d 5 = 2. Descreva com tuas palavras o padrão relacionado a TODAS as sequências anteriores.

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1 .5. Progressão Geométrica. (PG). Observem as sequências abaixo e determine os próximos três termos da sequência pelo padrão existente nos primeiros termos: (a n) = (3, 6,, 4, 48,...) a 6 = a 7 = a 8 = (b n) = (5, 35, 45,.75,...) b 5 = b 6 = b 7 = (c n) = (, 4, 6, 64, 56,...) c 6 = c 7 = c 8 = (d n) =,,,, d 5 = d 6 = d 7 = Elas possuem o mesmo padrão. Se você descobriu quais são os termos a 8, b 7, c 8 e d 7 já sabes como identificar uma progressão geométrica (PG).. Descreva com tuas palavras o padrão relacionado a TODAS as sequências anteriores..6. Definição de progressão geométrica. (PG) Relacione o padrão encontrado nas sequências anteriores e a definição de PG abaixo: Simbolicamente: Para uma PG com n N, n > e a n 0 para todo n, vale a igualdade: an = q () an Chamamos de q a razão da PG, pois é definida a partir do quociente. 3. Há alguma divergência entre a tua observação e a definição acima? ( )(a) Sim. Qual? ( )(b) Não. Por quê? 4. Pela definição nenhum termo pode ser nulo. Tu consegues imaginar o porquê? ( )(a) Sim. Porque ( )(b) Não. Então invente uma PG que tenha termos nulos: (a n)= (,,,,...) 5. Qual a razão desta tua sequência? Use a equação () e verifique a validade desta equação para todos os termos da PG. O que aconteceu ao verificar a razão para a, a 3 e a 4? Mesmo se não considerarmos a definição pelo quociente, através da equação (), haveria problemas na definição de uma PG com termos nulos. Acompanhe o exemplo abaixo: (a n)=(a, 0, 0, 0,...) 8 Sequências

2 6. Responda: (a) a.3 = a? a.3 = a 3? a 3.3= a 4? Então a q = 3? ( )Sim ( )Não (b) a.4 = a? a.4 = a 3? a 3.4= a 4? Então a q = 4? ( )Sim ( )Não (c) a.3 = a? a.4 = a 3? a 3.5= a 4? Então a razão: ( ) q = 3 ( ) q = 4 ( ) q = 5 ( ) qualquer número ( ) não existe, pois a razão deve ser constante. Assim chegamos no porquê da PG não haver termos nulos. Se ainda não compreendeste discuta com teus colegas e chame a professora. Exemplos: 7. Determine a razão das sequências do item.5: (a n) q = (b n) q = (c n) q = (d n) q = 8. Determine se as sequências abaixo são PGs. Caso afirmativo determine a razão das mesmas: (a n) =, 3, 6, 6, 3 (b n)= (4, 6, 9,...).7. Termo Geral da PG Para deduzir o termo geral da PG, semelhante ao procedimento feito para as PAs, escreveremos qualquer termo da PG sabendo ÚNICA E EXCLUSIVAMENTE a e q 0 destas PGs. 9. Faça abaixo o mesmo procedimento feito para as PAs. (a n) = (a, a, a 3, a 4, a 5,...) a a = a 5 = a 3 = a 4 = a 6 = a 7 = Agora generalize para um n qualquer. Escreva da forma mais simples possível: Para n N, temos: a n = Exemplos:. Determine o sétimo termo da sequência: (a n) = ( 8, 7, 9, 3,...). Determine o primeiro termo da PG em a 8 = e a razão é q = 3. 9 Sequências

3 Aplicações. 3. Biologia. As bactérias se reproduzem por bipartição, isto quer que cada bactéria se transforma em duas, o mesmo que ocorre na divisão celular. Com as bactérias não existem gerações ascendentes, pois a "bactéria mãe" se divide obtendo duas "bactérias filhas", ou seja, a bactéria mãe deixa de existir depois da reprodução. Considerando que uma espécie de bactéria leva meia-hora para completar a bipartição e que esse processo é contínuo, determine quantos espécimes terá uma colônia gerada a partir de uma única bactéria depois de 9 horas e meia. 4. Fractais. A sequência de figuras abaixo mostra triângulos equiláteros. A sequência é obtida pelo seguinte processo: figura. Triângulo de área ; figura. O triângulo da figura é dividido através de segmentos que ligam os pontos médios dos seus lados e é eliminado o triângulo central assim formado; figura 3. Cada triângulo da figura é dividido através dos segmentos que ligam os pontos médios dos seus lados e é eliminado o triângulo central. figura figura figura 3 figura 4 (a) Obtenha a sequência das áreas das figuras assim formadas e seu termo geral. (b) Qual área da figura 3? Qual área da figura 45? Responda com base no item (a). 9 Sequências

4 (c) Existirá figura em que a área seja nula? Justifique?.8. Exercícios. Identifique as progressões aritméticas por PA, e as progressões geométricas por PG e calcule suas respectivas razões. Nas sequências que não forem nem PA nem PG coloque PN. 3 4 (a n) =,,,... (b n) = ( 3, 8 3, 6 3,...) (c n) =,,, (e n) =,,, (d n) = ( 3 5, 5 5, 7 5,...) (f n) =,,,, Qual é o décimo termo da sequência (v n) =,,,...? 4 3. Determine x de modo que a sequência (3 x+,3 4-x,3 3x+ ) seja uma pg. 4. Se 7 e são termos consecutivos de uma progressão geométrica, calcule as possíveis razões dessa PG. 5. O quinto termo de uma PG de razão é 400. Determine o nono termo dessa sequência. 6. Determine o número de termos da sequência:(k n)= (5, 0, 0,, 80). 7. Da mesma que falamos em interpolação aritméticas, podemos definir a interpolação geométrica, mas agora a sequência formada é uma progressão geométrica. Assim, interpole oito meios geométricos entre e 3 nessa ordem. 8. Determine a posição ocupada pelo termo de valor 3. na sequência (c n) = (, 6,,...). 9. (UFRGS) A cada balanço, uma firma tem apresentado um aumento de 0% em seu capital. A razão da progressão formada pelos capitais nos balanços é: 0 9 a) 0 b) 0 c) d) 0 e) 0 0. Subtraindo-se um mesmo número de cada termo da sequência (3, 7, 5) obtém-se uma progressão geométrica. Qual a razão da PG?. Uma pesquisa acompanhou o crescimento de uma colônia de bactérias. Na ª observação constatou-se um total de.500 bactérias. Observações periódicas revelaram que a população da colônia sempre duplicava em relação à observação imediatamente anterior. Em que observação a colônia alcançou a marca de ? 0 Sequências

5 . Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houveram sido colocadas na etapa anterior. pilha ª etapa pilha ª etapa pilha 3ª etapa (a) Obtenha a expressão que determina o número de tábuas a n presentes na pilha da etapa n. Deixe claro como chegou nesta expressão. (b) Considerando que as tábuas são empilhadas no sentido que indicam as figuras, calcule a altura da pilha de tábuas na ª etapa. 3. Uma progressão geométrica crescente é formada por três números cujo produto é 64. Subtraindo-se do terceiro termo dessa PG, obtém-se uma PA. Determine o primeiro termo dessa PG..9. Respostas dos exercícios.0.. (a n) sim, r = (b n) sim, r = 4 (c n) sim, r = 3 (d n) não (e n) não (f n) sim, r = (g n) sim, r = 3 (h n) sim, r = y. a 5 = 8 b 9 = 6m 6a 3. r=raio 4. r = a = 3 7. n = 8 8. r = 7 a = 9. r = x 0. (a)pa (b) a n = 4n, n N (c) 9 (d) 53. b 0 = 64.(a)a n = + 3n, n N (b)30 (c) (a) (b) (c n) =,, (a) 36 (b) 8 5. º de janeiro de VVFVVFVF.0. Respostas dos exercícios a 9 = 7. S 5 = meios 4. 9 dias 5. S 45= 3.05/ 6. a 8 = 7. S = {8} 8. a 6 = 4 9. R$.60,00 0. n = poltronas. Alternativa (c) 3. S 50 = S J = Sequências