MATEMÁTICA. Sequências Numéricas P.A e P.G. Professor : Dêner Rocha

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1 MATEMÁTICA Sequências Numéricas P.A e P.G Professor : Dêner Rocha

2 Sequência Podemos observar facilmente que o termo sequencia é facilmente encontrado no nosso dia-adia. Vejamos alguns explos: a) As notas musicais: (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si). b) As quatro estações do ano: (primavera, verão, outono, inverno). c) Sequencia dos números triangulares

3 PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) Chama-se Progressão Aritmética a toda sequencia numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão (r). Exemplos: A = ( 1, 6, 11, 16,... ) razão = 5 (PA crescente) B = ( -2,- 2,- 2,... ) razão = 0 (PA constante) C = ( 100, 80, 60, 40,... ) razão = -20 ( PA decrescente) C - TERMO GERAL DE UMA PA Seja a PA genérica (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) de razão r. De acordo com a definição podemos escrever: a 2 = a r a 3 = a 2 + r = (a 1 + r) + r = a 1 + 2r a 4 = a 3 + r = (a 1 + 2r) + r = a 1 + 3r... Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: a n = a 1 + (n 1). r ( Essa expressão é denominada termo geral da PA ). Nesta fórmula, temos que a n é o termo de ordem n (n-ésimo termo), r é a razão e a 1 é o primeiro termo da Progressão. PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos eqüidistantes deste. Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante. SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA Seja a PA ( a 1, a 2, a 3,..., a n-1, a n). A soma dos n primeiros termos S n = a 1 + a 2 + a a n-1 + a n, pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima. Temos: S n = a 1 + a 2 + a a n-1 + a n É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como: S n = a n + a n a 3 + a 2 + a 1 Somando membro a membro estas duas igualdades, vem: 2. S n = (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) (a n + a 1)

4 Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a 1 + a n ), de onde concluímos inevitavelmente que: 2.S n = (a 1 + a n).n, onde n é o número de termos da PA. Daí então, vem finalmente que: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Qual o milésimo número ímpar positivo? Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9,... ) onde o primeiro termo a 1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever: a 1000 = a 1 + (1000-1).2 = = = Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar. 2) Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96,..., 22)? Temos a 1 = 100, r = = - 2 e a n = 22 e desejamos calcular n. Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = (n - 1). (- 2) ; logo, = - 2n + 2 e, = - 2n de onde se conclui que - 80 = - 2n, de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos. 3) Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão? Temos a 5 = 30 e a 20 = 60. Pela fórmula anterior, poderemos escrever: a 20 = a 5 + (20-5). r e substituindo fica: 60 = 30 + (20-5).r ; = 15r ; logo, r = 2. 4) Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo? Temos r = 5, a 20 = 8. Logo, o termo procurado será: a 3 = a 20 + (3 20).5 a 3 = = 8 85 = ) A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é? Números com 3 algarismos: de 100 a 999. Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13) Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124) Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136,..., 992). Da fórmula do termo geral a n = a 1 + (n 1). r

5 poderemos escrever: 992 = (n 1).8, já que a razão da PA é 8. Daí vem: n = 112 Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente: S n = S 112 = ( ).(112/2) = Progressão Geométrica 1-Conceito: Progressão Geométrica é a seqüência de números não nulos, onde qualquer termo (a partir do segundo), é igual ao antecedente multiplicado por uma constante. Essa constante é denominada razão da progressão, sendo indicada por q. As progressões geométricas possuem este nome graças à seguinte característica de sua formação: Tomando-se 3 termos consecutivos de uma P.G., o termo do meio é a média geométrica dos outros dois termos Exemplos simples (3, 9,27, 81,...) é uma P.G. Crescente de razão q = 3 (90, 30, 10,...) é uma P.G. Decrescente de razão q = 1/3 (-7, 14, -28, 56,...) é uma P.G. Oscilante de razão q = - 2 (3, 3, 3, 3,...) é uma P.G. Constante de razão q = 1 A razão de uma P.G. pode ser calculada pela igualdade abaixo: q = a n / a n - 1 seja: q = a 2 / a 1 = a 3 / a 2 = a 4 / a 3 = a n / a n-1 ou 2-Classificação: Quando q > 0, a P.G. é crescente. Por exemplo: (3, 6, 12, 24, 48,...) q = a 2 / a 1 a 1 = 3 q = 6 / 3 onde a 2 = 6 (a 2 = a 1. q a 2 = 3. 2 a 2 = 6) q = 2 a 3 = 12 (a 3 = a 1. q 2 a 3 = a 3 = 3. 4 a 3 = 12) Concluindo que toda P.G. crescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é maior que o anterior. Quando a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1, a P.G. é decrescente. Por exemplo: (48,24,12,6,.., 3) q = a 2 / a 1 a 1 = 48 q = 24 / 48 onde a 2 = 24 (a 2 = a 1. q a 2 = 48. 1/2 a 2 = 24) q = 1 / 2 a 3 = 12 (a 3 = a 1. q 2 a 3 = 48. (1/2) 2 a 3 = 48. 1/4 a 3 = 12)

6 Concluindo que toda P.G. decrescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é menor que o anterior. Quando q < 0, a P.G. é Alternante ou Oscilante. Por exemplo: (- 5, 10, - 20, 40, - 80,...) q = a 2 / a 1 a 1 = - 5 q = 10 / -5 onde a 2 = 10 (a 2 = a 1. q a 2 = a 2 = 10) q = - 2 a 3 = - 20 (a 3 = a 1. q 2 a 3 = - 5. (-2) 2 a 3 = a 3 = - 20) Concluindo que toda P.G. Alternante ou Oscilante, partindo de qualquer termo, há uma alternância sucessiva entre termo negativo e positivo. 3- Termo Geral da P.G. Como em uma P.A. pode se achar todos os seus termos a partir de qualquer termo e da razão, em uma P.G., isso também é possível, sendo a fórmula denominada termo geral da P.G.. Veja: a 2 / a 1 = q a 2 = a 1. q a 3 / a 2 = q a 3 = a 2. q a 3 = a 1. q. q a 3 = a 1. q 2 a 4 / a 3 = q a 4 = a 3. q a 4 = a 1. q 2. q a 4 = a 1. q 3 ( e assim por diante) Uma PG de razão q pode ser escrita assim: PG( a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n-1 a n) Aplicando a definição de PG, podemos escrevê-la de uma outra forma: PG( a 1, a 1. q, a 1. 2q, a 1. 3q, a 1. 4q,..., a 1.q (n-1) Portanto, o termo geral será: a n = a 1.q (n-1), para n * N Assim, concluímos que a n = a 1. q n - 1 é a fórmula que rege a demonstração acima, lembrando que, se não tivéssemos o primeiro termo da P.G., mas tivéssemos outro como o terceiro, usaríamos a seguinte fórmula: a n = a k.q (n-k) Exemplo 1-- Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo. Temos: a 1 = 2, q = 4/2 = 8/4 =... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a 10, vem pela fórmula: dados a 1= 2 q = 2 n =10 a 10 =? a n = a 1. q n 1 => a 10 = a 1. q 10-1 => a 10 = => a 10 = => a 10 = 1024 Exemplo 2- Sabe-se que o quarto termo de uma PG é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?

7 Temos a 4 = 20 e a 8 = 320. Logo, podemos escrever: a 8 = a 4. q 8-4. Daí, vem: 320 = 20.q 4 Então 16 = q 4 = 2 4 e portanto q = 2. Exemplo 3 Na PG onde a 5=1/32 e razão ¼, calcule a 1 Dados a 1=? q = ¼ n = 5 a 5=1/32 a n = a 1. q n 1 => 1/32= a 1.(1/4) 5-1 => 1/32 = a1.(1/4)4 => 1/32 =a1.(1/256) a1 = 1/32 : 1/256 a1 = 1/ /1 => a1 = 8 Exemplo 4 Quantos termos tem na PG (3,6,...,48) Dados a 1= 3 q = 2 n =? a n= 48 a n = a 1. q n 1 => 48 = 3.2 (n-1) => 48/3 =2 (n-1) 16 = 2 (n-1) fatorando 16 temos 16 = 2 4 => 2 4 = 2 (n-1) da igualdade de expoente temos 4 = n-1 n=4+1 => n=5 Exemplo 5 Interpolar três termos geométricos entre 3 e 48 (3,,,, 48) Dados a 1= 3 q =? n = 5 a n= 48 a n = a 1. q n 1 => 48 = 3.q (5-1) 48/3 = q 4 => q 4 = 16 q 4 16 q = +/- 2 escrevendo a PG temos (3,6,12,24,48) ou (3,-6,12,-24,48) Por exemplo: Dada a P.G. ( x, y, 12, 24, 48,...) determine o seu oitavo termo (a8): Primeiramente achamos a razão: q = a 4 / a 3 q = 24 / 12 => q = 2 Agora resolvemos a partir do terceiro termo: a n = a k. q n - k a 8 = a 3. q 8 3 a 8 = a 8 = a 8 = 384 a n é o último termo especificamente pedido a k é o primeiro termo escolhido k é a posição do termo a k n é a posição do termo a n Esta fórmula, a n = a 1. q (n - 1) permite que se calcule qualquer termo de uma P.G. 1) Você seria capaz de calcular o nono termo da PG (3, 6, 12, 24,...) resposta 768 2) qual o primeiro termos da PG de razão 2 e a5 = 48 resposta a1 = 3 3) Quantos termos tem na PG onde a1 =1, razão 3 e an= 2187 resposta 8 termos 4- Interpole quatro meios geométricos entre 3 e 96 resp. (3,6,12,24,48,96) ou (3,-6,12,-24,48,- 96)

8 5) Determine o oitavo termo da PG (1/81,1/27, 1/9,...) resposta a8 = 27 6) Interpole quatro meios geométricos entre 2 e 486 resp (2,6,18,54,162,486) 7) Na Pg 0nde a5= 48, razão 2, calcule a9 resposta a9 = P.G. com três termos consecutivos Para três termos em P.G. (a 1, a 2, a 3 ) vale a propriedade: o termo do meio é a média geométrica dos outros dois. ou, com outras palavras, o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos outros dois termos. Ou seja (a2) 2 = a1. a3 Exemplo1 Escreva a PG onde ( 2, x+1, 8) (a2) 2 = a1. a3 => (x+1) => (x+1) 2 = 16 => (x+1) = x=- 4-1 => x = -5 Escrevendo a PG ( 2, 4, 8) ou ( 2, -4, 8) 16 => x =+4-1 => x =3 ou Exemplo2 Escreva a PG e determine valor de x em (x, x+9, x+45) (x+9) 2 = x. (x+45) => x 2 +18x+81 = x 2 +45x resolvendo temos -27x = -81 => x= 3 PG (3, 12, 48) Exercício Escreva a PG e determine valor de x em (3x+2, x+2, x ) resposta (8,4,2) Na P.G.(a1,a2,a3) podemos escrever os seus três termos na forma de (x, xq, xq2) ou (x/q,x, x.q) Exemplo Calcule três números em PG tais que sua soma seja 7 e seu produto 8 x/q. x. x.q = 8 => x 3 = 8 => x = 2 e 2/q q = 7 => tirando mmc temos 2q 2 +2q+2=7q, resolvendo essa equação do 2 grau encontramos q =2 ou q = ½ logo PG (1,2,4) ou (4,2,1) Exercício Calcule três números em PG tais que sua soma seja 13 e seu produto 27 5-Produto dos termos de uma PG finita. Em uma PG finita de n termos e razão q, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. Com base nessa propriedade, podemos estabelecer uma fórmula para o produto dos n termos da PG. P n = (a 1.a n ) n/2 Exemplo: Obtenha o produto dos seis primeiros termos da PG (4,8,16,...) a6= a1.q 5 => a6 = => a6 = 128 P6 =(a1.a6) 6/2 P6 =(4.128) 3 => P6 = Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,...). Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S n, vamos considerar o que segue: S n = a 1 + a 2 + a 3 + a a n-1 + a n

9 Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: S n.q = a 1. q + a 2.q a n-1. q + a n.q Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como: S n. q = a 2 + a a n + a n. q Observe que a 2 + a an é igual a S n - a 1. Logo, substituindo, vem: S n. q = S n - a 1 + a n. q Sn.q-Sn = an.q-a1 => Sn.(q-1)= an.q-a1 => Sn = (an.q-a1)/q-1 soma dos n primeiros termos de uma P.G. é dada pelas seguintes relações: Sn an q a q 1. 1 ou n. q 1 Sn a1. q 1 Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) resposta S10 = 1023 Exemplo: Calcule a soma dos termos da PG (1,2,4,8,...,256) resp 511 Exemplo Em uma PG a soma de 8 termos vale 1530, sua razão é 2. Calcule a1 e a5 resposta 6 e 96 6-Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada (infinita) Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, a1 encontraremos Sn 1 q Exemplo Determine a soma dos termos da PG a) (8,4,2,1,...) b) (4, -2, 1, -1/2,...) resp a)16 b)- 32/3 Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/ =100 O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem: Dessa equação encontramos como resposta x = 50. A soma dos termos da PG infinita (0,3 ; 0,03 ; 0,003 ;...) é dada por? resp S=3/9 Obtenha a fração geratriz da dízima 0, Que pode ser representada por 0,23 + 0, , = 23/ / / cuja razão q = 1/100, aplicando a fórmula da soma dos infinitos termos encontramos 23/99

10 Problemas envolvendo PG 1-Observe a seqüência de figuras abaixo (figura 1, figura 2, figura 3, e assim por diante). (1,4,16,...) Determine a quantidade dos menores triângulos da figura 7. resposta 4096 triângulos 2-Uma jovem seria contratada como vendedora para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam o natal. O dono da loja ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A jovem achou a proposta humilhante. Recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a proposta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?resposta R$ 4.095,00. Exercícios com PA e PG 1. Calcule a razão da P.G. onde a1 = e a8 = Em uma P.G. crescente tem-se a2 = 576. Calcule a razão e o 1º termo. 3. Sabendo que em uma P.G. a2 + a4 = 60 e a3 + a5 = 180, calcule a6. 4. Somando o 1º termo com o 3º termo de uma P.G., obtém-se 10/81, e somando o 4º com o 6º, 10/3. Calcule o 7º termo dessa P.G. 5. Determine o 8º termo da P.G.(1, 2, 4,...) 6. Em uma P.G. de razão 3, o 7º, termo é Calcule a1. 7. Calcule o número de termos das seguintes P.G. a) (4, 8, 16,...,1024) R = 9 b) (9, 3, 1,...,1/81) 8. Interpole quatro meios geométricos entre 2 e Insira três meios geométricos positivos entre 1/27 e Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (2, 4, 8, 16,...)

11 11. Determine a soma dos 5 primeiros termos da P.G. (2, -6, 18,...) 12. Determine a soma da seguinte P.G infinita (10, 4, 8/5,...) 13. Quantos termos tem a P.A. (5, 9, 13,...,37) 14. Determine o 1º termo de uma P.A., onde se conhece: a6 = 17 e r = Quantos múltiplos de 3 existe entre 10 e Encontre o termo geral da P.A. (12, 16, 20,...) 17. Calcule o oitavo termo da P.A.(-6, -2, 2,...) 18. Em uma P.A. a1 = 18 e a5 = 6. Calcule a razão. 19. O sétimo termo de uma P.A. é 75 e r = 11. Calcule o primeiro termo. 20. Qual o vigésimo quinto termo da P.A.(2, 5, 8,...)? 21. Calcule a soma dos oito primeiros elementos da P.A.(3, 15, 27,...) 22. Calcule a soma dos elementos da P.A.(-8, -1, 6,...,41) 23. A soma dos termos de uma P.A. é 324. O 1º termo é 4 e o último, 68. Quantos são os termos dessa P.A.? 24. Resolva a equação x = Calcule a soma dos múltiplos de 4 compreendidos entre 10 e 90. RESPOSTAS 1) 2) q=2 e a1 = 4,5 3) 486 4) 9 5) 128 6) 2 7) 7 8) (2, 6, 18, 54, 162, 486) 9) (1/27, 1/9, 1/3, 1, 3) 10) ) ) 50/3 13) 9 14) 37 15) 43 16) 22 17) 8 + 4n 18) 3 19) 9 20) 74 21) ) ) 37 24) 26 25) 1000 Questões de Concursos

12 01. Um matemático (com pretensões a carpinteiro) compra uma peça de madeira de comprimento suficiente para cortar os 20 degraus de uma escada de obra. Se os comprimentos dos degraus formam uma progressão aritmética, se o primeiro degrau mede 50cm e o último 30cm e supondo que não há desperdício de madeira no corte, determine o comprimento mínimo da peça. 02. As medidas dos ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética de razão 20º. O menor ângulo desse triângulo mede: 03. Se as medidas dos ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética e a medida do maior ângulo é o quíntuplo da medida do menor, então a diferença entre a medida do maior ângulo e a soma das medidas dos outros dois é: 04. No decorrer de uma viagem que teve a duração de 6 dias, um automóvel percorreu 60km no 1º dia, 80km no 2º dia, 100km no 3º dia e assim sucessivamente, até o 6º dia. O total de quilômetros percorridos por esse automóvel durante os 6 dias foi: 05. Numa caixa há 1000 bolinhas de gude. Retiram-se 15 bolinhas na primeira vez, 20 na segunda, 25 na terceira e assim sucessivamente na mesma razão. Após a décima quinta retirada, sobrarão na caixa: 06. (EsFAO) Marcos e Paulo vão fazer um concurso e para isso resolveram estudar todos os dias. Marcos vai estudar 2 horas por dia, a partir de hoje. Paulo vai estudar hoje apenas uma hora e, nos dias que se seguem, vai aumentar o tempo de estudo em meia hora a cada dia. Considerando esses dados, determine o número de horas que: a) Paulo estudará no décimo sexto dia, a partir de hoje; b) cada um deverá ter estudado em 16 dias consecutivos, a partir de hoje. 07. (UENF) Um incêndio no Parque Nacional da Serra dos Órgãos, que durou exatamente 6 dias, devastou 60 hectares nos três primeiros dias. Suponha que, a partir do segundo dia, o fogo tenha destruído sempre 8 hectares a mais do que no dia anterior. A partir desses dados, calcule, em hectares, a área que foi destruída pelo incêndio: a) no primeiro dia; b) nos seis dias. 08. (UERJ) Observe a tabela de Pitágoras: A soma de todos os números desta tabela até a vigésima linha é: 09. Seja A o conjunto dos 1993 primeiros números inteiros estritamente positivos. Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A? 10. Inserindo-se 5 números entre 18 e 96, de modo que a seqüência (18, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, 96) seja uma progressão aritmética, tem-se a 3 igual a: 30. Um veículo parte de uma cidade A em direção a uma cidade B, distante 500km. Na 1ª hora do trajeto ele percorre 20km, na 2ª hora 22,5km, na 3ª hora 25km e assim sucessivamente. Ao completar a 12ª hora do percurso, a distância esse veículo estará de B? 31. Um pai resolve depositar todos os meses uma certa quantia na caderneta

13 de poupança de sua filha. Pretende começar com R$5,00 e aumentar R$5,00 por mês, ou seja, depositar R$10,00 no segundo mês, R$15,00 no terceiro mês e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto depósito, a quantia total depositada por ele será de: dias 32. Uma criança anêmica pesava 8,3 kg. Iniciou um tratamento médico que fez com que engordasse 150 g por semana durante 4 meses. Quanto pesava ao término da 15ª semana de tratamento? 33. A soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 185 e a soma dos 12 primeiros é 258, então, o 1º termo e a razão são respectivamente: 34. Um agricultor estava perdendo a sua plantação, em virtude da ação de uma praga. Ao consultar um especialista, foi orientado para que pulverizasse, uma vez ao dia, uma determinada quantidade de um certo produto, todos os dias, da seguinte maneira: primeiro dia: 1,0 litro; segundo dia: 1,2 litros; terceiro dia: 1,4 litros;... e assim sucessivamente. Sabendo-se que o total de produto pulverizado foi de 63 litros, o número de dias de duração deste tratamento nesta plantação foi de: Questões de Concursos º º km bolinhas 05. a) 8,5 h b) 76 h 06. a) 12 hectares b) 192 hectares km 11. R$ 600, ,55 Kg e 3

14 Aqui é MONSTER... Uma Vaga é Minha! Monster Concursos 14