Vamos ver a demonstração deste teorema, através de um vídeo da ESCOLA VIRTUAL.

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1 FICHA DE TRABALHO N.º 7 (GUIA DE ESTUDO SUCESSÕES 4) TURMAS:11.ºA/11.ºB 2017/2018 Começamos por recordar o conceito de Vizinhança r de x 0 «Dados um número real x 0 e um número real positivo r, designa-se por vizinhança r de x 0 o intervalo ]x 0 r, x 0 + r[ e representa-se por V r (x 0 ).» Por exemplo, V 0,2 (3) =]3 0,2; 3 + 0,2[=]2,8; 3,2[ LIMITE DE UMA SUCESSÃO Vamos ver um vídeo da ESCOLA VIRTUAL, com o objetivo de motivar o conceito de limite de uma sucessão Definição: Diz-se que limu n = a, a IR, se para todo o número real δ > 0 existir uma ordem p IN tal que: n IN, n p u n a < δ. Se o limite a existir, diz-se que a sucessão (u n ) é CONVERGENTE. Se a sucessão não for convergente, diz-se DIVERGENTE. Manual, volume 1, página 184, 1 e 2 UNICIDADE DO LIMITE Teorema: O limite de uma sucessão convergente é único. Vamos ver a demonstração deste teorema, através de um vídeo da ESCOLA VIRTUAL. Página 1 de 12

2 Teorema: Uma sucessão constante tem por limite a própria constante. Manual, volume 1, página 185, 3 SUCESSÕES CONVERGENTES E LIMITADAS Vamos analisar esta situação através de um exercício da ESCOLA VIRTUAL. Teorema: Toda a sucessão convergente é limitada. Notas: (1) Uma sucessão não limitada é divergente. (contrarrecíproco) (2) Uma sucessão pode ser limitada e não ser convergente. Propriedades: (1) Toda a sucessão crescente em sentido lato e majorada é convergente. (2) Toda a sucessão decrescente em sentido lato e minorada é convergente. Manual, volume 1, página 186, 4; página 187, 5 LIMITES INFINITOS Vamos ver um vídeo da ESCOLA VIRTUAL, com o objetivo de motivar o conceito de limite infinito de uma sucessão Definição: Uma sucessão (u n ) tem limite + (limu n = + ) quando, para todo L > 0, existir uma ordem p IN tal que: n IN, n p u n > L. Página 2 de 12

3 Definição: Uma sucessão (u n ) tem limite (limu n = ) quando, para todo L > 0, existir uma ordem p IN tal que: n IN, n p u n < L. Propriedade: Se u n + ou u n, então (u n ) é uma sucessão divergente. Manual, volume 1, página 188, 6 e 7; página 189, 8; página 190, 9. Alguns, casos particulares de limites de sucessões: Se cn + d 0 para todo o n IN, tem se que: an + b. lim cn + d = a c se c 0 + se a > 0. lim(an + b) = { se a < 0 Manual, volume 1, página 191, 10 PROPRIEDADES DOS LIMITES DE SUCESSÕES Manual, volume 1, página 192, 11 e 12 Página 3 de 12

4 Vamos ver um vídeo da ESCOLA VIRTUAL, com o objetivo de demonstrar esta propriedade. Manual, volume 1, página 193, 13 e 14 Vamos ver um vídeo da ESCOLA VIRTUAL, com o objetivo de demonstrar esta propriedade. Manual, volume 1, página 194, 15 Vamos ver um vídeo da ESCOLA VIRTUAL, com o objetivo de demonstrar esta propriedade. Manual, volume 1, página 195, 16 Página 4 de 12

5 Vamos ver um vídeo da ESCOLA VIRTUAL, com o objetivo de demonstrar esta propriedade. Manual, volume 1, página 196, 17 Vamos ver um vídeo da ESCOLA VIRTUAL, com o objetivo de demonstrar esta propriedade. Manual, volume 1, página 197, 18 Página 5 de 12

6 Vamos ver um vídeo da ESCOLA VIRTUAL, com o objetivo de demonstrar esta propriedade. Manual, volume 1, página 198, 19 LIMITES INFINITOS. INDETERMINAÇÕES Página 6 de 12

7 Observação: Quando acontecer limu n = + e limv n =, nada se pode afirmar acerca do lim (u n + v n ) antes de efetuarmos os cálculos. Diz-se que (+ ) + ( ) é uma INDETERMINAÇÃO. Manual, volume 1, página 199, 20; página 201, 21 Página 7 de 12

8 Observação: Quando acontecer limu n = ± e limv n = 0, nada se pode afirmar acerca do lim (u n v n ) antes de efetuarmos os cálculos. Diz-se que (± ) 0 é uma INDETERMINAÇÃO. Manual, volume 1, página 203, 22; página 204, 23 Nota:. Se (a n ) é uma sucessão tal que lima n = 0 e se, a partir de certa ordem, a n > 0, diz-se que lima n = Se (a n ) é uma sucessão tal que lima n = 0 e se, a partir de certa ordem, a n < 0, diz-se que lima n = 0. Página 8 de 12

9 Observação:. Quando acontecer limu n = ± e limv n = ±, nada se pode afirmar acerca do lim ( u n ) antes de efetuarmos os cálculos. Diz-se que ± é uma INDETERMINAÇÃO. v n ±. Quando acontecer limu n = 0 e limv n = 0, nada se pode afirmar acerca do lim ( u n v n ) antes de efetuarmos os cálculos. Diz-se que 0 é uma INDETERMINAÇÃO. 0 Manual, volume 1, página 206, 24; página 207, 25 Página 9 de 12

10 Manual, volume 1, página 209, 26 Manual, volume 1, página 210, 27 SOMA DE TODOS OS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Página 10 de 12

11 Manual, volume 1, página 211, 28, 29, 30, 31 e 32 LEVANTAMENTO DE INDETERMINAÇÕES Alguns métodos para o levantamento de indeterminações atrás referidas: 1. Indeterminações do tipo Limite de um polinómio na variável n lim (a 0 n p + a 1 n p a p = lim(a 0 n p ), com a 0 0 Manual, volume 1, página 213, 33 Limite envolvendo radicais Para levantar a indeterminação em expressões que envolvem radicais quadráticos, regra geral, multiplica-se e divide-se a expressão A B ou A B pela expressão conjugada A + B ou A + B, respetivamente. Manual, volume 1, página 214, 34 Página 11 de 12

12 2. Indeterminações do tipo Limite do quociente de dois polinómios lim a 0n p + a 1 n p a p b 0 n q + b 1 n q b q = lim a 0n p b 0 n q, a 0 0 e b 0 0 Manual, volume 1, página 215, Outras Indeterminações As indeterminações do tipo e podem surgir noutras situações. O levantamento de uma indeterminação do tipo 0 ou 0 0 conduz, regra geral, a uma indeterminação do tipo, como veremos nos seguintes exercícios. Manual, volume 1, página 216 e 217, 36; página 218, 37; página 219, 38 Se queres aprofundar os teus conhecimentos acerca dos limites de sucessões, realiza os exercícios das páginas 222 a 227. Página 12 de 12