Mat.Semana. PC Sampaio Alex Amaral Rafael Jesus Gabriel Ritter. (Roberta Teixeira) (Gabriella Teles) Este conteúdo pertence ao Descomplica.

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1 13 PC Sampaio Alex Amaral Rafael Jesus Gabriel Ritter Semana (Roberta Teixeira) (Gabriella Teles) Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia

2 CRONOGRAMA 04/05 Progressão Aritmética Exercícios de PA 11:00 21:00 05/05 Progressão Geométrica 8:00 11/05 Progressão Geométrica - continuação Exercícios de PG 11:00 21:00 12/05 Introdução à matemática financeira: porcentagem

3 18/05 Juros Simples Juros Compostos 11:00 21:00 19/05 Revisão de juros simples e compostos 25/05 Combinatória: princípio fundamental de contagem e arranjos Combinatória: permutação simples e anagramas 11:00 21:00 26/05 Combinatória: combinação

4 Progressão geométrica 11 mai Definição, termo geral e soma. 01. Resumo 02. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto

5 RESUMO Soma dos termos de uma progressão geométrica Soma dos n primeiros termos (Sn). Seja uma progressão geométrica de primeiro termo a1, razão q e n termos. Usamos esta fórmula para calcular a soma de finitos termos de uma PG. S n n a1.( q 1) = q 1 Soma dos infinitos termos ( S ). Atenção: Só podemos usar a fórmula se -1 < q < 1 e q 0 a1 S = 1 q Produto dos n primeiros termos (Pn). ( P)² = ( aa. ) n n 1 n EXERCÍCIOS DE AULA 1. Cláudio está vendendo seu carro pelo preço à vista de R$ ,00. Ele também oferece a opção de parcelamento em cinco parcelas que crescem em progressão geométrica desde que seja dada uma entrada. Luísa se interessou pelo veículo e decidiu optar pelo pagamento parcelado. Pagou a entrada de R$ ,00 e ficou sabendo que a primeira parcela é de R$ 2.000,00, enquanto que a quinta parcela é de R$ ,00. Quanto Luísa terá pago a mais com relação ao preço à vista quando terminar o financiamento? 95 a) R$ 5.375,00 b) R$ 7.375,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 2. Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a 0,5 cm3. Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa. Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível. Considerando 2 10 = 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é: a) 15 b) 16 c) 17 d) 18

6 3. Um menino propôs a seu pai que lhe desse R$1,00 no dia 1º de dezembro e fosse, a cada dia, dobrando o valor da quantia diária, até o dia 24 de dezembro. No dia 25 de dezembro, ele daria ao pai, com o dinheiro acumulado, um presente de natal. O pai aceitou a proposta, desde que o filho lhe desse um presente que custasse o dobro da quantia que o filho recebesse no dia 24. Se o acordo entre os dois for firmado, o menino dará ao pai um presente com, exatamente, o seguinte valor: a) metade do que receber b) o dobro do que receber c) toda a quantia recebida d) toda a quantia recebida mais R$1,00 4. Os lados de um triângulo equilátero medem 5 cm. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados do novo triângulo obtém-se outro triângulo e assim sucessivamente. Qual é o limite da soma dos perímetros de todos os triângulos assim obtidos? 5. a) 15 b) 30 c) 45 d) 60 Carl Friedrich Gauss ( ) é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Aos 10 anos de idade, ele apresentou uma solução genial para somar os números inteiros de 1 a 100. A solução apresentada por Gauss foi 5050, obtida multiplicando-se 101 por 50, como sugere a figura abaixo. 96 Usando a idéia de Gauss como inspiração, responda quanto vale o produto: a) b) c) d) EXERCÍCIOS PARA CASA 1. Vamos empilhar 5 caixas em ordem crescente de altura. A primeira caixa tem 1 metro de altura e cada caixa seguinte tem o triplo da altura da anterior. A Altura da nossa pilha de caixas será: a) 121 m b) 81 m c) 32 m d) 21 m e) 15 m

7 2. Sobre 3 termos de um PG decrescente sabe-se que o produto é 64 e a soma é 14. Calcule-os 3. Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a 2. Se o produto dos termos dessa progressão é 2 39, então o número de termos é igual a: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) Um sociólogo que estuda, há anos, a população de uma favela do Rio de Janeiro, chegou à conclusão de que a população dobra anualmente, devido aos problemas sociais e de migração interna. Sabendo-se que, em 1997, essa população era de 520 habitantes, e que a condição geográfica do local só suporta um máximo habitantes, essa mesma população deverá ser removida, no máximo, no ano de: a) 1999 b) 2000 c) 2001 d) 2002 e) Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por 0,3: 0,03: 0,003:... é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos da progressão aritmética vale: a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 2 e) 1/2 6. Dado um quadrado Q1 cujo lado tem comprimento L = 1, considere a seqüência infinita de quadrados {Q1, Q2, Q3,...} onde cada quadrado é obtido unindo-se os pontos médios dos lados do quadrado anterior. A soma das áreas de todos os quadrados da seqüência é: a) 4 b) c) 4/3 d) 2 e)

8 7. A figura a seguir representa o gráfico da função y=2x, x 0, e os primeiros elementos de uma seqüência infinita de retângulos. A soma das áreas de todos os retângulos dessa seqüência infinita é: Dado: (ua=unidade de área) a) 1/2 ua b) 1 ua c) 3/2 ua d) 2 ua e) maior que 2 ua 8. Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27,... se a sua soma é 3280, então ela apresenta: a) 9 termos b) 8 termos c) 7 termos d) 6 termos e) 5 termos 98 QUESTÃO CONTEXTÃO O paradoxo de Zenão O filósofo Zenão de Eleia (século V a.c.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático. Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira: Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.

9 Quanto vale d? 99 GABARITO 01. Exercícios para aula 1. b 2. b 3. d 4. b 5. d 03. Questão contexto d = 100/9 02. Exercícios para casa 1. a 2. (8, 4, 2) 3. b 4. c 5. c 6. d 7. b 8. b