4) Em um conjunto, o que interessa é quem são seus elementos.

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1 Sequências (Ledo Roteiro da Aula do PAPMEM janeiro 017) 1) Quem quer saber a arrecadação mensal de cada estação do Metrô-Rio, trabalha com o conjunto das estações. ) O usuário trabalha com a sequência das estações. 3) Os números das casas de uma rua. 4) Em um conjunto, o que interessa é quem são seus elementos. 5) Em uma sequência, o que interessa não é só quem são seus termos, mas a ordem na qual esses termos aparecem. 6) Conjunto é representado por chaves: {a, 1, #} = {1, #, a}. 7) Sequência é representada por parênteses: (a, 1, #) (1, #, a). 8) Para representar de forma genérica uma sequência usamos variáveis indexadas: (a 1, a, a 3, a 4,..., a n,...) 9) O índice é o endereço da variável, é a posição da variável na sequência. 10) No mais das vezes, iniciamos os índices por 1. Entretanto, pode ser conveniente iniciar por zero ou, até mesmo, por outro número (andar de prédios com garagem ou com subsolo). 11) Uma sequência é uma função cujo domínio é N, ou o conjunto formado pelos primeiros elementos de N (I n ), em um conjunto qualquer A. s(n): N A ou s(n): I n A 1) Assim, a 1 é outra forma de escrever s(1), ou seja, a imagem de 1 pela função s. 13) O conjunto A não precisa ser um conjunto numérico: sequência das pessoas em uma fila; lista de classificados em um concurso; dias da semana ou meses do ano; estações do ano; estações de trem; palavras em um dicionário. 14) Numa sequência, precisamos saber a ordem dos termos, a posição de cada termo. É comum buscarmos uma lei de formação, uma regra que nos permita identificar a posição de um elemento da sequência, ou construir a sequência termo a termo. 15) A ordem alfabética é uma dessas leis, mas ela não nos permite dizer com qual natural um termo está relacionado, nos permite dizer se um termo vem antes ou depois de outro. 16) Se o conjunto de chegada for um conjunto numérico, podemos buscar expressões matemáticas que nos permitam construir a sequência. 17) Dois tipos de fórmulas são usados para construir uma sequência numérica: a fórmula de recorrência e a fórmula do termo geral. 1

2 18) A fórmula de recorrência nos permite construir a sequência termo a termo, conhecendo um ou mais termos, podemos saber que é o seguinte: a 1 = 5 a 1 = a 0 = 1 a n = a n a n + 1 = 3a n a n = a n 1 + n 1 a 0 = 1 a 1 = a 1 = a = 1 a n = ia n 1 a n + 1 = a n 1 a n + = a n a n Precisamos apresentar alguns termos na fórmula de recorrência para caracterizar uma única sequência. Com a fórmula de recorrência, temos que caminhar temo a termo para encontrar um termo específico. 19) Com a fórmula do termo geral, podemos encontrar um termo qualquer da sequência conhecendo a sua posição n. a n = + 3n a n = x3 n a n = n a n = i n 0) Nem toda sequência numérica tem lei de formação (fórmula de recorrência ou fórmula do termo geral): sequência dos gastos mensais de uma casa; sequência das notas bimestrais; sequência dos resultados do lançamento de um dado; sequência dos resultados da mega-sena; sequência dos números primos., 3, 5, 7, 11,... (Existe um maior número primo?) 1) Vamos nos fixar em duas sequências: as progressões aritméticas e as progressões geométricas. Progressões aritméticas: qualquer termo, a partir do segundo, é igual ao anterior acrescido de uma constante, razão da P.A. (r). Recorrência a 1 a n+ 1 = a n + r Para, partindo de a 1, chegarmos a a n devemos somar n 1 vezes a razão. Para, partindo de a k, chegarmos a a n devemos somar n k vezes a razão. Assim, é razoável admitir que a n = a 1 + (n 1)r e a n = a k + (n k)r.

3 + r + r + r + r + r a 1 a a 3 a 4 a 5... a n a n a k... + r + 3r + 4r + (n 1) r + (n k) r ou a = a 1 + r a 3 = a + r a 4 = a 3 + r a 5 = a 4 + r +... a n - 1 = a n + r a n = a n 1 + r a n = a 1 + (n 1)r n 1 parcelas ) É possível construir uma P.A. formada só por números primos? Não. Seja a 1 = p (primo) e a razão r. a p + 1 = p + (p + 1 1)r = p + pr = p(1 r) que é divisível por p 3) Uma P.A. pode ser crescente (r > 0), decrescente (r < 0) ou constante (r = 0) 4) Qual é o termo geral de uma P.A. de razão e primeiro termo 5? a n = 5 + (n 1) x = 5 + n a n = 3 + n 5) Representando os termos dessa P.A. (n, a n ) em um sistema cartesiano, teremos pontos sobre a reta que é o gráfico da função real f(x) = x + 3. Uma P.A. é uma restrição de uma função afim ao conjunto dos números naturais. Lembremos que uma função afim caracteriza-se por: a intervalos iguais de x correspondem intervalos iguais de y. 3

4 y x 6) O que caracteriza uma função afim é: a qualquer P.A. escolhida no eixo das abscissas corresponde uma P.A. no eixo das ordenadas. O fato de encontrarmos uma P.A. no eixo das abscissas para a qual teremos as imagens de seus termos também em P.A. não é suficiente para garantir que estamos diante de uma função afim. Entretanto, os pontos (n, a n ) de uma P.A. estão sobre o gráfico de uma função afim, estão sobre uma reta. f(x) = ax + b Escolhida uma P.A. de razão r no eixo das abscissas (x n ), temos: f(x n + 1 ) f(x n ) = f(x n + r) f(x n ) = a(x n + r) + b [ax n + b] = ax n + ar + b ax n b = ar (constante). Ou seja, f(x n ) é uma P.A. de razão ar. Se escolhermos a P.A. (1,, 3,...) no eixo das abscissas (r = 1), ar será a. 4

5 7) E se restringirmos o domínio de uma função quadrática ao conjunto dos naturais, que tipo de sequência será formada pelas imagens? Analisemos a função f(x) = x + x 1. y 11 f(x) = x² + x -1 f(n+1) - f(n) 7 9 f(1) = f() = 7 5 f(3) = 14 7 f(4) = 3 9 f(5) = f(6) = f(7) = 6 15 f(8) = f(9) = f(10) = x 8) Uma sequência na qual as diferenças entre os termos consecutivos formam uma P.A. é conhecida como uma P.A. de segunda ordem. Se, para todo natural n, a n = a n + 1 a n é uma P.A., então a sequência (a n ) é uma P.A. de segunda ordem. 9) A restrição do domínio da função f(x) = x + x 1 ao conjunto dos números naturais define uma P.A. de segunda ordem. 30) De fato, o que caracteriza uma função quadrática é: a qualquer P.A. escolhida no eixo das abscissas corresponde uma P.A. de segunda ordem no eixo das ordenadas; a intervalos iguais de x correspondem intervalos de y que formam uma P.A. de segunda ordem. 5

6 f(x) = ax + bx + c Escolhida uma P.A. de razão r no eixo das abscissas (x n ), temos: f(x n + 1 ) f(x n ) = f(x n + r) f(x n ) = a(x n + r) + b(x n + r) + c [ax n ² + bx n + c] = = ax n + arx n + ar + bx n + br + c ax n bx n c = arx n + ar + br = =ar[x n + (ar + br)/ar] = ar[x n + (ar + b)/a] Mas (x n ) é uma P.A. e (ar + b)/a é constante. Portanto, f(x n ) forma uma P.A. de segunda ordem (as diferenças entre seus termos consecutivos forma uma P.A. de primeira ordem). 31) Uma progressão aritmética de ordem k (k > 1) é uma sequência na qual as diferenças entre cada termo e o termo anterior formam uma progressão aritmética de ordem k 1. P.A. de quarta ordem n a n a n a n a n a n

7 3) Consideremos a soma dos n primeiros termos de uma P.A. S n = a 1 + a + a a n + a n 1 + a n S n = a n + a n 1 + a n a 3 + a + a 1 S n = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + (a 3 + a n ) (a n + a 3 ) + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) Mas os valores de todas as somas nos parênteses são iguais: a 1 a a 3... a n a n 1 a n... Portanto: a 3 + a n = (a 1 + r) + (a n r) = a 1 + a n a + a n 1 = (a 1 + r) + (a n r) = a 1 + a n a 1 + a n S n = n(a 1 + a n ) e S n = n(a 1 + a n )/ 33) Uma bobina de papel tem raio interno 5 cm, raio externo 10 cm e a espessura do papel é 0,01 cm. Qual é o comprimento da bobina enrolada? (10 cm 5 cm)/ 0,01 cm = 500 Podemos considerar a bobina formada por 500 circunferências concêntricas cujos raios formam uma P.A., a menor delas com raio 5 cm e a maior com raio 10 cm (de fato, se há 500 circunferências com raios em P.A. e o primeiro medindo 5 cm, o último medirá 5 + (500 1)x0,01 = x0,01 = 9,99 cm, Mas isso pode ser desconsiderado devido às aproximações a bobina não é realmente formada por circunferências, é uma espiral). O comprimento da primeira circunferência é πx5 = 10π cm, e o comprimento da quingentésima circunferência é πx10 = 0π cm. A soma do comprimento de todas as 500 circunferências é S 500 = (10π + 0π)x500/ = 7500π cm 7500 x 3,14 = cm = 35,5 m (Tem sentido dar a resposta cm? Tem sentido substituir π por 3,14?) Outra solução: Cortemos a bobina em um raio e reagrupemos as tiras de papel de modo a formar um trapézio retângulo de altura 10 5 = 5 cm, base maior 0π cm e base menor 10π cm. Esse trapézio é formado por 500 tiras de papel sobrepostas. 7

8 Cortando o lado não paralelo do trapézio no seu ponto médio e dispondo as partes convenientemente, podemos formar um retângulo construído com quinhentas tiras de papel cujo comprimento é a base média do trapézio, (10π + 0π)/. Comprimento da bobina = [(10π + 0π)/] x 500 = 7500π cm. Outra solução: A área da coroa circular da bobina é πx10 πx5 = 100π 5π = 75π cm. Essa mesma área pode ser calculada através do produto do comprimento da bobina, L, pela sua espessura, 0,01 cm: 0,01 x L = 75π L = 75π/0,01 = 7500π cm 34) Progressões geométricas: qualquer termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante, razão da P.G. (q). Recorrência a 1 a n+1 = a n q Para, partindo de a 1, chegarmos a a n devemos multiplicar n 1 vezes pela razão. Para, partindo de a k, chegarmos a a n devemos multiplicar n k vezes pela razão. Assim, é razoável admitir que a n = a 1 q n 1 e a n = a k q n k. x q x q x q x q x q a 1 a a 3 a 4 a 5... a n a n a k... x q x q 3 x q 4 x q n 1 x q n - k 8

9 ou a = a 1 x q a 3 = a x q a 4 = a 3 x q a 5 = a 4 x q x... a n - 1 = a n - x q a n = a n - 1 x q a n = a 1 q n 1 n 1 fatores 35) A P.G. cresce muito rapidamente. Estou oferecendo meus serviços com um salário de R$1,00 real no primeiro mês; R$,00 no segundo; R$4,00 no terceiro, e assim por diante, sempre dobrando o salário do mês anterior durante dois anos (apenas dois anos). Alguém quer me contratar? 36) A P.G. pode ser crescente (a 1 positivo e q > 1, ou a 1 negativo e 0 < q < 1); decrescente (a 1 negativo e q > 1, ou a 1 positivo e 0 < q < 1); constante (q = 1); oscilante (q < 0). 37) Uma colônia de bactérias dobra a cada hora. Às 8 horas da manhã há 1000 bactérias. Qual o número de bactérias às 11 horas da manhã? 1000, 000, 4000, 8000 Uma colônia de bactérias dobra a cada hora. Às 8 horas da manhã há 1000 bactérias. Qual o número de bactérias às 8 h 30 min? 1000, b, = 1000q q = 1/ e b = 1000 x 1/ Qual é o número de bactérias às 8 h e 15min? 1000, b,,, = 1000q 4 q = 1/4 e b = 1000 x 1/4 Qual é o número de bactérias às 8 h e 1min? 1000, b,,,,, meios 000 = 1000q 60 q = 1/60 e b = 1000 x 1/60 9

10 38) Se representarmos os pontos (n, a n ) de uma P.G. de razão positiva no sistema cartesiano de coordenadas, esses pontos estarão sobre o gráfico de uma função tipo exponencial. (3, 6, 1, 4,...) y x 39) Em uma função do tipo exponencial, a intervalos iguais de x correspondem intervalos de y que crescem em P.G. Uma função é do tipo exponencial quando: às abscissas em P.A. correspondem às ordenadas em P.G. 10

11 40) Soma dos n primeiros termos de uma P.G. S n = a 1 + a + a a n 1 + a n qs n = qa 1 + qa + qa qa n 1 + qa n = a + a 3 + a a n + qa n qs n S n = qa n a 1 S n = (qa n a 1 )/(q 1) Substituindo a n por a 1 q n 1 : S n = a 1 (q n 1)/(q 1) 41) Problema da torre de Hanói: 64 1 = ) Limite da soma dos termos de uma P.G. Só existe limite da soma dos termos de uma P.G. se q < 1, ou seja, 1 < q < 1. Nesse caso, q n tende a zero na fórmula da soma dos n primeiros termos, e teremos: S = a 1 /(1 q) 43) Explicando as regras usadas para a determinação da geratriz de dízimas periódicas. 0, , ,