MATEMÁTICA CADERNO 6 CURSO E FRENTE 1 ÁLGEBRA. n Módulo 24 Números Complexos. n Módulo 25 Potências Naturais de i e Forma Algébrica

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1 MATEMÁTICA CADERNO 6 CURSO E FRENTE ÁLGEBRA n Módulo 4 Números Complexos ) (5 + 7i) ( i) = 5 0i + i 4i = 5 + i + 4 = 9 + i ) f(z) = z z + f( i) = ( i) ( i) + = = i + i + i + = i ) x + (y )i = y 4 + xi, (x e y são reais) x = y 4 x = y x = 5 x y = 0 y = x (y ) = y 4 y = 4) I) z = a + 8ai e z = 4 + bi, (a, b ) z + z = (a 4) + (8a + b)i II) (z + z ) deve ser imaginário puro, então a 4 = 0 e b a = 4 e b Resposta: a = 4 e b 5) I) (a + i) ( + i) = a + ai + i + i = (a ) + (a + )i II) (a + i) ( + i) deve ser um número real, então a + = 0 a = 6) (a + i) 4 = (a + i) (a + i) = (a + ai + i ) (a + ai + i ) = = [(a ) + ai] [(a ) + ai] = [(a ) + ai] = = (a ) + (a ) ai + 4a i = (a ) 4a + 4a(a )i Para que (a + i) 4 seja um número real, devemos ter: 4a (a ) = 0 4a = 0 ou a = 0 a = 0 ou a = ± Assim, a pode assumir valores reais, a saber: 0, e i ( i) ( i) 4 i i + i 4 4i 7) = = = = + i ( + i) ( i) i 4 ( ) 4i 4 = = i ) 5 + i (5 + i) (7 + i) 5 + 0i + 7i + i = = = 7 i (7 i) (7 + i) 7 (i) 5 + 7i + 7i + 7i 7 = = = = + i 49 4i ) z x + yi (x + yi) ( i) x + yi xi yi = = = z + i ( + i) ( i) i = (x + y) + (y x)i (x + y) (y x) = = + i, então: y x = 0 y x = 0 x y = 0 5 0) + i ( + i) ( + i) ( + i) + i + i i = = = = i ( i) ( + i) i + = i + i 4 Logo, = i 4 = i ) I) ( + i) 0 = [( + i) ] 5 = ( + i + i ) 5 = (i) 5 = 5 i 5 = i II) i i i = = = = ( + i) 0 i i i i n Módulo 5 Potências Naturais de i e Forma Algébrica i 46 + i i ) = + i + i = = i i 4 i 9 9! ! ) I) n = = = = 6 4 4! (9 4)! 4 5! II) k = i + i + i + i 4 + i 5 + i 6 + i 7 + i i 5 + i 6 = i 5 + i 6 = = 0 = 0 = i + i = i = + i ) ( + i) 5 = ( + i) ( + i) ( + i) = = ( + i + i ) ( + i + i ) ( + i) = (i) (i) ( + i) = = 4i ( + i) = 4 ( + i) 4) ( + i) 0 = [( + i) ] 5 = [ + i + i ] 5 = (i) 5 = i 5) ( i) 6 = [( i) ] 8 = [ i + i ] 8 = ( i) 8 = 56i 8 = 56 6) Sejam u = a + bi u = a bi e v = c + di v = c di I) u + v = i (a bi) + (c di) = i a + c = (a + c) (b + d)i = i b + d = II) u v = 6 (u v) (u + v) = 6 [(a + bi) (c + di)] [(a + bi) + (c + di)] = 6 [(a c) + (b d)i] [(a + c) + (b + d)i] = 6

2 III) Substituindo (I) em (II), temos: [(a c) + (b d)i] [ + i] = 6 (a c) + (a c)i + (b d)i + (b d)i = 6 [(a c) (b d)] + [(a c) + (b d)]i = 6 + 0i 0) a) (I) z z = 4 (x + iy) (x iy) = 4 x i y = 4 x + y = 4 Os pontos (x, y), da última equação, descrevem uma circunferência de centro na origem e raio. (a c) (b d) = 6 (a c) + (b d) = 0 a c = b d = a + c = a = a c = b = u = i IV) u v = i b + d = c = v = + i b d = d = 7) Para z = a + bi e z = a bi, temos: z + z + z + 4z = 0 + 8i 4z + 6z = 0 + 8i 4 (a + bi) + 6 (a bi) = 0 + 8i 4a + 4bi + 6a 6bi = 0 + 8i 0a bi = 0 + 8i Pode-se, também, observar que: x + y = 4 x + y = z = (II) (z ) = z (x iy) = (x + iy) x xyi + i y = x + xyi + i y 4xyi = 0 x = 0 ou y = 0 Re(z) = 0 ou Im(z) = 0 b) Fazendo (I) (II), temos: 0a = 0 b = 8 a = b = 4 z = 4i 8) Para z = a + bi e z = a bi, temos: z = z (a bi) = (a + bi) a bi = a + abi + b i a bi = (a b ) + abi a b = a a b = a a b = a a b =a ou ab = b b(a + ) = 0 b = 0 a = a = a = a a = 0 a = ou ou ou b = 0 b = 0 b = 0 b = 4 a = a = ou ou b = z = 0 ou z = ou z = + i ou z = i b = 9) Para z = x + yi e z = x yi, temos: z z 4 = 0 (x + yi) (x yi) = 4 x + y = 4, que representa uma circunferência de centro na origem e raio. Assim, as intersecções são os pontos P (; 0); P (0; ); P (, 0) e P 4 (0; ). Respostas: a) z = ; Re(z) = 0 ou Im (z) = 0 b) (; 0), (0; ), ( ; 0) e (0; ) z = + 4i Im(z ) = 4 ) z Im(z ) Im(z ) = 5 7i Im(z ) = 7 n Módulo 6 Função Polinomial ) Se P(x) = x + ( + m)x + ( + m)x + m, então: P(m) = m + ( + m). m + ( + m)m + m = = m + m + m + m + m + m = = m + 4m + 6m ) P(x) = x n x n + x n + x x + ; P( ) = 9 Como os sinais dos coeficientes se alternam e x tem coefi - ciente positivo, todos os termos que possuem coeficiente positivo têm expoente par e, portanto, n é par. Para x =, tem-se: P( ) = ( ) n ( ) n + ( ) n + ( ) ( ) + = = = 9 8 termos (pois 8 + = 9) Como de ( ) n a ( ) temos 8 termos, então n = 8.

3 ) Se. P(x) + x. P(x ) = x + x +, então: I) Para x = 0 fi. P(0) + 0. P(0 ) = P(0) = P(0) = II) Para x = fi. P() +. P( ) = P() +. P(0) = + +. P() +. = 5. P() = 4 P() = 4) Em P(x + ) = x 7x + 6, substituindo x por x, tem-se: P(x + ) = (x ) 7(x ) + 6 P(x) = x x + 7x P(x) = x 9x + 4 9) I) ax + b(x + ) + c(x + ) = (x + ) ax + bx + bx + b + cx + 4cx + 4c = x + 6x + 9 (a + b + c). x + (b + 4c). x + b + 4c = x + 6x + 9 II) a + b + c = b + 4c = 6 a + b + c = b + c = b + 4c = 9 b + 4c = 9 a + b + c = b + 4c = 9 a + b = b = a = b = c = c = c = III) a b + c = ( ) + = + + = 7 5) I) P(x) = ax + bx + cx + II) P( x) = a( x) + b( x) + c( x) + = ax + bx cx + III) P(x) P( x) = ax + cx IV)Se P(x) P( x) = x fi ax + cx = x, então: a = c = 0 V) P( ) = 0 fi a + b c + = 0 fi fi + b 0 + = 0 b = Assim, P(x) =. x. x + e, portanto, P() = + = e P() = = 0 6) Para que o polinômio p(x) = (m 4)x + (m 6)x + (m + 4)x + 4 tenha grau, devemos ter: m 4 = 0 fi não existe m m 6 0 m = 4 m 4 e m 4 a = c = 0 0) I) P (x) = (m + n + p)x 4 (p + )x + mx + (n p)x + n II) P (x) = mx + (p + 7)x + 5mx + m III) P (x) = P (x) m + n + p = 0 m + n + p = 0 p = m m + p = m = p + 7 m = p + 7 n p = 5m n p = 5m n = m n = m m + n + p = 0 p = m = n = m = n = p = x + A B ) = + x x x + x + A. (x + ) + B. (x ) = (x ). (x + ) (x ). (x + ) Ax + A + Bx B = x + (A + B). x + (A B) = x + A + B = A B = A = B = 7) gr(f) = n + gr(g) = n f(x) g(x) r(x) q(x) I) gr(q) = gr(f) gr(g) = (n + ) (n ) = + = fi gr(q) = II) 0 gr(r) gr(g) fi 0 gr(r) n ; n Œ *, n ) 8 a b c 8 = + + x 4x x x x + x. (x ). (x + ) = a. (x ). (x + ) + b. x. (x + ) + c. x. (x ) = x. (x ). (x + ) a(x 4) + bx + bx + cx cx = 8 (a + b + c)x + (b c)x 4a = 8 8) 4x (x + x ) + x + x x x = = 4x x x + x + x x x = 4x 4x + 0. x + 0. x = = 0. x + 0. x + 0. x a + b = c = 0 b c = 0 a = b = 4a = 8 c =

4 n Módulo 7 Polinômios: Divisão ) P(x) = x 5 7x + x + 4 Q(x) = x 8 I) x 5 7x + x + 4 x 8 x 5 + 8x x R(x) = x + x + 4 II) R(x) = x + x + 4 A = ; B = ; C = 4 III) 4A + B + C = = ) x x + 4x + 8 x 4 4x 8x x 4x + 8 4x 8x x + 6x + x 8x + x x x ) I) x + mx x + x x x + x x + (m ) (m ). x + x (m ). x (m ). x + m ( m + ). x + m II) ( m + ). x + m = 0. x + 0 m = m + = 0 m = 0 7) I) ax 4 + 5x ax + 4 x 4 ax 4 + 4ax ax + (5 + 4a) (5 + 4a)x ax + 4 (5 + 4a)x + 6a + 0 ax + 6a + 4 II) r(4) = 0 fi r(4) = 4a + 6a + 4 = 0 fi a = 4 fi a = III) Q(x) = ax + (5 + 4a) = x + [ ( )] = x IV)Q() =. () = = 5 ) I) P(x) =. (x + ) + x. (x ) + 8 = = x + 4x + + x x + 8 = x + x + 0 II) x + x + 0 x + x + x x 7 8) Note que x + x = (x + ). (x ) Fazendo P(x) = x x 79 x x, temos: I) x x 79 x x x + r Q (x) r = P( ) = ( ) ( ) 79 ( ) ( ) = = = 7 fi P( ) = 7 4) P(x) x + fi x + x fi P(x) = (x + ). (x ) + (x + ) II) x x 79 x x x r Q (x) r = P() = = + = fi fi P() = P(x) = x x + x + x + P(x) = x x + x III) P(x) (x + ). (x ) R(x) = ax + b Q(x) fi fi P(x) = (x + ). (x ). Q(x) + ax + b 5) I) P(x) x + x x + 5 x 5 Portanto: P(x) = (x + x ). (x 5) + x + 5 II) P() = ( + ). ( 5) = = 4 P( ) = 7 IV) fi fi R(x) = x P() = a + b = 7 a + b = a = b = V) R(0) =. 0 = 4

5 FRENTE ÁLGEBRA n Módulo 4 Juros Simples e Composto ) a) O rendimento (R s ) da aplicação, durante os 4 me ses considerados, em reais e a juros simples, foi de R s = 00 = 400 b) A juros compostos, a aplicação renderá, em reais, R c = 000. ( + 0%) = 000., = 464, Respostas: a) R$ 400,00 b) R$ 464,0 ) C = x, i = 0%, J = x e J = cit x. 0. t fi x = fi t = 5 ) Se o capital total da pessoa é x reais, então: I) O valor da aplicação é C = 5 x II) A taxa é de,5% ao mês, então, i =,5 III) O tempo é t = 90 dias = meses IV) Os juros são de J = 9600 Assim, = x.,5. 5 x = x = ) I) O capital é C = II) A taxa é de % ao mês, então, i =. III) O tempo é t = anos = 6 meses IV) Os rendimentos (juros) são dados por: C. i. t J = = = Resposta: R$ ,00 5) I) O capital é C = II) A taxa é de 5% ao ano, então, i = 5 4 III) O tempo é t = 0 dias = 4 meses = de um ano = = ano n Módulo 5 Sequências, Progressão Aritmética ) Se a =, a = e a n + = a n + a n +, "n Œ *, então: I) a = a + a = + = 4 II) a 4 = a + a = + 4 = 7 III) a 5 = a + a 4 = = IV) a + a + a + a 4 + a 5 = = 6 n + n ) I) a n = = =, "n Œ * n + n + n + II) a. a. a.. a 98. a 99 = = = = 0, ) Na P.A., tem-se a 7 = e r = 5, então: a 7 = a + 6. r fi = a = a + 0 a = 8 4) O décimo quinto termo da progressão aritmética (5; 7; 9; ) é a 5 = =. 5) A população mundial atual é de 4,5 bilhão de pes soas, ou seja, 6,0 bilhões de habitantes. Assim, na progressão aritmética (p, p, p, ) que determina o número de habitantes da Terra em (007, 008, 009, ), respectivamente, temos: I) p = 6,0 bilhões e p = 6,095 bilhões, portanto, a razão (r) da progressão é, em número de habitantes, r = (6,095 6,0) bilhão = 0,095 bilhão. II) p 9 = p + (9 ). r = (6, ,095) bilhões = = 7,7 bilhões. O número de habitantes da Terra que, em 05, não terá água potável será de. 7,7 bilhões = 5,4 bilhões. IV) Os juros são dados por: C. i. t J = = = Resposta: R$ 500,00 6) Sendo C, em reais, o capital aplicado a,8% ao mês, então, R$ 4000 C é o capital aplicado a % ao mês, assim, para que os juros em um mês sejam de R$ 480,00, tem-se: C.,8. (4 000 C).. + = ,8. C C = ,. C = C = ) I) (0; ; 6; ; 5) é uma P.A. de razão, então: a n = a + (n ). r fi 5 = 0 + (n ). = (n ). 44 = n n = 45, assim, o restau - rante serviu 5 refeições após 45 dias de funcionamento. II) Não abrindo aos domingos, cada semana tem 6 dias de funcionamento do restaurante, assim: 45 6 fi 45 = III) Se o primeiro dia de funcionamento foi uma segundafeira, 45 dias depois equivalem a 7 semanas de segunda a sábado mais dias, o que ocorreu numa quarta-feira. 5

6 7) Observando-se que. f(n) +. f(n) f(n + ) = = + = f(n) +, a sequência definida por é uma P.A. cujo f() = f(n + ) = f(n) + primeiro termo é f() = e cuja razão é r =, assim: f(0) = f() r = = + 50 = 5 8) I) II) fi 49 + (5 7) = 500 é múltiplo de 5 fi 47 7 = 40 é múltiplo de 5 III) Os múltiplos de 5 entre 49 e 47 estão em P.A. com a = 500, r = 5 e a n = 40, assim: a n = a + (n ). r fi 40 = (n ) = n 5 95 = 5n n = 9 Resposta: 9 4) Na P.A., a 9 + a n 8 = a + a n, pois 9 + n 8 = + n, assim: a 9 + a n 8 = (x ) + (x + ) = = x x + x + x + x + x + = x + 6x 5) a 6 + a n 5 = a + a n, pois 6 + n 5 = + n. Portanto, a 6 + a n 5 = a + a n = 0 n Módulo 7 Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética ) Os n primeiros números ímpares (,, 5,..., n ) formam uma progressão aritmética de primeiro ter mo a =, milésimo termo a 000 =. 000 = 999, e cuja soma é dada por: (a + a n ). n S n = S 000 = ( + 999). 000 S 000 = n Módulo 6 Propriedades da Progressão Aritmética r + r ) r = 6r = r 4 4r = r = ) I) Se a for a idade do filho do meio e r for a razão, podemos re presentar essas idades por a r; a r; a; a + r; a + r II) Pelo enunciado: (a r) + (a r) + a + (a + r) + (a + r) = 00 (a + r) (a r) = a = 0 r = III) As idades são: 4; 7; 0; ; 6. IV) A idade do ọ filho é. ) Sendo x a quantia emprestada por cada irmão, em milhares de reais, tem-se: I) (5 x; 4 + x; 7 x) é uma P.A., então 5 x + 7 x 4 + x = 8 + 4x = x 6x = 4 x = 4 II) O valor emprestado, acrescido de 0% é dado por x.,0 =. 4.,0 = 9,6 III) 9,6 milhares de reais = reais ) Observando que 00 7 e 50 7 concluímos que o primeiro múltiplo de 7 após o 00 é a = 00 + (7 ) = 05 e o múl tiplo de 7 que antecede o 50 é a n = 50 5 = 45. A soma pedida é, portanto, ( ) S n = =. n Como a n = a + (n ). r, temos que 45 = 05 + (n ). 7 n = 0 n = ( ) Então, S n =. 0 = 75. = 675 (a ) S = + a ). = 474 (a + a ) a = 4 6 = 4 a 6 = 4 4) Se T n representa o enésimo número triangular, então T = T = + T = + + T n = n ( + 00) Portanto, T 00 = =. 00 =

7 5) Os números naturais n, 00 n 999, que, divididos por 9, deixam resto, são os termos da progressão aritmética: (0; 0; 9;...; 99), de razão r = 9 Fazendo a = 0 e a p = 99, tem-se: a p = a + (p ). r fi 99 = 0 + (p ). 9 p = 00 (0 + 99). 00 e S p = S 00 = = ) I) Se (a, a, a,, a 5 ) forem os 5 primeiros termos de uma progressão aritmética, de razão, que representam os preços dos DVDs, então a 5 = a + (5 ). a 5 = 7a a = 8 a 5 = 56 II) A soma do 5 primeiros termos da progressão aritmética (8, 0,,, 56, ) é S 5 =. 5 = 800 9) a) a + a 9 = a + a + 8r = a + r + a + 7r = a + a 8 (a b) S 9 = a 9 ). 9 = e como a + a 9 = a 5 + a 5 =. a 5, tem-se:. a 5. 9 = a 5 = a 5 = 986 Respostas: a) demonstração b) 986 FRENTE GEOMETRIA MÉTRICA n Módulo 4 Prismas ) 7) I) Área lateral (A L ): A L = 48 m fi. L = 48 fi L = 4 m Observe na figura que o ponto A de início da busca é o centro de um quadrado, onde um dos vértices é o ponto N, local do naufrágio. Se AN = 5 milhas, o último trecho percorrido pela equipe antes de atingir os naúfragos é lado de um quadrado de 0 milhas de lado. Assim, a equipe andou =. ( ) = ( + 0). 0 0 =. = 0 milhas e levou = horas. 0 ) II) Área da base (A b ): L. 4. A b = = m = 4 m 4 4 III) Volume do prisma (V): V = A b. h = 4. 4 m = 6 m 8) S = a =. +. = 5 S = a + a =. +. = 4 Portanto, a = 5 e, a + a = 4 a = 5 a = 9 consequentemente, r = a a = 4. Prisma de base pentagonal 7

8 ) IV)Área total (A T ): A T =. A b + A L =. 6 + = = + = 4 5) I) Base do prisma: 5 = 4 + h fi h = II) Área da base (A b ): 8. A b = m = m III) Volume do prisma (V): V = A b. H = m. m = 6 m 6) I) Altura da base (a), em cm: 0 = a + 6 fi a = 8 II) Área da base (A b ), em cm :. 8 A b = = 48 III) Altura do prisma (h), em cm, e volume do prisma (V), em cm : V = A b. h fi 58 = 48. h h = 4) 8 I) Aresta da base (): = raio circunferência circunscrita = II) Área base (A b ): A b = = = III) Área lateral (A L ): A L = 6.. h = 6.. = I) Área lateral (A L ), em cm : A L = = 5000 II) Área da base (A b ), em cm : A b = 5. 5 = 65 III) Sendo n, em cm, o comprimento do tecido, temos: A L + A b = n. 50 fi = n. 50 n =,5 IV),5 cm =,5 m

9 7) I) Área da base do prisma (pentágono da frente do galpão): b) Volume do prisma (V), em cm, e área da base (A b ), em cm : l V = A b. h = 6... h = = Respostas: a) cm b) 0 cm 0) ( + 5). 4 A b =. = II) Volume galpão = A base. =. = 84 8) I) Cálculo da aresta do cubo: V = = dm = 000 cm = a fi a = 0 cm II) Cálculo de x: x x 0 tg 0 = fi = x = cm a 0 cm III) Volume do leite derramado, em cm, é o volume do pris - ma de base triangular e altura a V leite = A base. altura =. 0 = 500 I) Área total (A T ), área da base (A b ), área lateral (A L ), em m, e aresta da base (), em m: A T =. A b + A L fi 80 = = 0 fi = 4, pois > 0 II) Volume do prisma (V), em m : V = A b. h =. h = 4. = 48 n Módulo 5 Paralelepípedos e Cubos ) 9) x = + x = 8 fi x = a) Considerando que os lados são as arestas de base (), em cm, e a área lateral (A L ), em cm, temos: A L = 6.. h fi 60 = = ) I) AP = AB + BP = + = 5 II) PC = AP + AC = 5 + = = 9 fi PC = 9 III) PD = PC + CD = 9 + = = fi PD = Resposta: PC = 9 e PD = 9

10 ) abc = 40 I) fi c = 8 ab = 0 abc = 40 II) fi b = 5 ac = 48 III) b = 5 e c = 8, então bc = 40 IV)A área total do paralelepípedo, em cm, é: A T = (ab + ac + bc) = ( ) =. 8 = 6 a I) Se I é o centro do quadrado, então AI =. a II) Se M é o ponto médio de AE, então AM = III) Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo MAI, temos (MI) = (AM) + (AI) fi fi (MI) = a +. = fi MI = a a a 4 4) Seja a a medida da aresta do cubo de volume V = a. I) (a ) = V 6 fi a a + a = a 6 a + a + 60 = 0 a a 0 = 0 fi a = 5, pois a > 0 II) A área total do cubo é 6. a = 6. 5 = 6. 5 = 50 5) O triângulo EDG é equilátero de lado 0 cm, pois os segmentos ED, DG e EG são as diagonais das faces ADHE, CDHG e EFGH do cubo, respectivamente. Logo, sua área S, em cm, é dada por: 8) A área total do sólido é dada por: A T =. ( ) +. (7. ) +. (. ) +. (. ) = = = 44 9) Para que o volume do bloco (V b ) seja igual ao volume do orifício (V 0 ), o volume do cubo (V c ), em cm, deverá ser tal que: V c = V 0 fi =. L. L. 80 L = 00 L = 40 0) I) O volume total da carroça é m. m. m = m. II) Se x, em metros, for a altura da nova carroça, então:.. x =,. x =, n Módulo 6 Pirâmide ) S = (0 ). 4 = 00 6) De acordo com o enunciado, temos: 80% h = h = 56 h = 7) Sejam a, b e c as medidas, em cm, das dimensões do parale - lepípedo: Sejam a medida da aresta da base, g o apótema lateral e a o apótema da base, em centímetros. I) 4 = 40 = 0 0 II) a = = = 5 III) g = a + = = 69 fi g = IV)A área lateral da pirâmide, em centímetros quadrados, é dada por:. g 0. A L = 4. = 4. = = 60 Resposta: 60 cm 0

11 ) 4) V,5 D C A O B 0,5 M I) No triângulo ABC, temos: (AC) = (8 cm) + (8 cm) fi fi AC = 8cm. AC 8 cm II) AO = = fi AO = 9 cm III) No triângulo VOA, sendo h a medida da altura da pirâ - mide, em centímetros, temos: (VA) = (VO) + (AO) fi 5 = h + (9) h = 6 fi h = 7 No triângulo VOM, temos: (VM) = (0,5m) + (,5m) VM = 0 Sendo A L a área lateral da pirâmide, temos: (BC). (VM) 0 A L = 4. =.. = 0, Assim, a alternativa D é a que indica a menor quan tidade suficiente de lona. m 5) ) Seja x a medida da aresta da base, em centímetros. Se x é a medida da aresta da base, em centímetros, de acordo com o Teorema de Pitágoras, tem-se: x x ( ) + 5 = 7 ( ) = 64 x = 6 I) No triângulo VOM, temos: 6 = 4 + x fi x = 0 II) AB = x =. 0 = 0 6) III) A área da base, em centímetros quadrados, é A B = 0 = 400 IV)A área lateral, em centímetros quadrados é 0. 6 A L = 4. = 040 V) A área total, em centímetros quadrados é A T = A B + A L = = 440

12 Sejam a a medida da aresta da base e h a medida da altura da pirâmide, em centímetros. No triângulo retângulo POM, temos: h h tg 60 = fi = fi h = a a Como o volume da pirâmide é 6 cm, temos:. a. h = 6 fi. a a. = 6 a = 6 a = 6 a 9) I) O volume da pirâmide é dado por.. H II) O volume do prisma é dado por. h. III) Se os volumes são iguais, então: H H.. H =. h = 4h = h 0) 7) Seja a medida da aresta da base, em metros: AC I) AC = fi OA = = = II) VA = VO + OA fi = h + () fi h = I) A B = 64 fi = 64 fi = 8 8 II) OM = = = 4 n Módulo 7 Cilindros ) III) (VM) = (VO) + (OM) fi (VM) = fi VM = 4 IV)A área lateral da pirâmide, em metros quadrados, é dada por: A L = 4. A VBC = = 64 8) O volume de leite em pó, em cm, é: 4 4. (V cilindro ) =. (π. 5. 0) = 00 π = 00. = AC 6 I) AC = 6 m fi OA = = m = m II) VA = VO + OA fi (6 m) = h + ( m) fi h = m

13 ) 6) Sejam R e h as medidas do raio da base e da altura do cilindro. Se V é o volume e A L a área lateral, então: V A L π. R. h 64 dm R = =. π. R. h 400 cm 64 dm R R = 6 dm = R = dm 4 dm 7) O sólido gerado é um cilindro de raio R = cm e altura h = cm. I) Seja V o volume do tanque original, V R o volume após o aumento do raio em 5 m e V a o volume após o aumento da altura em 5 m. Então, em metros cúbicos, tem-se: V = π. R. 4 V r = π. (R + 5). 4 V a = π. R. 9 II) Conforme enunciado; V R = V + x e V a = V + x V R = V a π(r + 5). 4 = π R. 9 4R + 40R + 00 = 9R R 8R 0 = 0 R = 0 m, pois R > 0. III) O volume do tanque original é, em metros cúbicos, V = π = 400π. ) I) Se B e H forem, respectivamente, as medidas da área da seção transversal e da altura do recipiente inicial, então,h será a altura do recipiente final e 0,8B a área da base correspondente. II) O volume do recipiente inicial é B. H. III) O volume do recipiente final é 0,8B.,H = 0,96BH, assim, o volume final é 96% do volume inicial, portanto, o volume do recipiente diminuiu 4%. A área total A T, em centímetros quadrados, é dada por: A T =. π. R +. π. R. h =. π. +. π.. = π + π = 4π 8) O reservatório é um cilindro de raio R = mm = 0, cm e altura h = cm. O volume do reservatório cilíndrico é dado por: V = π. R. h = π. (0, cm). cm,4. 0,0. cm = = 0,768 cm = 0,768 m 9) 4) A t πr(h + R) h + R R + R = = = A l πrh h R = 5) Sejam R e h = R as medidas, em centímetros, do raio da base e da altura do cilindro equilátero. I) A área total, em centímetros quadrados, é dada por: πr + πrh = 48h πr (R + h) = 48π R. (R + R) = 4 R + R = 4 R = 4 R = 8 fi R =, pois R > 0 II) O volume, em centímetros cúbicos, é dado por: V = π. R. h = π. R. R = π. 8.. = π Se ABCD é um quadrado de lado 0, então, h = 0 e R = 0 R = 5, assim, o volume do cilindro é V = π. R. h = = π = 50π

14 0) 8 R h (A) (B) Sejam R e h as medidas, em centímetros, do raio da base e da altura do cilindro tipo B. Do enunciado, tem-se: h = R e π R h = π. 8. R. R = 8 R = 64 R = 4 Como h = R, temos: h =. 4 h = 8 Sendo S A a área total do cilindro do tipo A e S B a área total do cilindro do tipo B, em centímetros quadrados, temos: I) S A = π. 8 + π. 8. = 60π II) S B = π. 4 + π = 96π 60π 96π O valor de x é ,7 96π ) Se R, em centímetros, é a medida do raio do cilindro original, V R o volume após o aumento do raio em cm e V A o volume após o aumento de altura em cm, de acordo com o enun - ciado, deve-se ter: V R = V A fiπ. (R + ). 4 = π. R. 6 (R + ) = 4R R + 4R + 44 = 4R R 4R 44 = 0 R 8R 48 = 0 fi R =, pois R > 0 4