MA12 - Unidade 6 Progressões Geométricas

Transcrição

1 MA12 - Unidade 6 Progressões Geométricas Paulo Cezar Pinto Carvalho PROFMAT - SBM 10 de Março de 2013

2 Progressões Geométricas Uma progressão geométrica é uma sequência na qual o quociente entre cada termo e o termo anterior é constante. Esse quociente constante é chamado de razão da progressão e representado pela letra q. Mais formalmente: (a n ) é uma progressão geométrica quando existe um número real q tal que a n+1 = a n q, para todo n N. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 6, Progressões Geométricas slide 2/11

3 Termo Geral Em uma progressão geométrica (a n ) para avançar um termo, basta multiplicar pela razão; para avançar dois termos, basta multiplicar duas vezes pela razão; e assim por diante; Por exemplo, a 13 = a 5 q 8 De modo geral, a n = a 1 q n 1, pois, ao passar de a 1 para a n, avançamos n 1 termos. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 6, Progressões Geométricas slide 3/11

4 Começando de a 0 ou a 1? A população de um país é hoje igual a habitantes e cresce 2% ao ano. Qual será a população desse país daqui a 10 anos? Em 10 períodos, a população é multiplicada 10 vezes por 1,02 a 10 = a 0 q 10 = , = habitantes. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 6, Progressões Geométricas slide 4/11

5 Exemplo Uma pessoa, começando com R$ 64,00, faz seis apostas consecutivas, em cada uma das quais arrisca perder ou ganhar a metade do que possui na ocasião. Se ela ganha três e perde três dessas apostas, pode-se afirmar que ela: A) Ganha dinheiro. B) Não ganha dinheiro nem perde dinheiro. C) Perde R$ 27,00. D) Perde R$ 37,00. E) Ganha ou perde dinheiro, dependendo da ordem em que ocorreram suas vitórias e derrotas V, V, D, V, D, D: D, V, D, D, V, V: O valor final é sempre R$ 27,00? PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 6, Progressões Geométricas slide 5/11

6 A cada vitória, a quantia é multiplicada por 3 2 ; a cada derrota, é multiplicada por 1 2. Após três vitórias e três derrotas, os R$ 64,00 são multiplicados três vezes por 3 2 e três vezes por 1 2. Logo, ao final, independentemente da ordem das vitórias e derrotas, a pessoa terá 64 ( 3 3 ( 1 3 2) 2) = 27 reais; ou seja, ela perde 37 reais (alternativa D). PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 6, Progressões Geométricas slide 6/11

7 Progressões geométricas e funções exponenciais Como em uma progressão geométrica a n = a 0 q n, a função que associa a cada natural n o valor de a n é simplesmente a restrição aos naturais da função exponencial a(x) = a 0 q x. O gráfico de uma progressão geométrica: PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 6, Progressões Geométricas slide 7/11

8 Soma dos termos de uma progressão geométrica S n = a 1 + a 2 + a a n 1 + a n qs n = a 2 + a 3 + a a n + a n+1 S n qs n = a 1 a n+1 (1 q)s n = a 1 (1 q n ) 1 q n S n = a 1 + a a n = a 1 1 q PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 6, Progressões Geométricas slide 8/11

9 Mostre que o número , formado por n dígitos iguais a 4, n 1 dígitos iguais a 8 e um dígito igual a 9, é um quadrado perfeito e determine sua raiz quadrada = 4 ( 10 2n n) + 8 ( 10 n ) + 9 = 4 10 n 10n n = 4 102n n + 1 ( n ) = 3 Logo é um quadrado perfeito e sua raiz quadrada é 2 10n = (n 1 zeros) 3 3 = (n 1 seis). PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 6, Progressões Geométricas slide 9/11

10 Limite da soma dos termos de uma progressão geométrica 1 q n S n = a 1 + a a n = a 1 1 q Quando q < 1, temos lim n qn = 0. Em consequência, Logo: lim S n = lim a 1 q n 1 n n 1 q = a q lim S n = a 1 + a = a 1 n 1 q. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 6, Progressões Geométricas slide 10/11

11 Exemplo Qual é o limite da soma 0, 3 + 0, , quando o número de parcelas tende a infinito? 0, 3 + 0, , = 0, 3 1 0, 1 = 1 3. Em outras palavras, a geratriz da dízima periódica 0, é 1 3. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 6, Progressões Geométricas slide 11/11