CADERNO DE EXERCÍCIOS 2C

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Dina Caiado Arruda
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1 CADERNO DE EXERCÍCIOS 2C Ensino Médio Matemática Questão Conteúdo Habilidade da Matriz da EJA/FB 1 Progressão Geométrica H16 2 Lei dos cossenos H14 Razões trigonométricas H14 (trigonometria no triângulo retângulo) 4 Juros simples H25 1

2 1. Ao comprar uma geladeira, certa dona de cada decidiu parcelar, em 4 vezes, o eletrodoméstico que custava R$ 7.000,00, mas teria o seu valor alterado a partir do parcelamento. Acompanhe, no gráfico, os valores mensais pagos pela dona de casa. Valor pago por cada parcela Valor da parcela (em R$) ,2? Considerando que as quatro parcelas não foram de valores iguais e todas foram submetidas a uma mesma taxa de juros, responda: a) Qual foi o valor da 4ª parcela? Parcelas b) Qual foi o valor final pago pelo eletrodoméstico? 2

3 2. Sabendo que a distância do ponto B até o ponto A é de 19 m, determine a distância, aproximada, do alto do edifício (ponto B) até a árvore (ponto C). (Adote cos 150 o = - 0,86.) B 150 Edifício Torres A 15 m C

4 . (ENEM -2009) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura. Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a (Considere = 0,58) a) 50%. b) 4%. c) 7%. d) %. e) 19%. 4

5 4. (ENEM 2009) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A opção que dá a João o menor gasto seria a) renegociar suas dívidas com o banco. b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas. c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos. d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial. 5

6 Gabarito comentado 1. a) O valor da quarta parcela será de R$ 2. 84,20. Veja como chegar a esse valor: Conforme mencionado no enunciado, as parcelas foram submetidas a uma mesma taxa de juros. Identificamos, então, uma sequência de valores que apresentam crescimento ao serem multiplicadas por um valor constante. Diante dessas observações, podemos dizer que os valores representam uma progressão geométrica (PG), e para saber o valor da 4ª parcela, basta encontrar a razão dessa PG. Para determinar a razão de uma PG, podemos dividir qualquer termo pelo seu anterior. Veja: ,2 1,20 1, Logo, concluímos que a razão, nesta PG, é 1,2. Para saber o próximo valor, basta utilizar a fórmula da PG. a n = a 1. q n-1 a n = 4 a 1 = 1.80 q = 1,2 a 4 = ,2 4-1 a 4 = ,2 a 4 = ,7 a 4 = 2.84,64 Ou podemos simplesmente multiplicar o valor da terceira parcela pela razão ,2 x 1,2 = 2.84,64 b) O valor final pago pelo eletrodoméstico foi de R$ ,84. Veja como chegar a esse valor: O valor inicial era de R$ 7.000,00. Com o pagamento parcelado e o acréscimo mensal, tivemos os respectivos valores, para cada parcela: 1ª parcela: R$ 1.80,00. 2ª parcela: R$ 1.656,00. 6

7 ª parcela: 1.987,20. 4ª parcela: 2.84,64 A soma total dessas parcelas resulta em R$ 7.407, Para determinar o valor da distância do ponto B ao ponto C, aplicaremos a Lei dos cossenos. Para tanto, chamaremos essa distância de x. Logo temos: x² = 15² + 19² cos 150 x² = (- 0,86) x² = ,02 x² = 1.076,2 x = 1.076,2 x 2,80 (aproximadamente). Caro aluno, Para explorar o conteúdo relacionado à Lei dos cossenos, você poderá consultar o didático - Novo Telecurso Ensino Médio Matemática - aula 42. No Mapa Curricular, você também encontrará indicações de materiais disponíveis referentes a esse conteúdo. Segue o link de acesso: Portal EJ@> área do aluno> Mapa Curricular>CNI>EM>Matemática>Lei dos cossenos. livro. Alternativa E. Para que possamos encontrar a porcentagem da área do terreno que coube a João, devemos observar a ilustração que representa o terreno que será partilhado entre os irmãos. 7

8 Ao observar a ilustração, é possível verificar que a parte que coube a João tem o formato de um triângulo retângulo. Essa informação pode ser confirmada quando nos atentamos ao enunciado, pois é nele é informado que o terreno deixado de herança temo o formato de um retângulo, ou seja, cada um dos ângulos de seus ângulos tem exatamente 90. E, se a parte que coube a João é composta por uma desses ângulos, logo sabemos que este tem 90. Acompanhe a ilustração que apresenta apenas a parte do terreno que ficou para João. 2 km ângulo de 0 Sabemos que o ângulo indicado tem 0 graus porque, conforme informado no texto, os irmãos dividiram a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração. Sendo assim, se a área de extração está em um setor circular de ângulo igual a 90 graus, ao dividir esse setor por, cada um ficará com um setor de ângulo igual a 0. Em análise a ilustração, visualiza-se um triângulo retângulo em que a medida de um de seus lados e a medida de um de seus ângulos são conhecidas, deseja-se conhecer o valor do lado oposto ao ângulo de 0, pois assim será possível calcular a área do triângulo. Para tanto, podemos fazer uso das razões trigonométricas no triângulo retângulo, neste caso, faremos o uso da tangente. Lembre-se: tg x = cateto oposto cateto adjacente Utilizando a expressão mencionada acima, temos: tg 0 = x 2 A tangente de 0 é igual a, e segundo o texto, devemos considerá-la igual a 0,58. 0,58 = x 2 0,58.2 = x 8

9 0,58 = 1,16. Encontramos a medida, desconhecida, de um dos lados do triângulo que representa a parte da herança que coube a João. Agora, temos a seguinte figura: 1,16 km 2 km Agora, com as medidas já conhecidas, é só calcular a área do terreno. 1,16x2 Área = 2 Área = 1,16 km². Para saber qual é a porcentagem que a área que coube a João representa em relação a área total, devemos primeiro calcular a área total. Ou seja, multiplicamos suas dimensões: km x 2 km = 6 km² Para calcular a porcentagem, basta dividir a área do terreno de João pela área total e multiplicar o resultado por ,16:6 = 0,19 (aproximadamente) 0,19 x 100 = 19,% 4. Alternativa E. Se João renegociar a dívida com o banco, ele pagará 18 parcelas de R$ 125,00, totalizando um valor final de R$ 2.250,00. Se realizar o empréstimo com o amigo, João poderia ter as seguintes situações: Se pegar emprestado o dinheiro com José, para pagar a dívida total, ele terá um acréscimo de 25%, totalizando R$ 2.250,00. Acompanhe: 9

10 Dívida do cheque especial: R$ 1.500,00 (pois para o banco ele vai pagar à vista, então terá um desconto de 2 parcelas). Dívida do cartão de crédito: R$ 00,00 (pois para o banco ele vai pagar à vista, então terá um desconto de 25%). Dívida total: 1.800,00 Dívida com o acréscimo de 25%: R$ 1.800,00 x 0,25 = 450 R$ 1.800,00 + R$ 450,00 = R$ 2.250,00 Se realizar o empréstimo com o amigo para pagar apenas o cartão de crédito e manter a dívida do cheque especial, ele terá uma dívida total de R$ 2.100,00. Acompanhe: Dívida do cheque especial: R$ 1.800,00. Dívida do cartão de crédito: R$ 00,00 Já que vai quitar o cartão de crédito, João precisa pegar apenas R$ 00,00 emprestado com o amigo. Considerando que no pagamento à vista ele terá um desconto de 25%. Dívida do cartão de crédito com o desconto de 25%: R$ 00,00. (400x 0,25 = 00). Porém é preciso considerar que sobre o valor que João emprestou do amigo, terá um acréscimo de 25%. R$ 00,00 x 0,25 = R$ 75,00 R$ 00 + R$ 75,00 = R$ 75,00 Dívida total: cheque especial + valor do empréstimo feito com o amigo. Dívida total: R$ 1.800,00 + R$ 75,00 Dívida total: R$ 2.175,00 Se realizar o empréstimo com o amigo para pagar apenas o cheque especial e manter a dívida do cartão de crédito, ele terá uma dívida total de R$ 1.900,00. Acompanhe: Dívida do cheque especial: R$ 1800,00 Dívida do cheque especial com o desconto de 2 parcelas: R$ 1.500,00. Já que vai quitar o cheque especial, João precisa pegar apenas R$ 1.500,00 emprestado com o amigo. Portanto, ele pagará os juros de 25% apenas sobre os R$ 1.500,00. R$ 1.500,00 x 0,25 = R$ 75,00. R$ 1.500,00 + R$ 75,00 = R$ ,00. Dívida do cartão de crédito: R$ 400,00. Dívida total: R$ 1.875,00 + R$ 400,00. Dívida total: R$ 2.275,00. 10

11 Se recusar o dinheiro de José e pagar as parcelas pendentes nos devidos prazos, João terá uma dívida total de R$ 2.200,00. Cheque especial: 12 x 150 = Cartão de crédito: 5 x 80 = 400 Dívida total: cheque especial + cartão de crédito Dívida total: R$ 1.800,00 + R$ 400,00 = R$ 2.200,00 Portanto, a opção que gera o menor custo é a alternativa E. 11

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