Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor.

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Terezinha Alcaide de Carvalho
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EEAR/AFA/EFOMM 0-0-015 FELIPE MATEMÁTICA Progressão aritmética ( PA ) Definição Consideremos a seqüência (, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16).

aritméticas (PA).A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r =.

1 EEAR/AFA/EFOMM FELIPE MATEMÁTICA Progressão aritmética ( PA ) Definição Consideremos a seqüência (, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma: 4 = 6 4 = 10 8 = 14 1 = = Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA).A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r =. Podemos, então, dizer que: Progressão aritmética é a seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo, todos são obtidos somando uma constante chamada razão. São exemplos de PA: (5, 10, 15, 0, 5, 0) é uma PA de razão r = 5 (1, 9, 6,, 0, -) é uma PA de razão r = - (,,,,,...) é uma PA de razão r = 0 Notação PA( a 1, a, a, a 4,..., a n) Onde: a 1= primeiro termo r = razão n = número de termos( se for uma PA finita ) a n = último termo, termo geral ou n-ésimo termo Exemplo: PA (5, 9, 1, 17, 1, 5) a 1 = 5 r = 4 n = 6 a n = a 6 = 5 Classificação Quanto a razão: (5, 10, 15, 0, 5, 0) é uma PA de razão r = 5. Toda PA de razão positiva ( r > 0 ) é crescente. (1, 9, 6,, 0, -) é uma PA de razão r = - Toda PA de razão negativa ( r < 0) é decrescente. (,,,,,...) é uma PA de razão r = 0 Toda PA de razão nula ( r = 0 ) é constante ou estacionária. Quanto ao número de termos: (5, 15, 5, 5, 45, 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10. Toda PA de n de termos finito é limitada. (1, 10, 8, 6, 4,,...) é uma PA de infinitos termos e razão r = -, Toda PA de n de termos infinito é ilimitada. Propriedades P1:Três termos consecutivos Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor. Exemplo: Consideremos a PA(4, 8, 1, 16, 0, 4, 8) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer: 4, 8, 1 ou 8, 1, 16 ou... 0, 4, 8. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos: , 1,..., 4 seja a PA ( a 1, a, a ) temos que: a a 1 a Exemplo1: Determine x para que a sequência (, x+, 15) seja uma PA X+ = ( + 15) / => x+ =9 => x= 6 (, 6+, 15) => (, 9, 15) Rua Lúcio José Filho, 7 Parque Anchieta Tel: 01-89

2 exemplo: Determinar x para que a seqüência (+x,5x,x+11) seja PA ( x) (x 11) 5x resolvendo essa equação obtém-se x= 7 e 7 11 e são os termos eqüidistantes dos extremos e 1 15 e 19 P: Termo Médio Numa PA qualquer de número ímpar de termos, o termo do meio(médio) é a média aritmética do primeiro termo e do último termo. Exemplo: Consideremos a PA(, 6, 9, 1, 15, 18, 1) e o termo médio é 1. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último. 1 1 Termo Geral Uma PA de razão r pode ser escrita assim: PA( a 1, a, a, a 4,..., a n-1 a n) Aplicando a definição de PA, podemos escrevê-la de uma outra forma: PA( a 1, a, a, a 4,..., a n-1,a n) termos Representação genérica de uma PA de três + r + r + r + r + PA( a 1, a 1+ r, a 1+ r, a 1+ r, a 1+ 4r,..., a 1+ (n-1)r ) Para a resolução de certos problemas (envolvendo soma ou produto dos termos da PA). É de grande utilidade representar uma PA nas seguintes formas: (x, x+r,x+r) ou (x-r,x, x+r) onde r e a razão da PA. Exemplo Determinar a PA crescente de três termos,sabendo que a soma desses termos é e que o produto vale 8 Soma dos ermos x-r + x + x+r = => x= => x = 1 Produto dos termos (1- r).(1).(1+r) = -8 => 1-r = - 8 => 1+8 = r => r = 9 r = + ou - como a PA é crescente temos que r = resposta (-,1,4) P: Termos Eqüidistantes A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos de uma PA finita é igual à soma dos extremos. Exemplo: Consideremos a PA(, 7, 11, 15, 19,, 7, 1). Portanto, o termo geral será: a n = a 1 + (n-1)r, para n * N Exercícios Resolvidos 1. Determine o quarto termo da PA(, 9, 15,...). a 1= a =9 r = a - a 1 = 9 = 6 (a 1, a, a, a 4,... ) + r + r + r Então: a 4 = a 1 + r + r + r => a 4 = a 1 + r =>a 4 = +.6 => a 4 = +18 a 4 = Determine o oitavo termo da PA na qual a = 8 e r = -. a = 8 r = - (a 1,...,a, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8,... ) + r + r + r + r + r Então: a 8 = a + r + r + r + r + r => a 8 = a + 5r => a 8 = a 8 = 8 15 => a 8 = Interpole meios aritméticos entre e 18. Rua Lúcio José Filho, 7 Parque Anchieta Tel: 01-89

3 Devemos formar a PA(,,,, 18), em que: a 1 = a n = a 5 = 18 n = + = 5 Para interpolarmos os três termos devemos determinar primeiramente a razão da PA. Então: a 5 = a 1 + r + r + r + r a 5 = a 1 + 4r 18 = + 4r 16 = 4r r = 16/4 r = 4 Logo temos a PA(, 6, 10, 14, 18) Soma dos Termos de uma PA finita Consideremos a seqüência (, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, 0). Trata-se de uma PA de razão. Suponhamos que se queira calcular a soma dos termos dessa seqüência, isto é, a soma dos 10 termos da PA(, 4, 6, 8,..., 18,0). Poderíamos obter esta soma manualmente, ou seja, =110. Mas se tivéssemos de somar 100, 00, 500 ou 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso precisamos de um modo mais prático para somarmos os termos de uma PA. Na PA(, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, 0) observe: Para podemos achar a soma devemos determinar o a n(ou seja, a 50): a 50 = a r = = = 198 Aplicando a fórmula temos: S 50 = (a 1+a n).n/ = (+198).50/ = 00.5= Um ciclista percorre 0 km na primeira hora; 17 km na segunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas? PA(0, 17,14,...) a 1 = 0 r = a a 1 = 17-0 = - Para podemos achar quantos quilômetros ele percorrerá em 5 horas devemos somas os 5 primeiros termos da PA e para isto precisamos do a n(ou seja, a 5): a 5 = a 1 + 4r = = 0-1 = 8 Aplicando a fórmula temos: a 1+a 10 = + 0 = a +a 9 = = a +a 8 = = a 4+a 7 = = a 5+a 6 = = S 5 = (a 1+a n).n/ = (0+8).5/ = 14.5 = 70 ele percorreu em 5 horas 70 km. Logo Note, que a soma dos termos eqüidistantes é constante ( sempre ) e apareceu exatamente 5 vezes (metade do número de termos da PA, porque somamos os termos dois a dois). Logo devemos ao invés de somarmos termo a termo, fazermos apenas 5 x = 110, e assim, determinamos S 10 = 110 ( soma dos 10 termos ). E agora se fosse uma progressão de 100 termos como a PA(1,,, 4,...,100), Como faríamos? Procederemos do mesmo modo. A soma do a 1 com a 100 vale 101 e esta soma vai se repetir 50 vezes(metade de 100), portanto S 100 = 101x50 = Então para calcular a soma dos n termos de uma PA somamos o primeiro com o último termo e esta soma irá se repetir n/ vezes. Assim podemos escrever: EXERCÍCIOS 1. Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44?. Considere a sequência dos números positivos ímpares, colocados em ordem crescente. Calcule 95º elemento. a) 95 b) 11 c) 187 d) 189 e) 191. Numa P.A., cujo º termo é igual a 5 e o 6º termo é igual a 1 o 0º termo é igual a: a) 1 b) 40 c) 41 d) 4 e) nda. Exercícios Resolvidos 1. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA(, 6, 10,...). a 1 = r = a a 1 = 6 = 4 4. Os números Rua Lúcio José Filho, 7 Parque Anchieta Tel: , x e x são os primeiros x termos de uma P.A., de termos positivos, sendo x0. O décimo termo desta P.A. é igual a: a) 50 b) 5 c) 54 d) 57 e) 55

4 5. A soma dos termos de uma P.A. é dada por S n n n, n = 1,,,... Então o 10 o termo da P.A. vale: a) 18 b) 90 c) 8 d) 100 e) 9 6. A soma dos 11 primeiros termos da progressão aritmética ( a 1, a,..., an,...) é 176. Se a11 a1 0 então, para qualquer n IN temos: a) a n n b) a n n c) a n n d) a n n e) n a n 1. (ITA) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7? 14. Considere a sequência (1,, 4, 5, 7, 8, 10,11,...), cujos termos são os números inteiros positivos que não são múltiplos de. A soma dos quarenta primeiros termos dessa sequência é: a) 600 b) 900 c) 100 d) 1400 e) As medidas do lado, da diagonal e da área de um quadrado estão em P.A., nessa ordem. O lado do quadrado mede: 7. Numa P.A. de n termos, a soma do primeiro com o de ordem n é 10. A soma do sexto termo com o de ordem n 5 é: a) d) 4 e) b) 1 c) 1 a) 10 b) 60n c) 90 d) [10(n+1)]/n e) 10n 8.(MACK) Se f(n), n é uma sequência definida por f (0) 1, então f(00) é: f ( n 1) f ( n) a) 597 b) 600 c) 601 d) 604 e) (FUVEST) Seja A o conjunto dos 199 primeiros números inteiros estritamente positivos. a) Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A? b) Quantos números de A não são múltiplos inteiros nem de nem de 5? 10. Ache a 1 numa P.A., sabendo que r = 1/4 e a 17 = Os ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética e o menor deles é a metade do maior. O maior ângulo do triângulo mede: a) 60 o b) 75 o c) 80 o d) 90 o e) 10 o 1. Se em uma P. A. de razão positiva o produto dos três primeiros termos é 84 e a soma é 4, então o quarto termo é: a) 0 b) 4 c) 8 d) 1 e) A soma de números em P.A. é 15 e a soma de seus quadrados é 107. O menor desses números é: a) -4 b) 1 c) 5 d) 9 e) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no quilometro e outro no quilometro 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones. 19. Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e 500. Rua Lúcio José Filho, 7 Parque Anchieta Tel: 01-89

5 8 0. (Afa - 01) A sequência x, 6, y, y é tal, que os três primeiros termos formam uma progressão aritmética, e os três últimos formam uma progressão geométrica. Sendo essa sequência crescente, a soma de seus termos é: a) 9 d) 8 b) 89 c) 86 Rua Lúcio José Filho, 7 Parque Anchieta Tel: 01-89

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