SEQUÊNCIA DIDÁTICA PODCAST ÁREA CIÊNCIAS DA NATUREZA I MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO

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1 SEQUÊNCIA DIDÁTICA PODCAST ÁREA CIÊNCIAS DA NATUREZA I MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO Título do Podcast Área Segmento Duração Progressão Geométrica Ciências da Natureza I Matemática Ensino médio 5min34seg Habilidades: H19. Relacionar padrões e regularidades a uma sequência numérica. H20. Resolver problemas que envolvam as progressões aritméticas/geométricas. Tempo Estimado: 45 minutos Materiais e recursos necessários: Podcast Progressão Geométrica e calculadora Conteúdos: Sequência e Progressão Geométrica Desenvolvimento: Caro aluno, Antes que você inicie essa sequência didática, sugerimos que seja realizada a audição do Podcast Progressão Geométrica. Você encontrará o podcast no seguinte endereço: Portal EJA: Assim que você estiver na página inicial do Portal EJA, realize um dos caminhos descritos a seguir para ter acesso ao podcast. Portal EJA> Biblioteca digital > Ciências da Natureza I > Podcast > Ensino Médio > Podcast Progressão Geométrica

2 Assim que você tiver acesso ao podcast, para fazer a audição do arquivo, basta clicar no botão iniciar. Caro aluno, Durante a realização desta sequência didática, sempre que considerar necessário, retome a audição do podcast. 1) Para falar sobre a Progressão Geométrica (P.G), utilizamos o exemplo do crescimento de uma população de bactérias que dobrava a cada 20 minutos, pensando nas observações feitas acerca do crescimento dessa população, construa uma tabela que relacione a quantidade de bactérias após 20 minutos, após 40 minutos, após 60 minutos e após 80 minutos. Para relembrar o que foi falado sobre o crescimento da população de bactérias, se desejar, faça a audição do podcast no trecho entre 35 segundos e 1 minuto e 5 segundos.

3 2) Considerando que incialmente a população observada tinha apenas 1 bactéria e que esse valor representa o primeiro termo da sequência, qual será o 10º termo? Lembre-se: no podcast falamos sobre os termos de uma sequência. Se você quiser retomar esse conceito, faça a audição do trecho entre 2 minutos e 2 minutos e 42 segundos. 3) De acordo com o que foi mencionado no podcast, essa progressão, representada pelo crescimento da população de bactérias, tem os seguintes valores: º termo 2º termo 3º termo 4º termo 5º termo... a) Realizando a divisão do 2º termo pelo 1º termo, qual é o valor encontrado?

4 b) E ao dividir o 4º pelo 3º termo, qual é o valor encontrado? c) O número encontrado nas divisões realizadas nos itens b e c, recebe um nome especial na P.G, você sabe qual é? Para saber qual é o nome dado a esse número, retome a audição do trecho entre 2 minutos e 20 segundos e 2 minutos e 40 segundos. 4) Preencha a tabela e análise as relações existentes entre os números que formam a progressão. Para tanto, identificaremos cada termo como a n, onde n representa o número do termo. Por exemplo, o 1º termo será identificado com a 1, o segundo termo como a 2 e assim sucessivamente. termo razão n - 1 razão (n-1) a 1. razão (n-1) a = 1 2¹ = = 2 a = 2 2² = = 4 a 4 2 a 5 2 a 6 2 a 7 2 a 8 2 a 9 2

5 5) Qual é a observação que você fez em relação a última coluna da direita da tabela? 6) Utilizando o mesmo procedimento apresentado na tabela, descubra qual é o 12º termo. Após responder os itens 4, 5 e 6, faça uma análise e observe que para calcular um termo qualquer de uma progressão geométrica podemos fazer uso da seguinte expressão: an = a1. razão (n-1) Essa expressão é chamada de fórmula do termo geral da P.G. Em geral, os materiais didáticos identificam a razão utilizando a letra q. Assim, a fórmula do termo geral da P.G. é escrita da seguinte forma: an = a1. q (n-1) 7) Considere que em certa empresa, num período de 4 horas, foram produzidas as seguintes quantidades de peças: 1ª hora 2ª hora 3ª hora 4ª hora Quantidade de peças produzidas Observando esse aumento na produtividade, na próxima hora a produção será de quantas peças?

6 No podcast, falamos que uma PG pode ser crescente ou decrescente, e além dessas classificações, uma PG pode ser ainda constante, oscilante ou nula. Vejamos alguns casos. PG crescente Exemplo 1: ( 1, 2, 3,,4,...) Observe que a 1> 0 e q > 1 Cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo anterior. Exemplo 2: ( - 4, - 2,...) Observe que a 1<1 e 0< q< 1 Cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo anterior PG decrescente Exemplo 1: ( 20,10,5,...) Observe que a 1> 0 e 0< q < 1 Neste caso, conforme comentado no áudio, a razão será sempre maior que zero e menor que. Cada termo, a partir do segundo, é menor que seu anterior. Exemplo 2: ( -6, - 12,- 24,...) Observe que a 1< 0 e q >1 PG constante Exemplo 1: ( 1,1,1,...) Neste caso, todos os termos são iguais. Observe que q = 1. Exemplo 2: ( 0,0,0,...)

7 Neste caso, dizemos que a razão é indeterminada. PG oscilante ( 4, - 8, 16, - 32,...) Observe que a 1 0 e q < 1 Termos consecutivos têm sinais opostos. PG nula ( 3,0,0,0,...) Observe que a 1 0 e q = 0 8) As situações trabalhadas nesta atividade, até o momento, foram apresentadas apenas exemplos de progressões crescentes. Para falar das progressões decrescentes, vamos utilizar um exemplo muito semelhante ao apresentado no podcast. Considere que uma certa população tem inicialmente bactérias e está se reduzindo a cada 35 minutos, preencha a tabela e identifique qual será a quantidade de bactérias ao passar 105 minutos. População inicial População após 35 minutos População após 70 minutos População após 105 minutos? Para relembrar o que falamos no podcast sobre P.G decrescente, se desejar, retome a audição no trecho entre 2 minutos e 50 segundos e 2 minutos e 50 segundos.

8 Um pouco mais de P.G crescente! 9) Uma equipe que trabalha com a manutenção de torneiras, está realizando alguns testes devido ao grande número de reclamações. De acordo com o que foi mencionado pelos clientes, quando o equipamento não está em funcionamento observa-se que há um vazamento que consequentemente acaba gerando um grande desperdício de água. Certo cliente, com o objetivo de apresentar para a equipe de manutenção a quantidade de água que estava sendo desperdiçada, e desta maneira solicitar que eles pagassem o valor de sua conta referente ao desperdício, acompanhou, por o período de um dia, o vazamento e anotou a quantidade total de água que estava indo pelo ralo abaixo. Acompanhe as anotações na tabela a seguir. Anotações realizadas Quantidade de água desperdiçada 1ª anotação 250 mililitros 2ª anotação 300 mililitros 3ª anotação 360 mililitros a) De acordo com o que foi anotado pelo cliente e considerando que o volume do desperdício de água ao longo do dia estava crescendo em progressão geométrica, se até o final do dia (totalizando 24 horas) ele fizer mais 3 anotações, em sua 6ª anotação qual será o registro da quantidade de água desperdiçada?

9 b) Suponha que esse cliente pague R$ 0,01 por cada mililitro de água consumido, quanto ele irá pagar pelos litros desperdiçados durante 1 dia? Caro aluno, Indicações: Para que você possa explorar um pouco mais seu conhecimento sobre as progressões geométricas, utilize os materiais disponíveis no Portal EJA. Para tanto, sugerimos que você consulte o Mapa Curricular seguindo o caminho descrito abaixo. Portal EJA ( > Área do aluno> Mapa Curricular> Conteúdo Curricular> Ensino Médio > Ciências da Natureza I> Disciplina> Matemática> Progressão Geométrica O conteúdo de Progressões Aritméticas é abordado no seu livro didático nas seguintes aulas: Aula 35 Progressões geométricas Aula 36 Somando os termos de uma progressão geométrica Caso você tenha dificuldades para encontrar os materiais disponíveis no Portal EJA, peça ajuda ao seu monitor. Bons estudos! 1. Gabarito Comentado Tempo de observação da população de bactérias Quantidade de bactérias Após 20 minutos 2 Após 40 minutos 4 Após 60 minutos 8 Após 80 minutos 16

10 2. Organizando a sequência temos os seguintes valores: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,... Portanto, o décimo termo é a) Ao dividir o 2º termo pelo 1º termo o quociente obtido foi o valor 2. 2: 1 = 2 b) Ao dividir o 4º termo pelo 3º termo o quociente obtido foi o valor 2. 8: 4 = 2 c) Ao realizar as divisões nos itens b e c encontramos um mesmo valor, que na P.G recebe o nome de razão. 4. termo razão n - 1 razão (n-1) a 1. razão (n-1) a = 1 2¹ = = 2 a = 2 2² = = 4 a = 3 2³ = = 8 a = = = 16 a = = = 32 a = = = 64 a = = = 128 a = = = A última coluna da tabela representa os valores dos termos da sequência, portanto, podemos encontrar um termo qualquer da sequência utilizando a expressão a 1. razão (n-1) 6. O termo que desejamos saber o seu valor é o a 12, portanto, n é igual a 12. Sabemos que a razão é igual 2. Logo, faremos: 12 1 = 11

11 razão = 2 a 1. razão (n-1) = A próxima hora, ou seja, a quinta hora de produção, representa o 5º termo da sequência, e para saber o valor desse termo devemos primeiro descobrir a razão. Para tanto, faremos a divisão do 2º termo pelo 1º termo. 120: 80 1,5 Portanto a razão vale 1,5. Agora, para calcular o valor do 5º termo, vamos utilizar a fórmula do termo geral da P.G. an = a1. q (n-1) a5 = 80. 1,5 (5-1) a5 = 80. 1,5 4 a5 = 80. 5,06 a5 = 405 O valor do 5º termo é Considerando que as bactérias (população inicial) representam o 1º termo da sequência, para saber o valor do 4º termo, vamos primeiro descobrir a razão. Para tanto, faremos a divisão do 2º termo pelo 1º termo : = 0,80 Portanto a razão é igual a 0,80. Agora, que já sabemos o valor da razão, vamos calcular o valor do 4º termo. an = a1. q (n-1) a4 = ,80 (4-1) a4 = ,80 3 a4 = ,51 a4 = 1.024

12 População inicial População após 35 minutos População após 70 minutos População após 105 minutos a) Para saber qual foi o registro na 6ª anotação, devemos observar que essa anotação representa o 6º termo da sequência. Além disso, precisamos saber qual é o valor da razão, e para tanto, faremos a divisão o 2º termo pelo 1º termo. 300: 250 = 1,20 Agora, que já sabemos o valor da razão, para encontrar o 6º termo, utilizaremos a fórmula do termo geral da P.G. an = a1. q (n-1) a6 = ,20 (6-1) a6 = ,20 5 a6 = ,48832 a6 = 622,08 b) Para saber quanto ele irá pagar, é necessário que se conheça o total desperdiçado ao longo do dia. Para tanto, iremos calcular o 4º e o 5º termo dessa sequência e em seguida faremos a soma das quantidades verificadas nas 6 anotações. an = a1. q (n-1) a4 = ,2 (4-1) a4 = ,2 3 a4 = ,728 a4 = 432 an = a1. q (n-1) a5 = ,2 (5-1) a5 = ,2 4 a5 = ,0736 a5 = 518,4

13 Para saber a quantidade total desperdiçada ao longo do dia, faremos a seguinte soma: , ,08 = 2.482,48 Logo, o desperdício total foi de 2.482,48 mililitros. Para saber o valor gasto com esse desperdício, vamos multiplicar esse valor pelo preço pago por cada mililitro ,48 x R$ 0,01. = 24,8248 Portanto, pelo desperdício de 1 dia, o cliente pagará, aproximadamente, R$ 24,82