RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Transcrição

1 Aula 5 Parte 1 Progressão Aritmética... Progressão Geométrica Cálculo da razão Termo Geral Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita Relação das questões comentadas... 8 Gabaritos Prof. Guilherme Neves 1

2 Progressão Aritmética Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. Exemplo: (,5,8,11,14,...) Progressão aritmética de razão r = 3. Observe que para calcular a razão em uma progressão aritmética devemos calcular a diferença entre qualquer termo e o termo que o antecede (antecedente). Assim, podemos dizer que a razão (r = 3) foi calculada da seguinte maneira: = 5 = 8 5 = 11 8 = = 3 Desse fato, podemos mostrar que se três números estão em progressão aritmética, o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois termos. Vejamos um caso geral: considere a progressão aritmética (a, b, c). A razão dessa progressão pode ser calculada como a diferença entre dois termos consecutivos. Assim, = = + = + Essa propriedade é muito importante. Então lembre-se: dados três números em P.A. (progressão aritmética), o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois. Vejamos com um exemplo numérico: A sequência (4, 9, 14) é uma progressão aritmética de razão 5. O termo central é a média aritmética dos extremos. 9 = Como você aplicaria essa propriedade em uma questão? Vejamos um exemplo: Qual o valor de x, de modo que x, (x + 1) e (x + 3) formem, nessa ordem, uma P.A.? Prof. Guilherme Neves

3 Ora, sabemos que se três números estão em P.A., o termo do meio é a média aritmética dos outros dois. Dessa forma, ( + 1) = + ( + 3) = ( + + 1) = = = 9 = 7 = 7 O tópico mais importante da teoria de Progressão Aritmética é comumente denominado Fórmula do Termo Geral. Basicamente, essa fórmula serve para descobrir qualquer termo de uma Progressão Aritmética. Voltemos àquela P.A. do início da teoria: (, 5, 8, 11, 14,...). Se quisermos calcular o próximo termo, basta efetuar = 17. E o próximo? = 0. E assim, ad infinitum. Bom, calcular termos próximos é muito fácil. O problema surge assim: Qual o milésimo termo dessa progressão? Obviamente não iremos adicionar a razão 3 diversas vezes. Deve haver um método eficaz. E existe!! A fórmula do termo geral é a seguinte: = + ( 1) Em que é o primeiro termo, é a razão da progressão e é o termo de ordem n (n-ésimo termo). Por exemplo, se queremos calcular o milésimo termo, deveremos efetuar:. = + ( ). = = =.999 Prof. Guilherme Neves 3

4 O ruim desta fórmula é que ficamos presos a só poder calcular os termos da progressão se soubermos quem é o primeiro termo. Porém, podemos fazer uma modificação nesta fórmula de forma que conhecendo um termo qualquer da progressão e a razão, poderemos calcular qualquer outro termo da progressão. Vejamos um exemplo: Suponha que o décimo termo ( ) de uma progressão aritmética seja igual a 5 e a razão seja igual a 4. Qual o vigésimo sétimo termo dessa progressão? Se você prestar bem atenção à fórmula = + ( 1) perceberá que não poderemos utilizá-la da forma como está disposta. Pois só podemos utilizá-la se soubermos o valor do primeiro termo. Vamos fazer uma analogia. Imagine que você se encontra no décimo andar de um prédio e precisa subir para o vigésimo sétimo andar. Quantos andares preciso subir? A resposta é 17 andares. É o mesmo que acontece com os termos de uma P.A.: Se estamos no décimo termo e preciso me deslocar até o vigésimo sétimo termo, preciso avançar 17 termos (7 10 = 17). E para avançar cada termo, devemos adicionar a razão. Assim, = + 17 = = 93. Vamos fazer o caminho da volta : O vigésimo sétimo termo de uma progressão aritmética é igual a 93. Se a razão é igual a 4, qual o décimo termo? Ainda fazendo a analogia da P.A. com os andares de um prédio, para descer do vigésimo sétimo andar para o décimo andar, deveremos descer 17 andares. Na P.A. deveremos subtrair 17 vezes a razão (pois estamos voltando na P.A.). = 17 = = 5 Por fim, é importante conhecer a fórmula que fornece a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética. = ( + ) Por exemplo: Qual a soma dos mil primeiros termos da progressão aritmética (, 5, 8, 11,...). Prof. Guilherme Neves 4

5 O primeiro passo é calcular o milésimo termo: isso já fizemos anteriormente e sabemos que. =.999. Assim, a soma dos mil primeiros termos é dado por: = ( + ). = ( +. ) ( +.999) = ( +.999) = = (Administrador Júnior Petrobras 010/CESGRANRIO) Qual é a soma dos múltiplos de 11 formados por 4 algarismos? (A) (B) (C) (D) (E) O menor número de 4 algarismos é e o maior número de 4 algarismos é Estamos interessados apenas nos múltiplos de 11. Para descobrir tais números, vamos dividir por 11 e dividir por Observe que o resto da divisão foi igual a 10. Se adicionarmos 1 ao número, o resto será 0. Portanto, o primeiro múltiplo de 11 maior que é Basta verificar: Os múltiplos de 11 maiores que são: Basta ir somando (1.001, 1.01, 1.03, ) Prof. Guilherme Neves 5

6 Temos, portanto, uma progressão aritmética de primeiro termo e razão 11. Vamos calcular o último termo desta progressão dividindo por Como é múltiplo de 11, então ele é o último termo da progressão. Temos a seguinte progressão: (1.001, 1.01, 1.03,,9.999) Estes são todos os múltiplos de 11 com 4 dígitos. A questão pede a soma de todos estes múltiplos. Temos, então, que somar todos os termos desta progressão aritmética. Para efetuar tal soma, precisamos saber quantos termos possui esta progressão. Utilizaremos a fórmula do termo geral. = + ( 1) = ( 1) = = = = 819 Há, portanto, 819 múltiplos de 11 com 4 dígitos. Podemos agora aplicar a fórmula da soma dos primeiros termos de uma P.A.. Letra A = ( + ) ( ) 819 = = (PROMINP 010/CESGRANRIO) Ana, Benedita e Carmem nasceram no mesmo dia do mesmo mês, e suas idades, expressas em anos, formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Se, quando Ana nasceu, Carmem completou 6 anos e, em 009, Benedita comemorou seu 13 o aniversário, em que ano Carmem nasceu? (A) 1990 (B) 1993 Prof. Guilherme Neves 6

7 (C) 1994 (D) 1999 (E) 001 Vamos considerar que estamos no ano de 009. Assim, Benedita possui 13 anos. Como Carmem completou 6 anos quando Ana nasceu, então Carmem é 6 anos mais velha que Ana. Se a idade de Ana for igual a e a idade de Carmem for igual a, então = + 6. Além disso, sabemos que (, 13, ) é uma progressão aritmética. Vamos substituir por + 6. A progressão ficará assim: (, 13, + 6) Sabemos que se três números estão em P.A., o termo do meio é a média aritmética dos outros dois. Dessa forma, 13 = = = 6 = 0 = 10 Como = + 6, então = 16. Concluímos que Carmem possui 16 anos no ano de 009. Ela nasceu em 1993 = Letra B 03. (PROMINP 009/CESGRANRIO) Um artista pretende dividir 40 ml de pigmento vermelho em três partes diferentes de modo que, misturando-se cada parte a 1 litro de tinta branca, ele obtenha três tons de tinta rosa (claro, médio e escuro). Se os volumes das três partes, em mililitros, formarem uma progressão aritmética de razão 50 ml, qual será, em litros, a quantidade de tinta rosa clara que esse artista terá após realizar a mistura? (A) 1,05 (B) 1,09 (C) 1,18 Prof. Guilherme Neves 7

8 (D) 1,50 (E) 1,90 Vamos considerar que uma das partes (a mais clara) possua ml de pigmento vermelho. Assim, o tom médio possuirá + 50 ml de pigmento e a mais escura possuirá ml de pigmento. A soma das três partes é igual a 40 ml = = 40 3 = 70 = 90 #$ Portanto, a parte clara possuirá 90 ml de pigmento vermelho. Como esta parte será misturada com 1 litro (1.000 ml) de tinta branca, então teremos ml de tinta rosa clara (1,090 litro). Letra B 04. (EPE 009/CESGRANRIO) Uma seqüência de números é tal que seus 4 primeiros termos são: T 1 = 5 T = 13 T 3 = 4 T 4 = 38 Observa-se que: 13 = = = Conclui-se, então, que o 30 o termo (T 30 ) dessa seqüência é (A) (B) (C) (D) (E).910 De acordo com o padrão estabelecido, para calcular o 30º termo teremos que somar os 30 primeiros termos da progressão aritmética (5, 8, 11, 14,...) de razão 3. Prof. Guilherme Neves 8

9 Vamos calcular o 30º termo desta progressão. % = + 9 % = = = 9 A soma dos 30 primeiros termos desta progressão será: Letra B & % = ( + % ) 30 = (5 + 9) 30 = (IMBEL 004/CETRO) O 4º termo da P.A. (1/,, 7/,....) é (A) 38 (B) 8 (C) 45 (D) 35 (E) 73/ O primeiro passo é calcular a razão da progressão. Para isto,devemos calcular a diferença entre dois termos consecutivos. = 1 = 4 1 Sabemos que o primeiro termo é igual a 1/ e a razão é igual a 3/. Queremos calcular o 4º termo. = 3 Do 1º ao 4º termo deveremos avançar 3 termos. Assim, ' = + 3 Letra D ' = = = 70 = (MPU 007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado abaixo. Prof. Guilherme Neves 9

10 Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número a) 36 b) 418 c) 4 d) 345 e) 366 Os números da terceira coluna forma uma progressão aritmética em que o primeiro termo é igual a 3 e a razão é igual a 7. Assim, o termo de ordem 346 é dado por: Letra B %'( = = = (TCE PB 006 FCC) Considere que a seguinte sequência de figuras foi construída segundo determinado padrão. Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 5 deverá ser igual a Prof. Guilherme Neves 10

11 a) 97 b) 99 c) 101 d) 103 e) 105 A primeira figura possui 5 pontos, a segunda figura possui 9 pontos, a terceira figura possui 13 pontos, e assim sucessivamente. Temos uma progressão aritmética com primeiro termos igual a 5 e razão igual a 4. O vigésimo quinto termo é dado por: Letra C ) = + 4 = = (TRT SC 005/FEPESE) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de gude; então pegou sua coleção de bolas de gude e formou uma sequência de T (a inicial de seu nome), conforme a figura Supondo que o guri conseguiu formar 10 T completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía: a) exatamente 41 bolas de gude. b) menos de 0 bolas de gude. c) pelo menos 30 bolas de gude. d) mais de 300 bolas de gude. e) exatamente 300 bolas de gude. A primeira figura possui 5 pontos, a segunda figura possui 9 pontos, a terceira figura possui 13 pontos, e assim sucessivamente. Temos uma progressão aritmética com primeiro termos igual a 5 e razão igual a 4. Quantas bolinhas Tisiu utilizou ao completar o décimo T? Devemos somar os 10 primeiros termos desta progressão aritmética. Prof. Guilherme Neves 11

12 = + 9 = = 41 Dessa forma, a soma dos dez primeiros termos da P.A. é dada por: = ( + ) 10 = (5 + 41) 10 = 30 Como o problema não afirmou que ele utilizou TODAS as suas bolinhas de gude, podemos afirmar que Tisiu tem NO MÍNIMO 30 bolas de gude. Letra C 09. (FNDE 007 FGV) Observe a sequência de figuras abaixo. Quando terminarmos a figura 0, o número total de bolinhas utilizadas terá sido de: a) 70 b) 840 c) 780 d) 680 e) 880 A figura 1 possui 4 bolinhas, a figura possui 8 bolinhas, a figura 3 possui 1 bolinhas... Temos uma P.A. com primeiro termo igual a 4 e razão igual a 4. Para calcularmos o total de bolinhas utilizadas ao terminar a figura 0, devemos calcular o vigésimo termo. = + 19 = = 80 Assim, a soma dos vinte primeiros termos da progressão é igual a = ( + ) 10 = (4 + 80) 0 = 840 Prof. Guilherme Neves 1

13 Letra B 10. (EBDA 006/CETRO) As formigas, quanto mais próximo o inverno, mais elas trabalham. Em uma colônia, a cada dia que passa, elas trazem 3 folhas a mais que o dia anterior, que servirão de alimento para todas. No primeiro dia as formigas trouxeram 0 folhas, no segundo dia, 3 e assim por diante até o trigésimo dia, então o total de folhas armazenadas por essa colônia, foi de: (A) 90 (B) 905 (C) (D) 1.90 (E) A quantidade de folhas trazidas pelas formigas ao longo dos dias formam uma progressão aritmética de razão 3. (0, 3, 6, ) O problema pede o total de folhas armazenadas por essa colônia até o trigésimo dia. Ou seja, queremos saber a soma dos 30 primeiros termos desta progressão aritmética. Para isto, devemos calcular o trigésimo termo. % = + 9 % = = 107 Assim, a soma dos trinta primeiros termos será % = ( + % ) 30 = ( ) 30 = Letra C Progressão Geométrica Considere uma sequência de números reais (,, %,, ). Esta sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, a partir do segundo, for igual ao produto do anterior com uma constante real *. O número real * é denominado razão da progressão geométrica. Prof. Guilherme Neves 13

14 é o primeiro termo, é o segundo termo, e assim por diante. O termo de ordem n é chamado n-ésimo termo. Exemplos: Progressão Geométrica Primeiro termo Razão (+) ( ) (3, 6, 1, 4, 48, 96, ) 3 (96, 48, 4, 1, 6, 3, ) 96 1 (,,,,, ) 1 (1,, 4, 8, 16, 3, ) 1 (5, 0, 0, 0, 0, ) 5 0 Cálculo da razão Considere uma progressão geométrica não-estacionária, ou seja, cuja razão é diferente de 0 (ver último exemplo do tópico anterior). Para calcular a razão de uma P.G., basta calcular o cociente entre dois termos consecutivos. No nosso primeiro exemplo, * = 6, 3 = 1, 6 = =. No nosso segundo exemplo, * = 48, 96 = 4, 48 = = 1,. No nosso terceiro exemplo, * =, =, = = 1. No nosso quarto exemplo, * =, 1 = 4, = =. Termo Geral Considere a progressão geométrica (,, %,, ). Existe uma expressão que permite calcular qualquer termo da progressão conhecidos um termo qualquer e a razão. Comecemos com a expressão básica que relaciona um termo qualquer com o primeiro termo e a razão. = * - Em que é o primeiro termo, * é a razão da progressão e é o termo de ordem n (n-ésimo termo). Prof. Guilherme Neves 14

15 Exemplo: Qual o décimo primeiro termo da progressão geométrica (3, 6, 1, 4, )? Queremos calcular o décimo primeiro termo, e, portanto, = 11. Utilizemos a fórmula do termo geral: = * - = * = 3 = 3.07 Obviamente não seremos obrigados a ficar presos a esta fórmula. Ou seja, não somos obrigados a conhecer o primeiro termo para calcular um termo qualquer da P.G. Vejamos um exemplo análogo ao da progressão aritmética. Exemplo: O décimo termo de uma progressão geométrica é igual a 4. Calcule o décimo sexto termo sabendo que a razão da progressão é 3. Devemos avançar 6 termos do décimo ao décimo sexto termo. Assim, a expressão do termo geral ficará: ( = * ( ( = 4 3 ( =.916 Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita A soma dos termos iniciais de uma progressão geométrica é: = (* 1) * 1 Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (3, 6, 1, 4, ). A razão, como já vimos, é igual a. = 3 ( 1) 1 = (* 1) * 1 = 3 (1.04 1) 1 = Prof. Guilherme Neves 15

16 = Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita Se (,, %,,, ) é uma P.G. com razão 1 < * < 1, então: Exemplo = = 1 * Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. (9, 6, 4, ). Para calcular a razão basta dividir o segundo termo pelo primeiro: Assim, * = 6 9 = 3 = 1 * = 9 1 = 9 1/3 = = (Administrador Júnior Petrobras 010/CESGRANRIO) Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica? (A) 9 (B) 5 (C) 1 (D) 1 (E) 9 A maneira mais rápida de resolver esta questão é testando as alternativas. (A) 9 Vamos somar 9 aos número 1, ( 9 + 1, 9 + 5, 9 + 7) ( 8, 4, ) Esta é uma progressão geométrica de razão 1/. A resposta é alternativa (A). Prof. Guilherme Neves 16

17 Algebricamente, resolvemos esta questão assim. Vamos considerar que o número procurado seja igual a. Assim, a sequência (1 +, 5 +, 7 + ) é uma progressão geométrica. A razão de uma P.G. é o quociente entre dois termos consecutivos. Como a razão é constante, então: = O produto dos meios é igual ao produto dos extremos (multiplicar em cruz). Podemos cancelar ². Letra A (5 + ) (5 + ) = (1 + ) (7 + ) ² = ² = = = 7 5 = 18 = 9 1. (PROMINP 010/CESGRANRIO) Quando três números reais, positivos e não nulos formam uma progressão geométrica, dizemos que o termo do meio corresponde à média geométrica dos outros dois. Desse modo, qual é a média geométrica entre 8 e 5? (A) 84 (B) 168 (C) 88 (D) (E) 3.58 Vamos considerar a progressão geométrica (8,, 5). Pela definição do enunciado, o número é a média geométrica entre 8 e 5. Vamos calcular este valor da mesma maneira que fizemos na questão anterior. Para calcular a razão desta P.G. devemos dividir qualquer termo pelo seu antecedente. A razão em uma P.G. é constante, portanto: 8 = 5 ² = 8 5 Prof. Guilherme Neves 17

18 ² = Precisamos calcular a raiz quadrada de Ora, já que termina em 6, então o número deve terminar em 4 ou em 6 (já que 4² = 16 e 6² = 36). Assim, devemos testar as alternativas (A) e (D). Como 84² = 7.056, então a resposta é a alternativa A. Letra A 13. (TRANSPETRO 008/CESGRANRIO) Atualmente, Marcelo tem 1 anos e as idades de Pedro, Joana e Marcelo, em anos, formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão. Qual será a idade de Joana quando Pedro estiver com 5 anos? (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 1 (E) 14 As idades de Pedro, Joana e Marcelo formam uma P.G. de razão. Se a idade de Pedro for igual a, então as idades de Joana e Marcelo serão, respectivamente, e 4. Pedro: anos Joana: anos Marcelo: 4 anos Como Marcelo tem 1 anos, então: As idades são: 4 = 1 = 3 Pedro: 3 anos Joana: 6 anos Marcelo: 1 anos Poderíamos ter raciocinado assim: se para avançar em uma P.G. nós multiplicamos os termos pela razão, então para voltar na P.G. devemos dividir os termos pela razão. Assim, como Marcelo tem 1 anos, então Joana tem 1/ = 6 anos e Pedro tem 6/ = 3 anos. Joana é 3 anos mais velha que Pedro. Quando Pedro tiver 5 anos, Joana terá 8 anos. Letra B Prof. Guilherme Neves 18

19 14. (SEMSA Prefeitura de Manaus 005/CESGRANRIO) Se, numa Progressão Geométrica de razão 5, o último termo é igual a 60, o antepenúltimo termo vale: (A) 1/5 (B) 4/5 (C) 1 (D) 4 (E) 50 Na questão 13 falei que para avançar numa P.G. devemos multiplicar os termos pela razão e, para retroceder, devemos dividir os termos pela razão. O último termo da P.G. é 60 e a razão é 5. Assim: O penúltimo termo é 60/5 = 1. O antepenúltimo termo é 1/5. Letra A 15. (EPE 009/CESGRANRIO) O valor da soma infinita 1 + 1/ 1/4 + 1/8 1/ é (A) 4 (B) (C) 11/8 (D) 4/3 (E) /3 O problema pede a soma dos infinitos termos da P.G. 1, 1, 1, 4, 1 8, 1 16, 3 Para calcular a razão desta P.G. devemos dividir qualquer termo pelo seu antecedente. Vamos dividir o segundo termo pelo primeiro. * = 1 O primeiro termo é igual a. Para calcular a soma dos infinitos termos desta P.G. devemos aplicar a fórmula vista anteriormente. Se (,, %,,, ) é uma P.G. com razão 1 < * < 1, então: Prof. Guilherme Neves 19

20 = = 1 * = = Para dividir frações, repetimos o numerador, invertemos o denominador e multiplicamos. = 3 Letra D = 3 = (EBDA 006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é igual a 5 e o sétimo termo é 30. Somando os dez primeiros termos dessa PG, obtém-se: (A) (B) (C) (D) (E) Ora, o problema nos forneceu o primeiro e o sétimo termos de uma P.G. e nos pede a soma dos dez primeiros termos. Para calcular a soma dos termos de uma P.G. precisamos apenas do primeiro termo e da razão. A relação entre o primeiro e o sétimo termos de acordo com a fórmula do termo geral é a seguinte: = * ( 30 = 5 * ( * ( = 64 * ( = ( * = Dessa forma, a soma dos dez primeiros termos será: Letra B = (* 1) * 1 = (* 1) * 1 = 5 ( 1) 1 = = Prof. Guilherme Neves 0

21 (CBM-ES 011/CESPE-UnB) Um soldado, um sargento e um tenente têm suas idades, em anos, dispostas em progressão geométrica, sendo o soldado o mais novo dos três, e o tenente, o mais velho. Sabendo que o produto dessas idades, em anos, é e que a soma das idades do sargento e do tenente é 75 anos, julgue os itens seguintes. 17. A idade do sargento é superior a 3 anos. 18. Se o tenente fosse 5 anos mais novo, as idades dos três militares, em anos, estariam em progressão aritmética. 19. A soma das idades do soldado e do sargento é inferior a 48 anos. Quando temos uma progressão geométrica de três termos e é dado o produto deles, é MUITO INTERESSANTE (ou seja, FAÇA ISSO!!!) que você chame o termo do meio de x. (,, ) Assim, o próximo termo será o número x multiplicado pela razão. (,, *) O primeiro termo será o número x dividido pela razão. Qual a vantagem disto?,, *3 * Olhe a primeira informação do texto: Sabendo que o produto dessas idades, em anos, é Vamos multiplicar as três idades e igualar a * = * O q do denominador cancela com o outro q. ³ = ³ = A raiz cúbica de 7 é 3 e a raiz cúbica de é 10. = 3 10 = 30 Prof. Guilherme Neves 1

22 Bom, sabemos que o soldado é o mais novo dos três, e o tenente, o mais velho. Assim, o do meio é o sargento e ele possui 30 anos. A soma das idades do sargento e do tenente é 75 anos, julgue os itens seguintes A idade do sargento é 30 anos e a do tenente é * = 30 * Assim, * = 75 30* = 45 Assim, a nossa progressão é dada por: * = 1,5,, *3 * 30, 30, 30 1,53 1,5 (0, 30, 45) O soldado tem 0 anos, o sargento tem 30 anos e o tenente tem 45 anos. Vamos analisar os itens. 17. A idade do sargento é superior a 3 anos. O item está errado. O sargento tem 30 anos. 18. Se o tenente fosse 5 anos mais novo, as idades dos três militares, em anos, estariam em progressão aritmética. Se o tenente fosse 5 anos mais novo, a sequência seria (0, 30, 40). Ou seja, uma progressão aritmética de razão 10. O item está certo. 19. A soma das idades do soldado e do sargento é inferior a 48 anos. A soma das idades do soldado e do sargento é = 50 > 48. O item está errado. (PM-ES 010/CESPE-UnB) Considerando que 5 indivíduos tenham idades, em anos, correspondentes aos números inteiros positivos a 1, a, a 3, a 4 e a 5, que os números a 1, a e a 5 estejam, nessa ordem, em progressão geométrica com soma igual a 6 e que os números a 1, a 3 e a 4 estejam, nessa ordem, em progressão aritmética de razão 6 e soma igual a 4, julgue os itens a seguir. Prof. Guilherme Neves

23 0. A soma a + a 3 + a 4 é igual a A razão da progressão formada pelos números a 1, a e a 5 é um número fracionário não inteiro.. O indivíduo mais novo tem menos de 3 anos de idade. 3. A idade do indivíduo mais velho é superior a 0 anos. Vamos começar trabalhando com a progressão aritmética. (8 9, 8 :, 8 ; ) =>?@>ABBã? 8>DEFéEDH8 A razão desta P.A. é 6. Assim, se o primeiro termo for x, então o segundo termo será x+6 e o terceiro x+1. A soma dessa P.A. é 4. (, + 6, + 1) = = 4 3 = 6 = A P.A. é formada pelos números (, 8, 14). A nossa sequência original de 5 números está assim: (,, 8, 14, ) ) Os números a 1, a e a 5 estão, nessa ordem, em progressão geométrica com soma igual a 6. (,, ) ) I. J. K1 LM# 6 Como o problema falou que os números são inteiros positivos, podemos tentar achar a razão no chute. Observe que como a soma dos termos é 6, a razão deve ser pequena. Será que a razão é? A progressão seria formada pelos números (, 4, 8) e a soma dos termos não seria 6. Será que a razão é 3? A progressão seria formada pelos números (, 6, 18) e a soma dos termos seria 6. Achamos!! Prof. Guilherme Neves 3

24 Assim, = 6 e ) = 18. RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB A nossa sequência está pronta! (,, %, ', ) ) = (, 6, 8, 14, 18) Observe que esta sequência não é P.A. e também não é P.G.. Vamos julgar os itens. 0. A soma a + a 3 + a 4 é igual a 8. O item está certo. + % + ' = = 8 1. A razão da progressão formada pelos números a 1, a e a 5 é um número fracionário não inteiro. A razão desta progressão, como vimos, é igual a 3. O item está errado, porque o número é inteiro.. O indivíduo mais novo tem menos de 3 anos de idade. O item está certo, porque o mais novo tem anos. 3. A idade do indivíduo mais velho é superior a 0 anos. O item está errado, porque o mais velho tem 18 anos. (ANAC 009/CESPE-UnB) Considerando que, nos números positivos a, b, c e d, os números a, b e d estejam, nessa ordem, em progressão geométrica; a, c e d estejam, nessa ordem, em progressão aritmética, e considerando, ainda, que a razão a/d seja igual a 16/5 e a soma dos números a, b, c e d seja 163, julgue os itens que se seguem. 4. A razão da progressão geométrica é igual a 5/4. 5. A razão da progressão aritmética é menor que O número b é maior que o número c. Vamos lá... Os números a, b e d estão em P.G. Assim, Prof. Guilherme Neves 4

25 = K ² = K Os números a, c e d estão em P.A. Assim, A razão a/d seja igual a 16/5. Podemos reescrever está proporção assim: = K = + K K = = K 5 Podemos prolongar esta proporção somando os numeradores e somando os denominadores. Como + K =, temos: Assim, temos que: 16 = K 5 = + K = K 5 = 41 = = 3 41 K = 5 41 K = Como ² = K, temos a seguinte relação: Tirando a raiz quadrada de tudo... A soma dos números a, b, c e d é 163. ² = ² ² = 41² = Prof. Guilherme Neves 5

26 + + + K = = 163 Para eliminar as frações, vamos multiplicar tudo por 41. Já podemos calcular as outras incógnitas = = = 41 = 3 41 = K = = = = = 3 = 40 K = 50 Vamos reescrever o enunciado. Considerando que, nos números positivos a, b, c e d, os números a, b e d estejam, nessa ordem, em progressão geométrica; a, c e d estejam, nessa ordem, em progressão aritmética, e considerando, ainda, que a razão a/d seja igual a 16/5 e a soma dos números a, b, c e d seja 163, julgue os itens que se seguem. Considerando que, nos números positivos 3, 40, 41 e 50, os números 3, 40 e 50 estejam, nessa ordem, em progressão geométrica; 3, 41 e 50 estejam, nessa ordem, em progressão aritmética, e considerando, ainda, que a razão 3/50 seja igual a 16/5 e a soma dos números 3, 40, 41 e 50 seja 163, julgue os itens que se seguem. Bom, temos uma P.G. 3, 40, 50. A razão da P.G. é 40/3 = 5/4. Temos uma P.A. 3, 41, 50. A razão da P.A. é 41 3 = A razão da progressão geométrica é igual a 5/4. O item está certo. 5. A razão da progressão geométrica aritmética é menor que 8. Prof. Guilherme Neves 6

27 O item está errado. RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB 6. O número b é maior que o número c. O item está errado. (MPS 010/CESPE-UnB) Três números estão em progressão aritmética de razão 3 e dois termos dessa progressão são as raízes da equação ² 8 = 0. Nesse caso é correto afirmar que 7. o produto dos termos dessa progressão é um número real positivo. 8. a soma dos termos dessa progressão é superior a 4 e inferior a 8. O primeiro passo é resolver a equação. ² 8 = 0 = ² 4 = ( ) 4 1 ( 8) = 36 = ± = ± 6 = 4 MR = A distância do número - ao número 4 é igual a 6. Como a razão é igual a 3, então deve haver um número na progressão entre eles. (,,4) Como a razão é igual a 3, o próximo número é = 1. (, 1,4) 7. o produto dos termos dessa progressão é um número real positivo. O item está errado, já que 1 4 = a soma dos termos dessa progressão é superior a 4 e inferior a 8. O item está errado, já que a soma dos termos é 3. Prof. Guilherme Neves 7

28 Relação das questões comentadas 01. (Administrador Júnior Petrobras 010/CESGRANRIO) Qual é a soma dos múltiplos de 11 formados por 4 algarismos? (A) (B) (C) (D) (E) (PROMINP 010/CESGRANRIO) Ana, Benedita e Carmem nasceram no mesmo dia do mesmo mês, e suas idades, expressas em anos, formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Se, quando Ana nasceu, Carmem completou 6 anos e, em 009, Benedita comemorou seu 13 o aniversário, em que ano Carmem nasceu? (A) 1990 (B) 1993 (C) 1994 (D) 1999 (E) (PROMINP 009/CESGRANRIO) Um artista pretende dividir 40 ml de pigmento vermelho em três partes diferentes de modo que, misturando-se cada parte a 1 litro de tinta branca, ele obtenha três tons de tinta rosa (claro, médio e escuro). Se os volumes das três partes, em mililitros, formarem uma progressão aritmética de razão 50 ml, qual será, em litros, a quantidade de tinta rosa clara que esse artista terá após realizar a mistura? (A) 1,05 (B) 1,09 (C) 1,18 (D) 1,50 (E) 1, (EPE 009/CESGRANRIO) Uma seqüência de números é tal que seus 4 primeiros termos são: T 1 = 5 T = 13 T 3 = 4 T 4 = 38 Observa-se que: 13 = = = Conclui-se, então, que o 30 o termo (T 30 ) dessa seqüência é (A) (B) (C) Prof. Guilherme Neves 8

29 (D) (E) (IMBEL 004/CETRO) O 4º termo da P.A. (1/,, 7/,....) é (A) 38 (B) 8 (C) 45 (D) 35 (E) 73/ 06. (MPU 007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado abaixo. Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número a) 36 b) 418 c) 4 d) 345 e) (TCE PB 006 FCC) Considere que a seguinte sequência de figuras foi construída segundo determinado padrão. Prof. Guilherme Neves 9

30 Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 5 deverá ser igual a a) 97 b) 99 c) 101 d) 103 e) (TRT SC 005/FEPESE) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de gude; então pegou sua coleção de bolas de gude e formou uma sequência de T (a inicial de seu nome), conforme a figura Supondo que o guri conseguiu formar 10 T completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía: a) exatamente 41 bolas de gude. b) menos de 0 bolas de gude. c) pelo menos 30 bolas de gude. d) mais de 300 bolas de gude. e) exatamente 300 bolas de gude. 09. (FNDE 007 FGV) Observe a sequência de figuras abaixo. Quando terminarmos a figura 0, o número total de bolinhas utilizadas terá sido de: a) 70 b) 840 c) 780 d) 680 e) 880 Prof. Guilherme Neves 30

31 10. (EBDA 006/CETRO) As formigas, quanto mais próximo o inverno, mais elas trabalham. Em uma colônia, a cada dia que passa, elas trazem 3 folhas a mais que o dia anterior, que servirão de alimento para todas. No primeiro dia as formigas trouxeram 0 folhas, no segundo dia, 3 e assim por diante até o trigésimo dia, então o total de folhas armazenadas por essa colônia, foi de: (A) 90 (B) 905 (C) (D) 1.90 (E) (Administrador Júnior Petrobras 010/CESGRANRIO) Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica? (A) 9 (B) 5 (C) 1 (D) 1 (E) 9 1. (PROMINP 010/CESGRANRIO) Quando três números reais, positivos e não nulos formam uma progressão geométrica, dizemos que o termo do meio corresponde à média geométrica dos outros dois. Desse modo, qual é a média geométrica entre 8 e 5? (A) 84 (B) 168 (C) 88 (D) (E) (TRANSPETRO 008/CESGRANRIO) Atualmente, Marcelo tem 1 anos e as idades de Pedro, Joana e Marcelo, em anos, formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão. Qual será a idade de Joana quando Pedro estiver com 5 anos? (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 1 (E) (SEMSA Prefeitura de Manaus 005/CESGRANRIO) Se, numa Progressão Geométrica de razão 5, o último termo é igual a 60, o antepenúltimo termo vale: (A) 1/5 (B) 4/5 (C) 1 (D) 4 (E) (EPE 009/CESGRANRIO) O valor da soma infinita 1 + 1/ 1/4 + 1/8 1/ é Prof. Guilherme Neves 31

32 (A) 4 (B) (C) 11/8 (D) 4/3 (E) /3 16. (EBDA 006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é igual a 5 e o sétimo termo é 30. Somando os dez primeiros termos dessa PG, obtém-se: (A) (B) (C) (D) (E) (CBM-ES 011/CESPE-UnB) Um soldado, um sargento e um tenente têm suas idades, em anos, dispostas em progressão geométrica, sendo o soldado o mais novo dos três, e o tenente, o mais velho. Sabendo que o produto dessas idades, em anos, é e que a soma das idades do sargento e do tenente é 75 anos, julgue os itens seguintes. 17. A idade do sargento é superior a 3 anos. 18. Se o tenente fosse 5 anos mais novo, as idades dos três militares, em anos, estariam em progressão aritmética. 19. A soma das idades do soldado e do sargento é inferior a 48 anos. (PM-ES 010/CESPE-UnB) Considerando que 5 indivíduos tenham idades, em anos, correspondentes aos números inteiros positivos a 1, a, a 3, a 4 e a 5, que os números a 1, a e a 5 estejam, nessa ordem, em progressão geométrica com soma igual a 6 e que os números a 1, a 3 e a 4 estejam, nessa ordem, em progressão aritmética de razão 6 e soma igual a 4, julgue os itens a seguir. 0. A soma a + a 3 + a 4 é igual a A razão da progressão formada pelos números a 1, a e a 5 é um número fracionário não inteiro.. O indivíduo mais novo tem menos de 3 anos de idade. 3. A idade do indivíduo mais velho é superior a 0 anos. (ANAC 009/CESPE-UnB) Considerando que, nos números positivos a, b, c e d, os números a, b e d estejam, nessa ordem, em progressão geométrica; a, c e d estejam, nessa ordem, em progressão aritmética, e considerando, ainda, que a razão a/d seja igual a 16/5 e a soma dos números a, b, c e d seja 163, julgue os itens que se seguem. 4. A razão da progressão geométrica é igual a 5/4. Prof. Guilherme Neves 3

33 5. A razão da progressão aritmética é menor que O número b é maior que o número c. (MPS 010/CESPE-UnB) Três números estão em progressão aritmética de razão 3 e dois termos dessa progressão são as raízes da equação ² 8 = 0. Nesse caso é correto afirmar que 7. o produto dos termos dessa progressão é um número real positivo. 8. a soma dos termos dessa progressão é superior a 4 e inferior a 8. Prof. Guilherme Neves 33

34 Gabaritos RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB 01.A 0.B 03.B 04.B 05.D 06.B 07.C 08.C 09.B 10.C 11.A 1.A 13.B 14.A 15.D 16.B 17.Errado 18.Certo 19.Errado 0.Certo 1.Errado.Certo 3.Errado 4.Certo 5.Errado 6.Errado 7.Errado 8.Errado Prof. Guilherme Neves 34