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1 PROGRESSÕES PA E PG R E S O L U Ç Ã O D E E X E R C ÍC IO S R A C IO C ÍN IO L Ó G IC O M A T E M Á T IC A F ÍS IC A /Q U ÍM IC A E m a il g a b a r ito c e h o tm a il.c o m Envie suas dúvidas e questões para gabaritocerto@hotmail.com e saiba como receber o GABARITO comentado. PEDIDOS DE APOSTILAS E GABARITOS COMENTADOS gabaritocerto@hotmail.com gabaritocerto2@yahoo.com.br gabaritocerto@gabaritocerto.com.br ORKUT BLOG Home Page Telefone para contato: (21) CODIGO DA APOSTILA AMATPAPG

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3 A quem dedico este trabalho. Dedico este trabalho a meu pai Que com inteligência e racionalidade Combateu e venceu. Antonio dos Santos

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10 1 1. Seqüências Numéricas Introdução PA e PG Os Matemáticos observaram que na natureza alguns fenômenos apresentavam SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS. Algumas SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS, não apresentavam LEI DE FORMAÇÃO, isto é, eram SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS ALEATÓRIOS, e dessa forma não havia como elaborar uma FÓRMULA GERAL para este tipo de SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS. Outras porém, guardavam uma LEI, uma REGRA de formação a estas SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS, foi dado o nome de PROGRESSÕES. Desta forma, os matemáticos ocuparam-se no estudo destas seqüências (Progressões). As PROGRESSÕES DE NÚMEROS possuem LEI DE FORMAÇÃO, ou FÓRMULA GERAL. Existem VÁRIOS tipos de PROGRESSÕES, porém estudaremos, primeiramente duas delas: a ARITIMÉTICA e a GEOMÉTRICA. A Progressão Aritmética é identificada como sendo aquela em que A DIFERENÇA DO NÚMERO CONSEQUENTE PELO ANTECEDENTE É CONSTANTE. Exemplo a: Exemplo b: No exemplo a, observe que: Termo consequente (8) - Termo antecedente (6) = 2 Termo consequente (10) - Termo antecedente (8) = 2 Termo consequente (12) - Termo antecedente (10) = 2 Termo consequente (14) - Termo antecedente (12) = 2 Termo consequente (16) - Termo antecedente (14) = 2 Termo consequente (18) - Termo antecedente (16) = 2 A esse VALOR CONSTANTE dá-se o nome de RAZÃO, que no exemplo acima é 2. Qual é a razão do exemplo b? A LEI DE FORMAÇÃO de uma PA, pode ser estabelecida. Sendo: a k o termo da posição k; CUIDADO!!! Geralmente os livros apresentam a 1 ao invés de a k ou seja definem k = 1. O cálculo com a 1 não está errado, porém a fórmula Apostilas/gabaritos/apoio educacional/tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

11 2 fica AMARRADA no conhecimento do PRIMEIRO TERMO, ao passo que a k. deixa voce livre para trabalhar com qualquer termo da progressão. Veja o exercício n 7 a n o termo da posição n; r a razão n a posição do termo a n k a posição do termo a k Podemos escrever a Lei de formação do termo a n : ( ) a = a + n - k. r n k 1.1] Progressão Aritimética Exercícios 1.1.1] Calcule a fórmula do termo geral de cada uma das progressões abaixo: (a) 4,11,18,... Para se determinar a fórmula do termo geral de uma progressão voce só precisa de duas coisas: A RAZÃO e o PRIMEIRO TERMO. Identificar se é PA ou PG. No caso é PA, de RAZÃO 7; pois 11-4 = 7 e = 7 Identificar o PRIMEIRO TERMO. No caso a 1 = 4. Pronto! Agora é só substituir na Lei Geral: a n = 4 + (n - 1). 7, desenvolvendo... a n = 4 + 7n - 7 a n = 7n - 3 (b) 8, 5, 2, -1,... (c) -1, -4, -7,... (d) -2, - 9/4, -10/4, ] Calcule o décimo termo da PA onde : 4, 7, 10, ] Calcule o termo a 20 da PA onde: 1, ½, 0, ] Calcule o a 15 da PA onde: -2, -4, ] Calcule o termo a 9 da PA onde: a, (a+2m), (a+4m), ] Calcule o trigésimo termo da PA onde: a 1 =150 a 3 = ] Calcule o terceiro termo da PA onde: a 7 = 3a + 12b r = b 1.1.8] Calcule a razão da PA onde: a 1 = x + 2 a 35 = 35x - 66 Apostilas/gabaritos/apoio educacional/tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

12 ] Calcule o número de termos da PA onde: 2x-y, 3x,..., 31x + 28y ] Calcule a razão da PA onde: a 1 = 5 a 27 = ] Calcule o décimo termo de : 4, 7, ] Calcule o primeiro termo de : a 14 = 44 e r = ] Calcule a razão da PA onde: ] a 1 = 5 e a 27 = ] Calcule o primeiro termo da PA onde: ] a 15 = 3x - 18 e r = 5x ] Calcule o nono termo da PA : ] a, a+2m, a+4m ] Quantos múltiplos de 4 existem entre 15 e 201? ] Quantos múltiplos de 5 existem entre 23 e 1004? ] Calcule a SOMA dos múltiplos de 5 existentes entre 16 e ] Calcule a SOMA dos 100 primeiros números naturais ] Resolva a equação: ] x = ] Calcule o último termo da PA onde: ] a 1 = 5 e razão = 2 e que a soma de todos os termos vale ] Numa PA de 7 termos, a soma dos dois primeiros é 14 e a dos dois últimos é 54. Calcule o valor da razão e o primeiro termo ] Interpole 8 MEIOS ARITIMÉTICOS entre 26 e ] Insira 5 MEIOS ARITIMÉTICOS entre 6k - 4 e 12k ] A soma dos três primeiros termos de uma PA vale 54. Calcule o termo central ] Calcule o 35º termo da PA, onde o a 2 = 5 e a 9 = 28 Apostilas/gabaritos/apoio educacional/tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

13 ] Calcule a Soma dos primeiros 25 termos da PA, onde a 5 = 30 e a 20 = ] Calcule a Soma dos 10 primeiros números ímpares ] Calcule a Soma dos 15 primeiros números múltiplos de ] Calcule em qual matriz e em qual posição o número 3457, vai ocupar na sequência de matrizes com nove posições, P 1, P 2,..., Diagrama das Posições P 1 P 4 P 7 P 2 P 5 P 8 P 3 P 6 P 9 Matriz 1 Matriz 2 P ] Progressão Geométrica Exercícios 1.2.1] Calcule a fórmula do termo geral de cada uma das progressões geométricas 1.2.2] (a) 5, 25, ] (b) -3, - 1/9, -1/27, ] Calcule o 10º termo da PG ( 1/4 : 3/20 :... ) 1.2.5] Calcule a razão da PG onde o último termo é igual a milésima parte do primeiro. Sabendo-se que a PG possui 4 termos 1.2.6] Calcule o décimo termo da PG onde a 1 = 2 e a 2 = ] Calcule o quinto termo da PG onde a 1 = 3-1 e a 2 = ] Calcule o primeiro termo ( a 1 ) da PG onde a 8 = 32 e q =1/ ] Calcule o primeiro termo ( a 1 ) da PG onde a 10 = 1 e q = ] Calcule a razão (q) da PG onde a 1 = 2 e a 9 = ] Calcule a razão (q) da PG onde a 1 = -2 e a 6 = ] Calcule a razão (q) da PG onde a1 5 = e a 8 = ] Calcule o número de termos da PG : 1 1,,..., ] Calcule o número de termos (n) da PG : 3, 6, 12,..., ] Calcule o primeiro termo ( a 1 ) da PG onde a 8 = 32 e q =1/4 Apostilas/gabaritos/apoio educacional/tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

14 ] Calcule a razão da PG em que o primeiro termo é o quadruplo da razão e e a diferença do segundo termo com o primeiro ( a 2 - a 1 ) é igual a ] Calcule a fórmula do termo geral de cada uma das progressões geométricas ] (a) 7, 21, 63, ] (b) -4, - 1/4, -4/9, ] (c) 3, 3, 3 3, 9, ] (d) 20, 10, 5, ] (e) k, k/2, k/4, ] Calcule o décimo termo da PG onde a 1 = -2 e a 2 = ] Calcule o nono termo da PG onde a 1 = 2-1 e a 2 = ] Calcule o sétimo termo da PG onde a 1 = π e a 2 = π ] Calcule o primeiro termo ( a 1 ) da PG onde a 8 = 32 e q =1/ ] Calcule o primeiro termo ( a 1 ) da PG onde a 10 = /2 e q = ] Calcule o primeiro termo (a 1 ) da PG onde a 7 = 384 e q = ] Calcule a razão (q) da PG onde a 1 = 4 e a 9 = ] Calcule a razão (q) da PG onde a 1 = -2 e a 6 = ] Calcule a razão (q) da PG onde a1 5 = e a 8 = ] Calcule o número de termos da PG : 1 1,,..., ] Calcule o número de termos (n) da PG : 3, -6, 12,..., ] Calcule a razão da PG, onde a 2 + a 5 = 780 e a 1 + a 4 = ] Calcule a razão da PG em que o primeiro termo é o quíntuplo da razão e e a diferença do segundo termo com o primeiro ( a 2 - a 1 ) é igual a ] Interpole cinco meios geométricos na PG onde a 1 = 4 e a n = Apostilas/gabaritos/apoio educacional/tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

15 6 Fórmula da Soma dos termos da PG infinita decrescente: a Sn = 1 (Bizú) 1 q Comentário: A Soma dos termos da PG infinita, é possível por que a seqüência tende a um valor nulo ] Calcule a soma dos termos da PG infinita onde: ( 8, 4, 2, 1,... ) ] Calcule a soma dos termos da PG infinita onde: ( 3 1 4, 1 4, 12,... ) ] Calcule a soma dos termos da PG infinita onde: 9, 9 9 4, 16, 64, ] Calcule a soma dos termos da PG infinita onde: (10, 1, 10-1, 10-2,...) ] Calcule o primeiro termo ( a 1 ) de uma PG infinita onde a razão é 2 e a soma de seus termos é x x ] Resolva a equação : x = x 2x ] Resolva a equação : 2x = ] Resolva a equação: ( x 2) ( x + 2) ( x + 2) = 6 9 Soma dos termos de uma PG crescente: n a q a S n a n = 1 1 ( q 1) ou Sn = q 1 q 1 Quando os termos da PG são iguais a fórmula que dá a Soma dos termos reduz-se à seguinte: Sn = n. a ] Demonstre que Sn = anq a1 q 1 n a1 ( q 1) = S = n q 1 Apostilas/gabaritos/apoio educacional/tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

16 ] Calcule a soma das áreas dos quadrados em função do lado l do primeiro quadrado, de acordo com a informação: É dada uma seqüência infinita de quadrados onde cada um, a partir do segundo, tem por vértices os pontos médios do quadrado anterior, veja a figura: ] Quantos termos da PG 1 1 1,,,... devem ser somados para que 2 4 se obtenha a soma S n = 1023, ( observação: escolha uma 512 fórmula que contenha n ) ] Calcule o primeiro termo, a razão e a soma dos seis primeiros termos da PG em que a 3 = 15 e a 6 = ] Uma fábrica de peças automobilísticas produziu, em fevereiro de 1990, unidades. Em função das exigências do mercado, viu-se obrigada a estabelecer um aumento de produção de 5000 peças por mês. Calcule quantas foram produzidas de fevereiro a dezembro de ] Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre aproximadamente 5 metros no primeiro segundo, 15 metros no segundo, 25 metros no terceiro e assim sucessivamente. Que distância percorrerá após 9 segundos de queda? ] Cada ano, um carro tem seu valor de mercado reduzido em 20% em relação ao ano anterior. Se um automóvel tem valor C no primeiro ano, quanto valerá 5 anos depois? ] Um determinado país tem uma taxa de crescimento populacional de 2% ao ano. Considerando que essa taxa seja mantida e que em 1990 o país tenha 30 milhões de habitantes, quantos serão os habitantes no final do ano 2000? ] A população de um conglomerado é 10 milhões de habitantes e a de ratos, 200 milhões. Ambas as populações crescem em PG, de modo que a humana dobra a cada 20 anos e a de ratos dobra a cada ano. Dentro de 10 anos quantos ratos haverá por habitante? ] Obtenha a fração geratriz da dízima: 0, ] Obtenha a fração geratriz da dízima: 7, ] Obtenha a fração geratriz da dízima: 0, Apostilas/gabaritos/apoio educacional/tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

17 ] Obtenha a fração geratriz da dízima: 7, x 3x 3x ] Simplifique a expressão: = x x x x ] Uma editora imprimiu 8000 livros de um determinado título na 1 edição. Em vista da aceitação do livro pelo mercado, a editora resolver aumentar em 10% o número de exemplares impressos a cada edição. (a) Calcule o número de livro impressos na 6 edição. (b) Calcule o número total de exemplares impressos desde a 1 edição até a 6 edição do livro ] Depositando 1000 Reais a juros compostos de 3% ao mês. Calcule o Valor do montante ao final de 5 anos de aplicação ] Obtenha a fração geratriz da dízima: 7, ] Um determinado país tem uma taxa de crescimento populacional de 3% ao ano. Considerando que essa taxa seja mantida e que em 1990 o país tenha 20 milhões de habitantes, quantos serão os habitantes no final do ano 2010? ] Uma editora imprimiu 5000 livros de um determinado título na 1 edição. Em vista da aceitação do livro pelo mercado, a editora resolver aumentar em 15% o número de exemplares impressos a cada edição. (a) Calcule o número de livro impressos na 10 edição. (b) Calcule o número total de exemplares impressos desde a 1 edição até a 10 edição do livro ] Um pássaro está entre duas locomotivas que viajam em sentidos contrários. O pássaro voa em direção a locomotiva A e ao chegar voa imediatamente em direção a locomotiva B. Sabendo-se que nesses voos o pássaro voa sempre a metade do percurso de ida e volta. Calcule a distância que o pássaro realiza até o encontro das locomotivas sendo a distância inicial igual a 1000 metros ] Um humilde camponês com 35 anos resolveu aceitar o desafio de um Rei ao solucionar um problema na corte real. Resolvido o problema o Rei resolveu presentear o camponês dedicando a ele um pedido que seria prontamente atendido. O camponês então decidiu fazer o seguinte pedido ao Rei: RECEBER UM GRÃO DE MILHO NAQUELE DIA, DOIS GRÃOS DE TRIGO NO SEGUNDO DIA, QUATRO GRÃOS DE TRIGO NO TERCEIRO DIA, OITO GRÃOS NO PRÓXIMO E ASSIM SUCESSIVAMENTE, até a sua morte. O Rei aceitou imediatamente e achou um pedido humilde comparado à sua majestade. Pergunta-se: Quantos grãos de trigo o Rei deverá pagar ao camponês quando ele fizer 36 anos. Apostilas/gabaritos/apoio educacional/tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

18 ] Calcule a distância percorrida por um mini-robô programada para percorrer, indefinidamente, o tablado na seguinte configuração: (na DIAGONAL percorre até o centro do quadrado correspondente) ] Calcule a fórmula geral do número de pontos de cada sequência geométricamente apresentada: a) b) 1.3] Progressões Numéricas Exercícios nível 1, (22), ] Uma companhia possui 12 postos de gasolina, situados ao longo de uma estrada, de 20 em 20 km. O reservatório da companhia fica no quilômetro zero e o primeiro posto no quilômetro 15. Sabendo que cada posto consome 1 caminhão-tanque de gasolina por semana e que um mesmo caminhão abastece todos os postos, Calcule quantos quilômetros um caminhão-tanque percorre em 3 semanas para abastecer todos os postos e retornar ao reservatório ] Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre aproximadamente 5 metros no primeiro segundo, 15 metros no segundo, 25 m no terceiro e assim sucessivamente. Que distância percorrerá após 9 segundos? 1.3.3] Sabendo-se que o cometa Halley tem aproximação máxima da Terra a cada 76 anos, podendo, assim ser visto e que sua última aparição deu-se em 1986, Calcule os anos em que foi visto no século XVIII ] Uma fábrica de peças automobilísticas produziu, em fevereiro de 1990, unidades. Em função das exigências do mercado, viu-se obrigada a estabelecer um aumento na produção de 5000 peças por mês. Calcule quantas foram produzidas de fevereiro a dezembro de Apostilas/gabaritos/apoio educacional/tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

19 ] Uma editora imprimiu 8000 livros de um determinado título na 1 edição. Em vista da aceitação do livro pelo mercado, a editora resolveu aumentar em 10% o número de exemplares impressos a cada edição. Calcule o número de livros impressos na 6 edição e em que edição o número de livros impressos foi o dobro da ] A cada ano, um carro tem seu valor de mercado reduzido em 20% em relação ao ano anterior. Se um automóvel tem valor C no primeiro ano, quanto valerá 5 anos depois? 1.3.7] Um determinado país tem uma taxa de crescimento populacional de 2% ao ano. Considerando que essa taxa seja mantida e que em 1990 o país tenha 30 milhões de habitantes, quantos serão os habitantes no final do ano 2000? 1.3.8] Expandindo-se o somatório 4 i x, o resultado será igual a: i = 1( 2i 1) 1.3.9] Consideremos a seqüência (a n ) n N* definida por a 1 =2 e a n + m = a n.a m, n,m N *. Se a n é a população de uma cidade, em mil habitantes, n anos após 1975, entào em 1985 a população dessa cidade será de: ] Um professor de educação física, pretende colocar seus alunos num triângulo, colocando um aluno na primeira linha, dois na segunda, três na terceira e assim por diante. Para formar o seu triângulo utilizou 231 alunos. Qual é o número de linhas? ] A soma dos n primeiros números naturais não nulos, múltiplos de 3 é: ] Calcule o valor de S, se S = 2 + ( n 1). 1 : n= ] Sejam os números reais x > 0, α > β > 1. Os tres números reais x, x logαβ, log α( β x), são nessa ordem, os três primeiros termos de uma progressão geométrica infinita. Calcule a Soma S desta progressão ] Uma partícula cai de uma altura h e ao tocar o solo, quica atingindo, sempre a metade da altura da queda anterior. (a) Calcule a distância total percorrida pela partícula desde o momento do abandono até o seu repouso. (b) Calcule o deslocamento da partícula ] Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo-se que a área do triângulo é 150 calcule as medidas dos lados desse triângulo. Apostilas/gabaritos/apoio educacional/tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

20 ] Calcule a fórmula geral que dá o número de pontos da enésima configuração. a) configuracões:... b) configurações: ] Prove que numa PA (a 1, a 2, a 3...) a 1 +a 9 = a 2 +a ] Uma torneira despeja l litros de água em um recipiente, reduzindo a vazão em 3/4 por minuto. Calcule quantos litros de água conterá no reservatório em 1 hora de funcionamento, admitindo-se que no início a vazão era de 30 litros/segundo ] A soma 2 i = é igual a: i= (a) (b) (c) (d) 2( 2 + 1) 500 (e) 2( 2 1) ] Sabe-se que o número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se inicialmente, existem 8 bactérias no meio, Calcule o número de bactérias ao fim de 10 horas. Apostilas/gabaritos/apoio educacional/tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

21 Gabaritocerto informa: Agora você pode participar de Grupos de Estudo e ter Aulas Particulares pelo MSN adicionando gabaritocerto@hotmail.com ou Eis aí uma grande oportunidade! Projeto Organizado. Você agenda o dia e a hora das aulas e das explicações. Você organiza o grupo e terá as aulas e as explicações on line em tempo real. Adicione nosso gabaritocerto@hotmail.com em seu MSN e tenha acesso direto às AULAS PARTICULARES ON LINE VIA MSN. Entre em contato. Gabaritocerto está on line. Nosso Objetivo: Desenvolver a atividade educacional em todo o mundo utilizando os recursos tecnológicos disponíveis e Proporcionar a todos os integrantes um pólo de assessoria educacional. Projetos desenvolvidos: Aulas Particulares On-Line através do MSN. Estamos on line todos os dias das 09 as 11h e das 21 às 23h. Resolução de Exercícios On Line no MSN. Blog: Blog no Orkut: (Link abaixo)

22 Atividades Gratuitas e Atividades com custo. Divisão das Atividades Como Funcionam as Aulas Particulares On-Line? As AULAS PARTICULARES ON LINE são ministradas em tempo real pelo MSN, utilizando-se dos recursos de voz e vídeo. A AULA PARTICULAR ON LINE é exclusiva, ou seja, a conexão não é compartilhada com outro computador. Através do MSN, o interessado adiciona o nosso (gabaritocerto@hotmail.com) e tenha acesso às aulas on line. A Aula Particular On-Line é ministrada em tempo real individualmente. O interessado poderá ver e ouvir o professor, bem como o quadro branco com os desenvolvimentos das questões e explicações, tudo em tempo real!!! Não é aula gravada!. O interessado agenda o horário da aula no MSN. Explicações, resoluções de problemas, fixação e demonstração dos conceitos cobrados em concursos. O interessado deve possuir recurso de vídeo (webcam) e voz (microfone). O interessado pode a seu critério convidar outras pessoas para assistir as aulas em seu computador (Grupo de Estudo, por exemplo).

23 IMPORTANTE: O interessado deve agendar antecipadamente a Aula Particular On Line em entrevista on line com o professor através do MSN. Horários de atendimento: Estamos on line para marcações de segunda a sexta das 09 as 11h e das 21 as 23 horas. Durante a entrevista on line pelo MSN, agenda-se o horário. Valor: Veja em nosso Blog ou envie para: gabaritocerto2@yahoo.com.br ou gabaritocerto@hotmail.com Acesso: Livre. Estudantes, Professores, etc. Modo de Acesso: Internet. No (Mensenger) MSN, no gabaritocerto@hotmail.com Área de atuação: Todas as disciplinas (Nível 1º e 2º graus) PROF. ANTONIO Professor e Orientador do Grupo Gabaritocerto. Nossa central de atendimento no MSN gabaritocerto@hotmail.com (Segunda a sexta: das 09 as 11h e das 21 as 23 h)