MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PROGRESSÕES

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1 PROGRESSÕES A cada 76 anos o cometa Halley pode ser visto da Terra. Ele passou por aqui, pela última vez em 986 e deverá reaparecer no ano de 06. Depois em 38,, e assim sucessivamente. Os números 986, 38,, 90..., nessa ordem, representam os anos em que o cometa Halley poderá ser visto da Terra, já que tal fenômeno costuma ocorrer a cada 76 anos. Assim escritos esses números representam uma sequência numérica, objeto de estudo desta unidade. Sequências Numéricas Denominamos de sequência (ou sucessão) a um conjunto ordenado de números que representamos por: (a, a, a 3,... a n,...) onde a é o primeiro termo a é o segundo termo a 3 é o terceiro termo etc. obs.: n N*(naturais não-nulos). Teste de sala Q.0 Sendo a = e a n+ = 3a n +, determine a. Q.0 Determine o valor de a 0 + a 30 na sequência a n = n 5n. Q.03 Se a = 3, a = 5 e a n+ = a n+ + a n, determine a 5.

2 Progressão Aritmética Toda sequência numérica em que, a partir do segundo termo, qualquer termo é calculado somando o termo anterior a uma constante (razão). Q.0 Quantos termos existem na sequência (,, 8,..., )? Ex: (, 6, 0,,8,...) (3, 3, 3, -7, -7,...) Tipos de PA Q.03 Quantos múltiplos de existem entre 60 e 85? Crescente - sempre que sua razão for positiva. (,, 6, 8, 0) Decrescente sempre que a razão for negativa. (0, 7,,, 9) Constante razão nula (5, 5, 5, 5) Q.0 Determine os três primeiros termos da PA onde a 0 + a 8 = 56 e a + a = 7. Termo geral Sendo o primeiro termo da PA igual a a podemos afirmar que: a = a + r a 3 = a + r = a + r a = a 3 + r = a + 3r a 5 = a + r = a + r. Q. 05 Interpolando 6 meios aritméticos entre 3 e, qual será o valor do sétimo termo da PA formada? a n = a + (n-)r Obs.: a razão de uma PA é calculada sempre subtraindo de um termo o seu antecessor. Obs.: podemos escrever três termos em PA da seguinte forma: (x-r, x, x+r). Q.0 Qual o vigésimo termo da sequência (7, 0, 3,...)? Q.06 Os três ângulos internos de um triângulo estão em PA. Qual a medida desses ângulos sabendo que o maior é o triplo do menor?

3 Propriedades de PA º) A soma dos termos equidistantes de uma PA é sempre uma constante. Q.0 Calcule a soma dos termos da PA (5, 39, 53,..., 375). Ex.: (, 5, 8,,, 7, 0, 3) 5 º) Três termos em PA, o termo central é igual a média dos extremos. PA: (a, b, c) a c b Q.0 Se a sequência (, x + 3, 3x +,...) é uma PA, determine x e a razão. Q.03 O Pagador de Promessas teve que fazer uma caminhada de 05 Km de sua cidade natal até Salvador. Percorreu 5km no primeiro dia, km no segundo dia, 9km no terceiro dia e assim sucessivamente. Calcule quantos dias durou a viagem. Q.0 Para que valor de x a sequência (x-, x+, x) é uma PA? Soma de PA Demonstração em sala: S n (a a n )n Q.0 Calcule a soma dos 5 primeiros termos da sequência (, 3, 5,...). 3

4 Progressão Geométrica Toda sequência numérica em que, a partir do segundo termo, qualquer termo é calculado multiplicando o termo anterior a uma constante (razão). Q.0 Calcule o o termo da sequência (, 0, 3, 0, 9, 0,...) Ex.: (, 6, 8, 5...) (0, 0, 0, 5...) Tipos de PG Crescente: sempre que seus valores aumentarem. Q.03 Se o oitavo termo de uma PG é e a razão é, qual é o primeiro termo dessa progressão? Decrescente: sempre que seus valores diminuírem. Constante: razão igual a. Oscilante: razão negativa. Singular: razão nula Q.0 Calcule o número de termos de uma PG que tem razão, o termo 6 e o último termo 3. Termo geral Demonstração em sala: Sendo o primeiro termo da PG igual a a podemos afirmar que: a = a q a 3 = a q = a q a = a 3 q = a q 3 a 5 = a q = a q. Q.05 Quantos termos devem ser intercalados entre 785 e 8 para obter uma PG de razão igual a 5? a n = a. q (n-) Obs.: a razão de uma PG é calculada sempre dividindo um termo pelo seu antecessor. Q.06 Intercale 6 meios geométricos reais entre 60 e 5. Obs.: podemos escrever três termos em PG da x seguinte forma:, x, xq. q Q.0 Obtenha o oitavo termo da PG (, 6, 8,...)

5 Propriedades de PG º) O produto dos termos equidistantes de uma PG é sempre uma constante. Infinita S a - q Ex.: (3, 6,,, 8, 96) 88 º) Três termos em PG, o quadrado do termo central é igual ao produto dos extremos. Q. 0 Calcule a soma das 0 primeiras parcelas da série... PG: (a, b, c) b ac Q.0 A soma de seis elementos em PG de razão é 97. Qual é o o termo? Q.0 Qual é o número que deve ser somado a, 9 e 5 para termos, nessa ordem, três números em PG? Q.0 A sequência (x +, x + 3, x +,...) é uma PG. Calcule o quarto termo. 3 6 Q.03 Calcule Soma de PG Finita Q.0 Determine m na equação m m 5 S n n a(q -) q - 5

6 Teste de Casa Q.0 Sabendo que a sequência (-3x, x-, x+) é uma PA, determine o valor de x. a) b) 0 c) d) e) 6 Q.0 Em uma PA de termos e de razão 9, a soma do termo do meio com o seu antecessor é igual ao último termo. Então, o termo do meio é: a) 369 b) 89 c) 0 d) 7 e) 80 Q.03 As medidas dos ângulos internos de um triângulo estão em PA de razão 0º. O menor ângulo desse triângulo mede: a) 30º b) 0º c) 50º d) 60º e) 80º Q.0 Três números estão em PA. A soma destes números é 5 e o seu produto 05. Qual a diferença entre o maior e o menor? a) b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Q.05 O número de múltiplos de 7 entre 50 e 50 é: a) 9 b) c) d) 6 e) 3 Q.06 Em uma PA de nove termos, a soma a +a 9 vale 0. Então, a soma dos nove termos da progressão vale: a) 75 b) 80 c) 85 d) 90 e) 95 Q.07 O terceiro termo de uma PA é e a razão é. A soma dos 0 primeiros termos é: a) 790 b) 800 c) 80 d) 80 e) 830 Q.08 No decorrer de uma viagem que teve duração de 6 dias, um automóvel percorreu 60 km no o dia, 80 km no segundo, 00 km no 3 o dia e assim sucessivamente, até o 6 o dia. O total de quilômetros percorridos por esse automóvel durante esse 6 dias foi: a) 0 b) 380 c) 60 d) 580 e) 660 Q.09 Numa caixa há 000 bolinhas de gude. Retirando-se 5 bolinhas na primeira vez, 0 na segunda, 5 na terceira e assim sucessivamente na mesma razão. Após a décima quinta retirada, sobraram na caixa: a) 50 bolinhas b) 00 bolinhas c) 300 bolinhas d) 500 bolinhas e) 750 bolinhas 6

7 Q.0 Um atleta percorre 00 m a mais que no dia anterior. Ao final de dias ele percorreu um total de 3500 metros. O número de metros que correu no último dia foi igual a: a) 500 b) 500 c) 5300 d) 500 e) 5500 Q. Para que a soma dos n primeiros termos da sequência (-8, -77, -73,...)seja um número positivo, deve-se considerar no mínimo: Q.5 Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm ambas, o primeiro termo igual a, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em. Então, o terceiro termo das progressões é: a) 0 b) c) d) 6 e) 8 a) 35 termos b) 39 termos c) termos d) termos e) 3 termos Q. A soma dos n primeiros números pares estritamente positivos é: a) n(n ) b) n(n + ) c) n + d) n e) n Q.3 A soma dos termos da sequência a = 0,5, a = 0,5, a 3 = 0,5,... é igual ao termo médio de uma progressão aritmética com três termos. Nessas condições, pode-se afirmar que a soma dos termos dessa progressão aritmética é igual a: a) b) c) 3 d) Q. Os números x, y e z estão em PA de razão r de tal forma que z = 3x, então pode-se afirmar que: a) x = r b) x = -r c) y = r d) z = r e) z = -r Q.6 Na segunda-feira, uma garota conta um segredo a três amigas. Na terça-feira, cada uma dessas amigas conta esse segredo a três outras amigas. E assim, a cada dia, no decorrer da semana, as garotas que ouviram o segredo no dia anterior, contam-no a três outras amigas. No final da sexta-feira dessa semana, o número de garotas que conhecem o segredo é igual a: a) 8 b) c) d) 36 e) 090 Q.7 Suponha que os números, x, y e 58 estão, nessa ordem em PG. Desse modo o valor de x + y é: a) 90 b) 00 c) 80 d) 360 e) 60 Q.8 A razão da PG cujos termos satisfazem as relações a + a 3 + a 5 = 5 a + a + a 6 = 0 é: a) 0,5 b) c),5 d) e) 3 7

8 Q.9 A soma dos três primeiros termos de uma 3 PG é igual a e a soma dos três seguintes é 6. A razão dessa progressão é: a) - b) - c) - d) e) 8 Q.3 A soma da série infinita... é: 5 5 a) 6 5 b) 7 5 c) 5 d) 7 e) Q.0 Sabendo que a n é uma PA de razão 3, b n uma PG de razão, a6 = b e a 3 = b, então a + b é: a) -3 b) - c) 8 d) e) Q. Sendo (0, x, y, 5,...) uma PG de razão q e (q, 8-a, 7,...) uma PA, o valor de a é: 9 a) b) 3 c) d) 6 e) 7 Q. Uma PG crescente de quatro termos tem soma dos meios igual a 8 e a soma dos extremos igual a. O valor do primeiro termo é: Q. Se a = e a n+ = a n 3a n, determine o o termo dessa sequência. a) 30 b) 0 c) 50 d) 60 e) 70 Q.5 Um jogador faz uma série de apostas e, na primeira vez, perde R$,00; na segunda, duplica a aposta e perde R$,00, na terceira, duplica a aposta anterior e perde R$,00; e assim, sucessivamente, até ter perdido um total de R$ 55,00. Calcule quantas vezes o jogador apostou. Q.6 Durante 5 dias, um automóvel é submetido a testes de desempenho mecânico. No primeiro dia ele percorre 0 km; no segundo, 60 km; no terceiro, 80 km; e assim sucessivamente, até o último dia, quando percorre x km. Calcule 0 x a) 6 b) 5 c) 3 d) e) 8

9 Q.7 Sabendo que a sequência (-3x, x-, x+) é uma P.A., determine o valor de x. a) b) 0 c) d) e) 6 Q.8 Quantos números ímpares há entre e 93? a) 88 b) 89 c) 87 d) 86 e) 90 Q.9 Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 0 e 98, obtém-se uma P.A. cujo termo central é: a) 5 b) 5 c) 5 d) 55 e) 57 Q.30 O termo geral de uma sequência é a n = n 7. A soma dos vinte primeiros termos dessa sequência é: a) 70 b) 700 c) 670 d) 60 e) 580 Q.3 Colocando-se 50 estudantes numa fila, com estudante na primeira, na segunda, 3 na terceira e assim sucessivamente, formando-se um triângulo, quantas filas teremos? a) 55 b) 0 c) 5 d) 3 e) 00 Q.3 A sequência (x, x, x +...) é uma PG. O seu quarto termo é igual a: a) x 3 7 b) 7 c) 9 d) e) Nenhuma das respostas anteriores. Q.33 Uma cultura de certa bactéria, mantida sob condições ideais, triplica o seu volume a cada dia. Se o volume no o dia é de 9 cm 3, o volume no quinto dia será: a) 05 cm 3 b) 79 cm 3 c) 939 cm 3 d) 350 cm 3 e) 87 cm 3 Q.3 Na compra a prazo de um aparelho eletrodoméstico, o total pago por uma pessoa foi R$ 67,00. A entrada teve valor correspondente a /6 do total, e o restante foi pago em parcelas, cujos valores formaram uma progressão aritmética crescente de razão R$ 0,00. O valor da última prestação foi: a) R$ 0,00 b) R$ 05,00 c) R$ 5,00 d) R$ 00,00 e) R$ 0,00 Gabarito c b b a c d d e a b d b c c d d c d c d d e c e 8 c b c 3 b a b 9

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