (FNDE/007/FGV) Na sequência numérica 3, 10, 19, 30, 43, 58,..., o termo seguinte ao 58 é: a) 75 b) 77 c) 76 d) 78 e) (FNDE/007/FGV) Na sequência de algarismos 1,,3,4,5,4,3,,1,,3,4,5,4,3,,1,,3,..., o 007º algarismo é: a) 1 b) c) 4 d) 5 e) 3 3

24 10. (EBDA 006/CETRO) As formigas, quanto mais próximo o inverno, mais elas trabalham. Em uma colônia, a cada dia que passa, elas trazem 3 folhas a mais que o dia anterior, que servirão de alimento para todas. No primeiro dia as formigas trouxeram 0 folhas, no segundo dia, 3 e assim por diante até o trigésimo dia, então o total de folhas armazenadas por essa colônia, foi de: (A) 90 (B) 905 (C) (D) 1.90 (E) (IMBEL 004/CETRO) O 4º termo da P.A. (1/,, 7/,...) é (A) 38 (B) 8 (C) 45 (D) 35 (E) 73/ 1. (Pref. Municipal de Barueri 006/CETRO) A distância entre as placas na estrada da figura abaixo é sempre a mesma. Uma das alternativas apresenta valores corretos e organização em ordem crescente, no distanciamento entre as placas de quilometragens indicadas, que podem substituir as letras A, B e C observadas no desenho, assinale-a. a) km 3, km 5 e km 10. b) km 1,5 ; km 1,5 e km 0/1 c) km 85/4 ; km 1,5 e km 61/1 d) km 85/4 ; km 1 e km 00/10 e) km 1, km e km (TCE PB 006 FCC) Considere que a seguinte sequência de figuras foi construída segundo determinado padrão. Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 5 deverá ser igual a 4

25 a) 97 b) 99 c) 101 d) 103 e) (TRT SC 005/FEPESE) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de gude; então pegou sua coleção de bolas de gude e formou uma sequência de T (a inicial de seu nome), conforme a figura Supondo que o guri conseguiu formar 10 T completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía: a) exatamente 41 bolas de gude. b) menos de 0 bolas de gude. c) pelo menos 30 bolas de gude. d) mais de 300 bolas de gude. e) exatamente 300 bolas de gude. 15. (Agente Administrativo DNOCS 010/FCC) Os termos da sequência (1, 15, 9, 18, 1, 15, 30, 33, 7, 54, 57,...) são sucessivamente obtidos através de uma lei de formação. Se x e y são, respectivamente, o décimo terceiro e o décimo quarto termos dessa sequência, então: (A) x. y = (B) y = x + 3 (C) x = y + 3 (D) y = x (E) x/y = 33/ (Agente de Estação Metro SP 007/FCC) Considere que os termos da sequência (80, 84, 41, 416, 08, 1, 106,...) são obtidos sucessivamente segundo determinado padrão. Mantido esse padrão, obtêm-se o décimo e o décimo primeiro termos dessa seqüência, cuja soma é um número compreendido entre (A) 0 e 40. (B) 40 e 80. (C) 80 e 10. (D) 10 e 160. (E) 160 e 00. 5

26 17. (PM-BA 009/FCC) Os termos da sequência (5; ; 11; 33; 30; 15; 45; 4; 1; 63;...) são obtidos segundo um determinado padrão. De acordo com esse padrão o décimo terceiro termo da sequência deverá ser um número (A) não inteiro. (B) ímpar. (C) maior do que 80. (D) divisível por 4. (E) múltiplo de (AGPP Pref. de São Paulo 008/FCC) Considere a seguinte seqüência de igualdades: = = = = Com base na análise dos termos dessa seqüência, é correto afirmar que a soma dos algarismos do produto é (A) 8 (B) 9 (C) 30 (D) 31 (E) (TCE-SP 010/FCC) Considere que os números inteiros e positivos que aparecem no quadro abaixo foram dispostos segundo determinado critério. Completando corretamente esse quadro de acordo com tal critério, a soma dos números que estão faltando é (A) maior que 19. (B) 19. (C) 16. (D) 14. (E) menor que 14. 6

27 4. Gabaritos 01. B 0. B 03. A 04. C 05. E 06. A 07. E 08. A 09. E 10. C 11. D 1. C 13. C 14. C 15. B 16. C 17. D 18. A 19. A 7