a 1 a 2 = a 7 = a 31 = a 44 = a 51 = Podemos escrever qualquer termo de uma PA se soubermos o 1º termo e a razão desta PA. n ln.
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- Nina Tuschinski Macedo
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1 1.6. Progressão Aritmética (PA). Observe as sequências abaixo: (a n) = (1, 4, 7, 10, 13,...) (b n) = ( -7, -5, -3, -1, 1, 3,...) (c n) = (2016, 2012, 2008, 2004,...) Elas possuem um padrão semelhante. (a n) (b n) (c n) a 1 = 1 b 1 = 7 c 1 = 2016 a 2 = 4 b 2 = 5 c 2 = 2012 a 3 = 7 b 3 = 3 c 3 = 2008 a 4 = 10 b 4 = 1 c 4 = 2004 a 5 = b 5 = c 5 = a 6 = b 6 = c 6 = a 7 = b 7 = c 7 = Pode parecer que as duas primeiras sequências tem um padrão e a última um padrão similar, mas relacionado, todas têm o mesmo padrão se lembrarmos que Definição de PA. Denomina-se progressão aritmética PA a sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da PA e pode ser qualquer número real. Observação: Segundo o tipo da razão podemos classificar as PAs em crescentes, decrescentes ou constantes. (a n) e (b n) acima são exemplos de PAs crescentes, para isso a razão deve ser positiva. Já (c n) é um exemplo de PA decrescente, pois sua razão é negativa. Para a PA ser constante a razão deve ser nula, como por exemplo: (d n) = ( 3, 3, 3, 3,...) 1.8. Termo geral da PA. Pelo padrão da definição de uma PA, ou seja, a cada termo adicionando a razão r obtém o termo seguinte, podemos deduzir o termo geral de qualquer PA. No caso geral (a n) = (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,...) a 6 = a 1 a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = a 7 = a 31 = a 44 = a 51 = Podemos escrever qualquer termo de uma PA se soubermos o 1º termo e a razão desta PA. n ln. Exemplos: 1. Obter a 21 e a 104 da sequência (a n) = ( 6, 1, 4, 9,...). 11 Sequências
2 2. Obter o 1º termo da PA de razão 7, cujo décimo termo é Quantos termos tem a sequência (c n) = ( 7, 2, 3,..., 38)? 1.9. Propriedades de uma PA. a) Exemplo: (a n) =,,,, A subtração de dois termos consecutivos é sempre igual a razão da PA. Esta verdade decorre direto da definição: Se a n-1 + r = a n, então a n a n-1 = r. Generalizando: n ln. a n a n-1 = r b) Exemplo: (a n) = (2, 7, 12, 17, 22, 27, 32,...) Considerando três termos consecutivos de uma sequência é uma PA se, e somente se o termo central é calculado pela média aritmética entre os outros dois termos. 12 Sequências
3 ...,a n-1, a n, a n+1,... Exemplo: Determine a de modo que (a, 2a +1, 5a + 7) seja uma PA. c) Exemplo: (a n) = (27, 22, 17, 12, 7, 2, 3, 8, 13, 18, 23) A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos de uma PA finita. E o valor da soma é o dobro do termo central quando existir. Generalizando para (a n) = (a 1, a 2, a 3,..., a n-2, a n-1, a n) a 1 + a n = a 2 + a n-1= a 3 + a n-2=... Exemplo: Numa sequência de 35 termos, o 12º termo é equidistante de que outro termo em relação aos extremos? Como determinar quais elementos são equidistantes numa sequência de n termos? A soma dos índices dos termos equidistantes aos extremos é sempre, onde n representa o número de termos da sequência. 13 Sequências
4 Exemplo: Numa sequência de 35 termos, qual é o termo central? E se a sequência tiver 51 termos? E n termos? Seja c o índice do termo central, então c =. Se n é ímpar: a 1 + a n = a 2 + a n-1 = a 3 + a n-2 =...= 2a c Exercícios 1. Assinale as sequências que representam progressões aritméticas e nos casos afirmativos calcule a sua razão. (a n) = (13, 11, 9, 7,...) (b n) = ( 4 3,1, 4 5, 2 3,...) (c n) = ( 4, 7, 10,...) (d n) = (0, 7, 14, 21, 27,...) (e n) = (1, 6, 11, 15,...) (f n)=( 2, 1+ 2, 2+ 2,...) (g n) = (a, a+3, a+6, a+9,...) (h n) = (x+y 2, x+3y 2, x+5y 2,...) y 0 2. Determine o vigésimo quinto termo da sequência (a n) = ( 2, 4 9, 2 (b n) = (18a, 15a+2m, 12a+4m,...). 5,...) e o nono termo de 3. Os dois últimos termos de uma PA são, nessa ordem, o raio e o diâmetro de uma circunferência. Determine a razão desta sequência. 4. Dada uma PA sabe-se que o décimo primeiro termo é 17 e o vigésimo terceiro termo é 45, calcule o razão desta PA. 5. Quantos são os múltiplos de 15 compreendidos entre 111 e ? 6. Se uma PA de vinte e três termos começa por 15 e termina por 231, calcule o décimo segundo termo. 7. Determine qual a posição do primeiro termo positivo da sequência: (d n) = ( 301, 253, 205,...). 8. Numa PA sabe-se que a soma do primeiro com o quinto termo é 15 e a soma do terceiro com o sexto é 36. Determine seu 1º termo e sua razão. 9. Verifique que a sequência (a n) = (2 x, 2 x+1, 3.2 x, 2 x+2,...) é uma PA. 10. Imagine que fossem construídos outros quadrados conforme sugerem as figuras. Observe a sequência que indica o número de pontos assinalados de cada figura. (a) Esses números formam que tipo de sequência? (b) Determine o termo geral dessa progressão. 14 Sequências
5 (c) Quantos pontos terá a figura 23? (d) Qual a primeira figura que contém mais de 210 pontos? 11. A sequência (6, 5+x, y) é uma PA de razão 3. Qual o 20º termo da PA (y, 2x,...)? 12. Uma criança está brincando de fazer quadrados com palitos de fósforos como mostra o desenho a seguir. (a) Obtenha o termo geral da sequência. (b) Quantos palitos são necessários para fazer 100 quadrados? (c) Quantos quadrados ela fez com 250 palitos? 13. A sequência (c n) = (4 + 4a, 6a, 8 3a) é uma PA. (a) Determine o valor de a. (b) Calcule os termos da PA. 14. Para preencher as vagas num vestibular, uma faculdade decidiu adotar o seguinte critério: na 1ª chamada, são convocados 96 alunos; na 2ª chamada: 84; na 3ª: 72; e assim por diante. (a) Quantos alunos são convocados na 6ª chamada? (b) Quantas chamadas há nesse vestibular? 15. Num clube social em que os mandatos de todas as presidências tiveram a mesma duração, o nono presidente iniciou seu mandato em 1º de janeiro de 1934 e o vigésimo sétimo presidente iniciou o seu em 1º de janeiro de Determine a data em que o primeiro presidente desse clube iniciou seu mandato. 16. Sendo (a n) uma PA, julgue em verdadeiras ou falsas as sentenças abaixo, justifique em qualquer caso: a1 a (a) a 7 = a 1 + 6r (b) a 3 2= (c) a 10=a 4 + 5r (d) a 23 a 22 = r 2 (e) a 3 + a 10=a 1 + a 12 (f) a 8 + r=a 7 (g) a 2=a 9 7r (h) a 2 + a 15 = 2a Interpolação Aritmética. Exemplo: Encontre os termos ausentes na seguinte PA : (a n) = ( 5,,,,,,,,,, 45) O que acabamos de fazer, na linguagem das sequências é: INSERIR 9 MEIOS ARITMÉTICOS entre 5 e 45. Ou seja, formar uma PA em que conhecemos o primeiro e o último termo e o número de termos. 14 Sequências
6 Exemplo: Na estrada que liga a fazenda Parintins até a sua sede existem duas palmeiras, uma a 12 metros da entrada e outra a 228 metros. O proprietário deseja plantar entre elas outras cinco palmeiras. Considerando que a distância entre duas palmeiras consecutivas deve ser a mesma, qual será a distância de cada palmeira até a entrada da fazenda depois de todas plantadas? Soma de n termos de uma PA. Notação: S n é a soma dos n termos de uma PA. Para PA a soma de infinitos termos não existe. Definindo uma fórmula: Primeiro precisamos lembrar uma propriedade importante de PA: A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. No caso de finitos termos de uma PA. Com o objetivo de somar todos os termos dessa PA disporemos os termos da sequência na primeira linha do primeiro ao último e na segunda linha do último ao primeiro, na mesma coluna estarão os equidistantes aos extremos e os extremos. Somando as duas linhas encontraremos o dobro do que queremos. S 9 = ( 3)+ ( 8)+ ( 13)+ ( 18)+ ( 23) + S 9 = ( 23)+ ( 18)+ ( 13)+ ( 8)+ ( 3) Se quiséssemos encontrar a soma dos termos dessa PA em particular não precisaríamos ter feito tudo isso, mas por esse raciocínio deduziremos a fórmula geral. S n = 15 Sequências
7 Exemplos: 1. Resolva a equação em lr: 2x + 7x + 12x x = Determine quantas bolinhas tem a figura de número 210 da sequência abaixo:... fig.1 fig.2 fig.3 fig.4 fig Exercícios 1. Ao interpolar aritmeticamente 16 meios entre 1 e 2, qual será o nono termo? 2. Determine a soma dos primeiros 15 múltiplos positivos de Quantos meios aritméticos devemos inserir entre 5 e 53 de modo que a sequência obtida tenha razão r = 8? 4. (Cesesp-PE) Dois andarilhos iniciam juntos uma caminhada. Um deles caminha uniformemente 10 km por dia e o outro caminha 8 km no primeiro dia e acelera o passo de modo a caminhar mais 0,5 km a cada dia que se segue. Determine o número de dias caminhados para que o segundo andarilho alcance o primeiro. 5. Determine a soma dos 45 primeiros termos da sequência: (a n) = 1 7, 2,, 5, Determine o último termo da PA (11, 8, 5, 2,...) sabendo que a soma de seus elementos é igual a Sequências
8 7. Resolva a seguinte equação, em lr: (x +1) + (x+ 3) + (x + 5) (x + 25) = Se a soma de 31 termos de uma PA é 744, qual o décimo sexto termo desta sequência? 9. Um pai fez depósitos mensais na caderneta de poupança de seu filho. No primeiro mês o depósito foi de R$ 10,00, no segundo mês foi de R$ 15,00, no terceiro mês foi de R$ 20,00 e assim sucessivamente. Feito o 24º depósito, qual o total depositado nesta caderneta? 10. Considere as seguintes progressões aritméticas: (a n) = ( 13, 8, 3,...) ; (b n)=(1,4,7,...). Quantos termos de cada uma dessas sequências devem ser somadas a fim de que a soma desses n termos sejam iguais? 11. No projeto de uma sala de cinema, um arquiteto desenhou a planta na forma de trapézio isósceles com a tela sobre a base menor do trapézio. As poltronas serão dispostas em 16 fileiras paralelas às bases do trapézio, tendo 20 poltronas na primeira fileira e, a partir da segunda, cada fileira terá duas poltronas a mais que a fileira anterior. Quantas poltronas a sala terá? 12. (FURG-2001) Sendo g: R R, definido por g(x) = 2x + 3, então g(1) + g(2) +...+g(30) é igual a: (a) 525 (b) 725 (c) 1020 (d) 1375 (e) João ao efetuar a soma das 50 primeiras parcelas da P.A. (202, 206,...), por distração não somou a 35ª parcela. Isso não teria acontecido se tivesse usado os conhecidos adquiridos durante as aulas de matemática III. Qual a soma correta e qual a soma encontrada por João? Respostas dos exercícios (a n) = (0, 4, 18, 48, 100, 180,...) (b n) = (2, 4, 2, 4, 2, 4,...) (a n) =,,1,,,2,,, a 30 = 10 a 300 = (a n) = ( 3, 13, 30, 31, 32, 33, 34, ) (b n) = (4, 14, 15, 40, 41, 42, 43, ) 4. (a n) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...) a 1000 = 0 a = 0 5. a n = n, n N b n = 3n, n N c n = n 3, n N d n = 81, n d, n-1 1 n 2 n N 6. a) sim a 6 b) não c) sim a (a n) = ( 2, 0, 2, 2 2, 2 2 2, , ,...) (b n) = (1, 2, 3, 2, 4, 1, 1, 5,...) 17 Sequências
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1) Encontre os cinco primeiros termoss da seqüência definida por an = n² n + 2n, n e N*. 2) Seja a sequência definida por a n = ( 1) n. n 2, n N *, determine o valor de a 4 a 2 3) Dada a sequência por
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