Progressão Aritmética

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Ana Lívia Aldeia Figueira
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1 CEFET - Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca

2 Definição Uma (P.A.) é uma sequência de números (a 1, a 2,..., a n,...) (n N) na qual a diferença entre cada termo a n+1 e o seu antecessor a n é constante. Essa diferença é chamada de razão e a representaremos por r.

3 Ex.1: Uma fábrica de automóveis produziu 400 veículos em Janeiro e aumenta mensalmente sua produção de 30 veículos. Quantos veículos produziu em Junho?

4 Classificação Uma progressão Aritmética pode ser classificada das seguintes formas: P.A. é crescente r > 0. P.A. é decrescente r < 0. P.A. é estacionária r = 0.

5 Ex.2: Diga qual(is) das sequências abaixo é (são) progressão(ões) aritmética(s) e, em caso afirmativo, classifique-a(s): a) (2, 5, 8, 11,...)

6 Ex.2: Diga qual(is) das sequências abaixo é (são) progressão(ões) aritmética(s) e, em caso afirmativo, classifique-a(s): a) (2, 5, 8, 11,...) ( 1 b) 3, 1 3, 1 3, 1 ) 3,...

7 Ex.2: Diga qual(is) das sequências abaixo é (são) progressão(ões) aritmética(s) e, em caso afirmativo, classifique-a(s): a) (2, 5, 8, 11,...) ( 1 b) 3, 1 3, 1 3, 1 ) 3,... c) (7, 3, 1, 5,...)

8 Ex.2: Diga qual(is) das sequências abaixo é (são) progressão(ões) aritmética(s) e, em caso afirmativo, classifique-a(s): a) (2, 5, 8, 11,...) ( 1 b) 3, 1 3, 1 3, 1 ) 3,... c) (7, 3, 1, 5,...) d) (1, 1, 2, 3, 5, 8,...)

9 Por que o nome da sequência é progressão ARITMÉTICA? Consideremos uma progressão aritmética de três termos: a, b e c. Por definição, podemos afirmar que: r = b a = c b

10 Por que o nome da sequência é progressão ARITMÉTICA? Consideremos uma progressão aritmética de três termos: a, b e c. Por definição, podemos afirmar que: r = b a = c b 2b = a + c

11 Por que o nome da sequência é progressão ARITMÉTICA? Consideremos uma progressão aritmética de três termos: a, b e c. Por definição, podemos afirmar que: r = b a = c b 2b = a + c b = a + c 2

12 Por que o nome da sequência é progressão ARITMÉTICA? Consideremos uma progressão aritmética de três termos: a, b e c. Por definição, podemos afirmar que: r = b a = c b 2b = a + c b = a + c 2 Ou seja, dados três termos consecutivos quaisquer de uma progressão aritmética, o termo central é igual à média ARITMÉTICA dos outros dois.

13 Termo Geral Por definição, temos que: a 2 a 1 = r a 3 a 2 = r a 4 a 3 = r... a n 1 a n 2 = r a n a n 1 = r

14 Termo Geral Por definição, temos que: a 2 a 1 = r a 3 a 2 = r a 4 a 3 = r... a n 1 a n 2 = r a n a n 1 = r a n a 1 = (n 1) r

15 Termo Geral Por definição, temos que: a 2 a 1 = r a 3 a 2 = r a 4 a 3 = r... a n 1 a n 2 = r a n a n 1 = r a n a 1 = (n 1) r a n = a 1 + (n 1) r

16 Ex.3: O preço de um carro novo é R$ ,00 e diminui de R$ 1.000,00 a cada ano de uso. Qual será o preço com 4 anos de uso?

17 Obs.: Em uma progressão aritmética, para avançar um termo basta, somar a razão; para avançar dois termos, basta somar duas razões; e assim por diante. Logo, de um p ésimo termo a um n ésimo termo, basta somar (n p) razões. Portanto,

18 Obs.: Em uma progressão aritmética, para avançar um termo basta, somar a razão; para avançar dois termos, basta somar duas razões; e assim por diante. Logo, de um p ésimo termo a um n ésimo termo, basta somar (n p) razões. Portanto, a n = a p + (n p) r

19 Ex.4: Em uma progressão aritmética, o quinto termo vale 30 e o vigésimo termo vale 50. Quanto vale o oitavo termo dessa progressão?

20 Ex.5: Os lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética. Calcule-os, sabendo que o perímetro do triângulo é igual a 24 cm.

21 Ex.5: Os lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética. Calcule-os, sabendo que o perímetro do triângulo é igual a 24 cm. Obs.: Ao representar uma progressão aritmética com um número ímpar de termos, é conveniente nomear o termo central de x.

22 Ex.6: Determine quatro números em progressão aritmética crescente, conhecendo sua soma 8 e a soma de seus quadrados 36.

23 Ex.6: Determine quatro números em progressão aritmética crescente, conhecendo sua soma 8 e a soma de seus quadrados 36. Obs.: Ao representar uma progressão aritmética com um número par de termos, é conveniente nomear os dois termos centrais de x y e x + y.

24 Caracterização de uma Do termo geral de uma progressão aritmética, temos que: a n = a p + (n p) r

25 Caracterização de uma Do termo geral de uma progressão aritmética, temos que: a n = a p + (n p) r a n = a p + r n p r

26 Caracterização de uma Do termo geral de uma progressão aritmética, temos que: a n = a p + (n p) r a n = a p + r n p r a n = }{{} r n + a p p r }{{} A B

27 Caracterização de uma Do termo geral de uma progressão aritmética, temos que: a n = a p + (n p) r a n = a p + r n p r a n = }{{} r n + a p p r }{{} A B a n = An + B

28 Ex.7: Qual o valor da soma dos inteiros de 1 até 100?

29 Soma dos n primeiros termos Generalizando... S n = a 1 + a 2 + a a n 2 + a n 1 + a n

30 Soma dos n primeiros termos Generalizando... S n = a 1 + a 2 + a a n 2 + a n 1 + a n S n = a 1 + (a 1 + r) + (a 1 + 2r) (a n 2r) + (a n r) + a n

31 Soma dos n primeiros termos Generalizando... S n = a 1 + a 2 + a a n 2 + a n 1 + a n S n = a 1 + (a 1 + r) + (a 1 + 2r) (a n 2r) + (a n r) + a n S n = (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) (a 1 + a n )

32 Soma dos n primeiros termos Generalizando... S n = a 1 + a 2 + a a n 2 + a n 1 + a n S n = a 1 + (a 1 + r) + (a 1 + 2r) (a n 2r) + (a n r) + a n S n = (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) (a 1 + a n ) S n = (a 1 + a n ) n 2

33 Ex.8: Qual é o valor da soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética (2, 6, 10,...)?

34 Ex.9: Calcule a soma dos n primeiros números ímpares.

35 Caracterização da soma dos n primeiros termos de uma P.A. Pela soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, temos que: S n = (a 1 +a n ) n 2

36 Caracterização da soma dos n primeiros termos de uma P.A. Pela soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, temos que: S n = (a 1 +a n ) n 2 = [a 1+a 1 +(n 1) r] n 2

37 Caracterização da soma dos n primeiros termos de uma P.A. Pela soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, temos que: S n = (a 1 +a n ) n 2 = [a 1+a 1 +(n 1) r] n 2 = (2a 1+rn r) n 2

38 Caracterização da soma dos n primeiros termos de uma P.A. Pela soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, temos que: ( r ) [ ] S n = (a 1 +a n ) n 2 = [a 1+a 1 +(n 1) r] n 2 = (2a 1+rn r) n 2 = n 2 (2a1 r) + n }{{} 2 2 }{{} A B

39 Caracterização da soma dos n primeiros termos de uma P.A. Pela soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, temos que: ( r ) [ ] S n = (a 1 +a n ) n 2 = [a 1+a 1 +(n 1) r] n 2 = (2a 1+rn r) n 2 = n 2 (2a1 r) + n }{{} 2 2 }{{} A B S n = An 2 + Bn

40 Ex.10: A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por Determine o primeiro termo e a razão. S n = 4n 2 6n, n N.

41 Ex.11: (AFA) Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada pela fórmula S n = 3n2 + n, 2 então a soma do quarto com o sexto termo dessa progressão aritmética é (A) 25 (B) 28 (C) 31 (D) 34

42 Ex.12: (ITA) Seja a 1, a 2,... uma progressão aritmética infinita tal que n a 3k = n 2 + πn 2, k=1 para n N. Determine o primeiro termo e a razão dessa progressão.

43 de 2 a ordem Uma de 2 a ordem é uma sequência numérica na qual as diferenças entre termos consecutivos constituem uma progressão aritmética crescente ou decrescente.

44 Ex.13: Qual é o número máximo de regiões em que n retas podem dividir o plano?

45 Ex.14: A sequência (a n ) = (6; 2; 0; 0; 2; 6;...) é uma progressão aritmética de segunda ordem. Quanto vale seu termo geral a n?

46 Ex.15: (UENF) Observe a sequência numérica a seguir: (0, 3, 8, 15, 24,...) Determine, em relação a essa sequência: a) seu 6 o termo; b) a expressão do termo de ordem n.

47 Ex.16: (MACKENZIE) Na sequência numérica (4, 7, a 3, a 4, a 5,...), sabe-se que as diferenças b n = a n+1 a n, n 1, formam uma progressão aritmética de razão 2. Então, a 15 é igual a: (A) 172 (B) 186 (C) 200 (D) 214 (E) 228

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