LISTA DE EXERCÍCIOS 2º ANO GABARITO

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1 º ANO GABARITO Questão Matemática I a9 = = a8 = = a7 = = Portanto, a média aritmética dos últimos termos será dada por: M = = = 6 Questão O número de vigas em cada grade cresce segundo a progressão aritmética (5, 9,,, n + ), com n sendo um natural não nulo. Logo, se cada viga mede 0,5 m e a última grade foi feita com 6,5 metros lineares de vigas, então (n + ) 0,5 = 6,5 n = 68. Portanto, o comprimento total de vigas necessárias para fazer a sequência completa de grades, em metros, foi de 0,5 68 = Questão Tem-se que: + n n n 0 0 = = n 05 + n 05 n n 0 = + n 05 n = 0. Questão O lado do quadrado da figura : x Portanto: x = + x = cm Os lados dos quadrados forma uma P.A de razão r =. Logo, o lado do vigésimo quadrado é 0 cm. Sua área então será dada por: A = (0 ) = 800 cm. Questão 5 As quantidades dos elementos, em cada linha, também formam uma P.A. (,, 5, 7,...) Total e elementos da linha 9: x = + 8 = 7 ( ) Total de elementos até a linha 9: S = = 8 A sequência (q,, 7, 0,, 6, 9,, 5,...) é uma P.A de razão. Portanto, o primeiro elemento da linha 0 será o octagésimo segundo elemento da P.A. acima. a8 = + 8 = Questão 6 Seja n a distância, em quilômetros, pedalada pelo ciclista no primeiro dia. Dado que o ciclista pedala 0km a mais do que pedalou no dia anterior, vem n + n n n n + 0 = 0 5n = 0 n = km. Questão 7 Temos: n6k, + = n 6k+ =, n 6k+, 5 = 5 n 6k+ =, 7 n6k+ 5 = e 7 n 6k+ 6 =, para todo k natural. Portanto, n0 = n 6 5+ =. Questão 8 A quantidade de cartas que forma o monte é dada por 5 ( ) =. Questão 9 De acordo com as informações, temos que a evolução do número de diabéticos corresponde à sequência (50, 80, 0, 0, 70, 00, 0, ). Portanto, o mundo terá 00 milhões de pessoas com diabetes no ano de = 0. GAB LISTA - 9

2 º ANO GABARITO Questão 0 O número de horas consecutivas dormidas n dias n após o início da observação é dado por 8 +. Logo, o homem morrerá quando: n 8 + = n = 6. Portanto, após 6 dias o homem dormirá horas seguidas. GAB LISTA - 9

3 º ANO GABARITO Questão Tem-se que: Matemática I y z log y log x = logz log y log = log x y y z = x y y = xz. Questão Temos uma P.A. de primeiro termo 00, razão r = 8 e número de termos n. Portanto, o último termo desta P.A poderá ser escrito por: an = 00 + (n ) ( 8) Como o número de latas na última fila é um número positivo podemos escrever que: an > (n ) ( 8) > 0 8n > 08 n <,5 Portanto, a quantidade máxima de fileiras é e o número de latas nesta fileira será dada por: a = 00 + ( ) ( 8) a = Questão Como á 7 é o termo médio da progressão aritmética, segue-se que 78 = á 7 e, portanto, temos á 7 = 6. Questão É fácil ver que o número de triângulos brancos na n-ésima (n ) figura é dado por an= an +, com a = 0. Portanto, sabendo que a5 = 0, temos: a8 = a7 + = ( a6 + ) + = 9 a6 + = 9 ( a5 + ) + = 7 a5 + = = 09. Questão 5 x x + x 0 = 90 x = 90 x = 0 A P.A. então será determinada por: (0,0,0, ) E seu vigésimo termo será dado por: a0 = ( 0) = 50. Questão 6 A figura representa uma progressão aritmética cujo número de termos n é igual ao número de mesas e a quantidade de cadeiras é igual ao valor de cada um dos termos, ou seja: a = a = 6 r = a a = a a r = a = 8 Assim, com uma P.A. de razão o que se pretende descobrir é o valor do termo n = 50, ou a 50. Pode-se portanto escrever: an = a + (n ) r a50 = + (50 ) a50 = 0 O número necessário de cadeiras quando houver 50 mesas será 0 cadeiras. Questão 7 Considerando a P.A. na ordem dada, temos: P.A. (5x 5, x +, 6x ) Utilizando a propriedade de uma P.A, temos: 5x 5 + 6x x + = x + 8 = x 8 9x = 6 x = Logo, a P.A. será (5, 8, ). Portanto, a soma do três números será: a+ a + a = = 5. Questão 8 Sejam x, x+ r e x + r as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r > 0. Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x = r. Logo, os lados do triângulo medem r, r e 5r. Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem GAB LISTA - 0

4 º ANO GABARITO r + r + 5r = 6 r =. b) Portanto, a área do triângulo é igual a: r r = 6 =, 5 m. Questão 9 a) De acordo com a lei de formação da sequência, temos que: a = a = a = a = = a = a = a = a = = a5 = a6 = a = a = = 6 a7 = a8 = a = a = = 8 a9 = a0 = a 5 = 5 a5 = 5 = 0 a = a = a 6 = 6 a6 = 6 6 = 6 a = a = a 7 = 7 a7 = 7 = a5 = a6 = a 8 = 8 a8 = 8 8 = 6 Portanto, a sequência pedida é: (,,,,,6,,8,,0,,6,,,,6). c) Queremos calcular a. 6 a + = (a + ) a = a +. n n n n Do item (a) sabemos que a = 5. Logo, a6 = a5 + = (a + ) + = ( 5 + ) + = (n ) b) Observando que: a =,com n (+ 9) vem a = = =. 50 Questão 0 a) a = a + = (a + ) + = ((a + ) + ) + = (a + + ) + = 8a + 7. Como a =, segue que a = = 5. n, GAB LISTA - 0

5 º ANO GABARITO Questão Matemática I a) Os comprimentos dos pedaços de fita crescem segundo uma progressão aritmética de razão,5 cm e primeiro termo igual a 8cm. Logo, sabendo que o maior pedaço de fita mede 5,5cm, temos: 7,5 5,5 = 8 + (n ),5 n = +,5 n = 8. Portanto, foram utilizados 8 pedaços de fita. b) O comprimento total pedido é dado por: 59,5 S60 = = 905cm. Questão Sejam Q A e Q B, respectivamente, o número de livros recolhidos pelas equipes A e B após n rodadas. Tem-se que: (n ) (n ) QA = QB 6 + n = 6 + n 6+ n = 6+ n n =. Questão Número de alunos matriculados: º dia = 8 estudantes º dia = estudantes º dia = estudantes e assim sucessivamente. Logo, temos uma PA finita com 7 termos. Portanto, I) Termo geral da PA: an = a + (n )r a7 = a+ 6r 7 7 a = 8+ 6 () a = Soma dos algarismos do terceiro elemento: = 6. Portanto, as soma dos algarismos de cada elemento formam um P.A de razão. E seu vigésimo termo será dado por: a 0 = + 9 = 0 E a soma dos termos será dada por: + 0 S 0 = 0 = 0 Questão 5 Tem-se que: a + a50 + a50 S50 = = 50 a50 = 00. Daí, se r é a razão da progressão aritmética, então a + 9 r = 00 r =. Portanto, segue que: 6 S7 + S = = = 9. Questão 6 Calculando: (,5 + x) 9 Sn = 0 = x = 8,97 9 metros Questão 7 Os valores doados constituem uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 50 e razão 50. Logo, se n é o número de microempresas que participaram da campanha, então: (n ) = 50 + n n + n 660 = 0 n = 0. II) Soma dos termos da PA finita: Questão 8 ( a+ an) n ( 8 + 6) Sn = S7 = S = = 9 O números inteiros compreendidos entre 00 e 00, que possuem o algarismo das unidades igual a, ( 8 + 6) 7 S formam uma P.A de razão 0. 7 = = 9 (0,,,,, 8, 9) Questão Determinando o número n de termos dessa P.A., temos: 9 = 0 + (n ) 0 n = 0 Calculando, agora, a soma destes 0 termos, temos: Soma dos algarismos do primeiro elemento: + =. ( 0 + 9) 0 = 770 Soma dos algarismos do segundo elemento: =. GAB LISTA -

6 º ANO GABARITO Questão 9 Utilizando as fórmulas pertinentes a progressões aritméticas, bem como os dados do enunciado, pode- -se escrever: an = a + (n ) r a = + ( ) a = 7 n S n = (a+ a n) S = ( + 7) S = 876 mm = 87,6 cm Questão 0 Temos uma P.A. crescente de termos e razão 0 (7000, 700, 700,..., 70). Temos uma P.A. crescente de termos e razão 0 (7000, 700, 700,..., 70). Calculando a soma dos termos temos: ( ) = 850. GAB LISTA -

7 º ANO GABARITO Matemática I Questão De acordo com o texto os lados dos triângulos formados formam uma PG de razão. x x x x,,,, Logo, a medida do lado do nono triângulo será dada por : 9 x a9 = x = 8 Portanto, a área do nono triângulo será dada por: x 5 x 00 x 5 x 0 8 = 6 8 = = = 6 8 Questão Desde que x5 = q e q +, temos x5 + x6 = 90 q + q = 90 (q + ) = 6 q =. Em consequência, vem: xq = q x 6 = =. 9 Portanto, como 6 = 60 > 69 = 7 = 7,, segue o resultado Questão [I] Verdadeira. Os valores dos tempos musicais constituem uma progressão geométrica decrescente de primeiro termo e razão, cujo termo geral é n a n =, com 0 n 6 e n = + + =. 6 [IV] Falsa. De fato, conforme [I]. Questão Sabendo que a expressão do termo geral de uma n progressão geométrica é an = a q, pode-se escrever, de acordo com os dados do enunciado, para a progressão geométrica A: a9 = 79 8 a9 = a q = 79 a = 56 a = a q = 56 Resolvendo o sistema: 8 a q = 79 a q = 56 5 a q q = q = 79 q = = q = a = 56 a = 7 Se a progressão geométrica B tem o primeiro termo igual ao primeiro termo da progressão A e sua razão é igual a q +, seu quarto termo será: a = a (q + ) a = 7 ( + ) a = 89 Questão 5 Se (, A, B) é uma progressão aritmética, então A = + B, ou seja, B = A. Por outro lado, se (, A 6, B) é uma progressão geométrica, então (A 6) = B. Logo, segue que A 8A + 5 = 0, implicando em A = ou A = 5. Questão 6 O número total de gafanhotos mortos após n dias constitui a progressão geométrica n (5, 5, 5,, 5, ). [II] Verdadeira. Dois compassos de correspondem a um compasso. Por outro lado, uma mínima, uma semínima e duas colcheias resultam em + + = =. 8 [III] Falsa. Uma semínima, duas semicolcheias e uma fusa correspondem a um compasso cuja fração é Daí, temos n n 5 = = 777 n = n =. Portanto, a resposta é dias. GAB LISTA -

8 º ANO GABARITO Questão 7 Os valores doados constituem uma progressão arapós a instalação do quadrado de metro de lado, pode-se escrever que serão adicionados em cada uma das etapas: Etapa quadrados de lado = Área = S total = S total = Etapa 9 quadrados de lado = Área = S 9 total = 9 S 6 6 total = 6 Etapa 7 quadrados de lado = Área = S 7 total = 7 S total = 6 E assim sucessivamente... Percebe-se que as somas das áreas dos quadrados adicionados em cada uma das etapas formam um progressão geométrica de razão. Assim, a soma das áreas dos quadrados da 7ª etapa será igual a: ( 7 ) 7 ( n ) a7 = a q = a7 = Questão 8 A sequência é uma P.G. de razão ,,,,, O quinto termo é = Questão 9 O número de times em cada fase corresponde aos termos da progressão geométrica (6,,, ). Logo, sendo n o número de fases pedido, temos: n n 5 = 6 = n = 6. Questão 0 ( ) 6 6 = 6. qa qa = qa = = = =.(q 6 B) qb 7,7 Como q A > q B então, a velocidade de propagação no experimento A é maior que a velocidade de propagação no experimento B. GAB LISTA -

9 º ANO GABARITO Matemática I Questão Considerando que os triângulos são todos semelhantes, os perímetros formam uma PG de razão. A soma dos infinitos termos desta PG será dada por: S = = = 6 Questão Estabelecendo uma relação entre o raio r da circunferência inscrita e o raio R da circunferência circunscrita num hexágono regular. r é a altura de um triângulo equilátero de raio R, portanto: R r = Os raios considerados no exercício formarão uma P.G. infinita de razão q =. R R (R,,,...) A soma dos infinitos termos desta P.G. será dada por: R a + R R + S = = = = = R + q + Questão Soma dos infinitos termos da PG: a 85 S = S = = 670 mm q Questão a) palavras com uma letra: palavras com duas letras: palavras com três letras: E assim sucessivamente. Portanto, o número de palavras de comprimento menor do que 6 será dado por: = 6. b) Utilizando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.G, temos: N ( ) 6 0 N+ 6 0 N N = 0 0 > = 5 0 < Logo, N + = 0 N = 9. Questão 5 Lembrando que o limite da soma dos termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a e a razão < q< é dado por, temos: q 6 9 0,00+ 0, , = = 0 = 0 =. 999 Questão 6 A equação é uma progressão geométrica de razão q =. Sabe-se, pelo enunciado, que a soma de todos os termos dessa PG é 6, e que ela é infinita. Assim, pode-se escrever: a x x x S = 6 6 x q = = == = Questão 7 Pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo ABC, encontramos facilmente AC = 0 m. GAB LISTA -

10 º ANO GABARITO Os triângulos ABC, CDE, EFG, são semelhantes por AA. Logo, como a razão de semelhança é igual a CD = =, segue-se que AC = 0 m, CE 5 m, AB 6 = 5 EG = m, constituem uma progressão geométrica cujo limite da soma dos n primeiros termos é dado 0 por = 80 m. Questão 8 Como as parcelas crescem segundo uma progressão geométrica de razão, e primeiro termo igual a 000, segue que o montante pago foi de 5 (,) 000 = 000 6,05, = R$.0,0. Logo, os juros cobrados correspondem a 0, 0000 = R$.0,0 e, portanto, a taxa de juros simples na transação é igual a: 0, 00%,% Questão 9 Como as parcelas crescem segundo uma progressão geométrica de razão, e primeiro termo igual a 000, segue que o montante pago foi de 5 (,) 000 = 000 6,05, = R$.0,0. Logo, os juros cobrados correspondem a 0, 0000 = R$.0,0 e, portanto, a taxa de juros simples na transação é igual a: 0, 00%,% Questão 0 A soma pedida é igual a: = = 9. 9 GAB LISTA -