Mat.Semana. PC Sampaio Alex Amaral Gabriel Ritter Rafael Jesus. (Roberta Teixeira) (Gabriella Teles)

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1 12 PC Sampaio Alex Amaral Gabriel Ritter Rafael Jesus Semana (Roberta Teixeira) (Gabriella Teles) Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia ou a reprodução não autorizada previamente e por escrito. Todos os direitos reservados.

2 CRONOGRAMA 04/05 Progressão Aritmética Exercícios de PA 11:00 21:00 05/05 Progressão Geométrica 8:00 11/05 Progressão Geométrica - continuação Exercícios de PG 11:00 21:00 12/05 Introdução à matemática financeira: porcentagem

3 18/05 Juros Simples Juros Compostos 11:00 21:00 19/05 Revisão de juros simples e compostos 25/05 Combinatória: princípio fundamental de contagem e arranjos Combinatória: permutação simples e anagramas 11:00 21:00 26/05 Combinatória: combinação

4 Progressão aritmética 04 mai Definição, termo geral e soma. 01. Resumo 02. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto

5 RESUMO Definição Soma dos n primeiros termos de uma p.a. Progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se o termo anterior com uma constante. Essa constante é chamada razão da P.A. (-6,-1,4,9,14,...)-> é uma p.a. De razão r=5. (150,140,1300,120 )-> é uma p.a. De razão r=-10 Muitas foram as contribuições do alemão Carl F. Gauss à ciência em particular, à matemática. Sua incrível vocação para matemática se manifestou desde cedo, perto dos 10 anos de idade. Conta-se que Gauss surpreendeu seu professor ao responder o valor da soma ( ) em pouquíssimo tempo! Obs.: Note então que nos exemplos anteriores a razão de uma p.a. Pode ser obtida calculando-se a diferença entre um termo qualquer ( a partir do segundo) e o termo que o antecede, isto é : numa progressão escrita como (a1, a2, a3.) R= a2 - a1=a3 - a2=a4 - a3 = =a n -a n-1 Classificação De acordo com a razão podemos classificar as progressões aritméticas da seguinte forma r>0, Dizemos que a p.a. é crescente. r=0, Dizemos que a p.a. É constante. r<0 dizemos que a p.a. É decrescente. Que ideia Gauss teria tido? Ele notou a seguinte propriedade! a1+a100= =101 a2+a99= = 101 a3+a98 = = a 50 +a 51 = =101 Assim, Gauss teria agrupado os 100 termos da soma em 50 pares de números cuja a soma é 101. Obtendo 50 x 101 = Então a soma dos 100 termos desta sequência é Termo geral Portanto algebricamente o que Gauss fez foi: Vamos agora encontrar a expressão para uma progressão aritmética: S100 = (1+100).100 = Seja uma p.a. (a1, a2, a3 ) de razão R temos que: a2-a1= R => a2=a1+r a3-a2= R => a3=a2+r => a3=a1+2r Então podemos dizer que numa sequência de n termos, podemos escrever genericamente, como: Sn = (a1 + a n ). n 2 De modo geral temos então que o termo an que ocupa a n-ésima posição na sequência é dado por: an = a1 + (n-1). r Onde: a1 primeiro termo da sequência a n último termo da sequência n número de termos da sequência

6 EXERCÍCIOS DE AULA Numa sala de aula cada um dos 100 alunos recebe um número que faz parte de uma sequência que está em progressão aritmética. Sabendo que a soma de todos os números é e que a diferença entre o 46 e o 1 é de 135, determine o 100 número. As projeções para a produção de arroz no período de , em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção. A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de a) 497,25. b) 500,85. c) 502,87. d) 558,75. e) 563, Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir: 1ª questão com progressão aritmética Enem 2010 Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura? a) C = 4Q. b) C = 3Q + 1. c) C = 4Q 1 d) C = Q + 3. e) C = 4Q 2.

7 4. Um trem partiu da estação com 100 passageiros a cada estação entraram outros 12 passageiros e ninguém saiu. Ao sair de que estação o trem estava com 268 passageiros? a) 16 estação b) 14 estação c) 15 estação d) 17 estação e) 13 estação 5. A fim de organizar a convocação dos funcionários de uma empresa para o exame médico, decidiu-se numerá-los de 1 a 500. Na primeira semana, foram convocados os funcionários, cujos os números representavam os múltiplos de 2 e, na segunda semana, foram convocados os funcionários identificados por múltiplos de 3 e que ainda não haviam sido chamados. Qual é o número de funcionários que não haviam sido convocados após essas duas semanas? EXERCÍCIOS PARA CASA Numa progressão aritmética de 7 termos, a soma dos dois primeiros é 14 e a dos dois últimos é 54. Calcule a razão e o último termo desta P.a. 2. Para um show musical foram vendidos ingressos para pessoas que serão expostas em filas a partir do palco. A primeira fila será formada por 120 pessoas, a segunda por 140, a terceira por 160 e assim por diante nas filas seguintes: O número dessas filas é de: a) 25 b) 23 c) 20 d) As progressões aritméticas (2,9,16,...,k) e (382,370,358,...,k) são finitas e tem o mesmo número de termos. O valor de k é igual a : a) 156 b) 170 c) 135 d) 142 e) 128

8 4. O triângulo retângulo seguinte tem perímetro 96 cm, e área de 384 cm2. Quais são as medidas de seus lados se (x, y, z) é nessa ordem uma p.a. crescente? 5. Dada a progressão aritmética 2, 5, 8, 11. Então a soma dos termos PA desde o 21 termo até o 41 inclusive é igual a: 6. a) 1954 b) 1666 c) 1932 d) 1656 e) 1931 Uma dívida deve ser paga em três prestações cujos valores estão em p.a sabendo que a 3 prestação deve ser R$100,00 a mais do que a 1 e que a soma das duas últimas deve ser igual a R$1050,00 determine o valor da dívida Uma criança organizou suas 1378 figurinhas, colocando 3 na primeira fileira, 7 na segunda e 11 na terceira, e assim por diante, até esgotá-las. Quantas fileiras a criança conseguiu formar? 8. Utilizando-se um fio de comprimento L é possível construir uma sequência de 16 quadrados em que o lado de cada quadrado, a partir do segundo é 2 cm maior que o lado do quadrado anterior. Sabendo que para a construção do sétimo quadrado são necessários 68 cm determine o valor de L.

9 QUESTÃO CONTEXTO Jogos Olímpicos são um evento multiesportivo global com modalidades de verão e de inverno, em que milhares de atletas participam de várias competições. Atualmente os Jogos são realizados a cada dois anos, em anos pares, com os Jogos Olímpicos de Verão e de Inverno se alternando, embora ocorram a cada quatro anos no âmbito dos respectivos Jogos sazonais. Jogos Olímpicos de Verão de 1896, oficialmente conhecidos como Jogos da I Olimpíada, foram os primeiros Jogos Olímpicos da era moderna, realizados em Atenas, Grécia, berço dos Jogos da Antiguidade, entre os dias 6 e 15 de abril de 1896, com a participação de 241 atletas masculinos, representantes de catorze países. O evento realizou-se graças ao empenho do francês Pierre de Frédy, o Barão de Coubertin, idealizador do renascimento dos Jogos existentes na Grécia Antiga, mentor do movimento olímpico e fundador do Comitê Olímpico Internacional. A 1 edição dos jogos olímpicos foi no ano de 1896, considere os jogos de inverno e de verão, Calcule qual foi a edição dos jogos Rio

10 GABARITO 01. Exercícios para aula d 3. b 4. c Questão contexto Exercícios para casa c 3. d 4. x=24, y=32, z=40 5. c 6. R$1500, fileiras ,8 M 100