Por menor que seja a quantidade δ > 0, há uma ordem p N tal que. x n a δ,

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1 DEFINIÇÃO DE CONVERGÊNCIA E LIMITE Seja (x n ) uma sucessão de números em R ou pontos em R 2. Dizemos que (x n ) converge para a, ou que a é o limite de x n, e escrevemos x n a quando n ou lim x n = a Por menor que seja a quantidade δ > 0, há uma ordem p N tal que x n a δ, para todos os termos da sucessão com ordem n p Por menor que seja a quantidade δ > 0, há uma ordem p N, depois da qual todos os termos da sucessão são aproximações 1 de a com erro inferior ou igual a δ. lim c n = 0 e x n a c n para todo o n N lim x n = a mostra que n 2 2 n + 1 n = = n 2 2 n + 1 n 2 1 n n n n n = 2 2 n 0 n 2 2 n + 1 lim n = 1. 1 Dizemos que x n é uma aproximação de a com erro inferior ou igual a δ se a distância entre x n e a fôr menor ou igual a δ. x n a mede a distância entre os pontos x n e a, no eixo real ou no plano. No caso de x n e a serem números, a expressão x n a representa o valor absoluto da sua diferença. Se x n e a forem pontos de R 2, x n a representa a norma do vector que liga estes dois pontos. 1

2 LIMITES INFINITOS Dizemos que (x n ) tende para +, resp.,, e escrevemos x n +, resp.,, quando n, ou ainda lim x n = +, resp.,, Por maior que seja a quantidade L > 0, há uma ordem p N tal que x n L, resp. x n L, x n L, para todos os termos da sucessão com ordem n p UNICIDADE DO LIMITE O limite de uma sucessão quando existe é único: Nenhuma sucessão converge, ou tende, para dois limites distintos. TEOREMA DA SUCESSÃO MONÓTONA Seja (x n ) uma sucessão de números reais. Se existe L R tal que x n x n+1 L para todo o n N Existe x R tal que lim x n = x. Se existe L R tal que L x n+1 x n para todo o n N Existe x R tal que lim x n = x. 2

3 Uma sucessão de números reais (x n ) diz-se majorada, resp. minorada, existir um número M R tal que x n M, resp. M x n, para todo o n N. Uma sucessão simultaneamente majorada e minorada diz-se limitada. (x n ) é limitada x n fôr majorada. Para toda a sucessão monótona (crescente ou decrescente) o limite existe sempre. Se a sucessão fôr limitada o limite existe e é finito. Se a sucessão fôr ilimitada o limite é ±. Seja s n uma sucessão de números reais não negativos ( 0). Então a sucessão das somas parciais n s i = s 1 + s s n, i=1 é monótona crescente. Logo existe o limite lim s 1 + s s n, que se escreve s 1 + s 2 + = s n. A sucessão das somas parciais s 1 + s s n diz-se uma série e o seu limite, lim s 1 + s s n = s n, a soma dessa série. Quando a soma de uma série é finita ela diz-se convergente. Uma série de termos não negativos é convergente a sucessão das somas parciais fôr limitada. ORDEM E LIMITE n=1 Dadas sucessões convergentes de números reais (a n ) e (b n ), n=1 a n b n para todo o n N = lim a n lim b n 3

4 TEOREMA DAS SUCESSÕES ENQUADRADAS Dadas sucessões convergentes de números reais (a n ), (b n ) e (c n ), lim a n = L = lim b n e a n c n b n para todo o n N lim c n = L ARITMÉTICA E LIMITES Sejam (x n ) e (y n ) sucessões de números reais cujos limites, quando n, existam. 1. lim x n = lim x n 2. lim x n + y n = lim x n + lim y n 3. lim x n y n = ( lim x n ) ( lim y n ) x n 4. lim = lim x n y n lim y n Estas regras aplicam-se sempre quando ambos os limites forem números finitos, ou ainda, no caso de pelo menos um dos limites ser infinito, se fôr possível operar aritmeticamente sobre esses limites de acordo com as seguintes convenções. Chamam-se indeterminações às excepções à aplicabilidade destas regras operatórias sobre limites. CONVENÇÕES a + (± ) = ± se a { ± se a > 0 a (± ) = se a < 0 4

5 ± a = ± se 0+ a < + 2 ± = se < a 0 a a ± = 0 se < a < + INDETERMINAÇÕES, 0, Sejam (x n ), (y n ) e (z n ) sucessões de números reais com todos os termos diferentes de zero. INFINITÉSIMAIS RELATIVOS Dizemos que (x n ) é um infinitésimo de (y n ), ou, equivalentemente, que (x n ) é um x n o-pequeno de (y n ), e escrevemos x n = o(y n ) lim = 0. y n 1. x n = o(y n ) e y n = o(z n ) = x n = o(z n ) 2. x n = o(z n ) e y n = o(z n ) = x n + y n = o(z n ) 3. x n = o(y n ) = x n z n = o( y n z n ) 4. lim x n = + e 0 < q < p = (x n ) q = o( (x n ) p ) EQUIVALÊNCIA ASSINTÓTICA Dizemos que x n e y n são assintoticamente equivalentes, x n e escrevemos x n y n lim = 1. y n 2 0 +, resp. 0, representa o limite de uma sucessão que tenda para 0 por termos > 0, resp. < 0. 5

6 1. x n x n 2. x n y n = y n x n 3. x n y n e y n z n = x n z n 4. x n = o(y n ) = y n y n + x n 5. x n x n e y n y n = lim x n y n = lim x n y n x n x n lim = lim y n y n Alguns exemplos de infinitésimais relativos: ( p > q > 0 e 1 < a < b ) log q n = o( log p n ) n q = o( n p ) a n = o( b n ) log n = o( n p ) n p = o( a n ) a n = o( n! ) Exemplo de cálculo de limite: lim 3 n + n 2 n 3 n+1 + n log n = lim 3 n 3 n+1 = 1 3, porque 3 n + n 2 n 3 n e 3 n+1 + n log n 3 n+1. A primeira equivalência assintótica vale porque n 2 n = o( 3 n ). Com efeito n 2 n lim 3 = lim n n (3/2) = 0, n uma vez que n = o( (3/2) n ). Para justificar a segunda observe que Logo n log n = o( n 2 ) = o( 3 n+1 ). log n = o(n). 6