TÓPICOS DE REVISÃO MATEMÁTICA I SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES. Prof. Rogério Rodrigues

Transcrição

1 0 TÓPICOS DE REVISÃO MATEMÁTICA I SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES Prof. Rogério Rodrigues

2 1 1) SEQUÊNCIA NUMÉRICA: 1.1) Definição: È toda relação que associa cada um dos números naturais n (n 0) a um número real a n. OBS: cada valor de n denota a ordem que ocupa o respectivo na na sequência. São exemplos de sequências numéricas: a) a n = {1, 3, 5, 7, 9} naturais ímpares menores do que 10 b) b n = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} naturais primos menores do que 20 c) c n = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...} Sequência de Fibonacci 1.2) Termo Geral de uma sequência (lei de formação): É a expressão da função definida no parágrafo anterior a n = f(n). Para a sequência dos naturais ímpares, temos, por exemplo, a n = 2n 1 e para a sequência dos naturais pares, temos a expressão a n = 2n 2. Em certos casos, a expressão é dada por recorrência, ou seja, os primeiros termos são dados e uma expressão de a n vale para os termos restantes. Exemplos: a) Múltiplos de 3 compreendidos entre 10 e 100 : a n = 3n + 9. b) Potências de 2 maiores do que 10: a n = 2 n+3., 3 c) Sequência de Fibonacci: a n =, d) a n = {2, 5, 10, 17, 26, 37,..., n 2 + 1} e) ) a n = {0, 7, 26, 63, 124, 215,..., n 3-1}

3 2 2) PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (PA): 2.1) Definição: É toda sequência numérica em que, a partir do segundo termo, a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Essa diferença é a razão r da PA. Então, tem-se a n = {a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n-1, a n,...} a 2 a 1 = a 3 a 2 = a 4 a 3 = = a n a n-1 = r Exemplos : a) PA(2, 7, 12, 17, 22) PA crescente r = 7 2 = 12 7 = = = 5. b) PA(3, -1, -5, -9, -13,...} PA decrescente r = -1 3 = -5 (-1) =... = -4. c) PA(5, 5, 5, 5,...} PA constante ou estacionária r = 0. d) Se os números 2x + 3, 1 3x e 5x + 25, nesta ordem, são os primeiros termos e uma PA, calcule x, a razão e o oitavo termo. Pela definição de PA, tem-se (1 3x) (2x + 3) = (5x + 25) ( 1 3x) 1 3x 2 x - 3 = 5x x - 13x = 26 x = -2. Daí, tem-se PA(-1, 7, 15), em que r = 7 -(-1) = 15 7 r = 8.O oitavo termo é a 8 = a 8 = ) Termo Geral: Tem-se que a 2 = a 1 + r, a 3 = a 1 + 2r, a 4 = a 1 + 3r,..., a n = a 1 + (n 1)r. Mas a sequência pode ser considerada a partir de qualquer termo a k e, neste caso, tem-se Exemplos : a n = a k + (n k)r a) Numa PA, o primeiro termo é 23 e a razão é 4. Calcule o nono termo. Temos a 9 = a 1 + (9 1).4 = = a 9 = 55. b) Numa PA, o sexto termo é -2 e o décimo termo é 70. Calcule a razão e o primeiro termo. Temos a 10 = a 6 + (10 6)r 70 = r 4r = 72 e r =18. Por outro lado, por exemplo, a 6 = a 1 + (6 1).18-2 = a a 1 = -92. c) Quantos são os múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 1.000?

4 3 Temos a PA(102, 105, 108,..., 999) em que a 1 = 102, r = 3 e a n = 999. Daí, pode-se escrever: 999 = (n 1) 3n 3 = n =300. São 300 múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e ) Soma de termos da PA finita: Johann Carl Friedrich Gauss ( ) foi um cientista alemão,conhecido como o príncipe dos matemáticos, muitos o consideram o maior gênio da história da matemática. Seu QI foi estimado por psicólogos de cognição em cerca de 240. Contam que quando criança Gauss foi desafiado por seu professor com o problema: Calcular a soma natural Dizem que em poucos minutos, Gauss trouxe a resposta e a Justificativa: Somando-se os paes equidistantes, tem-se = = = = =... = = 101. Como são cinquenta pares, tem-se = 50.(101) = Na verdade, Gauss já sabia de uma propriedade das Proressões Aritméticas hoje famosa : Em toda PA, a soma de dois termos equidistantes é constante A soma S n dos n primeiros termos de uma PA pode ser indicada de dois modos: S n = a 1 + a 2 + a 3 + a a -n a n -2 + a n 1 + a n (Equação I) ou S n = a n + a n 1 + a n -2 + a -n a 4 + a 3 + a 2 + a 1 (Equação II) Somando-se, membro a membro essas equações, tem-se 2.S n = n. (a 1 + a n ) pela propriedade anterior. Então, tem-se S n = Exemplos: a) Calcule a soma dos sessenta primeiros múltiplos de 7 positivos. Tem-se a PA(7, 14, 21, 35,..., a 60,...) em que a 60 = (7) = 420 e S 60 = = = b) Um poupador estabeleceu a seguinte meta: todo dia colocaria em um cofrinho 50 centavos a mais que no dia anterior, começando com 1 real. Se esse poupador acumulou 115 reais, quantos dias foram considerados? Temos que o último depósito foi a n =1 + (n 1). 0,50= 0,5n + 0,5 e a soma de todo o dinheiro acumulado é 115 = n =,, n =20 dias.,, 0,5n 2 + 1,5n 230 = 0 =462,25 e

5 4 OBSERVAÇAO : Em toda PA todo termo a partir do segundo é a média aritmética de dois outros dele equidistantes, ou seja, a n = (a n k + a n + k) /2. 3) PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (PG): 3.1) Definição: É toda sequência numérica em que, a partir do segundo termo, o quociente entre dois termos consecutivos é constante. Esse quociente é a razão q da PG. Então, tem-se a n = {a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n-1, a n,...} a 2 / a 1 = a 3 / a 2 = a 4 / a 3 = = a n / a n-1 = q Exemplos : a) PG (-3, -6, -12, -24, -48,...) PG decrescente q = -6/-3 = -12/-6 = -24/-12 =... = 2. b) PG (5, 15, 45, 135,...) PG crescente q = 15/5 = 45/15 =... = 3. c) PG (1, -4, 16, -64, 256, ,...) PG oscilante q = -4/1 = 16/-4 =... = -4. d) Se os números 5x 3, 9x + 1 e 20x + 30, nesta ordem, estão em PG crescente, calcule x e a razão.! #! " Aqui tem-se! "! 81x2 + 18x + 1 = 100x x- 60x 90 19x x - 91 = 0 = = x = x =1 já que a PG é crescente. Então, temos PG(2, 10, 50) e q = 10/2 = 50/10 = ) Termo Geral : Numa PG, tem se a 2 = a 1. q, a 3 = a 1. q 2, a 4 = a 1. q 3,..., a n = a 1. q n 1 ou, em função de qualquer termo a k, pode-se ter a n = a 1. q n k. Exemplos : a) Qual é o décimo termo da PG que possui razão 2 e primeiro termo igual a 3? Tem-se que a 10 = a 1. q 10 1 a 10 = = O décimo termo é "$ b) Quantos termos tem a PG (-1, 3, -9,..., -729)? Podemos registrar que -729 = -1.3 n 1 3 n 1 = 729 = 3 6 n 1 = 6 e n =7. A PG tem 7 termos.

6 5 c) Uma população de bactérias dobra a cada 20 minutos. Se inicialmente a colônia tem uma população de indivíduos e tempos depois a população será de 2, , quantas horas se passarão? Então, 2, = n = n 2 n = 2 8 n = 8 períodos de 20 minutos, ou seja, 2h 40 min. 3.3) Soma dos termos da PG finita : Seja a PG finita de razão q (a 1, a 2, a 3,..., a n 2, a n 1, a n ) e a soma dos seus n termos S n = a 1 + a 2 + a a n 2 + a n 1 + a n (Equação I) Se multiplicarmos essa equação por q, teremos qs n = a 1 q + a 2 q + a 3 q (a n 2)q + (a n 1)q + a n q (Equação II) Fazendo (Equação II) - (Equação I), tem-se (q 1)S n = - a 1 + (a 1 q - a 2 ) + (a 2 q a 3 ) [(a n 1)q - a n ] + a n q, ou seja, (q 1)S n = - a 1 + a n q = - a 1 + a 1 q n 1 q = - a 1 + a 1 q n = a 1 (q n 1) e S n = % %, q 1 Exemplo : Um generoso homem, cumprindo uma promessa, doou para uma instituição filantrópica certa quantia todos os dias, durante 15 dias, começando com 5 reais e dobrando sempre a quantia doada no dia anterior. Qual foi o total da doação? Resolução: Temos, então, a PG(5, 10, 20,..., a 15 ) cuja razão é 2, o primeiro termo é 5 e a quantidade de termos é 15.Daí, temos: S 15 = '( = 5.(32,768 1) = reais. 3.4) Limite da Soma dos termos da PG infinita : Se uma PG tem razão q no intervalo 0 < q < 1, a tendência de seu termo a n é se anular, quanto maior for o número de ordem n; observe: PG( 1 ; 0,5 ; 0,25 ; 0,125 ; 0,0625 ; 0,03125 ;... ; 0, ;... ). Imagine que os termos desta PG referem-se à questão: Inicialmente estou com a mão distante 1 m de uma parede; a partir daí, vou, em etapas sucessivas, reduzir essa distância sempre à

7 6 metade.quanto mais etapas, mais a minha mão se aproxima da parede e se o número de etapas for infinitamente grande, a distância tenderá a zero e minha mão tocará a parede. Na fórmula anterior, se n tender ao infinito, a potência q n tenderá a zero, pois q tem módulo menor do que 1, é uma exponencial decrescente. Então, a formula anterior se reduz a S = % Se q < 0, ou seja, por exemplo, PG( 1 ; - 0,5 ; 0,25 ; - 0,125 ; 0,0625 ; - 0,03125 ;... ; 0, ;... ) o termo a n oscilaria em torno do zero, uma hora positivo, outra hora negativo, mas tendendo a zero. Do mesmo modo, teremos Exemplo : S = % Um triângulo eqüilátero ABC, de base BC,tem 10 cm de lado. Unindo-se os pontos médios M e N dos lados AB e AC, respectivamente, temos o triângulo eqüilátero AMN, de base MN; unindo-se os pontos médios P e Q dos lados AM e AN, respectivamente, temos o triângulo eqüilátero APQ, de base PQ e repetindo-se indefinidamente o processo, temos infinitos triângulos, cujas bases formam a PG(BC, MN, PQ, RS, TU, VX,...). Calcule a soma de todas essas bases e a soma das áreas de todos esses triângulos. Resolução : 1 o ) Pelo teorema da base média do triângulo, sabe-se que as bases que formam a PG estão na razão. Logo, a soma será S = =20cm. ' ) 2 o ) A área de um triângulo eqüilátero é dada, em função do lado a, pela fórmula abaixo: A = *) " Como a razão entre os lados dos triângulos é, então a razão entre as áreas é e teremos o primeiro termo da PG igual a 25 3 cm 2. Logo, a soma das áreas será S A = " ' = " cm 2. ",

8 7 Exercícios Propostos: 1) (UFMG) Os números positivos * ", log 4 (2. 4 2a 7. 4 a 8) e 12a são, nessa ordem, os três primeiros termos de uma progressão geométrica. Determine o valor de a. 2) (UFMG) Os números a, b e c, nessa ordem, estão em progressão geométrica de razão. Além disso, a -1, b e c, nessa ordem, estão em progressão aritmética. DETERMINE a, " b e c. 3) (UFMG) Um professor de Matemática escreve no quadro os n primeiros termos de uma progressão aritmética: 50, 46, 42,..., an. Se esse professor apagar o décimo termo dessa seqüência, a média aritmética dos termos restantes será 23. Calcule o termo an. 4) (CEFET - MG) Dois andarilhos iniciam juntos uma caminhada. Um deles caminha uniformemente 10 km por dia e o outro, 8 km por dia, acelerando o passo para acrescentar 0,5 km a cada dia. Calcule o número de dias necessário para o segundo andarilho alcançar o primeiro. 5) (CEFET - MG) Considere uma seqüência T n de triângulos retângulos em A n, como o da figura abaixo, onde y n e x n são, respectivamente, o lado oposto e adjacente ao ângulo θ n. Sabendo-se que os lados y n são dados pela seqüência 2, 20, 38,56,... e os lados x n são dados pela seqüência 1, 2, 4, 8,..., calcule o valor do ângulo θ no oitavo triângulo. 6) (CEFET - MG) A seqüência (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6..., a n,...) é formada,sucessivamente, do seguinte modo: a 1 = 2, a 2 = a 1 + 3, a 3 = a 2 + 4, a 4 = a 3 + 3, a 5 = a 4 + 4, a 6 = a 5 + 3,... Obtendo-se ( 2, 5, 9, 12, 16, 19, 23,...). A partir dessa seqüência, qual será o seu 102º termo? 7) (CEFET - MG) Somando-se um mesmo número a cada elemento da seqüência ( 1, -2, 3 ), obtém-se uma progressão geométrica. Calcule razão dessa progressão encontrada. 8) (CEFET - MG) Uma progressão aritmética com 10 termos tem soma igual a 410. Sendo o seu sétimo termo igual a 50, qual é o primeiro termo? 9) (CEFET - MG) Em um triângulo equilátero, as medidas do lado, da altura e da área, nessa ordem, estão em progressão aritmética. Quanto mede o lado desse triângulo? 10) (CEFET - MG) Numa progressão geométrica, em que o primeiro termo é 1 i e a razão é i. Qual é o décimo termo?

9 8 11) Provar que: a) Se a, b, c e d estão em PG, nesta ordem, então (b c) 2 = AC + bd 2ad. b) Se x, y e z estão em PG, nesta ordem, então (x + y + z)(x y + z) = x 2 + y 2 + z 2. 12) Determine uma progressão aritmética de razão 1, sabendo que o número de termos é divisível por 3, que a soma dos termos é 33 e que o termo de ordem n/3 é 4. 13) (ITA SP) Qual é o número n que torna a sequência 2 + 3n, -5n, 1 4n uma progressão aritmética 14) (ITA SP) Os números x, y e t formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r. Seja n um número real, n > 0 e n 1, satisfazendo 3n x + 2n y + n t = 0. Calcule r. 15) (UF PI) Se em uma progressão aritmética de razão positiva o produto dos três primeiros termos é 384 e a soma é 24, calcule o quarto termo. 16) (Fuvest SP) Os números sen(π/12), sen a e sen (5π/12) formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, calcule o valor de sen a. 17) (FEI SP) Um trabalho escolar de 150 páginas deverá ser impresso em uma impressora que apresenta os seguintes problemas: nas páginas 6, 12, 18,...(múltiplos de 6) O cartucho de tinta amarela falha e nas páginas 8, 16, 24,...(múltiplos de 8) falha o cartucho de tinta azul. Supondo que em todas as páginas do trabalho sejam necessárias as cores amarela e azul, quantas páginas serão impressas sem essas falhas? 18) (UFOP Ouro Preto) Sendo (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) uma progressão aritmética de razão r, então, qual será a razão da progressão aritmética -. -, - ". -, -..- ",...,-. -, ) (UFMG) Considere o conjunto M = { n N: 1 n 500}. Calcule o número de elementos de M que não são divisíveis por 3 e nem por 5. 20) (U.F de Viçosa MG) Usando-se um conta-gotas, um produto químico é misturado a uma quantidade de água da seguinte forma: a mistura é feita em intervalos regulares, sendo que no primeiro intervalo são colocadas 4 gotas e nos intervalos seguintes são colocadas 4 gotas mais a quantidade colocada no intervalo anterior. Sabendo-se que no último intervalo o número de gotas é 100, calcule a quantidade de gotas do produto misturadas à água. 21) (U.F de Viçosa MG) As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão, nesta ordem, em progressão geométrica. Calcule a diagonal do quadrado.

10 9 22) (Cesgranrio RJ) Considere uma progressão geométrica de 5 termos e razão positiva, onde a soma do primeiro com o terceiro termo é 9/2 e o produto de seus termos é Calcule o produto de seus três termos iniciais. 23) (UFMG) Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente 1 ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada 4 meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra, que percentual da população atual deve Ser vendida? 24) (UFES) Qual deve ser o valor de n para que a soma dos n primeiros termos da progressão geométrica 3, 6, 12, 24,... seja um número compreendido entre e ? 25) (ITA SP) Seja (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) uma progressão geométrica de razão a 1, 0 < a 1 < 0 e soma igual a 3a 1. Calcule a soma dos três primeiros termos dessa progressão. 26) (UFOP Ouro Preto) Se a soma dos termos de uma progressão infinita e alternada é -2/3 e seu segundo termo è 1/2, calcule seu primeiro termo. 27) (U.F de Viçosa MG) Seja S(x) = x x 3 + x 5 x (-1) n.x 2n uma série geométrica. Se S(x) = 6/13, calcule x. 28) Numa progressão geométrica alternada, a soma dos três primeiros termos é 3/4 e o produto é -1/8, calcule a soma de todos os seus termos. 29) Um capital de R$ 2.000,00 ficou esquecido numa aplicação durante um certo tempo, dobrando de valor a cada biênio. Se nesse tempo esse capital virou R$ , 00, durante quantos anos esse capital ficou aplicado? 30) Resolva a equação 3x + (3/2)x + (3/4)x + (3/8)x (3/512)x = 1.023/512.

11 10