... Onde usar os conhecimentos os sobre s?...

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1 Manual de IV Matemática SEQÜÊNCIA OU SUCESSÃO Por que aprender Progr ogressõe ssões? s?... O estudo das Progressões é uma ferramenta que nos ajuda a entender fenômenos e fatos do cotidiano, desde situações simples, como tomar um remédio, até situações mais complexas, como a proliferação de bactérias. Onde usar os conhecimentos os sobre Progr ogressõe ssões? s?... A necessidade de tomar um medicamento de 8 em 8 horas nada mais é do que uma Progressão Aritmética. As bactérias podem causar doenças, como também podem ser úteis, ajudando as plantas a crescerem. Seja qual for o caso, para um biólogo é muito importante saber como cresce uma população de bactérias, as quais bipartem-se a cada dia, formando assim uma Progressão Geométrica. 36

2 Capítulo INTRODUÇÃO À SEQÜÊNCIA OU SUCESSÃO Seqüência ou sucessão é um dos termos mais antigos da Matemática e nos dá a idéia de termos sucessivos: um primeiro termo seguido de um segundo, de um terceiro e assim sucessivamente, podendo ser finitas ou infinitas. Seqüências Considere os conjuntos: A Conjunto dos dias da semana. B Conjunto dos números naturais pares maiores que e menores que 0. Esses conjuntos podem ser representados de forma ordenada. A {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado} B {4, 6, 8, 0,, 4, 6, 8} A esse conjunto ordenado denominamos de seqüência ou sucessão. Obs.: Na seqüência, a ordem de cada elemento indica a posição que ele ocupa. Classificação As seqüências podem ser: Finitas: quando conhecemos o último termo. Exemplo: Conjunto das letras do nosso alfabeto C {a, b, c, d,...,z} Infinitas: quando não conhecemos o último termo. Exemplo: Conjunto dos Números Naturais Conjunto dos Números Ímpares. 37

3 Representação de uma Seqüência A representação matemática de uma seqüência é: primeiro termo a segundo termo a 3 terceiro termo enésimo termo (, a, a 3,...,...) Assim, na seqüência (,7,0,,...), temos: a 7 a 3 0 a 4 Obs.: A formação dos elementos de uma seqüência pode ser determinada pela lei de formação. Ela determina o termo geral da seqüência. Exemplos: a) A seqüência dos números ímpares pode ser determinada pela fórmula n, em que n Assim: a a 3 a 3 3 a 3 5 a 4 4 a 4 7 A seqüência pode ser representada por (, 3, 5, 7,...) b) Escreva a seqüência de quatro termos definida por: a 3 an 4 a, n par A seqüência será (, a, a 3, a 4 ). 38

4 3 a 4 a a 4 a 4 3 a a 3 4 a 3 a 3 4 a a 3 4 ( ) a 3 48 a 4 4 a 4 a 4 4 a 3 a a 4 9 Assim, a seqüência será (3,, 48, 9). c) Qual é o 5º termo da seqüência dada por + 3 n com n * Para obtermos o 5º termo da seqüência, basta substituir n por 5. Assim: + 3 n a a a a 5 80 Somatório Sendo uma seqüência (, a, a 3,..., ), definimos somatório como a soma de seus termos e indicamos por: S n + a + a ou K (a n) (lê-se somatório de, com n variando de até k). n Exemplos: a) 4 n n S S S 0 5 b) (3n ) n S 3 () S S 60 39

5 Capítulo PROGRESSÃO ARITMÉTICA No capítulo, definimos seqüência. As seqüências são, freqüentemente, resultado da observação de um fato ou fenômeno. Observe no exemplo abaixo as temperaturas máximas de uma cidade do Mato Grosso, nos seguintes dias: Temos uma seqüência de dias e uma seqüência de temperaturas. Observe que há um acréscimo diário das temperaturas. Assim, podemos estabelecer a seguinte seqüência: 3, 5, 7, 9, 3, 33, 35. Essa seqüência é chamada progressão aritmética (P.A.), pois, a partir do segundo termo, foi somada sempre uma mesma constante. Progressão aritmética é uma seqüência de números reais em que, a partir do segundo termo, é igual ao anterior mais uma constante. Definimos essa constante como razão (r). Exemplos de P.A.: a) (4, 6, 8, 0,...), cuja razão é r 40 b) ( 5, 6, 7, 8,...), cuja razão é r c) (9, 9, 9, 9, 9,...), cuja razão é r 0 d) sendo e r 3, então: a + r + ( 3) a 3 a + r + ( 3) 4 a 4 a 3 + r 4 + ( 3) 7 a 5 a 4 + r 7 + ( 3) 0 Então, a P.A. será (,, 4, 7, 0)

6 Resumindo Um termo qualquer é igual ao seu anterior mais a razão a a + r. n n A razão é determinada pela diferença entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o seu anterior. Exemplos: ) Na P.A. (, 5, 8,,...), determine a razão. r 5 3 ou r ) Na P.A. (, 5, 9,...), determine a razão. r 5 ( ) 4 ou r 9 ( 5) 4 3) Na P.A ,,,,..., determine a razão r 0 ou r Classificação Se a P.A. tem r > 0, dizemos que a P.A. é crescente. Se a P.A. tem r < 0, dizemos que a P.A. é decrescente. Se a P.A. tem r 0, dizemos que a P.A. é constante ou estacionária. Fórmula do Termo Geral Seja a P.A. (, a, a 3,...,,...) em que é o primeiro termo e r a razão. Sabemos que: a + r a 3 a + r ( + r) + r + r a 4 a 3 + r ( + r) + r + 3r a 5 a 4 + r ( + 3r) + r + 4r + r + (n ) r + r + (n ) r Portanto, o termo geral de uma P.A. é dado pela fórmula: + (n ) r 4

7 Numa P.A.: é um termo qualquer da P.A. (n indica a posição desse termo). Assim: é o primeiro termo a é o segundo termo a 0 é o vigéssimo termo é o enésimo termo. Em toda P.A., qualquer termo é a média aritmética entre o seu antecedente e o seu conseqüente. 4 a a + a + n n n Exemplos: ) Dada a P.A. (, 6, 0, 4, 8,...), usando o segundo termo (antecedente) com o quarto termo (conseqüente) e dividindo o resultado por, temos: a + a4 a ) Determine o valor de x, sabendo que x, x +, 5x formam, nessa ordem, uma P.A. a+ a3 a x + 5x x+ x + x + 5x 4x 4 x

8 3) Numa P.A., o primeiro e o último termo são, respectivamente, e 448, e a razão é igual a. Quantos termos tem essa P.A.? 448 r n? (n ) n n n n 438 n 438 n 9 4) Numa P.A., sabe-se que a 4 3 e 38. Determine a razão e. a r r 38 Resolvendo o sistema: a + 3r 3 ( ) 3r 3 a + 0r 38 a + 0r 38 7r 35 r 5 Substituindo r 5 na equação: + 3r ( 5)

9 5) Insira ou interpole 4 meios aritméticos entre 8 e n r? 8,,,,, 7 6 termos + (n ) r (6 ) r r 5r 8 7 5r 5 5r 5 r 5 Logo: ( 8, 3,, 7,, 7) Obs.: No exemplo anterior aplicamos a interpolação aritmética, que nos permite calcular os meios aritméticos dados dois extremos e. 6) Três números estão em P.A., de modo que a soma entre eles é 6 e o produto 4. Calcule os três números. Para resolvermos este problema, é conveniente escrever a P.A. em função do termo do meio, que indicaremos por x. Na P.A. de três termos, indicamos por x r, x, x + r. x r+ x+ x+ r 6 (x r) x (x + r) 4 x r + x+ x+ r 6 3x 6 x 44

10 ( r) ( + r) 4 ( r ) 4 (4 r ) 4 8 r 4 r 3 r 3 r 6 r ± 4 Sendo: r 4 r 4 º termo ( 4) 6 º termo 4 º termo º termo 3º termo + ( 4) 3º termo Os números são,, 6. Obs.: ) Se o exercício tem 4 termos, indicaremos por (x 3r, x r, x + r, x + 3r) ) Se tiver 5 termos, indicaremos por (x r, x r, x, x + r, x + r) Soma dos Termos de uma P. A. Finita A soma dos n termos de uma P.A. é dada por: (a +) n S n Em uma P.A., a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Exemplos: ) Na P.A.(, a, 8,, 4, a 6, a 7, 3), calcule: a) a + a 7 a e a 7 são termos eqüidistantes dos extremos, então: a + a a + a 7 5 b) a a a

11 ) Calcule a soma dos 0 primeiros termos da P.A. (, 0,,,...). Calculemos inicialmente 0 : r 0 + (0 ) n ( + 8) 0 S 0 S ) Calcule a soma dos números pares positivos até 0. Os números pares positivos até 0 formam a P.A. (, 4, 6,..., 00) Determinamos quantos números pares existem entre e (n ) r S 00 ( + 00) (n ) 00 + n S n 00 n 00 4) Determine uma P.A. de 0 termos que tenha soma 650 e o primeiro termo seja 4. 4 n 0 S (a+ a n) n S n (4 + a n) (n ) r (0 ) r 46 0

12 r 9r 57 r 3 Logo P.A. é (4, 7, 0, 3, 6, 9,, 5, 8, 3, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 5, 55, 58, 6) 5) Resolva a equação: x 55, sabendo que os termos do º membro estão em P.A. Seja a seqüência (, 5, 8,..., x), temos: r 5 3 n? x + (n ) r x + (n ) 3 x + 3n 3 x 3n 3n x 3n x + S n 55 n x + 3 (a+ a n) n S n x+ ( + x) 55 3 x + + x + x 30 3 x + 3x x + 3x x 9 3± 6 x 3 Como a P.A. é crescente, x 9 47

13 Capítulo 3 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Observe a seqüência: (, 4, 8, 6,...) Note que, dividindo um termo dessa seqüência pelo anterior, obtemos sempre : a 4 a3 8 a4 6 a a 4 a 8 A essa constante chamamos de razão, indicada pela letra q. Progressão Geométrica é uma seqüência de números reais em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante (chamada razão). Exemplos: ) Sendo e razão q 3, então: a q 3 6 a 3 a q a 4 a 3 q a 5 a 4 q P.G. ( 6, 8, 54, 6,...) ) Sendo 8 e q, então: 3 a q 8 a 3 a q 4 a 4 a 3 q a 5 a 4 q P.G. 4,,,,

14 Resumindo q Um termo qualquer de uma progressão geométrica é igual ao anterior multiplicado pela razão. Podemos aplicar as progressões geométricas em várias situações, como, por exemplo, no crescimento da população. Veja: A população de uma cidade cresce a uma taxa de 8% ao ano. Se atualmente há dez mil habitantes, qual a população prevista daqui a 5 anos? O fator de aumento gerado pela taxa anual é 00% + 8% 08%,08. A população de um certo ano é igual à do ano anterior multiplicado por,08. A razão da P.G. é o fator de aumento. O termo geral da P.G. é dado por P ,08 n-. Podemos escrever, então a P.G , 0.800,.664,.597, Daqui a 5 anos a população será de Fórmula do Termo Geral Podemos encontrar uma expressão que nos permita encontrar qualquer termo da P.G. Seja a P.G.(, a, a 3,...,,...). Sabe-se que é o primeiro termo e q a razão. Então: a q a 3 a q ou a 3 q a 4 a 3 q ou a 4 q 3 a 5 a 4 q ou a 5 q 4 Podemos então escrever q n, que representa a fórmula do termo geral da P.G. Na qual: é o primeiro termo; q é a razão; um termo qualquer da P.G.; n o número de termos da P.G. 49

15 Exemplos: ) Qual é o quinto termo da P.G.,, ? 8 q n 5 a 5? q n a 5 8 a 5 8 a a 5 ) Qual o número de termos da P.G., onde 6, 96 e q? 6 96 q q n 96 6 n n 96 6 n 6 n 4 n 4 n 5

16 3) Sabendo que numa P.G., a 5 3 e a 8 56, calcule e q. Temos que: a 5 q 4 q 4 3 a 8 q 7 q 7 56 Resolvendo o sistema: 7 q 4 a q q Substituindo q em: q 4 3, vem: q q 3 6 4) Interpole ou insira oito meios geométricos entre e 8. 43,,,,,,,,, n q? q n 8 43 q q9 q q 3 Portanto:,,,,,,3,9,7,

17 5) Numa P.G. de cinco termos, a soma dos dois primeiros é 5 e a soma dos dois últimos é 0. Escreva a P.G. + a 5 + q 5 a 4 + a 5 0 q 3 + q 4 0 ( + q) 5 (I) q 3 ( + q) 0 (II) Dividindo membro a membro a equação I por II: a (+ q) 5 3 q (+ q) q 8 q 3 8 q Para q, substituindo em I, vem: + q a 5 5 Portanto, a P.G. será (5, 0, 0, 40, 80). Propriedade Dados três termos positivos de uma P.G., dizemos que o termo central é a média geométrica dos termos extremos. Se (x, y, z) é P.G., então y x z. Exemplo: Determine x, tal que x, x + 9, x + 45 formem, nessa ordem, uma P.G.

18 Partindo de a a3, temos: a a a a 3 (x + 9) x (x + 45) x + 8x + 8 x +45x 7x 8 7x 8 x 8 7 x 3 Representações Especiais Às vezes, para facilitar a resolução dos exercícios, é conveniente utilizar as representações especiais. x Se a P.G. tem 3 termos:,x,x q q x x 3 Se a P.G. tem 4 termos:,, x q, x q 3 q q x x Se a P.G. tem 5 termos:,,x,x q,x q q q Exemplo: Determine três números em P.G. crescente, sabendo que sua soma é 3 e seu produto é 7. A P.G. tem 3 termos, então podemos escrever: x + x + x q 3 q x x x x q 7 q x x q 7 q x 3 7 x 3 7 x 3 53

19 Substituindo x 3 na equação: x + x + x q 3 q q 3 q 3 + 3q + 3q 3q q q 3q + 3q 3q q 0q ( 0) q 0 ± 8 6 q q Sendo a P.G. crescente, temos q 3 Portanto: (, 3, 9) Soma dos Termos de uma P.G. Finita Considere a progressão geométrica (, a, a 3,..., ) com razão q. Podemos obter a fórmula dos termos de uma P.G. finita. n a (q -) S n q- Obs.: Se q, a fórmula é dada por S n n a Exemplos: ) Calcule a soma dos 8 primeiros termos da P.G.,,,

20 9 S n (3 8 ) 9 3 q S n S n S n (656 ) ) Determine o número de termos de uma P.G. finita em que, q e S n q S n n a (q ) S n q n ( ) n n 4096 n 4096 n 048 n n 55

21 3) Calcule a 9 e a soma dos 9 primeiros termos da P.G. ( 0,,, 3,...). 0 q n 9 a 9? q n 9 ( ) a 9 9 S 9 a 9 8 a 9 56 S 9 5 Limite da Soma de uma P.G. Infinita Neste caso, como a P.G. é infinita e decrescente, calculamos o limite da soma dos termos, isto é, o valor para o qual a soma tenderá. Fórmula: a S -q Exemplos: 3 ) Calcule o limite da soma da P.G., 6, 3,,.... q 6 S q S S S 4 56

22 ) Resolva a equação x x q 3 x x 3 x 3 S a S q x x x x 3 x 3 x 8 S {8} 3) Determine o valor de q 0 S q S 0 S 9 0 S

23 4) Calcule a fração geratriz das dízimas: a) 0, , A dízima é uma soma de infinitos termos de uma P.G. decrescente, em que: 5 0 e q Substituindo na fórmula: S q S S b), , q 00 58

24 3 00 S S S 3 99 Nessa dízima devemos somar e o algarismo que se repete: Produto dos Termos de uma P.G. Limitada Dada a P.G. (, 4, 6, 64, 56, 04), temos: , a 6 04 e a 6 04 a 4, a 5 56 e a a 5 04 a 3 6, a 4 64 e a 3 a 4 04 Em toda P.G. limitada, o produto dos termos eqüidistantes do centro é constante. Podemos escrever a fórmula: P (a a ) n n n P n n (a a ) n 59

25 Exemplo: Calcule o produto dos seis primeiros termos da P.G. (, 3, 9,...) q 3 q n a 6 ( 3) 6 a 6 43 n P n (a a ) n 6 P n ( 43) 5 6 P n ( 3 ) P n 3 5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Na sucessão (, 3, 7, 0,, 8, 5), determine os elementos a, a 5, a 7. ) Na sucessão ( 3,, 5, 8, 0), determine a a 4 + a 5. 3) Escreva os cinco primeiros termos das seqüências: a) n 3 b) n 4) Dada a sucessão de termo geral 4n, n a) calcule a soma dos quatro primeiros termos; b) verifique se 7 é termo da sucessão, caso afirmativo, indique sua 8 posição. 5) Escreva as seqüências definidas por: a) n ( ) n e n, n 4 b) 3n n e n, n c) a d) a an+ 3 an n n a n ( ) an n > 60

26 6) Seja a seqüência ( ) definida por: an 5n+ par natural par e n+ an ( ) par natural ímpar, a) escreva a seqüência; 4 b) calcule an. n n(n ) 7) Seja a seqüência, em que n é um natural qualquer, n 5 a) escreva a seqüência; b) calcule an +. n 8) Calcule: n a) 3n + b) 0 ( ) c) n n n 0 n i ) (Cesgranrio-RJ) A soma é igual a: i a) d) ( ) b) 50 + e) ( 500 ) c) 50 0) (FATEC-SP) Se S 4 3(n + n+ ) n n n, então: a) S b) S c) S 3 d) S 4 e) S 5 ) Das seqüências abaixo, identifique quais são P.A. e determine a razão. a) (, 3, 5, 7, 9,...) e) (,, 3, 5,... ) 4 b) (8,, 3, 4,...) f),, 0, 4, 6,... 3 c) (3,; 6,; 9,,...) g) (a, a 3, a 5, a 7) d) (0,; 0,0; 0,00;...) ) Sejam três termos consecutivos de uma P. A. x, x, x 3. Calcule x. 6

27 3) Sabendo que os números (x + ), 7x e 9x, nesta ordem, são termos de uma P.A. crescente, determine: a) o valor de x; b) o sexagésimo termo dessa P.A. 4) Determine o primeiro termo de uma P.A. de razão 3 e o vigésimo termo é ) Determine a razão da P.A. sendo,8 e a 7. 6) Um triângulo apresenta seus lados em P.A. Calcule os lados sabendo que seu perímetro é cm. 7) Determine uma P.A. de quatro termos sabendo que sua soma vale e o produto 40. 8) A soma de a + a 4 5 e a 5 + a 6 5. Calcule o º termo e a razão. 9) As idades de três irmãs estão em P.A. Sabendo que a soma das idades é 4 e a diferença da idade da mais velha e da mais nova é, calcule as idades. 0) Qual o centésimo número natural par? ) Interpolar: a) seis meios aritméticos entre e 47. b) doze meios aritméticos entre 45 e 0. ) Determine o número de múltiplos de: a) 7 que existem entre 0 e 00. b) 3 compreendidos entre 0 e ) Determine a soma dos números pares positivos menores que 0. 4) Colocando-se 0 estudantes em filas, com estudante na primeira fila, na segunda fila, 3 na terceira fila e assim sucessivamente, formando-se um triângulo. Determine o número de filas.

28 5) (FGV-SP) Um automóvel percorre no primeiro dia de viagem uma distância x; no segundo dia percorre o dobro da que percorreu no primeiro dia; no terceiro dia o triplo do º dia, e assim sucessivamente. Ao final de 0 dias, percorreu uma distância de km. A distância percorrido primeiro dia foi de: a) 5 km c) 0 km e) 35 km b) 30 km d) 5 km 6) Calcule a soma dos múltiplos de 6 que estão entre e 00. 7) (FATEC-SP) Em uma P.A. a soma do 3º com o 7º termo vale 30 e a soma dos primeiros termos vale 6. A razão dessa P.A. é: a) 0,5 b) c),5 d) e),5 8) Calcule a soma dos números múltiplos positivos de 4 formados por algarismos. 9) Quais das sucessões são P.G.? a),,,, d) (7 7, 7 4, 7,...) b) ( 3, 6,, 4,...) e) (a 3 b, ab, a b 3,...) c) ( 3, 6, 3,...) 30) Obtenha a razão das seguintes P.G.s.: a) (, 4 6, 4,...) c) (3, 6,,...) b) (,,,,...) 3) Determine o quinto termo da P.G. (5, 0, 0,...). 3) Determine o número de termos da P.G. (,, 4,..., 5). 33) Determine quatro números em P.G., sendo a soma dos extremos 40 e a soma dos meios

29 64 34) Qual o valor de x, se a seqüência (x, x, 4x + ) é uma P.G.? 35) Numa P.G., e q, calcule a soma dos 0 primeiros termos. 36) Quantos termos devemos ter na P.G. (, 6, 8, 54,...) a fim de obtermos uma soma 9.84? 37) Calcule, em cada caso, o limite da soma dos termos das progressões geométricas: a) (0,5; 0,05; 0,005;...) b) c) y,,, y 38) Determine x nas equações: a) x + x + x c) x b) x + x 4x x x ) Ache a fração geratriz das seguintes dízimas: a) 0, c), e), b) 0, d) 0, ) Calcule o produto dos termos: a) dez primeiros termos da P.G.,,, b) nove primeiros termos da P.G.,,, c) treze primeiros termos da P.G. (3, 3, 3 3,...). 4) (FGV SP) Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e a medida da área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8. Então, a medida da base mede: a) b) c) 4 d) 8 e) 6

30 Respostas ) a 3 a 5 a 7 5 Manual de Matemática ) 3) a) (,, 0,, ) b),,,4,8 4) a) 67 b) 8º termo 5) a) (,, 3, 4) c) (, 6, 8, 7,...) b) (, 8,,...) d) (,,,,...) 6) a) (,,, ) b) ) a) 0,, 4,, b) 30 8) a) 4 b) 0 c) 0 9) e 0) b ) a (R ), c (R 3), e (R ). ) x 5 3) a) x 3 b) 3 4) 7 5) r, 6), 4 e 6 7) ( 5,,, 4) ou (4,,, 5) 8) 7, r 9) 8, 4 e 0 anos. 0) 98 ) a) (, 7,, 7, 3, 37, 4, 47) b) (45, 40, 35,..., 0) ) a) 6 b) 7 3) S n.550 4) 5 filas 5) b 6) 86 7) d 8).88 9) b, c, d 65

31 30) a) 3 b) c) 3) 80 3) 0 33) (5, 5, 45, 35) 34) 35) 40 36) 9 37) a) 5 9 b) 3 c) y y 38) a) {8} b) 3 8 c) {6} 39) a) 7 9 b) c) 5 3 d) e) ) a) 3 5 b) 5 c) 3 9 4) e 66