MATEMÁTICA A - 11.o Ano. Propostas de resolução

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Camila Marreiro
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1 MATEMÁTICA A -.o Ano Sucessões Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios. Designado por a o maior dos dois termos considerados da progressão geométrica, e por b 0 menor, como a razão é r, temos que: a b r a b r Como a soma dos termos é, temos que: a + b b r + b b r b Como a diferença dos termos é 3, temos que: a b 3 b r b 3 b r 3 + b Assim, por transitividade das duas igualdades anteriores, temos que: b 3 + b 3 b + b 9 b 9 b Substituindo o valor de b na igualdade b r b 3, e resolvendo a equação, obtemos o valor de r: 9 r r r 5 r 5 9 r 5 3 Exame 09,. a Fase. Determinando uma expressão de u n+ u n temos u n+ u n (n + ) + 5 (n + ) + 3 n + 5 n + 3 n + 6 n + 5 (n + 6)(n + 3) (n + 5)(n + 4) n + 4 (n+3) n + 3 (n+4) n + 3n + 6n + 8 ( n + 4n + 5n + 0 ) 9n + 8 9n 0 n + 3n + 6n + 8 n 4n 5n 0 Como n > 0, temos que > 0, e como o quociente de um número negativo (-) por um positivo (), é sempre um valor negativo, temos que u n+ u n < 0, n N Ou seja, (u n ) é uma sucessão monótona decrescente. Exame 08, Ép. especial Página de 5

2 3. Como o terceiro termo da progressão aritmética é 4, designado a razão por r, temos que: u 3 4 u + (3 ) r 4 u + r 4 u 4 r u u + ( ) r u + r a soma dos primeiros termos é: S u + u u + u + r Como a soma dos doze primeiros termos é 74, temos que: Assim, vem que: S 74 (8 + 7r) r 74 6 u u n u + (n ) r + 3(n ) E assim, resolvendo a equação u n 537, vem: (4 r + 4 r + r) (8 + 7r) 6 7r 9 8 r 7 r 3 u n (n ) 537 3n n n n 79 Como a solução da equação é um número natural, então 537 é o termo de ordem 97 da sucessão (u n ), ou seja, u Exame 08,. a Fase 4. Como o quociente de termos consecutivos de uma progressão geométrica é constante e igual à razão (r), temos que: a + 8 a + 6 r e também que r a + 6 a Assim, igualando os quocientes e resolvendo a equação em ordem a a, vem: Assim, como a + 6 a a + 8 a + 6 a + 6 a(a + 8) (a + 6) a a 0 a 6 a + 8a a + a + 36 a a + 8a a 36 6a 36 a 36 6 a 6 r, temos que r Desta forma, podemos calcular o primeiro termo da progressão, u, recorrendo à fórmula da soma dos 7 primeiros termos: S 7 u r7 r 38 u 7 38 u 8 38 u 7 38 u u 3 u Exame 08,. a Fase 5. Como todos os termos da sucessão são positivos, u n 0, n N, e assim, vem que: u n+ u n < u n+ < u n u n+ u n < 0 Ou seja, a sucessão (u n ) é monótona decrescente, pelo que é limitada superiormente pelo primeiro termo e como todos os termos são positivos, então é limitada inferiormente por zero, isto é: Isto é, a sucessão (u n ) é limitada. Resposta: Opção A 0 < u n u Exame 07, Ép. especial Página de 5

3 6. Temos que: Assim, como u n+ razão u n u n ( ) n ( ) ( ) n n n n n n + n n n n n, (u n) é uma progressão geométrica de 7. Observando a expressão da sucessão, temos que: Para n 0, os termos da sucessão são iguais aos valores da ordem, ou seja, u n 0 Para n > 0, os termos da sucessão são iguais a, ou, pelo que u n Assim, para qualquer valor de n, temos que u n 0, ou seja, a sucessão (u n ) é limitada. Exame 07,. a Fase Exame 07,. a Fase 8. Como (u n ) é progressão geométrica (u n ), designado por r a razão, temos que o termo de ordem n é Assim, temos que u n u r n u 4 3 u r 4 3 u r 3 3 u 3 r 3 u 8 89 u r 8 89 u r 7 89 u 89 r 7 Desta forma, e como a progressão é monótona crescente, temos que a razão é positiva (r > 0), pelo que podemos calcular o valor da razão: 3 r 3 89 r 7 r7 r r 4 56 r 4 56 r>0 r 4 Logo, obtemos o quinto termo, multiplicando o quarto termo pela razão: u 5 u 4 r Exame 06,. a Fase Página 3 de 5

4 9. Como (a n ) é progressão geométrica (a n ), designado por r a razão, temos que o termo de ordem n é Assim, temos que a n a r n a 3 4 a r 3 4 a r 4 a 4 r a 6 a r 6 a r 5 a r 5 Desta forma, podemos calcular o valor da razão: E o valor do primeiro termo: 4 r r 5 r5 r 4 r3 8 r 3 8 r a 6 a r 5 Assim, calculado o valor do vigésimo termo, vem r a 5 a 4 a 0 a r Exame 05, Ép. especial 0. Analisando cada uma das expressões temos: Se u n ( ) n, então u ( ) ; u ( ) e u 3 ( ) 3 Como u > u mas u 3 < u a sucessão não é monótona. Se u n ( ) n.n, então u ( ) ; u ( ) e u 3 ( ) Da mesma forma, temos que, como u > u mas u 3 < u a sucessão não é monótona. Se u n n, como u n+, vem que u n+ u n ( n + n n + ) n + + n n n(n + ) + n + n(n + ) n + n + n(n + ) Ou seja, u n+ u n > 0, n N (porque como n > 0, então n(n + ) > 0 e também seja u n é uma sucessão monótona crescente. n(n + ) ), ou n(n + ) Temos ainda que, como u n é monótona crescente, u n > u, n > e que u n < 0, n N (porque como n > 0, n N então n < 0, n N), pelo que u n < 0, ou seja u n é limitada. Se u n + n, então u n é um infinitamente grande positivo, ou seja, δ R, k N : u k > δ, ou seja a sucessão não é limitada.. Recorrendo à definição da sucessão (u n ) temos que u a u 3u + 3a + u 3 3u + 3( 3a + ) + 9a 6 + 9a 4 Exame 05,. a Fase Exame 05,. a Fase Página 4 de 5

5 . Começando por determinar o valor de u, vem: Resolvendo a equação w n u, temos: u u w n u 5n 3 7 5n n 0 5 n 4 3. Determinando uma expressão de u n+ u n temos u n+ u n Teste Intermédio. o ano (n + ) (n + ) + 3 n n + 3 n n n n + 3 n n n + 4 (n+3) n + 3 (n+4) ( n )(n + 3) ( n)(n + 4) n 6n n 3 n 4 + n + 8n n 6n n 3 ( n + 4 n 8n ) 7 Como n > 0, temos que > 0, e como o quociente de um número negativo (-7) por um positivo (), é sempre um valor negativo, temos que u n+ u n < 0, n N Ou seja, u n é uma sucessão monótona decrescente. Teste Intermédio. o ano Página 5 de 5

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