REVISÃO DOS CONTEÚDOS

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1 REVISÃO DOS CONTEÚDOS Prof. Patricia Caldana Seno, Cosseno e Tangente de um arco Dado um arco trigonométrico AP de medida α, chamam-se cosseno e seno de α a abscissa e a ordenada do ponto P, respetivamente. Assim, na circunferência trigonométrica, podemos nos referir ao eixo das abscissas como eixo dos cossenos e ao eixo das ordenadas como eixo dos senos. Dado um arco trigonométrico AP de medida α, com P não pertencente ao eixo das ordenadas, chama-se tangente de α, a ordenada do ponto T, que é a intersecção da reta OP com o eixo das tangentes. Variação de Sinal do Seno, Cosseno e Tangente Seno: os pontos de ordenadas positivas são os 1ª e 2ª quadrante e os pontos de ordenadas negativas são os 3ª e o 4ª quadrante. Cosseno: os pontos de abscissas positivas são os 1ª e 4ª quadrante e os pontos de abscissas negativas são os 2ª e o 3ª quadrante. Tangente: a tangente positiva para os arcos do 1ª e 3ª quadrante e negativo para os arcos de 2ª e 4º quadrante. Primeira determinação positiva de um arco Note que o círculo possui raio medindo uma unidade e é dividido em quatro quadrantes, facilitando a localização dos ângulos trigonométricos, de acordo com a seguinte situação: 1º quadrante: abscissa positiva e ordenada positiva 0º < α < 90º. 2º quadrante: abscissa negativa e ordenada positiva 90º < α < 180º. 3º quadrante: abscissa negativa e ordenada negativa 180º < α < 270º. 4º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa 270º < α < 360º. Pagina: 1

2 Sabemos que uma volta completa equivale a 360º ou 2π rad, com base nessa informação podemos reduzi-lo à primeira volta, realizando o seguinte cálculo: dividir a medida do arco em graus por 360º (volta completa), o resto da divisão será a menor determinação positiva do arco. Dessa forma, a determinação principal do arco em um dos quadrantes fica mais fácil. Geometria espacial Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, em que estudamos as figuras que possuem mais de 2 dimensões como esferas, cilindros, cones e pirâmides. As figuras geométricas espaciais também recebem o nome de sólidos geométricos, que são divididos em: poliedros e corpos redondos. Vamos abordar as definições e propriedades dos poliedros. Poliedros Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Classificações Os poliedros convexos recebem nomes de acordo com o número de faces. Relação de Euler: Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V - A + F = 2, em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces. Áreas e volumes de sólidos: Cada sólido terá diferentes fórmulas para se calcular as áreas e volumes. Matrizes Para representar matrizes, utilizamos a disposição de uma tabela. Pagina: 2

3 Chamamos de matriz toda a tabela m x n ( lê-se m por n ) em que números estão dispostos em linhas (m) e colunas (n). Cada elemento da matriz é indicado por a ii (i indica a posição do elemento referente à linha, e j, a posição em relação à coluna). Diagonais da Matriz: Toda matriz possui diagonal principal e diagonal secundária. A diagonal principal é formada pelos elementos em que i = j. A diagonal secundária é composta por elementos em que a soma de i com j sempre resulta em uma mesma solução. Operações com matrizes As operações com matrizes são: adição, subtração e multiplicação. Adição: Sejam A e B duas matrizes em que a sua soma resulta em uma matriz C. A + B = C. Cada um dos elementos da matriz C é o resultado da soma de um elemento de A com um elemento de B. Para efetuarmos a adição entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Subtração: A partir de duas matrizes A e B, definimos a sua diferença como C: A B =C A + (- B) = C A matriz diferença pode ser definida como sendo a soma de A com o oposto de B, ou seja, - B. Para realizarmos a subtração entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Multiplicação: Dadas as matrizes A m x n e B n x p, para que seja possível realizar o seu produto, o número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas da matriz B. Esse processo resulta em uma matriz C m x p. Ao multiplicarmos uma matriz A por outra matriz B, temos que multiplicar todos os elementos da primeira linha da matriz A pelos elementos da primeira coluna da matriz B e somá-los. Pagina: 3

4 Determinante de matrizes quadradas Definimos como determinante da matriz A (det A) o número que é obtido pela operação dos elementos que compõem A. Análise combinatória Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Fatorial Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número: n! = n(n 1)(n 2)(n 3) *...* 3 * 2 * 1 Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n. Princípio Fundamental da Contagem Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n. Arranjos Simples Os agrupamentos formados nos exercícios de análise combinatória podem ser considerados Arranjos simples. Será assim classificado se levarmos em consideração a ordem de seus elementos, ou seja, se os agrupamentos forem diferentes entre si pela ordem de seus elementos. Quando os agrupamentos de um exercício de análise combinatória forem caracterizados como Arranjos simples, para calcular a quantidade de agrupamentos formados não é preciso esquematizar todos eles, basta utilizar a seguinte fórmula: Permutação Simples Pagina: 4

5 Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!. Combinação Simples Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão: a dois: Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que serão tomados dois Permutação com elementos repetidos Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja o exemplo abaixo: Dada a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem n 1 vezes, n 2 vezes e n n vezes. Então, a permutação é calculada: EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1. Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco A de medida: A= 690 graus. 2. Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco A de medida A= 4000 graus. Pagina: 5

6 3. Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco de medida 36π/2. 4. Verifique se são côngruos os seguintes pares de arcos: a) 1870º e -650º b) 19π/3 e 25π/3 5. Qual a determinação principal do arco com medida igual a 2380º? 6. Calcule o seno, cosseno e a tangente dos ângulos abaixo: a) 245º b) 750º c) 1250º d) 2740º 7 e) rad 4 41 f) rad : 6 7. A área total de um prisma é a soma de todas as áreas de suas faces laterais com as áreas das bases. Determine a área total e o volume de um prisma reto triangular de altura igual a 12 cm e cuja base é um triângulo retângulo de catetos 6cm e 8cm. 8. A pirâmide de Queóps (construída por volta de anos antes de Cristo), no Egito, tem 146 m de altura. Sua base é um enorme quadrado, cujo lado mede 246 m. Se um caminhão basculante carrega 6 m3 de areia, quantos deles seriam necessários para transportar um volume de areia igual ao volume da pirâmide? Pagina: 6

7 9. Um tipo de folha de papel muito usado nas máquinas copiadoras é o de formato A4. Este tipo de papel tem forma retangular com 21 cm de largura por 29,7 cm de comprimento. Calcule o volume de uma pilha, com 20 cm de altura, de papel A Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro? 11. Um líquido que está num recipiente em forma de cone será despejado em outro recipiente que possui forma cilíndrica. Se o raio da base dos dois recipientes for 25 cm e a altura dos dois for 1 m, que altura atingirá o líquido no cilindro? 12. Além disso, cada família envolvida com o programa irá pagar somente R$ 2,50 por metro cúbico utilizado. Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês pagará que quantia? (considere π = 3) 13. Sendo A, B e C determine: a) A + B + C b) B + 2. A c) A.B + B.C Pagina: 7

8 14. Calcule o valor do 15. Dadas as matrizes A = e B =, calcule o determinante da matriz A.B 16. Calcule o número de anagramas que podem ser formados pelas letras da palavra ALUNO. 17. Uma montadora de automóveis apresenta um carro em 3 modelos diferentes e em 6 cores diferentes. Se você vai adquirir um veículo dessa montadora, quantas opções tem de escolha? 18. Considere os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados? 19. Considerando as letras da palavra FORTE, calcule o número total de anagramas que podem ser formados com as 5 letras. 20. Quantos números naturais de 2 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 1 até 9? 21. Uma comissão de cinco membros será escolhida dentre 8 pessoas. Calcule o número de comissões diferentes que podem ser formadas. 22. Quantos números diferentes obtemos reagrupando os algarismos do número ? Pagina: 8