MATEMÁTICA CADERNO 2 CURSO D. FRENTE 1 ÁLGEBRA n Módulo 7 Sistema de Inequações. n Módulo 8 Inequações Produto e Quociente

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1 MATEMÁTICA CADERNO CURSO D ) I) x 0 As raízes são e e o gráfico é do tipo FRENTE ÁLGEBRA n Módulo 7 Sistema de Inequações ) I) x x 0 As raízes são e e o gráfico é do tipo Logo, x ou x. II) x x 0 As raízes são 0 e e o gráfico é do tipo Logo, 0 x. Então, x II) x x V = {x Œ x = } = {} As soluções inteiras são, e. ) I) x 7x As raízes são e e o gráfico é do tipo x x. x. (x ) 0 ) I) < x. (x ) < 0 x x + 6 < 0 x < x <. (x 6) II) > 0. (x 6) > 0 x 8 > 0 x > 8 x > 6 De I II: V = {x Œ 6 < x < } A = {x Œ x ou x }. II) x x + 0 As raízes são e e o gráfico é do tipo B = {x Œ x }. ) I) x + < 7 x fi x < fi x < 0 II) 8x < x + 0 fi x < 0 fi x < fi x < 9 III) (x ) >. (x ) fi x + 6 > x + fi fi x + 7 > x + 6 fi x > De I II III, temos: V = x Œ < x < n Módulo 8 Inequações Produto e Quociente 9 ) (x ). (x ) 0 As raízes são e e o gráfico é do tipo A B = {x Œ x } V = {x Œ x < ou x > }

2 x ) > 0 (x ). (x ) > 0, com x x As raízes são e e o gráfico é do tipo As raízes são e e o gráfico é do tipo V = {x Œ x ou x } V = x Œ x ou x ) x x 0 (x ). (x ) 0 e x As raízes são e e o gráfico é do tipo V = {x Œ x ou x } ) x 0 x x 6) x x + x x. (x ) (x + ) (x + ). (x ) 0 (x + ). (x ) x x x (x + x ) x 0 0 (x + ). (x ) (x + ). (x ) I) f(x) = x, a raiz é x = 0 e o gráfico é do tipo I) f(x) = x x = é a raiz e o gráfico é do tipo II) g(x) = (x + ). (x ), as raízes são e e o gráfico é do tipo II) g(x) = x x As raízes são 0 e e o gráfico é do tipo III) Quadro de sinais III) Quadro de sinais V = {x Œ x ou 0 x } V = {x Œ x 0 e x } ) 0 x x. (x ) 0 x x x 7) x x + 8 x + x x + 8 (x + ) 0 x x x + x + I) f(x) = x x + 6 As raízes são e e o gráfico é do tipo x + 0 ( x + ). (x ) 0 e x x

3 II) g(x) = x + A raiz é x = e o gráfico é do tipo III) f(x) = x 6x + 8, as raízes são e e o gráfico é do tipo IV) g(x) = x, a raiz é x = e o gráfico é do tipo III) Quadro de sinais V) Quadro de sinais V = ], [ ], [ 8) (x ). (x x) 0 I) f(x) = x As raízes são e e o gráfico é do tipo V = {x Œ x ou x } n Módulo 9 Vértice da Parábola II) g(x) = x x As raízes são 0 e e o gráfico é do tipo III) Quadro de sinais ) f(x) = x + x + 0 b x v = = = 6 a. ( ) y v = ou y v = = 6 a Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e, por - tanto, para x v = 6 o máximo é y v = 6. ) L(x) = 00. (0 x). (x ) + 0 As raízes são e 0 e, portanto, x v = = 7. Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e, por - tanto, o lucro é máximo quando x v = 7. V = {x Œ x ou 0 x ou x } 9) f(x) = x 6x + 8 x I) O domínio é a condição de existência da função. II) x 6x com x. x ) f(x) = x + x + Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e, por - tanto, o valor máximo é (. ( ). ) y v = = =. a. ( ) ) y = x 0,0. x Como a < 0, a parábola tem a concavidade para baixo e, por - tanto, a altura máxima atingida pelo golfinho é (. ( 0,0). 0) y v = = = = a. ( 0,0) 0,0

4 ) f(x) = x 6x + 8 b I) x v = = e y v = = a II) O gráfico é do tipo 8) lucro = receita custo fi fi lucro = ( x + 0,x) (x + 0,x + ) fi fi lucro = x + 0x Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e o lucro (0 máximo é y v = =. ( ). ( )) =, a. ( ) 9) I) De acordo com o gráfico, temos que e são as raízes O conjunto imagem é Im = [, + [ 6) y = x + x + b I) x v = = e a (. ( ). ) 9 y v = = = a. ( ) 8 II) O gráfico é do tipo reais da função quadrática. II) Forma fatorada: f(x) = a. (x r ). (x r ) fi fi f(x) = a. (x + ). (x ) III) No gráfico, temos f() = e, portanto, f() = a. ( + ). ( ) fi a = fi a = De II e III, temos: f(x) =. (x + ). (x ) f(x) =. (x x x ) f(x) = x 0) f(x) = (m )x + mx + m I) Uma função do ọ grau é estritamente positiva quando O conjunto imagem é Im =, 7) f(x) = x x + I) Como o domínio é [, ], temos: f( ) = ( ). ( ) + = f() =. + = 9 8 a > 0 e < 0. II) a > 0 fi m > 0 m > III) < 0 fi (m). (m ). (m) < 0 m m + m < 0 8m + m < 0 As raízes são 0 e e o gráfico é do tipo b II) x v = = e y v = ( ). ( ) + = a III) O gráfico é do tipo então, m < 0 ou m >. De II e III, temos m >. n Módulo 0 Função Exponencial ) f(x) é uma função do tipo f(x) = ax + b e g(x) = ( ) x. I) para x = 0 fi f(x) = g(x) fi a. 0 + b = ( ) 0 b = II) para x = fi f(x) = g(x) fi a. + = ( ) a =. De I e II: f(x) = x +, logo f(0) =. 0 + = 6. O conjunto imagem é Im = [,]

5 ax ) x. x = x. ( ) x = ax x. x = ( ) ax x + x = ax + x + x = ax + x + ( + a)x = 0. Como a soma e o produto são iguais: b c = fi ( + a) = + a = a = a a 9) x x x.(x ) x x x 9 x ( ) x x. (x ) x + x x x + 6 x + x 6 0 As raízes são e e o gráfico é do tipo ) ( x ) x = ( x ) x = 0 ( x).( x) = 0 ( x).( x) = 0, as raízes são e e, portanto, o produto é igual a 6. Logo, V = {x Œ x ou x } ) f(x) = g(x) fi x = x x x = ( ) x x x = x x x = x x x x + = 0, a raiz é x =. Logo, x = =. ) x + y = x + y = x + y = + y = x + y = 0 x x + y = 0 fi V = {( ; )} x = y = 6) a) x x + 7 < x x + 7 < x x + 6 < 0, as raízes são e e o gráfico é do tipo 0) y = A. k x I) Para x = 0, temos y = 000, então: A. k 0 = 000 A = 000 II) Para x =, temos y = 00, então: 000. k = 00 k = III) Para x = 6, temos y = 000. k 6 = 000. (k ) = = 000. = 000. = 6 8 FRENTE ÁLGEBRA n Módulo 7 Função Inversa 7) Logo, V = {x Œ < x < } = ], [ b) x Œ, logo V = Ø (x ) x x x ) I) f: tal que f(x) = x fi y = x II) Trocando x por y e y por x, temos: x = y y = x + y = x + fi f x + (x) =, com f : III) Representando graficamente f e f, temos: fi 8) I) O domínio é a condição de existência da função. x II) (,) x 0 (,) x x 7 x x 0, as raízes são e e o gráfico é do tipo Logo, o domínio da função é {x Œ x ou x }.

6 ) + x 6) I) f(x) = fi y = x + x x II) Trocando x por y e y por x, temos: + y x = + y = x xy xy + y = x y x y. (x + ) = x y = fi f x (x) = x + x + III) D(f ) = CD(f) = {a} = { }, portanto, a =. x x ) I) f(x) = fi y = II) Trocando x por y e y por x, temos: y x = y = x x + y = x + y = fi f (x) = ) I) Sendo x o número pensado, o resultado obtido com a x + sequência de operações é y = II) Trocando x por y e y por x, temos: y x = + y + = x y = x y = x, pois y Œ ) I) A função que fornece o salário y a partir do número de horas trabalhadas h, é: 6 y(h) = y(h) = II) y(60) = = 0 III) Para y 0, temos: y(h) = 0h 90 fi y = 0. h(y) 90 y h(y) = y + 90 h(y) = 0 IV) Para y > 0, temos: y(h) = h 70 fi y =. h(y) 70 y h(y) = y + 70 h(y) = V) A função que fornece o número de horas trabalhadas h a partir do salário y, é: h(y) = x + 0h 90, para 0 h (h 60) 90, para h > 60 0h 90, para 0 h 60 h 70, para h > 60 y + 90, para y 0 0 y + 70, para y > 0 n Módulo 8 Sequências, Progressão Aritmética ) Se a =, a = e a n + = a n + a n +, "n Œ *, então: I) a = a + a = + = II) a = a + a = + = 7 III) a = a + a = + 7 = IV) a + a + a + a + a = = 6 n + n ) I) a n = = =, "n Œ * n + n + n + II) a. a. a.. a 98. a 99 = =..... = = 0, ) Na P.A., tem-se a 7 = e r =, então: a 7 = a + 6. r fi = a + 6. = a + 0 a = 8 ) O décimo quinto termo da progressão aritmética (; 7; 9; ) é a = +. =. ) A população mundial atual é de, bilhão de pes soas, ou seja, 6,0 bilhões de habitantes. Assim, na progressão aritmética (p, p, p, ) que determina o número de habitantes da Terra em (007, 008, 009, ), respectivamente, temos: I) p = 6,0 bilhões e p = 6,09 bilhões, portanto, a razão (r) da progressão é, em número de habitantes, r = (6,09 6,0) bilhão = 0,09 bilhão. II) p 9 = p + (9 ). r = (6, ,09) bilhões = = 7,7 bilhões. O número de habitantes da Terra que, em 0, não terá água potável será de. 7,7 bilhões =, bilhões.

7 6) I) (0; ; 6; ; ) é uma P.A. de razão, então: a n = a + (n ). r fi = 0 + (n ). = (n ). = n n =, assim, o restau - rante serviu refeições após dias de funcionamento. II) Não abrindo aos domingos, cada semana tem 6 dias de funcionamento do restaurante, assim: fi = III) Se o primeiro dia de funcionamento foi uma segundafeira, dias depois equivalem a 7 semanas de segunda a sábado mais dias, o que ocorreu numa quarta-feira. 7) Observando-se que. f(n) +. f(n) f(n + ) = = + = f(n) +, a f() = sequência definida por é uma P.A. cujo f(n + ) = f(n) + primeiro termo é f() = e cuja razão é r =, assim: f(0) = f() r = = + 0 = 8) I) II) fi 9 + ( 7) = 00 é múltiplo de fi 7 7 = 0 é múltiplo de III) Os múltiplos de entre 9 e 7 estão em P.A. com a = 00, r = e a n = 0, assim: a n = a + (n ). r fi 0 = 00 + (n ). 0 = 00 + n 9 = n n = 9 Resposta: 9 n Módulo 9 Propriedades da Progressão Aritmética r + r ) r = 6r = r r = r = ) I) Se a for a idade do filho do meio e r for a razão, podemos re presentar essas idades por a r; a r; a; a + r; a + r II) Pelo enunciado: (a r) + (a r) + a + (a + r) + (a + r) = 00 a = 0 (a + r) (a r) = r = III) As idades são: ; 7; 0; ; 6. IV) A idade do ọ filho é. ) Sendo x a quantia emprestada por cada irmão, em milhares de reais, tem-se: I) ( x; + x; 7 x) é uma P.A., então x + 7 x + x = 8 + x = x 6x = x = II) O valor emprestado, acrescido de 0% é dado por x.,0 =..,0 = 9,6 III) 9,6 milhares de reais = reais ) Na P.A., a 9 + a n 8 = a + a n, pois 9 + n 8 = + n, assim: a 9 + a n 8 = (x ) + (x + ) = = x x + x + x + x + x + = x + 6x ) a 6 + a n = a + a n, pois 6 + n = + n. Portanto, a 6 + a n = a + a n = 0 n Módulo 0 Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética ) Os n primeiros números ímpares (,,,..., n ) formam uma progressão aritmética de primeiro ter mo a =, milésimo termo a 000 =. 000 = 999, e cuja soma é dada por: (a + a n ). n ( + 999). 000 S n = S 000 = S 000 = ) Observando que 00 7 e 0 7 concluímos que o primeiro múltiplo de 7 após o 00 é a = 00 + (7 ) = 0 e o múl tiplo de 7 que antecede o 0 é a n = 0 =. A soma pedida é, portanto, (0 + ) S n = =. n Como a n = a + (n ). r, temos que = 0 + (n ). 7 n = 0 n = (0 + ) Então, S n =. 0 = 7. = 67 (a ) S = + a ). = 7 (a + a ) a = 6 = a 6 = 7

8 ) Se T n representa o enésimo número triangular, então T = T = + T = + + T n = n ( + 00) Portanto, T 00 = =. 00 = 00 8) S = a =. +. = S = a + a =. +. = Portanto, a = a = e, a + a = a = 9 consequentemente, r = a a =. ) Os números naturais n, 00 n 999, que, divididos por 9, deixam resto, são os termos da progressão aritmética: (0; 0; 9;...; 99), de razão r = 9 Fazendo a = 0 e a p = 99, tem-se: a p = a + (p ). r fi 99 = 0 + (p ). 9 p = 00 (0 + 99). 00 e S p = S 00 = = 60 6) I) Se (a, a, a,, a ) forem os primeiros termos de uma progressão aritmética, de razão, que representam os preços dos DVDs, então a = a + ( ). a = 7a a = 8 a = 6 II) A soma do primeiros termos da progressão aritmética (8, 0,,, 6, ) é S =. = 800 7) 9) a) a + a 9 = a + a + 8r = a + r + a + 7r = a + a 8 (a b) S 9 = a 9 ). 9 = 7 87 e como a + a 9 = a + a =. a, tem-se:. a. 9 = a = 7 87 a = 986 Respostas: a) demonstração b) 986 FRENTE TRIGONOMETRIA n Módulo 7 Funções Trigonométricas de um Ângulo Agudo ) Pitágoras: = + (AB) fi AB = sen B =, cos B =, tg B = =, sen C =, cos C = e tg C = x ) sen a = fi = fi x = 8 x ) cos a = 0,8 fi = 0,8 fi x = 6 0 ) 8 Observe na figura que o ponto A de início da busca é o centro de um quadrado, onde um dos vértices é o ponto N, local do naufrágio. Se AN = milhas, o último trecho percorrido pela equipe antes de atingir os naúfragos é lado de um quadrado de 0 milhas de lado. Assim, a equipe andou =. ( ) = ( + 0). 0 0 =. = 0 milhas e levou = horas. 0 ) sen 0 = fi = fi x = 6 x x 0 0 cos 0 = fi = fi x = fi x = x x

9 6) x x ) I) tg 60 = fi = fi x = y y y x x II) tg 0 = fi = fi x = Então 00 =. y fi y = 00 tg 60 = x 0 fi x = 0. fi x = 0.,7 fi x,6 ) 7) Seja x, em metros, o comprimento da sombra do edifício: tg 0 = fi = fi x =. fi x x fi x = ,7 6 x x sen 0 = fi = fi x =, 8) Seja x, em centímetros, a altura de cada degrau: ) I) cos a = fi sen a = 7x 7x II) sen a = fi = fi x = x I) tg a = fi x = a. tg a a II) A altura da árvore é,70 + x =,70 + a. tg a 9) Seja x, em metros, o comprimento do cabo. 0 0 I) sen 0 = fi 0, = fi x = 0 x x II) %. 0 = n Módulo 8 Funções Trigonométricas de um Ângulo Agudo (continuação) 0 III) 0 + = I) Pitágoras: (a) = a + x fi x = 8a fi x = a, logo o menor lado é a. II) Seja a o ângulo oposto ao menor lado: a cos a = fi cos a = a sen x + sec x + tg x cos x cos x ) = = cos x + cotg x cos x cos x + sen x + sen x + sen x cos x cos x = = = sen x. cos x + cos x sen x + sen x sen x =. = cos x cos x. ( + sen x) sen x =. = (sec x). (tg x) cos x cos x cos x. ( + sen x) sen x 9

10 ) f(60 ) = sen 60 + cos 60 + cotg cossec 60 tg 60 sec 60 f(60 ) = f(60 ) = f(60 ) = f(60 ) = ) sen a + cos a = m fi (sen a + cos a) = m fi fi sen a + sen a. cos a + cos a = m fi fi sen a. cos a = ) y = (sec a cos a). (cossec a sen a). (tg a + cotg a)= sen a cos a = cos a. sen a. + = cos a sen a cos a sen a cos a sen a sen a + cos a =.. = cos a sen a sen a. cos a sen a cos a =.. = cos a sen a sen a. cos a = sen a. cos a. = sen a. cos a sen a sen b cos a + cos b ) y = + = cos a cos b sen a + sen b (sen a sen b).(sen a + sen b)+(cos a + cos b).(cos a cos b) = = (sen a + sen b).(cos a cos b) (sen a sen b) + (cos a cos b) = = (sen a + sen b).(cos a cos b) = = 0 (sen a + sen b).(cos a cos b) 6) Para tg x = t, temos: y = m sen x + sen x. cos x sen x cos x tg x + tg x = tg x = t + t t sen x sen x. cos x + cos x cos x = sen x cos x cos x cos x t. (t + ) = (t + ).(t ) t = t = tg a + tg b tg a + tg b 7) = = cotg a + cotg b + tg a tg b tg a + tg b tg a. tg b = = (tg a + tg b). = tg a. tg tg b + tg a b (tg a + tg b) tg a. tg b 8) Para cos x =, temos: cossec x sec x sen x cos x y = = = cotg x cos x sen x cos x sen x sen x. cos x cos x sen x sen x = =. = cos x sen x sen x. cos x cos x sen x sen x = = = cos x 9) Para tg a =, temos: sen a cossec a sen a sen a y = = = sec a cos a cos a cos a sen a cos a sen a sen a = = = cos a cos a sen a cos a cos a cos a cos =. a = = sen a sen a sen a = cotg a = = = 8 tg a 8 0) Para sen x =, temos: cos x sen x = (cos x + sen x).(cos x sen x) = =. ( sen x sen 7 x) = =

11 n Módulo 9 Arcos de circunferência 7) ) C =. π. R =. π. cm = 0. π cm Resposta: 0. π cm comp ( AB) cm cm ) a = fi, = r = = 0 cm r r, Resposta: 0 cm 0. π rad π ) I) a = 0 = = rad 80 6 comp ( AB) π comp ( AB) II) a = fi = r 6 cm comp ( AB) π. cm, cm = = =,7 cm 6 Resposta:,7 cm 8) I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min 0 min x. 0 fi x = = 7, = II) x + a = 0 fi a = 0 x = = 0 Resposta: 0 ) I) Se o perímetro do setor circular é igual ao perímetro do quadrado, então, x + R + R = R x = R II) Pela definição de medida de arco, em radianos, temos: x R a = = = R R I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min 0 min x. 0 fi x = = 7, = II) x + a = 90 fi a = 90 x = = 8 0 Resposta: 8 0 ) 9) comp ( AB) 0 cm a = = r 0 cm = Resposta: rad 6). π rad π, = = rad 80 rad 0,09 rad Resposta: 0,09 rad I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min 0 0 min x 0. 0 fi x = = 60 II) x + a = 0 fi a = 0 x = 0 = Resposta:

12 0) n Módulo 0 Arco ou ângulo Trigonométrico ) a) fi 000 = , portanto, a ạ 70 determinação positiva é I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min 0. 0 fi x = = 7, = 7 0 min x 60 II) x + a = 90 fi a = 90 x = = 8 0 ) I) Verdadeira, pois para o ponteiro das horas, temos: tempo ângulo 60 min 0 t. 0 t fi a = = graus t min x 60 II) Verdadeira, pois para t =, temos: a = graus = 6 III) Verdadeira, pois: b) 0 60 fi 0 =. ( 60 ) 0, assim, a ạ determinação negativa é 0, 0 portanto, a ạ determinação positi - va é 60 0 = 0 c) 8π 6π π = 6π π 8π π fi =. π +, portanto, a ạ determinação positiva é Respostas: a) 80 ; b) 0 ; c) π π ) Os arcos côngruos de 60 são do tipo 60 + n. 60, com n Œ. Assim, os arcos positivos menores que 00, são: I) Para n = fi = 00 II) Para n = fi = 660 III) Para n = fi = 00 IV) Para n = fi = 80 Resposta: 00, 660, 00 e 80 π ) a) n. π (n Œ ) b) + n. π (n Œ ) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min fi x = = min x 60 Portanto, x + a = fi + a = 6 a = IV) Verdadeira, pois em minutos o ponteiro dos minutos percorre = da volta, assim, a extremidade descreve 60 um arco de.. π. R =..,. 0 cm =,6 cm, pois R = 0 cm é a medida do ponteiro e corresponde ao raio da circunferência. π c) π + n. π (n Œ ) d) + n. π (n Œ ) e) 0 + n. 60 (n Œ ) f) 00 + n. 60 (n Œ ) π ) a) + n. π (n Œ ) b) n. π (n Œ ) c) π π + n. π (n Œ ) d) + n. π (n Œ ) e) n. π π π (n Œ ) f) + n. (n Œ ) g) ± π π + n. π (n Œ ) h) ± + n. π (n Œ ) i) ± 0 + n. 60 (n Œ )

13 ) FRENTE GEOMETRIA PLANA n Módulo 7 Relações Métricas no Triângulo Retângulo ) Sendo x o comprimento do cabo de energia, em metros, temos: x = x = x = 00 fi x = 0 ) Sendo x a medida, em metros, de cada lado não-paralelo do trapézio isósceles, temos: x + x = 0 m x = 0 m 6) 7) comp ( AB) 0 cm a = = = r cm Resposta: rad No triângulo ABC, sendo h a medida em metros do trapézio, temos: h + (8 m) = (0 m) fi h = 6 m ) De acordo com o Teorema de Pitágoras, tem-se: r = (r ) + 0 0r = r =, ) I) Se a corda AB mede 0 cm, então, o triângulo OAB é equilátero, portanto, A ^OB = a = 60 = comp ( AB) π comp ( AB) II) a = fi = r 0 cm comp( AB) 0 π = cm Resposta: 0 π cm π rad De acordo com o Teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo OCE, tem-se: (OE) = (OC) + (CE) Assim: (OE) = (8) + (8) (OE) = (OE) = 6 fi OE =

14 ) Fazendo AB = x, tem-se a figura a seguir: Logo, x 0 x = 9 x x = 9 n Módulo 8 Lugares Geométricos e Pontos Notáveis nos Triângulos x + 0 = 6 x + 00 = 676 x = 76 fi x = ) 6) Utilizando a relação (HIP). (ALT) = (CAT). (CAT), temos: 6. h = 9. h = = 7, 7) I) Pelo teorema da bissetriz interna no ABC temos: = 8x = 60 6x x = 60 x = x 0 x 7 Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo sombreado, tem-se: R R a + = + (R a) a R R + ar + = + R ar + a ar = R ar ar = R a = R a = R ) II) Sendo y, em centímetros, a medida da bissetriz AS, pela lei dos cossenos no triângulo ABS, temos: y = cos ^B 7 7 y = y = 6 + y = fi y = ) r = h =. fi r = 6 Se h é altura do triângulo ACB relativa ao lado CB, e se x é a medida de CD, então: I) No triângulo ADC, tem-se h + x = h = 9 x II) No triângulo ADB, tem-se h + (6 x) = h = x 0 x ) O circuncentro de um triângulo obtusângulo é um ponto da região exterior do triângulo.

15 O ortocentro do triângulo obtusângulo é um ponto da região exterior do triângulo.. R = h =. fi R = 7) ) Se NT é a bissetriz de M ^NP e PT é a bissetriz de M^PN, então: I) x + y + 0 = 80 x + y = 0 II) a + x + y =80 a + (x + y) = 80 a +. 0 = 80 a = 80 8) sen 0 = = d = d d ) 6) 6 R = h =. = Sendo r o raio do círculo e L o lado do triângulo equilátero de altura h, todos medidos em metros, temos: I) r =. r = L II) r =. h fi r =. fi L fi =. L = n Módulo 9 Ângulos na Circunferência e Potência de Ponto 0 ) x = = 6, pois x é um ângulo inscrito. ) x = = 6, pois x é um ângulo excêntrico interior.

16 00 0 ) x = =, pois x é um ângulo excêntrico exterior. 7) ) PA. PB = PC. PD fi. 6 = x. x = 60 x = = 80 8) ) + I) b = = 0 II) b + x = 80 fi 0 + x = 80 x = 0 PA. PB = PC. PD fi. =. ( + x) 6 = + x x = 6) 9) (AB) = AC. AD fi 8 = x. (x + x) 6 = x x = fi x =, pois x > 0 0) Considerando que PA é tangente à circunferência no ponto A e PA =. PC, então: (PA) = PC. PB fi (. PC) = PC. PB 9. (PC) = PC. PB 9. PC = PB 80 x = = 0 6

17 n Módulo 0 Áreas das Figuras Planas ) II) A altura h, em metros, do triângulo equilátero, é dada por: L. 8. h = = =. III) Sendo A a área do quadrado, em metros quadrados, cuja diagonal, em metros, é d = h =, tem-se: d () 6. A = = = = ) I) CE = AB = m DE = m II) No triângulo ADE, tem-se: ( m) + h = ( m) h = m III) A área do trapézio é: (AB + CD). h ( m + 8 m). m S = = = 6 m ) Considerando as medidas em centímetros, tem-se: I) A área do quadrado ABCD é cm, assim, a medida do lado quadrado é l = cm II) BD = l = cm é a diagonal do quadrado BD III) EF = FG = = cm = cm I) x + h = x + h = 9 ( x) + h = 0x + x + h = 6 x + h = 9 0x + x + h = 9 x + h = 9 0x + 9 = 9 8 x + h = 9 + h 8 = 9 h = 9 9 x = 9 9 x = x = h = 9 x = h = 9 x = II) A área do trapézio, em centímetros quadrados, é: (0 + )... S = = = = 8 ) I) Sendo S = 6 m a área do triângulo equilátero de lado L, em metros, tem-se: L. L S = 6 =. L = 6 L = 8 IV) A área do triângulo EFG é dada por EF. FG. = cm = cm = cm = cm ) A área sombreada S corresponde à diferença entre a área de um quadrado de lado l = e da área de um círculo de raio R =, assim: S = l. π. R =. π. = π 6) A área S da coroa circular sombreada, em cm, corresponde à diferença entre a área do círculo maior, de raio cm, e a do círculo menor, de raio cm, assim: S = π. π. = π 9π = 6π 7

18 7) I) A diagonal do quadrado é d = R = II) A área pedida S corresponde à diferença entre a área do círculo de raio R = e a do quadrado de diagonal d =, assim: S = π. R d = π. = π Respostas: D 8) I) Se o lado do quadrado ABCD mede cm, o raio do círculo, em centímetros, é R = = II) A diagonal do quadrado menor, em centímetros, é d = R = III) A área pedida S, em centímetros quadrados, corresponde à diferença entre a área do círculo de raio R = e a do quadrado de diagonal d =, assim: d S = π. R = π. = π 9) A área S da parte sombreada corresponde à área do quadrado menor, cuja diagonal mede d = a, assim: d S = (a) = a = = a 8