5) [log 5 (25 log 2 32)] 3 = [log 5 (5 2 log )] 3 = = [log 5 (5 2 5)] 3 = [log ] 3 = 3 3 = 27

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1 MATEMÁTICA CADERNO SEMIEXTENSIVO D ) [log ( log )] = [log ( log )] = = [log ( )] = [log ] = = 7 FRENTE ÁLGEBRA n Módulo Logaritmos Definição e Existência ) a) log 8 = = 8 = = b) log 8 = = 8 = = c) log = = ( ) = = = = d) log 8 = 8 = ( ) = = = = e) log 9 7 = 9 = 7 ( ) = = = = f) log 8 () = 8 = ( ) = = = = g) log 7 (9) = 7 = 9 ( ) = = = = ) I) log = log = II) log = x x = ( ) x = x = x = x = 7) I) log () = x x = x = x = x = II) log = y y = y = y = III) log = 8 III) log log = = = IV) M = log () log log = + = + = + = = ) log = = = ( ) = = = = ) log 777 = = 777 = = ( ) = = ) Sendo b a base procurada, onde b 0 e b, temos: log b = b = b = b 8 8 = b = b = 8) I) log 8 x = y + x = 8 y + x = ( ) y + x = y + x = y + x y = II) log 9 y = x 9 9 y = x 9 ( ) y = x 9 y = x 9 y = x 9 x + y = 9 x y = III) x + y = 9 x y = y = x = x y = = y = 9) Se a e b são as raízes da equação x 7x + 0 = 0, então a. b = 0 Assim, log = log = log 0 = ab 0 0) Fazendo log a b = x a x = b, temos: a log a b = a x = b

2 ) log b 7 + log b log b = log b (7) + log b log b = log b ( ) + log b log b = log b + log b log b = log b ( ) log b = log b = log b = b = = b = b ) log (,9) log (,) = log,9 = log 8, Fazendo log 8 = x x = 8 ( ) x = x = x = x = Portanto, log (,9) log (,) = 7) log x = log y + log y + log y log x = log y + log y + log y log x = log (y y y ) log x = log y x = y (x) = y x = y x = y a 8) Se log c a =, log c b = e y = b c, então: b c log c y = log c = log c (a b. c. b. c ) = a b c b. c = log c (a. b. c. b. c ) = log c (a. b. c ) = = log c a + log c b + log c c = = log c a log c b log c c = =... = 9 = ) log b log a = log = = b = 8 a b a b a ) Se log 0 =,09, então: log 0, = log 0 = log 0 log 0 00 =,09 = 0,09 00 ) log m = log log m + log = log (m ) = m = 0 00 m = m = 9) Se log = x e log = y, então: log 7 = log ( ) = log + log = = log + log = x + y 0) log m log m = log log m log m = log log m = log log m = log log m = log m = ) log x = log b + log c log a log x = log b + log c log a log x = log (b c ) log a log x = log x = bc bc a a ) I) log ( + x) log (x) = log ( + x) log (x) = ( + log x) ( + x) = = x x ( + x) = 8x + x + x = 8x ( ) ± ± 8 x x + = 0 x = = Como a é o menor valor de x, temos que: a =

3 a + II) log = log = + = log = log = log = log = log ) x = log log 7 log = log 7 log = log log log log = log = log = log log log log = = ) x log (7 x ) + log + log ( x ) = 0 x [x. log 7 + log 7 log ] + x log = 0 x [x. log 7 + log 7 log + log ( 7)] = 0 x (x log 7+ log 7 log + log + log 7) = 0 x (x. log 7 + log 7) = 0 x log 7 (x + ) = 0 x = 0 ou x + = 0 x = 0 ou x = 7 ) log a + log a = log a + log a = log a a log a a log a log a log + = a log a + = log a a log a a log a + log a = 0 log a = log a = a = a = + ) Se log = a e log = b, então: log + log log = log + log log = log = log + log = log log = log + log = log = = = log a a ) I) log 0 = log 0 = II) Se a + b = 8ab, então: (a + b) log = log a + ab + b 8ab + ab = log = ab ab = log = log 0 = log ( 0) = log + log 0 = 0ab ab + 7 = + = = 7) x y = x y = log log x + log 9 y = y log x + = log 9 x y = log x + log y = x y = log x + log y = x y = log (x y) = x y = x y = x y = fi x x y = 7 x y = x = 7 x = 9 y = fi x + y = 9 + = = 8) I) Observe que: + = II) população atual: P população após ano: P população após anos: P t população após t anos: P. III) Devemos ter: P log t log t t = P t = = log t log = log = log t (log 00 log 9) = log t [ log( )] = log t ( log log ) = log t ( 0,0 0,8) = 0, t (0,0) = 0, 0, t = = 0,0 Resposta: t = anos ab 00 9

4 9) Para log 0 = m e log 0 = n, temos: log 0 log 0 ( ) log 0 + log 0 m + n log = = = = log 0 0 log 0 0 log 0 m log 0 0) I) log 8 = k log = k log = k log = log log log II) log = = = = log log k k II) log x + log( x) = 0 log x + x = 0 0 x + = x ( x + ) = ( x) x + = 0x + x x x = 0 x x = 0 x (x ) = 0 x = 0 ou x =. < x < III) fi x = 0 x = 0 ou x = x + x = 0 = log = log ( ) = [log + log ] k k k k k + k + = + = = k k k ) log x = log x + log 8 log x = log (x 8) x = 8x x 8x = 0 x (x 8) = 0 x = 0 ou x = 8 Pela condição de existência dos logaritmos, x 0. Assim, S = {8} ) I) p = log = p log 00 log 0 log 0 log 00 = = = = log p p log ( ) [log + log ] [p + ] = = = = p p p n Módulo Equações e Inequações Logarítmicas ) log x + log (x ) = log log [x (x )] = log x (x ) = x x = 0 x = ou x = 9 Pela condição de existência dos logaritmos, devemos ter x, então a única solução é x = 9. ) log (x + ) + log (x ) = x log x Pela condição de existência dos logaritmos, devemos ter: a) (x + ) 0 x b) (x ) 0 x c) x 0 e x Assim, (a) (b) (c) x Desta forma, log [(x + ) (x )] = x log x log (x ) = x = x = x = ± Pela condição de existência dos logaritmos, temos S = {} ) I) Condições de existência: < x < x + > 0 x > x > 0 x < p + p ) a) I) f(x) = log (9x ) = 9x = x = x = 9 Para x > 0, temos: x = = = V f = II) g(x) = log x = = x = = 7 V g = {7} x b) + f(x) + g(x) = + log (9x ) + log = x = + log 9 + log x + log x = = + +. log x. log x = + log x ). log y x + (log x y) =. log y x + = log x y x y = x y =. log y x + log y x = x y =. log y x = x y = log y x = x y = x = y x y = x = y y y = 0 x = y y = ou y = x =, pois x e y y = Assim, x + y = + = 0

5 7) log x + log y = log x log y = log x + log y =. log x = log x + log y = log x = log x + log y = x = fi + log y = V = {(; 8)} x = log y = x = y = 8 x = ()x = y 8) log (x ) log y = log x log = 9 x log = 9 x log = 9 9 x. log, = 9 x. 0,8 = 9 x = x = 0 0,8 ) x x + 0 x ou x, pois o gráfico de g(x) = x x + é do tipo: x = y. log (x ) log y =. log x = y + x log = log () y x = y + x x = y + x = y + x = y + y + = y + = y Logo, D(f) = x / x ou x ) x + x + 7 0, x, pois o gráfico de g(x) = x + x + 7 é do tipo: x = y + x + y = y = x = y = log x 9) log (x ) log x = log (x ) = log log (x ) log (x ) log x = log (x ) x log x = log (x ) log x = = = x x + = x x 8x + = 0 8 ± 8 8 ± x = = x = +, pois x > (x ) x Assim, temos: D(f) = ) O campo de definição de uma função é o conjunto para o qual a função está definida. Em outras palavras, o campo de defi - nição é o mesmo que o domínio da função. Desta forma, pela condição de existência dos logaritmos, temos: D(f) = {x x x + 0 e x + 0 e x + } Assim sendo: a) x x + 0 x ou x, pois o gráfico de g(x) = x x + é do tipo: 0) Sendo log, = 0,8, temos: x log x log x = 9 log = 9 log = 9 x x b) x + 0 x c) x + x 0

6 De (a) (b) (c), temos: Portanto, temos a seguinte figura: (AC) = + 8 AC = + AC = 80 = ) Portanto, D(f) = x / x 0 ou 0 x ou x ) Se os pontos (, ) e (, 0) pertencem ao gráfico de f(x) = a b log x, temos: I) f() = a b log = a b 0 = a = II) f() = 0 b log = 0 b log = log b = log b = Logo, a + b = + = ) A CDE = 0% de A ABDE ( k) ( log k) 0 (log k + ) ( k) = 00 log k = (log k + ) ( log k) = log k + 0 log k = log k + log k = 8 log k = log k = k = k = k = 8 7) Fazendo x = 0 em (I), temos: y = 0 y = OP = Fazendo y = 0 em (II), temos: log x = 0 x = 0 x = OQ = Desta forma, A(, ) Fazendo x = em (I), temos: y = = D(, ) Fazendo y = em (II), temos: log x = x = x = 9 B(9, ) e C(9, ) Para x = a, temos: y = log (a + b) (a b) = 0 (a b) = (a + b) 0 a b = b = a Para x = a, temos: y = log (a + b) (a b) = log (a + a ) [a (a )] = log (a ) (a + ) = a + = (a ) a + = a a + a a = 0 a (a ) = 0 a = 0 (não serve) ou a =

7 8) I) log 0 x + log 0 (x + ) log 0 x + log 0 (x + ) log 0 0 log 0 [x (x + )] log 0 0 x (x + ) 0 x + x 0 x + x 0 0 x ) log 0 (x ) log 0 0 log 0 (x ) log x 0 x 0 n Módulo 7 Módulo de um Número Real Verificando as condições de existência dos logaritmos, tem-se: II) x 0 III) x + 0 x Assim, ) x x + < não tem solução, pois a 0, "a Œ ) A igualdade x x = x +, com x + 0, é verificada para: ọ ) x x = x + x x = 0 x = ou x = ọ ) x + x + = x + x + x = 0 x = 0 ou x = Assim, o conjunto solução da equação é { ; 0; } e a soma dos valores de x é igual a. Portanto, S = {x 0 x } ) 9) log 0, [log (0,) x ] log 0, (x + ) log (0,) x x + (x ) log 0, x + (x ) log x + (x ) ( ) log x + x + x + x x x Pela condição de existência dos logaritmos, devemos ter: x + 0 x Portanto, S = x x 0) I) log (x + ) log (x ) log log x + x x + x + 0 x x V = x Œ x < ou x > ) I) x + = 0 x = II) x + x + x + (x ) x x x ( x + 7). (x ) 0 x 7 II) Analisando a condição de existência dos logaritmos, te - mos: x + 0 x 0 x x Portanto, S = 7 ; x Assim, x + x + x 7 7

8 ) I) x + = 0 x = II) x 7 + x + 0 9) I) x + = 0 x = II) Se x fi f(x) = x. x + = x. (x + ) III) Se x fi f(x) = x. x + = x. ( x ) IV) O gráfico da função definida por x. (x + ), para x f(x) = x. x + = é: x. ( x ), para x Assim, x 7 + x + 0 x ) V = {x Œ / x } Resposta: V = {x Œ x } 7) I) x 0 fi ( + x) ( x) 0 x 0 x e x 0 0 x. II) x 0 fi ( + x) ( ( )) 0 ( + x) ( + x) 0 ( + x) 0 "x Œ e x 0 fi x 0 O conjunto solução da inequação é S = {x Œ x } 8) Lembrando que x x = se x 0 e x x = se x 0, temos: ) a 0 e b 0 fi a b ab + a b ab = + = ) a 0 e b 0 fi a b ab + a b ab = + ( ) ( ) = ) a 0 e b 0 fi a b ab + a b ab = ( ) + () ( )= 0) a) é falsa, pois se x = e y =, tem-se x < y e x > y b) é verdadeira c) é falsa, pois se x = e y =, tem-se x + y = = e x + y = + = 7 d) é falsa, pois x 0 para todo x Œ e) é falsa, pois se x < 0, então x = x ) x < < x < < x < < x < ) x x x 8 x ) x x ou x ) x x + < < x x + < < x x + x x + < x x + > 0 x x + < 0 x < ou x > < x < ou < x < < x < ) I) O gráfico da função g: definida por g(x) = x é a b ab ) a 0 e b 0 fi + = ( ) + ( ) (+ ) = a b ab Então, sendo a e b dois números reais diferentes de zero, a a b ab expressão algébrica + resulta ou. a b ab 8

9 x II) O gráfico da função h: definida por h(x) = é III) Se < x <, tem-se x x < 0 e x x f(x) = (x x ) = = x x x x Assim, o gráfico da função f é: III) O gráfico da função f: definida por f(x) = x f(x) = x é n Módulo 8 Divisão em, Múltiplos e Divisores em 7 b ) fi b = 7 7 = b b = < b b > Resposta: ) I) O gráfico da função g(x) = x x + é x ) fi não existe x 7 = x x = < x x > Resposta: não existe ) x = x x = 0 8 < x x > fi x = Resposta: II) O gráfico da função f(x) = x x + = x x + é ) I) a b a = b. + a b = < b b > II) a + b a + = b. a b = 0 0 < b b > 0 III) a b = a b = a = a b = a + b = fi b = b > b > fi a. b =. = Resposta: 7) I) x x = 0 x = ou x = II) Se x < ou x >, tem-se x x > 0 e x x f(x) = x x = = x x x x x y x = y. + x y = ) I) < y y > II) x y + x = (y + ). + x y = 8 < y + y > III) x y = x + y = x = x y = 8 x y = 8 fi y = y > y > fi x + y = + = 8 Resposta: 8 9

10 ) Sendo x o maior e y o menor dos números, tem-se: I) x + y = x y x + y II) = = = = x y Assim, = 7 x = e = 7 y = 98 8 Portanto, a soma do maior com a metade do menor é y 98 x + = + = + 9 = 7 Portanto, para n =, tem-se a =. = 0 e b =.. = 0 Resposta: a = 0 e b = 0 ) ) mdc(a,b). mmc(a,b) = 90 =.. 9 mdc(a,b) = e mmc(a,b) =.. 9 ) a + b = a. b =.. 9 a = ou a = 8 b = 8 b = ) a b = a b 7) I) 8 a = b. 8 + a 8b = < b b > II) a + b = a + b = a 8b = III) a + b = a + 8b = a + b = a = 80 b = b > b > Portanto, a diferença entre o dividendo e o divisor é a b = 80 = 8 8) Se a e b são dois números naturais tais que a b =, então (a b). (a + b) =. Dessa forma, podemos ter: ) ) ) a b = fi a a + b = a b = a + b = fi a = 7 e b = fi (a + b) = (7 + ) = a b = fi a a + b = 8 ) a b = a + b = fi a = e b = fi (a + b) = ( + ) = 9) Sendo a e b dois algarismos do sistema decimal de nume ra - ção, com a 0, temos que (abab) 0 = 000a + 00b + 0a + b = 00a + 0b = = 0 (0a + b). Portanto, números da forma (abab) 0 são divisíveis por 0. 0) I) Decompondo 00 em fatores primos, tem-se que 00 =.. II) O número de divisores de 00 é dado por n[d(00)] =. ( + ). ( + ). ( + ) =... = 0 Resposta: 0 ) Como é um número primo e observando que =, o número de divisores é dado por n[d()] =. ( + ) =. = Resposta: ) I) a = n. e b =.. n, então, a. b = n.... n = n +.. n + II) Se ab possui 8 divisores naturais, então: (n + + ). ( + ). (n + + ) = 8 (n + ).. (n + ) = 8 (n + ) = 9 fi fi n + = n =, pois n > 0 ) I) mdc(0, 00) = a II) mmc(0, 00) = b III) a. b = mdc(0, 00). mmc(0, 00) = = =..... =.. ) I) mdc(x; y) = II) mmc(x; y) = 78 =.. III) mdc(x; y). mmc(x; y) = x. y =. 78 =.. IV)Como x e y são compostos por dois fatores primos e x < y, conclui-se que x =. = e y =. = e, portanto, x y = = = 0 ) mmc(0,8,7) =.. = 70, pois: 0,8,7,,,,8,, 9,, 9,,,,,, 7) O lado de cada lajota quadrada, em centímetros, deve ser di visor natural de 00 e 00 e, portanto, divisor do mdc(00, 00) = 00. Os divisores naturais de 00 são,,,, 0, 0,, 0 e 00. Resposta:,,,, 0, 0,, 0 e 00. 8) O número de páginas de cada fascículo deve ser divisor na - tural de e 0 e, portanto, divisor do mdc(, 0) =, pois: Os divisores naturais de são,,, 8, e. n 9) I) n II) 0 n + 0 n + 0 0

11 n n + III) 0 IV) n + é múltiplo comum de, e, então, o menor valor de n é tal que n + = mmc(; ; ) = 0, portanto, n + = 0 n = 9 0) A senha de algarismos, todos diferentes de zero, é do tipo a b c. De acordo com o enunciado, devemos ter: a a + b + c + = 9 a a + b + c = a = b = c = ) I) 0, = II) x = 0, 9 = 9 = 9 = = 9 ) N =, = + 0, = + 99 = = = = Resposta: 99 +, + 0, 9 ) 0, = = = = a = = = com a e b primos entre si, então, a =, 0 90 b b = 90 e b a = 79 ) Para a = 0 9 e b =. 0 0, tem-se: b =. 0 0 = =.. a =. a 0 Assim, b =. a a = b ) a + b = 0 0b + a = 0a + b + a + b = 0 9a + 9b = a + b = 0 a + b = a = b = 8 Assim, o número de algarismos (ab) é 8. ) Considerando o número de algarismos (abc), tem-se: a + b + c = 9 b c = a b + b + c = 9 + b + b = 9 c = b b a = a = b c = b b a = b + b = 8 c = b a = b b = c = 0 a = Assim, o número de algarismos (abc) é 0. Resposta: 0 7) Considerando o número de algarismos (ab), tem-se: b = a 0b + a = 0a + b = 7 b = a 9a + 9b = 7 b = a a + b = b = a a + a = a = b = Assim, os números são e. A diferença entre os dois é do primeiro, pois = 7 e. = 7 8) Considerando o número de algarismos N = (mcdu), tem-se: c = d + m d + u = c + m c + m = 8 u + d + m = Substituindo-se a ạ equação na ạ, tem-se: c = d + m c = d + m d = d + u = c + m d + u = c + m u = fi N =7 c + m = 8 c = 7 c = 7 c + m = m = m = FRENTE ÁLGEBRA n Módulo Propriedades da Progressão Aritmética e Soma dos Termos r + r ) r = r = r r = r = ) I) Se a for a idade do filho do meio e r for a razão, podemos re presentar essas idades por a r; a r; a; a + r; a + r II) Pelo enunciado: (a r) + (a r) + a + (a + r) + (a + r) = 00 (a + r) (a r) = a = 0 r = III) As idades são: ; 7; 0; ;. IV) A idade do ọ filho é. ) Sendo x a quantia emprestada por cada irmão, em milhares de reais, tem-se: I) ( x; + x; 7 x) é uma P.A., então x + 7 x + x = 8 + x = x x = x =

12 II) O valor emprestado, acrescido de 0% é dado por x.,0 =..,0 = 9, III) 9, milhares de reais = 9 00 reais ) Na P.A., a 9 + a n 8 = a + a n, pois 9 + n 8 = + n, assim: a 9 + a n 8 = (x ) + (x + ) = = x x + x + x + x + x + = x + x ) a + a n = a + a n, pois + n = + n. Portanto, a + a n = a + a n = 0 0) Os números naturais n, 00 n 999, que, divididos por 9, deixam resto, são os termos da progressão aritmética: (0; 0; 9;...; 99), de razão r = 9 Fazendo a = 0 e a p = 99, tem-se: a p = a + (p ). r fi 99 = 0 + (p ). 9 p = 00 (0 + 99). 00 e S p = S 00 = = 0 ) I) Se (a, a, a,, a ) forem os primeiros termos de uma progressão aritmética, de razão, que representam os preços dos DVDs, então a = a + ( ). a = 7a a = 8 a = ) Os n primeiros números ímpares (,,,..., n ) formam uma progressão aritmética de primeiro ter mo a =, milésimo termo a 000 =. 000 = 999, e cuja soma é dada por: (a + a n ). n ( + 999). 000 S n = S 000 = S 000 = ) II) A soma do primeiros termos da progressão aritmética (8, 0,,,, ) é 8 + S =. = 800 7) Observando que 00 7 e 0 7 concluímos que o primeiro múltiplo de 7 após o 00 é a = 00 + (7 ) = 0 e o múl tiplo de 7 que antecede o 0 é a n = 0 =. A soma pedida é, portanto, (0 + ) S n = =. n Como a n = a + (n ). r, temos que = 0 + (n ). 7 n = 0 n = (0 + ) Então, S n =. 0 = 7. = 7 8) S = (a + a ). = 7 (a + a ) a = = a = 9) Se T n representa o enésimo número triangular, então T = T = + T = + + T n = n ( + 00) Portanto, T 00 = =. 00 = 00 ) Observe na figura que o ponto A de início da busca é o centro de um quadrado, onde um dos vértices é o ponto N, local do naufrágio. Se AN = milhas, o último trecho percorrido pela equipe antes de atingir os naúfragos é lado de um quadrado de 0 milhas de lado. Assim, a equipe andou =. ( ) = ( + 0). 0 0 =. = 0 milhas e levou = horas. 0 S = a =. +. = S = a + a =. +. = Portanto, a = a = e, a + a = a = 9 consequentemente, r = a a =.

13 ) a) a + a 9 = a + a + 8r = a + r + a + 7r = a + a 8 (a b) S 9 = a 9 ). 9 = 7 87 e como a + a 9 = a + a =. a, tem-se:. a. 9 = a = 7 87 a = 98 Respostas: a) demonstração b) 98 n Módulo Progressão Geométrica Definição e Propriedades ) Por exemplo, q = e a = (a n ) = ( ; ; ; 8;...) estritamente decrescente. a 8 9 V) A relação pedida é = = = 8 b 7) Na P.G.(; a; ), tem-se a = e q = a. Se a 9 =, então: a 9 = a. q 8 fi =. a 8 8 = a 8 8 a = ± 8 = ± 8) A cada ano que passa, o valor do carro passa a ser 70% do valor do ano anterior (00% 0% =70%). Se v é o valor do ọ ano, no oitavo ano, o car ro estará valendo a 8 = a. q 7 = v. (0,7) 7 = (0,7) 7. v ) Considerando a P.G. (0 000; 000; ), a razão é a 000 q = = =, e o terceiro termo é a a = a. q = 000., = 00 9) Sendo a =, q =, a n = 79 e a n = a. a n, resulta 9 79 =. n. = n 8 = n n = 8 n = 9 9 ) A sequência em questão é uma progressão geométrica de ọ termo a = e razão q =. Como a n = a. q n, o ọ termo é a = a. q 0 =. 0 = 0. 0 = 0. 0 = 087 e < 087 < ) Na progressão geométrica dada tem-se a = e q = e, utilizando o termo geral a n = a. q n, resulta a = a. q 0 =. 0 = = = Resposta: 0 0) Se ( ; ; x) é uma P.G., então: () =. x =. x x = =. = = = = 9 ) Se x, x +, x estão em P.G., nesta ordem, então (x + ) = x (x ) x + x + = x x x + = x 8x = x =. 8 ) Em 90, a pintura valia 00 dólares. Em 9, a pintura valia (. 00) dólares. Em 9, a pintura valia (. 00) dólares. Em 00, a pintura valia ( 0. 00) dólares = 000 dólares. ) Se (log a; log b; log c) é uma P.A., então: log a + log c log b =. log b = log a + log c log b = log(a. c) b = a. c fi (a; b; c) é uma P.G. ) I) horas = 80 min = 9. 0 min II) Após horas, o número de bactérias da espécie que divide-se em duas a cada 0 minutos, é o 9 ọ termo da P.G. (,,, ), assim, a 9 = a. q 8 =. 8 = 8 III) horas = 80 min =. 0 min IV) Após horas, o número de bactérias da espécie que divide-se em duas a cada 0 minutos, é o ọ termo da P.G. (,,, ), assim, b = b. q =. = ) Se ( + x; + x; + x) é uma P.G., então: ( + x) = ( + x). ( + x) 9 + x + x = + x + x + x x = Assim, para x =, tem-se a P.G. (; ; 9), cuja razão é 9 q = = =

14 ) I) Se ; a; 7 é uma P.G,. com a > 0, tem-se: a = a. q 7 =. q q = 8 fi q = 9, pois a > 0 II) Se (x; y; z) é um P.A. com x + y + z = e razão r = q = 9, tem-se: x + y + z = y + y + y + = x = y 9 x = y 9 z = y + 9 z = y + 9 y = y = x = y 9 x = z = y + 9 z = ) Na P.G.(; ; 8; ), temos a = e q =. Então, a = a. q 0 =. 0 O produto dos primeiros termos da P.G. é P = (a. a ) = (.. 0 ) =. 0 = =. 0 e todos os termos são positivos. Resposta: P =. 0 a = ) I) fi a n = a. q n = n = q = II) P n = (a. a n ) n = 9 fi n = 9 n n = 9 n n = 9 n n = 0 fi fi n =, pois n > 0 n Módulo 7 Produto e Soma da Progressão Geométrica e Séries Geométricas a. (q n ) ) Na P.G. (; ; ; 8; ; ), sendo S n =, tem-se: q a. (q 0 ). ( 0 ) S 0 = = = 0 = ( ) = q n n ) A quantidade de área desmatada a cada ano, em km, são os termos da progressão geométrica (; ; ; ; ). A área total desmatada nos n anos em que ocorreram desmatamentos, em km, é a soma dos n primeiros termos dessa progressão. Desta forma: a. [ n [q n ] ] S n = = = 8 q n = 7 n = 8 = 7 n = 7 Resposta: n = 7 ) O número de gotas que vazaram a cada hora são os termos da progressão geométrica (; ; ; 8; ) Durante as horas do dia vazaram ) S =. ( ) a = gotas, correspondente a = 0 litros, ou seja, 0 litros. a. (q n ) S n = q q = S n = 80. ( n ) fi 80 = n = 0 n = n = 8 n = 8 ) I) a = 0 a = 0 a. q = 0 a. q = 0 a q 0 = = q = 8 q = a q 0 q 8 II) a. q = 0 fi a. ( ) = 0 a = 0 0. [( ) 8 ] 0 III) S 8 = = = 80 7) Sendo a =, a n = e S n = 8, tem-se: a I) S n =. (q n ) a q n a = = q q ) I) P.G.(; ; 9; ) q =. ( 7 ) 8 II) S 7 = = = 09 a q n. q a a n. q a = = fi q q q fi 8 = 8q 8 = q q 8q = q =

15 II) a n = a. q n fi =. n = n fi = n = n n = III) Para q = e n =, tem-se q > n 8) Para x 0 = e x n = a. x n, tem-se: x = a. x 0 = a. = a x = a. x = a. a = a x = a. x = a. a = a Assim, a sequência (x ; x ; x ; ) = (a; a ; a ; ) é uma P.G. de primeiro termo x = a e razão q = a a) Quando a =, tem-se a P.G. (; ; ; ), assim, x = x. q 0 = a. a 0 = a = = 08 b) Quando a =, tem-se a P.G. (; ; ; ), assim,. ( 8 ). ( ) x + x + + x 8 = S 8 = = =. 0 = = 980 Resposta: a) x = 08 b) x + x + + x 8 = 980 9) I) = = 9 II) Para poder fazer o empilhamento indefinidamente, h. Portanto, o menor valor é. A soma S dos perímetros da infinidade de triân gulos cons - truídos, em centímetros, é dada por: S = S =. ( ) =. = = ) A soma das áreas dos infinitos círculos é S = , que é a soma dos infinitos termos da P.G. em que a = 9 e q =. a Logo, S = 9 9 = = = = q a a ) I) S =, em que a = e q = fi q a fi S = = a II) log S = fi log = = a = a a 0) Os triângulos equiláteros construídos de acordo com o enunciado terão as medidas dos lados constituindo uma progressão geométrica de primeiro termo cm e razão, isto é: (,,, ). a ) I) S =, em que S = e q 8 a = 8 fi = q 8 8 = q q = 8 q = q = II) O quinto termo dessa progressão é a = a. q = 8. = 8. = x x x x ) x = 0 = x = 0 x =. 0 x = 0

16 ) x x x x x 9... = 7 x x x x = 9 7 x x = x x + = 0 x = ou x = O conjunto solução da equação é ;. n Módulo 8 Matrizes Definição e Operações ) Se a matriz A é de ordem x e a ij = i. j, então: A = a a a = = a a a = i j, se i j ) A matriz de ordem x com a ij =, é: i + j, se i = j a a a = = a a a = 0 x ) I) B = B t = 0 II) A B t = = x + = x = 7) + = x y 0 + y = y = z t + 0 = z z = = t t = 8) Lembrando que o produto de matrizes de ordens n x m e p x q existe se m = p e resulta numa nova matriz de ordem n x q. Pode-se observar que: A n x m. B p x q = C n x q iguais resultado I) Verdadeira, pois A x. B x = C x = x II) Falso, pois A x. B x não existe ) A + B = + = 0 III) Verdadeira, pois A x. B x = C x = x X A B + X ) I) = + C X A = B + X + C X = A + B + C II) Para as matrizes A, B e C dadas no enunciado, tem-se: X = = 0 = + + = ) Se A é uma matriz x e B uma matriz n x m, tem-se: I) Existe A. B se, e somente se, n = II) Existe B. A se, e somente se, m = 0) ( ). = ( ) = () ) B A =. = 0 0 = = ) I) AB =. = 0 II) BA =. 0 = 0 7 III) AB BA = =

17 ) I) Se A é uma matriz x e a ij = ( ) j, tem-se: A = =... a a a II) Se B é uma matriz x e b ij = ( ) i, tem-se: B = =.. b.... b III) O elemento c da matriz C = A. B é dado por: c = a. b + a. b + a. b = ( ). ( ) +. + ( 8). ( ) = = = b ) Sendo A = e A.B = 8, devemos ter B = a b c, tal que: d e f b c. = fi e f 8 a d fi a + d = a + d = a = d = Portanto, a soma dos elementos da primeira coluna da matriz B é a + d =. ) Para A = e I =, tem-se: 0 0 FRENTE TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA ANALÍTICA n Módulo Funções Trigonométricas de um Ângulo Agudo ) C =.. R =.. cm = 0. cm Resposta: 0. cm comp ( AB) cm cm ) a = fi, = r = = 0 cm r r, Resposta: 0 cm 0. rad ) I) a = 0 = = rad 80 ) comp ( AB) comp ( AB) II) a = fi = r cm comp ( AB). cm, cm = = =,7 cm Resposta:,7 cm I) A = A. A =. = II). A =. = 8 III). I =. = IV) A +. A. I = + = I) Se o perímetro do setor circular é igual ao perímetro do quadrado, então, x + R + R = R x = R II) Pela definição de medida de arco, em radianos, temos: x R a = = = R R ) I) 0. = ) II) 0.. x y x y + y III) y = fi x y y = Logo, x + y = x = comp ( AB) 0 cm a = = = r 0 cm Resposta: rad 7

18 . rad, ) = = rad rad 0,09 rad 80 0) Resposta: 0,09 rad 7) 8) I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 0 min 0. 0 fi x = = 7, = 7 0 min x 0 II) x + a = 0 fi a = 0 x = = 0 Resposta: 0 I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 0 min 0. 0 fi x = = 7, = 7 0 min x 0 II) x + a = 90 fi a = 90 x = = 8 0 ) I) Verdadeira, pois para o ponteiro das horas, temos: tempo ângulo 0 min 0 t. 0 t fi a = = graus t min x 0 II) Verdadeira, pois para t =, temos: a = graus = III) Verdadeira, pois: I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 0 min 0. 0 fi x = = 7, = 7 0 min x 0 9) II) x + a = 90 fi a = 90 x = = 8 0 Resposta: 8 0 Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 0 min 0. 0 fi x = = min x 0 Portanto, x + a = 0 + fi + a = a = I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 0 min fi x = = 0 min x 0 IV) Verdadeira, pois em minutos o ponteiro dos minutos percorre = da volta, assim, a extremidade descreve 0 um arco de... R =..,. 0 cm =, cm, pois R = 0 cm é a medida do ponteiro e corresponde ao raio da circunferência. II) x + a = 0 fi a = 0 x = 0 = 8 Resposta:

19 ) a) fi 000 = , portanto, a ạ 70 determinação positiva é ) b) 0 0 fi 0 =. ( 0 ) 0, assim, a ạ determinação negativa é 0, 0 portanto, a ạ determinação positi - va é 0 0 = 0 c) 8 = 8 fi =. +, portanto, a ạ determinação positiva é Respostas: a) 80 ; b) 0 ; c) ) Os arcos côngruos de 0 são do tipo 0 + n. 0, com n Œ. Assim, os arcos positivos menores que 00, são: I) Para n = fi = 00 II) Para n = fi = 0 III) Para n = fi = 00 IV) Para n = fi = 80 Resposta: 00, 0, 00 e 80 7) ) a) n. (n Œ ) b) + n. (n Œ ) c) + n. (n Œ ) d) + n. (n Œ ) comp ( AB) 0 cm a = = = r cm Resposta: rad e) 0 + n. 0 (n Œ ) f) 00 + n. 0 (n Œ ) 8) ) a) + n. (n Œ ) b) n. (n Œ ) c) + n. (n Œ ) d) + n. (n Œ ) e) n. (n Œ ) f) + n. (n Œ ) g) ± + n. (n Œ ) h) ± + n. (n Œ ) i) ± 0 + n. 0 (n Œ ) I) Se a corda AB mede 0 cm, então, o triângulo OAB é equilátero, portanto, A ^OB = a = 0 = comp ( AB) comp ( AB) II) a = fi = r 0 cm rad comp( AB) 0 = cm Resposta: 0 cm 9

20 n Módulo Funções Trigonométricas no Ciclo Trigonométrico ) sen x = ) Para x variando de 0 a 0, a expressão ( sen x) assume valor mínimo quando sen x é máximo, ou seja, quando sen x =. Assim, para sen x =, tem-se sen x = = ) I) 90 = fi 0 é ạ determinação positiva II) sen 90 = sen 0 = sen 0 = Resposta: 7 7., ) I), II)., =,8 Para 0 x, temos x = ou x = Resposta: V = ; 7) sen x = 7 III), < <,8 fi < < fi 7 fi sen < sen < sen fi < A < 0 ) sen ; sen ; sen ; ; sen ; = n = ; ; ; é uma sequência estritamente decres - cente, de termos positivos e tende a zero. ) sen x = 0 Para 0 x, temos x = 7 ou x = Resposta: V = 7 ; 8) sen x = cos x = = = fi fi sen x =, pois x Œ ọ quadrante 9) x sen q fi x x x Resposta: x 0) cossec x = = sen x = sen x Para 0 x, temos x = 0 ou x = ou x = Resposta: V = {0; ; } 0

21 Para 0 x, temos x = ou x = Resposta: V = ; ) cos x fi. cos x fi fi. cos x + fi fi f(x) fi Im(f) = [ ; ] ) sen x = 7) Para "x Œ, temos: cos x 0 cos x 0 cos x + cos 8 x 8 Dessa forma: + =, 8) I) =,7 II), A solução geral da equação, nesses pontos, é: x = + n. ou x = + n. III),7 = 0,8 Resposta: x Œ x = + n. ou x = + n. (n Œ ) sen 90 + cos 0 + sen 70. cos 80 ) E = = cos 0 + sen ( ). ( ) = = = + 0 Resposta: ) Para x =, temos: cos x + sen x sen x y = = cos x + sen x cos + sen sen ( ) = = = + cos + sen IV) Observando a figura, tem-se: cos,7 < cos, < cos, < cos 0,8 fi fi cos < cos, < cos < cos Assim, se F(x) = cos x, conclui-se que F < F(,) < F( ) < F 9) cos x = ) Como cos x para "x Œ e >, não existe arco x tal que cos x = 7 ) I) = + fi é a ạ determinação positiva II) =. + fi é a ạ determinação positiva III) sen. cos () = sen. cos 7 = ( ). ( ) = Resposta: Para 0 x, temos x = Resposta: V = {}

22 0) cos x = A solução geral da equação, nesses pontos, é: x = ± + n. Resposta: V = x Œ x = ± + n, n Œ ) sen x. cos x = 0 sen x = 0 ou cos x = 0 Para 0 x, temos x = ou x = Resposta: V = ; ) sec x = = cos x = cos x A solução geral da equação, nesses pontos, é: x = 0 + n. = n. Para 0 x, temos x = 0 ou x = Resposta: V = {0; } Resposta: V = x Œ x = n., n Œ ) sec x = = cos x = cos x ) cos x = cos x = ± = ± = ± Para 0 x, temos x = ou x = Resposta: V = ; ) cos x = A solução geral da equação, nesses pontos é x = + n. Resposta: V = x Œ x = + n., n Œ ) Para x =, temos: A = sen x + cos x tg x = = sen + cos tg = + 0 = 0 Resposta: zero

23 7) Para x =, temos: x x sen +. tan. cos x +. = = =. =. sen +. tan = =. cos IV) < < fi sen 0 < cos 0 < tg 0 ) I) 0 = II) 80 = III) 70 = IV) cos 0 + sen 80 + tg 70 = = cos 0 + sen 90 + tg 0 = = 8) Se é raiz da equação tg x m. cos x + sen x = 0, então: tg m. cos sen = 0 () m. + = 0 m + = 0 m + = 0 m = Resposta: ) I) sen a < 0 fi a Œ ọ quadrante cos a < 0 II) cos b < 0 fi fi b Œ ọ quadrante tg b < 0 cos b < 0 sen b > 0 III) sen g > 0 fi fi g Œ ọ quadrante cotg g > 0 sen g > 0 cos g > 0 ) tg x = 0 9) Se tg x = 0 07 > 0, x pode pertencer ao ọ ou ọ qua - drantes, pois são os quadrantes nos quais a tangente é positiva. 0) Para x =, temos: y = cos x + sen x + tg x sec 8x = = cos + sen + tg sec = cos = = = 0 Para 0 x, temos x = 0 ou x = ou x = Resposta: V = {0; ; } ) tg x = ± tg x = ou tg x = ) I) sen 0 = sen 0 = II) cos 0 = cos 0 = III) tg 0 = tg 0 = Para 0 x, temos x = ou x = ou x = ou x = 7 Resposta: V = ; ; ; 7

24 ) I) cos a = sen a = fi cos a =, pois a Œ ọ quadrante sen a II) tg a = = = cos a 9 = = fi Para 0 x, temos x = ou x = Resposta: V = ; 0) tg x = 7) I) cos x = sen x = fi cos x =, pois x Œ ọ quadrante = = fi II) tg x = sen x = = cos x 8) cotg x = = tg x = tg x Para 0 x, temos x = ou x = Resposta: V = ; 9) cotg x = = tg x tg x = =. = A solução geral da equação, nesses pontos, é: x = + n. Resposta: V = x Œ x = + n., n Œ n Módulo 7 Funções Trigonométricas no Ciclo Trigonométrico ) Para cossec x =, tem-se: I) cossec x = fi = sen x sen x sen x = fi sen x = II) cos x = sen x = = III) tg sen x = x = = cos x IV). sen x 9. tg x =. 9. = = 0 9 sen x ) sen x = cos x = tg x = cos x

25 Para 0 < x <, temos x = ou x = Resposta: V = ; ) cos x + sen x = 0 sen x = cos x sen x = tg x = cos x A solução geral da equação é: x = + n. x = + + n. x = + n. Resposta: x Œ x = + n., n Œ x ) Para que a função f(x) = tg exista, devemos ter: x + n. x + n. (f) = + n., n Œ 7 Para x Œ [0; ], temos x = ou x = ou x =, portanto, soluções. ) sen x Para que a função f(x) = sen x + cos x exista, devemos ter sen x + cos x 0 sen x cos x sen x cos x tg x 7) A função y = tg(x 0 ) não é definida para x 0 = 90 + n. 80 x = 0 + n. 80 x = 0 + n. 90 Sendo 0 < x < 90, temos, para n = 0, x = 0 Resposta: 0 sen x cos x 8) tg x + cotg x = + = cos x sen x sen x + cos x = = sen x. cos x sen x. cos x sen x. cos x = 9) Sendo f(x) = sen x e g(x) = tg x, temos os seguintes gráficos: Assim, o domínio da função é x (f) = + n. (n Œ ) ) tg x = + n. Os pontos de encontro dos gráficos das funções são as soluções da equação f(x) = g(x), assim, temos: sen x sen x sen x = tg x sen x = sen x = 0 cos x cos x sen x = 0 sen x = 0 ou cos x = x = n. cos x Para 0 < x <, a equação não tem solução, ou seja, não exis - tem pontos de encontro dos gráficos. Resposta: zero

26 0) Se < y <, então: tg y = x + cotg y = x + = x + = x + tg y x + tg y = x + tg y = x + fi x + x + = 0 x = x = fi tg y = Resposta: x = e y = sec x + tg x = m. tg x = m n ) I) sec x tg x = n. sec x = m + n m n tg x = m + n sec x = II) sec x = + tg x fi tg y = x + m + n = + m n m + m.n + n m m.n + n = + m + m.n + n = + m m.n + n x = y = tg y = x + ) 9 cos x = ( ) cos x = cos x = cos x = cos x = O menor valor positivo de x para o qual cos x = é. cos x ( ) I) = cos ) x. cos x = = cos x cos x cos x. cos x cos x = 0. cos x cos x = 0 cos x. (. cos x ) = 0 cos x = 0 ou cos x = m.n = m.n = ) Considerando a função g(x) = x x +, tem-se: b I) A abscissa do vértice é x v = = = a II) A ordenada do vértice é y v = = = a Representando graficamente as funções g(x) = x x + e f(x) = sen x, temos: II) Para 0 x < cos x = fi x =, cos x = 0 não tem solução e ) Como sen t, o valor mínimo de P(t) é obtido quando sen t =, isto é: t = fi t = ) cos x + sen x = 0 sen x = cos x sen x = tg x = cos x Como os gráficos não possuem intersecção, a equação sen x = x + x f(x) = g(x) não tem solução. Resposta: zero

27 7 Para x Œ [0; ], temos x = ou x = ou x =, portanto, soluções. 7) sen x Para que a função f(x) = sen x + cos x exista, devemos ter sen x + cos x 0 sen x cos x sen x cos x tg x 0) sen x = sec x cos x sen x = cos x cos x sen x. cos x = cos x sen x. cos x = ( sen x) sen x. cos x = + sen x sen x. cos x sen x = 0 sen x. (cos x sen x) = 0 sen x = 0 ou cos x sen x = 0 sen x = 0 ou sen x = cos x sen x = 0 ou tg x = Assim, o domínio da função é x (f) = + n. (n Œ ) + n. 8) sen x + sen x + sen x = sen x = sen x = sen x = sen x = ou sen x = A solução geral da equação é x = n. ou x = + n. Resposta: x Œ x = n. ou x = + n., n Œ ) Para 0 x, temos: I) sen x = cossec x = II) cos x = sen 8 x = = fi cos x = 9 9 sen x III) tg x = = = =. = cos x A solução geral da equação é x = + n. Resposta: x Œ x = + n., n Œ. sen x. cos x tg x IV) A = = = cossec x = = = 9) cos x Para que a função f(x) = sen x exista, devemos ter sen x 0 sen x x + n. =. = Resposta: 7 7 (f) = + n, n Œ 7

28 ) sen x + sen x = 0 sen x. (sen x + ) = 0 sen x = 0 ou sen x = Para 0 x 0 x, tem-se: I) sen x = 0 fi x = 0 ou x = ou x = x = 0 ou x = ou x = II) sen x = fi x = x = III) V = 0; ; ;, portanto, são soluções para x Œ [0; ] Resposta: cos x + m. sen x = 0 ) I) cos x m. sen x =. cos x = m. sen x = II) sen x + cos x = fi + = + = + m = m m = m m = m = ± = ± = = ±. = ± Resposta: m = ± ) cos x sen x = cos x ( cos x) = cos x + cos x = 0 cos x = (impossível) ou cos x = x = n., n Œ Resposta: {x Œ x = n., n Œ } cos x = sen x = m m ) Sendo x um arco do ọ quadrante e cos x =, temos: I) sen x = cos x = = fi sen x = II) cos( + x) = cos x = = 7 III) cos( + x) + sen x = + = Resposta: 7 + ) I) sen x + cos x = fi (sen x + cos x) = sen x +. sen x. cos x + cos x = sen x + cos x =. sen x. cos x II) cos x + sen x. sen x. cos x =. sen x. cos x. sen x. cos x =. sen x. cos x = 0 sen x = 0 ou cos x = 0 sen x = 0 ou cos x = 0 x = n., n Œ Resposta: x Œ x = n., (n Œ ) 7 + 7) Para x dezenas de certo produto, o lucro L(x) em milhares de reais é obtido por L(x) = V(x) C(x). Para x =, resulta: L() =.. sen. cos. = =.. sen + cos = = = = Portanto, o lucro, em reais, obtido na produção de dezenas dessas peças é 000. x. 8) A função f(x) = sen, em que f(x) é o número de clientes, assume: I) número máximo de clientes, quando sen x. = (às 8 horas), igual a: f(8) = sen 8. = ( ) = 700 8

29 II) número mínimo de clientes, quando sen x. = (às horas), igual a: f() = sen. = = 00 Portanto, a diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do super mer cado, em um dia completo, é igual a 00. Para x Œ [0;], temos: 9 x = 0, x =, x = ou x = e = ) sen x 9) cos x = 0 fi cos x = fi x fi = ± + n., n Œ fi x = ± + n., n Œ Para x Œ [ ; ] e n Œ, temos: 0) x =, x =, x = Para 0 x <, temos x Resposta: V = x Œ x ) sen x Se x + y = 90, temos cos y = sen x. Então cos x = cos y cos x = sen x cos x = ( cos x) cos x = cos x = (x é agudo) Portanto: x = 0, y = 0 e y x = 0 ) Para 0 < z <, tem-se: sen z + sen z = 0 sen z = ou sen z = z = ou z = ou z = Para 0 x <, temos x Resposta: V = x Œ x ) cos x < 7 7 Assim, a soma dos possíveis valores de z em radianos é + + =, que corresponde a 0. ) Lembrando que sen( x) = sen x, "x Œ, temos: sen x sen( x) = 0 sen x + sen x = 0 sen x = ou sen x = 0 9

30 Para 0 x <, temos < x < Resposta: V = x Œ < x < Para 0 x <, temos < x < ou < x < Resposta: V = x Œ < x < ou < x < 7 7 ) cos x 9) Para que a função y = sen x exista, em, devemos ter sen x 0. Para 0 x <, temos 0 x ou x < Resposta: V = x Œ 0 x ou x < Assim, o domínio da função é: 0 + n. x + n. n. x + n. = {x Œ n. x + n. } (n Œ ) 7) tg x 0) I) Para que a função f(x) = sen x exista, em, devemos ter sen x 0 Para 0 x <, temos x < ou x < Resposta: V = x Œ x < ou x < 8) tg x < II) 0 + n. x + n. n. x + n. III) Sendo 0 x, temos: para n = 0 fi 0 x para n = fi x (f) = x Œ 0 x ou x ) Para que a função f(x) = sen x exista, devemos ter x 0 Resposta: + 0

31 ) I) sen x > Sendo 0 x <, temos: I) para n = 0 fi 0 x < II) para n = fi < x < III) para n = fi 7 < x < Resposta: 7 x Œ 0 x < ou < x < ou < x < II) cos x ) cos x > 0 sen x > III) + n. < x + n. cos x Resposta: x Œ + n. < x + n., n Œ ) tg x + > 0 As soluções da inequação são tais que: + n. < x < + n. + n. < x < + n. + n. < x < + n. 8 8 Resposta: x Œ + n. < x < + n., n Œ 8 8 ) <. tg x sec x <. tg x cos x + tg x <. tg x tg x. tg x + < 0 (tg x ) < 0, não tem solução Resposta: V = Ø As soluções da inequação são tais que: 0 + n. < x + < + n. + n. < x < + n. ) Sendo 0 x, então 0 cos x, assim: sen x. cos x I) senx. cos x cos x cos x tg x x <

32 n Módulo 8 Adição e Subtração de Arcos Arco Duplo ) sen 7 = sen ( + 0 ) = sen cos 0 + sen 0 cos = =. +. = + II) x = é solução da equação sen x. cos x, pois sen. cos. 0 é verdadeiro Portanto, de (I) e (II) concluímos que Resposta: V = x Œ x x ) Fazendo x = sen + cos, temos: I) x = (sen + cos ) = = sen +. sen. cos + cos = = + sen 0 = + = II) x = fi x = = =. =, pois x > 0 Resposta: 7) A equação x +. x + cos q = 0 não admite soluções reais se < 0, assim: ().. cos q < 0. cos q < 0 cos q > ) y = sen 0 cos 7 = sen( + 0 ) cos( + 0 ) = = sen. cos 0 + sen 0. cos cos. cos 0 + sen. sen 0 = = = =.. = Resposta: Para 0 q, cos q > 0 q < 8) cos x. (sen x + ) sen x. (sen x + ) sen x sen x + sen x + sen x + 0 (sen x + ) 0 sen x + = 0 sen x = ) tg a + tg b Como = tg (a b), + tg a. tg b para a = x + y e b = y obtém-se tg(x + y) tg y = tg(x + y y) = tg x + tg(x + y). tg y Resposta: tg x sen y = sen y = ) I) fi 0 < y < cos y = II) x + y = x = y fi sen x = sen y = = sen. cos y sen y. cos = A solução geral da inequação é x = + n. Resposta: V = x Œ x = + n., n Œ =.. = Resposta: 0 0

33 (x + y) = ) fi = fi tg x = tg x + tg y tg x. tg y tg x = + tg y fi = + tg y = 99 tg y tg y tg y + 99 tg y = 00 tg y = 0 tg y = 0, 7) I) sen(x + y) + sen(x y) = sen x. cos y + sen y. cos x + + sen x. cos y sen x. cos y =. sen x. cos y = sen x. cos y = sen(x + y) + sen(x y) = x. cos y = II) sen x + cos y = sen x + cos y =, pois 0 x < e 0 sen x = x = y < cos y = y = 0 Resposta: ; 0 8) I) sen 0 = sen 0 = II) E = sen(0 + a) + sen(0 a) = = sen 0. cos a + sen a. cos sen 0. cos a sen a. cos 0 = =. sen 0. cos a =.. cos a = cos a Resposta: cos a 9) Se cos x =, então: sen + x = sen. cos x + sen x. cos = =. cos x + 0. sen x = cos x = Resposta: 0) I) sen( x) = sen(0 x) = sen 0. cos x sen x. cos 0 = sen x II) sen( + x) = sen. cos x + sen x. cos = sen x III) sen x = sen. cos x sen x. cos = cos x IV) E = sen( x) + sen( + x) sen x + cos x = = sen x + ( sen x) cos x + cos x =. sen x Resposta:. sen x ) I) 8 =. + 0 II) 0 =. + 0 III) sen(8 a) = sen(0 a) = sen 0. cos a sen a. cos 0 = = sen a IV) cos a = cos. cos a + sen. sen a = sen a V) sec 0 = sec 0 = = = cos 0 VI) sen(8 a). cos a + sec 0 = cos n a fi fi sen a. sen a + = cos n a sen a + = cos n a sen a = cos n a cos a = cos n a n = Resposta: n = ) I) cotg a = tg a = II) cotg b = tg b = tg a + tg b III) tg(a + b) = = = = tg a. tg b IV) tg(a + b) = fi a + b =, pois a e b são agudos Resposta: ) Lembrando que cos 0 = e sen 0 =, tem-se:. sen x +. cos x = cos 0. sen x + sen 0. cos x = sen (x + 0 ) = x + 0 = 0 + n. 0 ou x + 0 = 0 + n. 0, n Œ x = 0 + n. 0 ou x = 90 + n. 0, n Œ Resposta: V = {x Œ x = 0 + n. 0 ou x = 90 + n. 0, n Œ } ) I) sen( x) = sen. cos x sen x. cos = sen x II) sen + x = sen. cos x + sen x. = cos x III) Se x =, tem-se:. cos. sen ( x). sen + x = =. ( ). sen x. ( cos x) =. sen x. cos x = sen(x) = = sen. 7

34 ) I) cos (90 + x) = sen x II) cos (80 x) = cos x III) cos (0 x) = cos x IV) cos (90 x) = sen x V) sen (70 + x) = cos x VI) sen (90 + x) = cos x VII) sen (0 + x) = sen x cos(90 + x) + cos(80 x)+cos(0 x) +. cos(90 x) VIII) = sen(70 + x) sen(90 + x) cos(90 x) + sen(0 + x) sen x cos x + cos x +. sen x = = cos x cos x sen x + sen x. sen x sen x = = = tg x. cos x cos x Resposta: tg x ) Se a + b = 0, então: (cos a + sen b) + (cos b + sen a) = = cos a +. cos a. sen b + sen b + cos b + +. cos b. sen a + sen a = = + +. (sen a. cos b + sen b. cos a) = = +. sen (a + b) = +. sen 0 = +. = + = 7) Se tg x = e tg y =, então: tg x tg y tg (x y) = = = = + tg x. tg y = = = ) I) sen x = sen x = sen + x = cos x cos x sen x II) cotg x = = cos x sen x III) cos(80 + x) = cos x IV) sec( x) = = cos( x) cos x sen x.cotg x V) y = = cos(80 + x). sec( x) 9) I) cos(x + ) = cos x II) sen + x = cos x III) tg ( x) = tg x IV) cos (x + ) + sen + x tg( x) + cotg x = = sen x cos x. cos x sen x = = = sen x cos x. cos x = cos x + cos x ( tg x) + cotg x = tg x + cotg x = sen x cos x sen x + cos x = + = = cos x sen x sen x. cos x sen x. cos x = =. sen x. cos x sen (x) 0) Se x Œ 0;, então: I) cos(x) = fi x = x = II) sen x = sen = sen x = ) I) fi x = 0 90 < x < 80 II) cos(x) = cos 00 = cos 0 = ) =. sen x. cos x + sen x cos x = sen x cos x sen x 0 cos x = sen(x) + (sen x + cos x) = sen(x) + = sen(x) ) I) 0 x 0 x II) sen x cos x = sen(x) = fi

35 fi x = ou x = x = ou x = III) + + = = = ) Para sen a =, tem-se: sen a + cos a = fi + cos a = cos 9 a = cos a = ± a) sen (a) =. sen a. cos a =.. ± = ± b) cos (a) = cos a sen 9 a = = 7 Respostas: a) ± ; b) ) I) sen x = fi cos x = 0 II) sen(x) =. sen x. cos x =. ( ). 0 = 0 Resposta: 0 ) Sendo cos x = e observando que cos(x) = cos x sen x = cos x ( cos x) =. cos x, tem-se: I) cos(x) =. cos 9 9 x =. = = 8 8 II) cos(x) =. cos (x) =. = = Resposta: 7 9) sen a cos a = fi (sen a cos a) = sen a sen a cos a + cos a = sen (a) = = sen (a) sen (a) = 0) y = + sen x. cos x = +. sen x cos x = + sen (x) Para 0 x 0 x, temos: 0 0 sen (x) sen (x) sen (x) + y 7 O maior valor que y pode assumir é, portanto, igual a. ) sen x = sen x. cos x = e cos x 0 cos x sen x cos x = e cos x 0 sen (x) = A solução da equação proposta é V = Ø, pois sen (x) ). cos (x) cos x =. (cos x sen x) cos x =. (. cos x ) cos x =. cos x cos x =. cos ± 9 x cos x = 0 cos x = fi 8 fi cos x =, pois cos x Como x Œ ]0; [, tem-se x = ou x = Resposta: {; } ) Sendo f(x) = cos(x) e g(x) = sen x, temos: f(x) + g(x) = cos(x) + sen x = = cos x sen x + sen x = sen x + = sen x. tg x a ) I) Sendo tg(x) =, fazendo x =, temos: tg x 7) y = (sen x + cos x) = sen x +. sen x. cos x + cos x = = (sen x + cos x) + (. sen x. cos x) = + sen(x) Resposta: + sen(x) 8) y = (sen x + cos x + ). (sen x + cos x ) = = (sen x + cos x) = sen x +. sen x. cos x + cos x = =. sen x. cos x = sen(x) tg a = a II) Para tg =, temos: a. tg a tg. tg a = = =

36 ) I) cos(x) = cos x sen x = sen x sen x =. sen x II) cos(x) +. sen x + = 0. sen x +. sen x + = 0 = 0, assim, não existe x que satisfaça a equação. ) cos x +. sen x + = 0 sen x +. sen x + = 0 sen x + = 0 sen x =, assim, a equação não tem solução. Resposta: nenhuma sen x cos x 7) I) tg x + cotg x = + = cos x sen x sen x + cos x = = sen x. cos x sen x. cos x sen x. cos x = II) sen (x) =. sen x. cos x =. = Resposta: 9) I) = + = + =. + II) y = sen cos + tg + tg = = cos sen + tg + tg = = cos. + + ( ) = cos + = = cos = Resposta: 0) y = sen a. cos a + sen a. cos a = = sen a. cos a. (cos a + sen a) = sen a. cos a =. sen a. cos a sen (a) = = =. sen(a) 8) I) cos x + = = cos. cos sen. sen = x x = 0. cos x ( ). sen = sen II) Sendo cos (a) =. sen x a, fazendo a =, temos: cos x =. sen III) Para cos x =, temos: x x x =. sen. sen = x x. sen x = sen = x sen x = ± = ± = ± sen x ) Lembrando que = tg x, cos x = e cos x sec x sec x = + tg x, para tg x = t, tem-se: sen x a) sen(x) =. sen x. cos x =.. cos x = cos x ) a) =. tg x. =. tg x. = sec x + tg x. t + t b) Se cos(x) = t, então: + t sen(x) + cos(x) = fi t t + = + t + t t + t = + t t t = 0 t (t ) = 0 t = 0 ou t = tg x = 0 ou tg x = x = n. ou x = + n., com n Œ. t Respostas: a) + t b) x = n. ou x = + n., n Œ Assim, cos x + = sen = ± x Resposta: ±

37 O triângulo ABD é retângulo em B, e tal que: BD = a = AB = a = AD = a = AB Portanto, cos BA^ D = = = AD b) Sendo M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD, tem-se que os triângulos MNB e MND são congruentes e re tângulos em N. sen a. (. sen a + ). (. sen a ) < 0. sen a < 0 sen a < 0 < a < ou < a < Assim: V = aœ0 < a < ou < a < Respostas: a) sen (a) =. sen a. sen a b) aœ0 < a < ou < a < ) cos (x) =. cos (x). cos(x) Fazendo x = 0 na igualdade acima, obtemos: cos(0 ) =. cos (0 ). cos(0 ). cos (0 ). cos(0 ) (/) = 0 No triângulo MNB, temos: MN =, NB = e MB = ( ) + MN Assim, cos BM^ N = cos q = = = MB e cos B ^MD = cos (q) =.cos q =. c) Como cos BA^D = = cos BM^ D = = 9 9 tem-se: = 7 =. 9 cos B ^AD > cos B ^MD fi B ^AD < B ^MD, pois a função cos seno é decrescente para ângulos agudos. 7 Respostas: a) b) 9 c) cos B ^AD > cos B ^MD fi B ^AD < B ^MD, pois a função cos seno é decrescente para ângulos agudos. ) a) sen (a) = sen (a + a) = = sen a. cos a + cos a. sen a = =. sen a. cos a + ( sen a). sen a = =. sen a. ( sen a) + sen a. sen a = = sen a. sen a + sen a. sen a = =. sen a. sen a b) Sendo 0 < a <, temos sen a > 0 e, portanto: sen (a) >. sen a. sen a. sen a >. sen a. sen a sen a < 0 Portanto, cos(0 ) é raiz da equação x x (/) = 0. Para as raízes racionais desta equação, temos as seguintes pos - sibilidades: ± ; ± /; ± /; ± /8. Testando estes oito valores, vemos que nenhum deles é raiz. Portanto, a equação x x (/) = 0 não possui raiz racional e como cos(0 ) é uma das raízes desta equação, não pode ser racional. ) a) cos (q) = cos (q + q) = = cos (q). cos q sen (q). sen q = = ( cos q ). cos q sen q. cos q. sen q = = cos q cos q sen q. cos q = = cos q. ( cos q sen q ) b) sen (q) = sen (q + q) = = sen (q). cos q + cos (q). sen q = = sen q. cos q. cos q + ( sen q). sen q = = sen q. cos q + sen q sen q = = sen q. ( cos q sen q + ) c) Para 0 < q <, temos: sen sen (q) cos (q) q +. cos q + = sen q cos q sen q +. cos q + = sen q. ( cos q sen q + ) = sen q cos q. ( cos q sen q ) cos q cos q +. cos q + = = cos q sen q + cos q + sen q + 7

38 cos q. cos q = 0 cos q. cos q = 0 cos q =, pois cos q 0 q= ) Respostas: a) cos (q) = cos q. ( cos q sen q ) b) sen (q) = sen q. ( cos q sen q + ) c) cos x tg x ) = 0 cos x (tg x). (sen x) = 0 sen x cos x cos sen x x. sen x cos x = 0 cos x cos x = sen x tg x =, então: sec x = tg x + = + = ) + I) b = = 0 II) b + x = 80 fi 0 + x = 80 x = 0 FRENTE GEOMETRIA PLANA E ÁLGEBRA n Módulo Ângulos na Circunferência e Potência de Ponto 0 ) x = =, pois x é um ângulo inscrito. ) x = =, pois x é um ângulo excêntrico interior. 80 x = = 0 ) 00 0 x = =, pois x é um ângulo excêntrico exterior. 7) ) 0 x = = 80 PA. PB = PC. PD fi. = x. x = 8

39 8) ) Considerando as medidas em centímetros, tem-se: I) x + h = x + h = 9 ( x) + h = 0x + x + h = x + h = 9 0x + x + h = 9 x + h = 9 0x + 9 = 9 PA. PB = PC. PD fi. =. ( + x) = + x x = 9) (AB) = AC. AD fi 8 = x. (x + x) = x x = fi x =, pois x > 0 0) Considerando que PA é tangente à circunferência no ponto A e PA =. PC, então: (PA) = PC. PB fi (. PC) = PC. PB 9. (PC) = PC. PB 9. PC = PB n Módulo Área das Figuras Planas ) 8 x + h = 9 + h 8 = 9 h = 9 9 x = 9 9 x = x = h = 9 x = h = 9 x = II) A área do trapézio, em centímetros quadrados, é: (0 + )... S = = = = 8 ) I) Sendo S = m a área do triângulo equilátero de lado L, em metros, tem-se: L. L S = =. L = L = 8 II) A altura h, em metros, do triângulo equilátero, é dada por: L. 8. h = = =. III) Sendo A a área do quadrado, em metros quadrados, cuja diagonal, em metros, é d = h =, tem-se: d (). A = = = = ) I) CE = AB = m DE = m II) No triângulo ADE, tem-se: ( m) + h = ( m) h = m III) A área do trapézio é: (AB + CD). h ( m + 8 m). m S = = = m 9

40 I) A área do quadrado ABCD é cm, assim, a medida do lado quadrado é l = cm II) BD = l = cm é a diagonal do quadrado BD III) EF = FG = = cm = cm IV) A área do triângulo EFG é dada por EF. FG. = cm = cm = cm = cm ) A área sombreada S corresponde à diferença entre a área de um quadrado de lado l = e da área de um círculo de raio R =, assim: S = l.. R =.. = ) A área S da coroa circular sombreada, em cm, corresponde à diferença entre a área do círculo maior, de raio cm, e a do círculo menor, de raio cm, assim: S =.. = 9 = 8) I) Se o lado do quadrado ABCD mede cm, o raio do círculo, em centímetros, é R = = II) A diagonal do quadrado menor, em centímetros, é d = R = III) A área pedida S, em centímetros quadrados, corresponde à diferença entre a área do círculo de raio R = e a do quadrado de diagonal d =, assim: d S =. R =. = 9) A área S da parte sombreada corresponde à área do quadrado menor, cuja diagonal mede d = a, assim: d S = (a) = a = = a 0) I) A área do quadrado ABCD, em cm, é S = = II) AE = AF = =, em cm. III) A área do triângulo AEF, em cm, é AE. AF. S = = = 8 IV) A área S do octógono, em centímetros quadrados, é: S = S. S =. 8 = = ) 7) I) Se a é a área de cada um dos triângulos equiláteros que formam o hexágono central de área k, então, k = a. II) A soma das áreas dos triângulos ACE e BDF é 9a + 9a = 8a =. a = k ) 0 I) A diagonal do quadrado é d = R = II) A área pedida S corresponde à diferença entre a área do círculo de raio R = e a do quadrado de diagonal d =, assim: S =. R d =. = Respostas: D O pentágono hachurado tem área S correspondente a dois triângulos equiláteros de lado, assim, tem-se:. S =. =

41 ) I) S HEX =. S OAB fi =. S OAB S OAB = = S OAB + S OBC. S OAB II) S ABC = = = S OAB = III) S PENT = S HEX S ABC = = ) I) = fi R = = =.. II) S =.. R =.. ( ) = =.. =. (. ) ) a. a. I) AH = HC = fi AC =. = a. S a OAB + S OBC. S OAB. II) S ABC = = = S OAB = x. AC III) S ACM = = x. a. I) S HEX =. S OAB fi =. S OAB S OAB = S OAB + S OBC. S OAB II) S ABC = = = S OAB = IV) S ABCM =. S HEX fi S ABC + S ACM =. S HEX fi a. x. a. a. fi + =.. a x a a + = a + x = a x = a x = 8 ) V) Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACM, temos: (AM) = (AC) + x = (a. ) + fi AM = 7a a = a a 9a + = fi

42 7) I) O polígono regular de n lados é formado por n triângulos isósceles congruentes, como o da figura a seguir: h b h MN.. III) A área do triângulo MNP é = = b. h b. h b. h = = =. =. A 8 S ABC 0) I) S ABC =. S ADE = S ADE II) Se a razão de semelhança entre duas figuras semelhantes é k, a razão entre as áreas dessas figuras é k, então: S ABC BC BC BC = fi = fi = S ADE DE DE DE II) Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se: fi + a = r = r a fi = r a b =. r a III) A área do polígono de n lados é dada por b. a. r a. a n. = n. = na r a 8) Sendo R o raio do círculo maior (figura I) e r o raio de cada círculo menor (figura II), tem-se: I).. R =... r R =. r II) s =. r 9) b b b III) S =. R =. (. r) =. 9. r = 9.. r = 9. s n Módulo 7 Fatorial e Número Binomial )!. 0. 9! = =. 0 = 0 9! 9! )! 0!. 0. 9! 0. 9! 0. 9!. ( ) = = 9! 9! 9! = = 0. 0 = 00 ) (n + )! (n + ). n. (n )! = = (n + ). n = n + n (n )! (n )! ) (n + )! + (n + )! =. (n + )! (n + ). (n + ). (n + )! + (n + ). (n + )! =. (n + )! (n + ). (n + ) + (n + ) = n + n + n + + n + = n + 8n = 0 n. (n + 8) = 0 fi n = 0, pois n ) 00 00! ! = = = = !.! 98!.. x + ) Se = 7 x, podemos ter: M é ponto médio de BC I) fi N é ponto médio de BD fi MN // CD CD e MN = = II) A área do triângulo BCD é A = b b. h I) x + 0 x x + = x = 0 x 0 x x + < x < x < fi fi x = ou x = II) Para x, tem-se: (x + )! (x )!. = 7.!(x )!!(x )!. (x + ). x. (x )! 7. (x )! =....

5) [log 5 (25 log 2 32)] 3 = [log 5 (5 2 log )] 3 = = [log 5 (5 2 5)] 3 = [log ] 3 = 3 3 = 27

5) [log 5 (25 log 2 32)] 3 = [log 5 (5 2 log )] 3 = = [log 5 (5 2 5)] 3 = [log ] 3 = 3 3 = 27 MATEMÁTICA CADERNO CURSO D ) [log ( log )] = [log ( log )] = = [log ( )] = [log ] = = 7 FRENTE ÁLGEBRA n Módulo Logaritmos: Definição e Eistência ) a) log 8 = = 8 = = b) log 8 = = 8 = = c) log = = ( )

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