MATEMÁTICA CADERNO 1 SEMIEXTENSIVO E FRENTE 1 ÁLGEBRA. n Módulo 1 Equações do 1 ọ Grau e

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1 MATEMÁTICA CADERNO SEMIEXTENSIVO E FRENTE ÁLGEBRA n Módulo Equações do ọ Grau e do ọ Grau ) [ ( )] = [ + ] = + = + = + = = Resposta: V = { } 9) Na equação 6 = 0, tem-se a = 6, b = e c =, então: I) Δ = b ac = + = b ± Δ ± II) = = = ou = a Resposta: V = ; 0) Na equação + 6 = 0, tem-se a =, b = e c = 6, então: I) Δ = b ac = = b ± Δ ± II) = = = ou = a Resposta: V = {; } ) ( ) = 6 6 = 6 = = 0 V = Resposta: V = ) ( 7) = ( ) = + = 0 = V = ø Resposta: V = ø + = 0 ou ) ( + ) ( ). ( + ) = 0 = 0 = ou + = 0 = Resposta: V = {; } ) [ ( )] = [ + ] = + = = 6 = Resposta: V = {} ) Na equação + + = 0, tem-se a =, b = e c =, então: I) Δ = b ac = 6 = b ± Δ ± II) = = = ou = a Resposta: V = { ; } ) Na equação = 0, tem-se a = 6, b = e c = 6, então: I) Δ = b ac = 69 = b ± Δ ± II) = = = ou = a Resposta: V = ; + 6) = 8 ( + ) = 0 ( ) 8 9 = = = 7 7) Sendo, em reais, a quantia inicial, tem-se: I) Após o ọ milagre, a pessoa ficou com II) Após a ạ doação, a pessoa ficou com III) Após o ọ milagre, a pessoa ficou com. ( 0 000) IV) Após a ạ doação, a pessoa ficou com. ( 0 000) V). ( 0 000) = = 0 = = 000 Resposta: R$ 000,00 8) Sendo, em anos, a idade atual, tem-se: + 0 = 6 =. ( + 0). ( ) 6 = = 70 = ) Na equação + = 0, tem-se a =, b = e c =, então: I) Δ = b ac = 6 6 = 0 b ± Δ ± 0 II) = = = = a 8 8 Resposta: V = ) Na equação + = 0, tem-se a =, b = e c =, então: I) Δ = b ac = 0 = 6 b ± Δ ± 6 II) = = a a Resposta: V = Ø ) + = 0. ( + ) = 0 = 0 ou + = 0 = 0 ou = Resposta: V = { ; 0}

2 6) 9 = 0 = 9 = 9 = 7 V = { 7; 7} + 7) + = ( + ). ( ) +. =. ( ), com 0 + = +, com + = 0, com = ou = 8) Sendo, em anos, a idade atual do filho, tem-se: I) A idade atual do pai, em anos, é + 6 II). ( + 6) = + 6 = + 6 = 0.. ( + ) = 0 = 0 ou = =, pois > 0 III) A idade do pai é + 6 = + 6 = 8 e a idade do filho é = k 9) Sendo S = e P = a soma e o produto das raízes, k k k respectivamente, devemos ter = k k k = k = 0) Sendo V = {a; b} o conjunto verdade da equa ção k + k = 0, então: a + b = k a. b = k a + b = k (a + b) = (k) a + ab + b = 9k a + b +. ab = 9k,7 + k = 9k 7k =,7,7 k 7k 7 = k = = 0, Resposta: 0, ) I) As raízes da equação p + q = 0 são a e b, então, a + b = p e a. b = q II) Uma equação do ọ grau que tem raízes a e b, tem soma das raízes S = b + a p + b = = a a. b q e produto das raízes P =. b = = a a. b III) A equação procurada pode ser obtida por S + P = 0 p. + q q = 0 q p + = 0 ) I) Sendo m e n as raízes da equação = 0, tem-se 7 m + n = e m. n = q II) Uma equação do ọ grau que tem raízes m e n, tem soma das raízes S = m + n =. (m + n) =. = 7 7 e produto das raízes P = m. n =. m. n =. = III) A equação procurada pode ser obtida por S + P = = 0 Resposta: = 0 ) Na equação a + b + c = 0, se a e c têm sinais contrários, então: I) a. c < 0 ac < 0 ac > 0 b ac > 0 Δ > 0, então, a equação tem duas raízes reais distintas. II) O produto das raízes é P = sinais contrários. c a ) = ( + ) < 0, assim, as raízes têm = ( + ) ( ) ( + ).( ) ( ) = +., com + 0 e 0 6 = +, com e =, com e =, com e não eiste V = Ø ) A = { + = 0} = {. ( + ) = 0} = = { = 0 ou + = 0} = { = 0 ou = } = = { = 0} = {0} Resposta: {0} 6) ( + ). ( ). ( + ) = 0 + = 0 ou = 0 ou + = 0 = ou = ou = = ou = ou = ± = ou = Resposta: V = { ; } 7) ( + ) 7( + ) + 0 = 0 Fazendo + = y, temos: y 7y + 0 = 0 y = ou y = Assim: + = ou + = = ou = = ± ou = ± 8) 8 6 = 0 ( ) 6 = 0 Fazendo = y, temos: y + y 6 = 0 y = ou y = 6 Assim: = ou = 6 = ± ou = ± = ± Resposta: V = { ; }

3 + y = + y = + y = = 9) + y = y = y = y = Resposta: V = {(; )} + y = 6 + y = 6 + y = 0) + y = 6 y = 8 y = + y = y = = y = Resposta: V = {( ; )} ) Se for o número de cédulas de R$,00 e y for o número de cédulas de R$ 0,00, então: + y = 0 + 0y = 7 + y = 0 + y = y = 0 + y = = y = 0 y = ) Sendo v o número de bolas vermelhas e b o número de bolas brancas, temos: v + b = 0 v + v + = 0 v + b = v + b = 0 v + v + = 0 v = 9 v + b = 0 v + b = 0 v = b = 7 Resposta: vermelhas e 7 brancas ) Sendo j e m as idades atuais, em anos, de João e Maria, respectivamente, temos: j =. (m ) j = m 0 j + + m + = 6 j + m = j m = j + m = j + m = m = 60 j + m = j + m = m = 0 j m = 0 = j = Resposta: anos ) Sendo n o número de pessas do grupo inicial, temos: 600 I) A parcela inicial seria n 600 II) A parcela final foi n Assim, devemos ter: = + 60 = + n n n n n = (n ) + n(n ) n = n 70 + n n n n 70 = 0 n n = 0 n = ou n = 7 n = 7, pois n > 0 ) Sendo o número de recenseadores e y o número de resi - dências da cidade, temos: 00. = y = = y y = 0 = 60 y = 0 = 0 y = 060 Resposta: 060 residências 6) Sejam o número de processos do Dr. André e y o do Dr. Carlos, então: + y = 78 y = 78 + y = 0 + y = 0 = 6 y = 7) Sendo m e h, respectivamente, o número de filhas e de filhos do casal, temos: m = h m h = h =. (m ) h = m h m = h + m = h m = h + m = + = 7 m = h = m = 8) Sendo a, b e c as idades, em anos, de André, Bento e Carlos, respectivamente, temos: a + b + c = b = a + a + a + + a = b = a + c = a c = a a = b = a + a = b = 7 c = a c = 0 ndré tem anos, Bento tem 7 anos e Carlos tem 0 anos. 9) Sendo a e c os pesos, em gramas, da água que enche o copo e do copo vazio, respectivamente, temos: c + a = 8 c + a = 0 c + a = 8 c a = 0 c + a = 8 c + a = 8 a = 7 a = c = 60 a = a) O peso do copo vazio é 60g b) O peso do copo com de água é c + a = g = (60 + )g = 9g Respostas: a) 60g b) 9g 0) Sejam > 0 e y > 0, respectivamente, o número inicial de estudantes e o valor da parcela que cabe a cada um. y = 0 ( + ). (y 7) = 0 0 y = 0 y = = = 0 = 0 +

4 n Módulo Inequações do ọ e do ọ Grau ) I) Observamos que a função do ọ grau é estrita mente decres cente, então a < 0. II) A reta intercepta o eio y no ponto (0; b), com b > 0. ) Dado 0 < a < b, então a < b a + a < b + b (a + ) (b + ) a. (a + ) < b. (b + ) < b a ) I) Se ], ], então: + 9) > 0.( ) 6.( ) 0.( + ) > > > > < < V = { < } 0) + > 0 As raízes são e, logo o gráfico é do tipo II) Dado 0 ou, então: Então: V = { < ou > } Fazendo I II, temos: A = { ou } ) + 0 As raízes são e, logo o gráfico é do tipo ) a) 0 < < < 7 V = { < 7} b) + V = { } c) ( ) V = d) V = Ø Então: V = { }. ) + 0 A raiz é =, logo o gráfico é do tipo ) n (n + ) 6n n + n n O menor inteiro positivo é n = 7. Então: V = { } ou V = {} 6) 6 Em a soluções são 0,, e, cujo produto é zero. ) + 0 A raiz é =, logo o gráfico é do tipo +. ( + ) ( ) 7) > > > > V = { > } Então: V = 8) > 6. ( ). ( ). ( ) > > > 7 > 7 > V = { > } ) + 0 A raiz é =, logo o gráfico é do tipo Então: V = Ø

5 ) + 0 A raiz é =, logo o gráfico é do tipo II) Gráfico Então: V = {} 6) + 0 Como Δ < 0, o gráfico é do tipo Então, V = ) ( ). (7 ) 0 As raízes são e 7, o gráfico é do tipo Logo: V = Ø. 7) + 0 Como Δ < 0, o gráfico é do tipo As soluções naturais são,, e 6, cujo produto vale 60. Logo: V =. 8) + 0 Como Δ < 0, o gráfico é do tipo ) f() = 9 A condição de eistência da função é 9 > 0 As raízes são e e o gráfico é do tipo Logo: V =. Então: < <. V = ], [ 9) 0 As raízes são 0 e, o gráfico é do tipo ) I) 0 As raízes são e e o gráfico é do tipo Logo: V = { 0 }. 0) 0 As raízes são e, o gráfico é do tipo Então, II) Logo: V = { }. ) ± 0 I) Δ = 0 = = (raiz) 8 As soluções inteiras são, e.

6 ) I) As raízes são e e o gráfico é do tipo 8) I) + < 7 < < 0 II) 8 < + 0 < 0 < < 9 III) ( ) >. ( ) + 6 > + A = { ou }. II) + 0 As raízes são e e o gráfico é do tipo + 7 > + 6 > De I II III, temos: V = < < 9 B = { }. 9) ( ). ( ) 0 As raízes são e e o gráfico é do tipo V = { < ou > } A B = { } 0) > 0 ( ). ( ) > 0, com As raízes são e e o gráfico é do tipo 6) I) 0 As raízes são e e o gráfico é do tipo V = { ou } Logo, ou. II) 0 As raízes são 0 e e o gráfico é do tipo ) 0 ( ). ( ) 0 e As raízes são e e o gráfico é do tipo Logo, 0. V = { ou } ) 0 I) f() = = é a raiz e o gráfico é do tipo V = { = } = {}.. ( ) 0 7) I) <. ( ) < < 0 < <. ( 6) II) > 0. ( 6) > 0 8 > 0 > 8 > 6 De I II: V = { 6 < < } 6 II) g() = As raízes são 0 e e o gráfico é do tipo

7 III) Quadro de sinais ) ( + ) I) f() = + 6 As raízes são e e o gráfico é do tipo V = { 0 e } ) 0. ( ) ( + ). ( ) 0 e As raízes são e e o gráfico é do tipo II) g() = + A raiz é = e o gráfico é do tipo III) Quadro de sinais V = ou ) +. ( ) ( + ) ( + ). ( ) 0 ( + ). ( ) ( + ) 0 0 ( + ). ( ) ( + ). ( ) I) f() =, a raiz é = 0 e o gráfico é do tipo V = ], [ ], [ 6) ( ). ( ) 0 I) f() = As raízes são e e o gráfico é do tipo II) g() = ( + ). ( ), as raízes são e e o gráfico é do tipo II) g() = As raízes são 0 e e o gráfico é do tipo III) Quadro de sinais III) Quadro de sinais V = { ou 0 } V = { ou 0 ou } 7

8 7) f() = I) O domínio é a condição de eistência da função. II) com. III) f() = 6 + 8, as raízes são e e o gráfico é do tipo ) y = 0,0. Como a < 0, a parábola tem a concavidade para baio e, por - tanto, a altura máima atingida pelo golfinho é Δ (. ( 0,0). 0) y v = = = = a. ( 0,0) 0,0 ) f() = b I) v = = e y v = = a II) O gráfico é do tipo IV) g() =, a raiz é = e o gráfico é do tipo V) Quadro de sinais O conjunto imagem é Im = [, + [ ) y = + + b I) v = = e a Δ (. ( ). ) 9 y v = = = a. ( ) 8 II) O gráfico é do tipo V = { ou } 8) f() = b v = = = 6 a. ( ) Δ y v = ou y v = = 6 a Como a < 0, a parábola tem concavidade para baio e, por - tanto, para v = 6 o máimo é y v = 6. 9) L() = 00. (0 ). ( ) + 0 As raízes são e 0 e, portanto, v = = 7. Como a < 0, a parábola tem concavidade para baio e, por - tanto, o lucro é máimo quando v = 7. O conjunto imagem é Im =, 9 8 ) f() = + I) Como o domínio é [, ], temos: f( ) = ( ). ( ) + = f() =. + = b II) v = = e y v = ( ). ( ) + = a III) O gráfico é do tipo 0) f() = + + Como a < 0, a parábola tem concavidade para baio e, por - tanto, o valor máimo é Δ (. ( ). ) y v = = =. a. ( ) 8 O conjunto imagem é Im = [,]

9 ) lucro = receita custo lucro = ( + 0,) ( + 0, + ) lucro = + 0 Como a < 0, a parábola tem concavidade para baio e o lucro Δ (0 máimo é y v = =. ( ). ( )) a. ( ) =, 6) I) De acordo com o gráfico, temos que e são as raízes reais da função quadrática. II) Forma fatorada: f() = a. ( r ). ( r ) e) log 9 7 = 9 = 7 ( ) = = = = f) log 8 () = 8 = ( ) = = = = 6 g) log 7 (9) = 7 = 9 ( ) = = = = 6 f() = a. ( + ). ( ) III) No gráfico, temos f() = e, portanto, f() = a. ( + ). ( ) a = a = De II e III, temos: f() =. ( + ). ( ) 7) f() = (m ) + m + m I) Uma função do ọ grau é estritamente positiva quando a > 0 e Δ < 0. II) a > 0 m > 0 m > III) Δ < 0 (m). (m ). (m) < 0 m m + m < 0 8m + m < 0 As raízes são 0 e e o gráfico é do tipo f() =. ( ) f() = ) log = = = ( ) = = = = ) log = 6 = = 6 = ( ) 6 = 6 = ) Sendo b a base procurada, onde b 0 e b, temos: log b = b = b = b 8 8 = 6 6 b = b = ) [log ( log )] = [log ( log )] = então, m < 0 ou m >. De II e III, temos m >. n Módulo Logaritmos Definição e Eistência ) a) log 8 = = 8 = = b) log 8 = = 8 = = c) log 6 = = 6 ( ) = 6 = 6 = 6 = d) log 8 = 8 = ( ) = = = = = [log ( )] = [log ] = = 7 6) I) log 6 = log = II) log = = ( ) = = = = 7) I) log () = 8 III) log 6 log = = = = = = = 9

10 II) log = y y = y = y = III) log = IV) M = log () log log = + = + = + = = ) log b log a = log = = b = 8 a b a b a ) Se log 0 =,09, então: log 0, = log 0 = log 0 log 0 00 =,09 = 0, ) I) log 8 = y + = 8 y + = ( ) y + = y + = y + y = II) log 9 y = 9 9 y = 9 ( ) y = 9 y = 9 y = 9 + y = 9 y = III) + y = 9 y = y = 6 = y = 6 = y = 6 9) Se a e b são as raízes da equação = 0, então a. b = 0 Assim, log = log = log 0 = ab 0 ) log m = log log m + log = log (m ) = m = 0 00 m = m = 6) log = log b + log c log a log = log b + log c log a log = log (b c ) log a log = log = bc bc a a 0) Fazendo log a b = a = b, temos: a log a b = a = b ) log b 7 + log b log b = log b (7) + log b log b = log b ( ) + log b log b = log b + log b log b = log b ( ) log b = log b = log b = b = = b = b ) log (,96) log (,) = log,96 = log 8, Fazendo log 8 = = 8 ( ) = = = = Portanto, log (,96) log (,) = 7) log = log y + log y + log y log = log y + log y + log y log = log (y y y ) log = log y = y () = y = y = y a 8) Se log c a =, log c b = e y = b c, então: b c log c y = log c = log c (a b. c. b. c ) = a b c b. c = log c (a. b. c. b. c ) = log c (a. b. c ) = = log c a + log c b + log c c = = log c a log c b log c c = =... = 9 = 9) Se log = e log = y, então: log 7 = log ( ) = log + log = = log + log = + y 0

11 0) log m log m = log log m log m = log log m = log log m = log log m = log m = 7 ) log (7 ) + log + log ( ) = 0 [. log 7 + log 7 log ] + log = 0 [. log 7 + log 7 log + log ( 7)] = 0 ( log 7+ log 7 log + log + log 7) = 0 (. log 7 + log 7) = 0 log 7 ( + ) = 0 = 0 ou + = 0 = 0 ou = ) I) log ( + ) log () = log ( + ) log () = ( + ) ( + ) log = = ( + ) = = 8 ( 6) ± 6 6 ± = 0 = = Como a é o menor valor de, temos que: a = II) log = log = a = log = log = log = log = ) Se log = a e log = b, então: log + log log = log + log log = log = log + log = log log = log + log = log = = = log a a log ) = log log 7 log = log 7 log = log log log log = log = log = log log log log = = ) log a + log a = log a log a + = log a a log a a log a log a log + = a log a + = log a a log a a 6 log a + log a = 0 log a = log a = a = a = 6) I) log 0 = log 0 = II) Se a + b = 8ab, então: (a + b) log = log a + ab + b 8ab + ab = log = ab ab = log = log 0 = log ( 0) = log + log 0 = 0ab ab + 7 = + = = ab 7) y = y = log log + log 9 y = y log + = log 9 y = log + log y = y = log + log y = y = y = log ( y) = y = = 9 y = y = y = y = 7 = y = 9 + = =

12 8) I) Observe que: + = II) população atual: P população após ano: P população após anos: P t população após t anos: P. III) Devemos ter: P t = P t = t log = log t log = log t log = log t (log 00 log 96) = log t [ log( )] = log t ( log log ) = log t ( 0,0 0,8) = 0, t (0,0) = 0, 0, t = = 0,0 Resposta: t = anos 9) Para log 0 = m e log 0 = n, temos: 0) I) log 8 = k log = k log = k log = = k log = k log ( ) = k [log + log ] ) I) p = log = p log 00 log 0 log 0 log 00 = = = = log p p log ( ) [log + log ] [p + ] = = = = p p p log 0 6 log 0 ( ) log 0 + log 0 m + n log 6 = = = = log 0 0 log 0 0 log 0 m log 0 log log log II) log = = = = log log = + = = k k k k + k + k k k p + p n Módulo Equações e Inequações Logarítmicas e Eponenciais ) log + log ( ) = log 6 log [ ( )] = log 6 ( ) = 6 6 = 0 = ou = 9 Pela condição de eistência dos logaritmos, devemos ter, então a única solução é = 9. ) log ( + ) + log ( ) = log Pela condição de eistência dos logaritmos, devemos ter: a) ( + ) 0 b) ( ) 0 c) 0 e Assim, (a) (b) (c) Desta forma, log [( + ) ( )] = log log ( ) = = = 6 = ± 6 Pela condição de eistência dos logaritmos, temos S = {6} ) I) Condições de eistência: < < + > 0 > > 0 < II) log + log( ) = 0 log + = = ( + ) = ( ) + = 0 + = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 ou =. < < III) = 0 = 0 ou = = 0 ) log = log + log 8 log = log ( 8) = 8 8 = 0 ( 8) = 0 = 0 ou = 8 Pela condição de eistência dos logaritmos, 0. Assim, S = {8} ) a) I) f() = log (9 ) = 9 = = = 9 Para > 0, temos: = = = V f = II) g() = log = +

13 = = = 7 V g = {7} b) + f() + g() = + log (9 ) + log = = + log 9 + log + log = = + +. log. log = + log 6). log y + (log y) = 6. log y + = 6 log y y = y =. log y + log y = 6 y =. log y = 6 y = log y = y = = y y = = y y y = 0 = y y = ou y = = 6 y =, pois e y Assim, + y = 6 + = 0 7) log + log y = log log y = log + log y =. log = log + log y = log = log + log y = = log 9) log ( ) log = log ( ) = log log log ( ) = log ( ) log = log ( ) log = log ( ) = = + = 8 + = 0 8 ± 8 8 ± = = = +, pois > 0) Sendo log, = 0,8, temos: log log = 9 log = 9 log = 9 log = 9 log = 9 log = 9 9. log, = 9. 0,8 = 9 = = 0 0,8 ) ou, pois o gráfico de g() = 6 + é do tipo: ( ) + log y = V = {(; 8)} = log y = = y = 8 = () = y 8) log ( ) log y = log = y. log ( ) log y =. log = y + y log = log () Logo, D(f) = / ou ) ,, pois o gráfico de g() = é do tipo: = y + = y + = y + = y + y + = y + = y = y + + y = y = = y = Assim, temos: D(f) =

14 ) O campo de definição de uma função é o conjunto para o qual a função está definida. Em outras palavras, o campo de defi - nição é o mesmo que o domínio da função. Desta forma, pela condição de eistência dos logaritmos, temos: D(f) = { + 0 e + 0 e + } ) Assim sendo: a) + 0 ou, pois o gráfico de g() = + é do tipo: Fazendo = 0 em (I), temos: y = 0 y = OP = Fazendo y = 0 em (II), temos: log = 0 = 0 = OQ = b) + 0 c) + 0 De (a) (b) (c), temos: Desta forma, A(, ) Fazendo = em (I), temos: y = = 6 D(, 6) Fazendo y = em (II), temos: log = = = 9 B(9, ) e C(9, 6) Portanto, temos a seguinte figura: (AC) = + 8 AC = AC = 80 = 6) Portanto, D(f) = / 0 ou 0 ou ) Se os pontos (, ) e (, 0) pertencem ao gráfico de f() = a b log, temos: I) f() = a b log = a b 0 = a = II) f() = 0 b log = 0 b log = log b = log b = Logo, a + b = + = A CDE = 0% de A ABDE ( k) ( log k) 0 (log k + ) ( k) = 00 log k = (log k + ) ( log k) = log k log k = log k + 6 log k = 8 log k = 6 log k = k = k = k =

15 7) Portanto, S = 0) I) log ( + ) log ( ) log log Para = a, temos: y = log (a + b) (a b) = 0 (a b) = (a + b) 0 a b = b = a Para = a, temos: y = log (a + b) (a b) = log (a + a ) [a (a )] = log (a ) (a + ) = a + = (a ) a + = a a + a 6a = 0 a (a ) = 0 a = 0 (não serve) ou a = 8) I) log 0 + log 0 ( + ) log 0 + log 0 ( + ) log 0 0 log 0 [ ( + )] log 0 0 ( + ) (6 ) ( + 7). ( ) 0 II) Analisando a condição de eistência dos logaritmos, te - mos: Portanto, S = 7 ; ) log 0 ( ) log 0 0 log 0 ( ) log Verificando as condições de eistência dos logaritmos, tem-se: II) 0 III) + 0 Assim, ) log =,77 = 0,77 = = + 0,77 = + 0,688 =, 688 A característica é e a mantissa é 0,688. ),. = ( + 0,). = 6 +,6 = = ,6 = + 0,6 =,6 ), +,00 + 0,700 = = + 0, + ( + 0,00) + 0,700 = = +, = + + 0, = + 0, =, Portanto, S = { 0 } 9) log 0, [log (0,) ] log 0, ( + ) log (0,) + ( ) log 0, + ( ) log + ( ) ( ) log Pela condição de eistência dos logaritmos, devemos ter: + 0 ) a) log 00 = log ( 0 ) = log + log 0 = 0,0 + =,0; b) log 0,00 = log ( 0 ) = log + log 0 = 0,0 = =,699 =,0; c) log 6 = log ( ) = log + log = 0,0 + 0,77 = 0,778; d) log 60 = log (6 0) = log 6 + log 0 = 0,778 + =,778; e) log, = log = log log 0 = log ( ) = 0 0 = log + log = 0,77 + log = = 0,77 + log 0 log = 0,77 + 0,0 = 0,76; f) log 8 = log log 0,77 = log = = = log 0,0 =,87 = 6,9

16 6) log = log 0 = log = log = = [log 0 log ] [ 0,] =, 7) = log = log log = log 0, = log log = 66, = 0 66, = 0 0, 0 66 = Assim sendo, p = 0 e q = 66 8) Se N(t) = 0 t, então: I) Para t = 0 N(0) = 0 0 N(0) = 0 é a quantidade inicial de bactérias II) Para N(t) = 00 N(0), devemos ter: 0 t = 00 0 t = 0 log t = log 0 0 t log = t 0, = t = = 0,6 6 0 III) h = h = + h = h + h = h0min 6 9) Como a calculadora possui digitos, quando digitarmos o número e apertarmos a tecla log, o resultado que irá aparecer será: Após apertar a ạ vez: mantissa log = 0,... 0 com 0 casas decimais Após apertar a ạ vez: mantissa log (0,...) =,... 0 com casas decimais Após apertar a ạ vez: mantissa log (,...) = 0,... 0 com casas decimais Após apertar a ạ vez: log (0,...) 0 Pela definição de logaritmos, não eiste logaritmo de número negativo. Assim, se apertarmos a tecla log pela ạ vez a mensagem erro irá aparecer no visor. 0) 6 = ( ) = ( ) = log ( ) = log ( ) log ( ) = log ( ) log ( = ) log + log = = log ( ) (log + log ) 0,0 + 0,8 0,90 + 0,8,8 8 = = = = = (0,0 + 0,8) 0,78,6 6 FRENTE ÁLGEBRA E TRIGONOMETRIA n Módulo Definição e Operações com Conjuntos ) O conjunto A = {; ; {}; {}; Ø} tem elementos. A relação de pertinência desses elementos é: A A {} A {} A Ø A Assim, temos: a) A e A (V) b) {} A (V) c) A (V) d) {} A (V) e) {} A (V) f) {{}, {}} A (V) g) {; } A (V) h) Ø A (V) i) {Ø} A (V) j) Ø A (F), pois Ø A k) {} A (V) l) {} A (F), pois {} A m) A (V) n) {; } A (V) o) {{}} A (V) p) {; ; } A (V) q) {} A (V) r) Ø A (V) s) A A (V) t) {; Ø} A (V) ) Sendo A = {; {}}, tem-se: ) A é verdadeira. ) {} A é verdadeira. ) {} A é verdadeira ) I) {; } X X e X II) X {; ; ; } De (I) e (II), podemos ter: X = {; } ou X = {; ; } ou X = {; ; } ou X = {; ; ; } ) O conjunto {a; b; c; d; e; f; g} tem 7 elementos, então, o total de subconjuntos é 7 = 8 ) O conjunto A = {; ; } tem elementos, então, o total de subconjuntos é = 8, incluindo o conjunto vazio. Logo, o número de subconjuntos não vazios é 8 = 7. 6

17 6) O conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de, menores que 0, é {; 0; ; 0; ; 0; } que possui 7 elementos e um total de 7 = 8 subconjuntos, incluindo o conjunto vazio. Logo, o número de subconjuntos não vazios é n = 8 = 7. III) A figura que representa (A B) C é: 7) Para S = {; ; ; 7; 9; }, A = {; ; } e B = {; ; 7; 9}, tem-se: I) A B = {; ; ; 7; 9} II) A B = {; } III) A B = {; ; } {; ; 7; 9} = {} IV) B A = {; ; 7; 9} {; ; } = {7; 9} V) B B = S = S B = {; ; ; 7; 9; } {; ; 7; 9} = {; } ) I) Todo jovem que gosta de matemática adora esportes M E II) Todo jovem que gosta de matemática adora festas M F 8) = 6 e y = 9 A = {; 7; ; ; 9} B = {; ; ; 8; y; } A B = {; 6; 9} A = {; 7; 6; ; 9} e B = {; ; 6; 8; 9; } 0)É falsa, pois A B = {; ; ; ; 6; 7; 8; 9} 0)É verdadeira, pois A B = {; 7} 0)É falsa, pois A B 08)É verdadeira, pois 8 A 6)É verdadeira, pois + y = = Resposta: São verdadeiras 0, 08 e 6 III) M E M F M (E F), que pode ser representado por: 9) Se M N = {; ; ; } e M P = {; ; }, então: M N P = {; ; ; } {; ; } = {; ; ; ; } ) I) Representando num diagrama, tem-se: 0) Se eiste A e B, então eiste A B, isto é, A B Ø ) I) Sombreando a região correspondente a A B, tem-se: II) = 00 = 0 III) O percentual de leitores que leem os jornaius A e B é 0 = 0% 00 ) I) Representando num diagrama, tem-se: II) Sombreando a região correspondente ao conjunto C, temse: 7

18 II) O número de pessoas que consomem ao menos duas marcas é = 8 6) a) f = {(0; 0); (; )} ) I) Representando num diagrama, em porcentagens, tem-se: f não é função, pois do elemento não parte nenhuma flecha. b) f = {(0, 0), (, ), (, ), (, ), (, )} II) A porcentagem de entrevistados que não preferem nem X nem Y é (0 + 8)% = 8% n Módulo Produto Cartesiano, Relações Binárias e Funções Definição, Domínio, Contradomínio e Imagem f não é função, pois dos elementos e partem mais de uma flecha. c) f = {(0, ), (, ), (, 0)} ) (0) V, () F, () F, () F, () V, () F ) Se A = {; }, B = {; } e C = {; }, tem-se: I) B C = {; } {; } = {} II) A (B C) = {; } {} = {(; ); (; )} ) I) {(0; ), (0; ), (; ), (; )} A B {0; ; } A e {; } B, sendo que A e B podem ter outros elementos. II) A B tem, no mínimo,. = 6 pares ordenados, entre eles estão necessariamente (; ) e (; ), portanto, pode-se afirmar que {(; ), (; )} A B f é uma função com: D(f ) = {0; ; } = A CD(f ) = { ; ; 0; ; } = B Im(f ) = { ; ; 0} B. d) f = {(0, ), (, 0), (, )} ) I) Se A = {} e B = {; 7}, então, A B = {(; ); (; 7)} II) As relações binárias de A em B são os subconjuntos de A B, isto é: Ø, {(; )}, {(; 7)} e A B ) I) Se n(a) = m e n(b) = p, então, n(a B) = n(a). n(b) = m. p II) O número de relações binárias de A em B é o número de subconjuntos de A B, isto é, m. p, incluindo o conjunto vazio. Assim, o número de relações não vazias é m. p 8 f é uma função com: D (f ) = {0; ; } = A CD (f ) = { ; ; 0; ; } = B Im(f ) = {0; } B 7) a) f não é função, pois a reta vertical de abscissa intercepta o gráfico em dois pontos. b) g não é função, pois a reta vertical da abscissa não inter - cepta o gráfico.

19 c) h é uma função com: D(h) = { 6} = A CD(h) = Im(h) = {y y < } ) Para t = 6 e d = 7,0. t, temos: d = 7,0. 6 = 7,0. = 7,0. =,0, se é racional 8) Se f() = e observando que, se é irracional é irracional, é racional e π é irracional, tem-se: f( ) + f f(π) = = =. = 0 9) I) f() = + f() =. + = 8 f() + 8 f() II) g() = g() = = = = f() f() 8 0) Para f() =. e g() =. + a, tem-se: I) f(0) g(0) = a = a = II) f(). g =... = 9 =. =. = =. = + = = = = ) Para h(t) =,t 9, e p(t) =,8t 7t + 6, tem-se: I) h(t) =,6,t 9, =,6,t = t = 0 II) p(0) =, = = 06 Resposta: 06 g ) Considerando que domínio de uma função real é o conjunto dos valores reais para os quais a função eiste, temos: + a) f() = eiste para Assim, D(f) = {} b) f() = eiste para 0 Assim, D(f) = { } c) f() = + eiste para todo Assim, D(f) = Respostas: a) {} b) { } c) ) A função y = eiste para > 0 > Assim D(f) = > 6) Para que a função y = f() = eista, devemos ter: ) f( + ) = não eiste para =, isto é, não eiste + f + = f. Assim, se não eiste f, o domínio da função f é 8) Na função y =, tem-se: I) Para = y =. ( ) = II) Para = y =. = Assim, o gráfico da função y = para ] ; [ é: ) Sendo C =. (F ), tem-se: 9 a) Para C = =. (F ) 6 = F F = 9 9 b) Para F = C C =. (C ) 9C = 0C 60 C = 60 9 Respostas: a) F = 9 b) C = 60 Portanto, o conjunto imagem é ] ; [ 9

20 9) Representando graficamente a função f() =, para, tem-se: +, para < ) Se B é o conjunto formado por todos os brasileiros, a função f: B que associa a cada brasileiro sua altura em cen tíme - tros, representada num diagrama de flechas, é: Portanto, o conjunto imagem é [ ; ] n Módulo Características e Propriedades da Função, Função Composta e Função Inversa I) A função não é injetiva (injetora) pois eistem elementos diferentes em B associados ao mesmo elemento em, observando que eiste mais de uma pessoa com a mesma altura. II) A função não é sobrejetiva (sobrejetora) pois Im(f) CD(f), observando que, por eemplo, não eistem pessoas com altura negativa. ) Representando a função f num diagrama de flechas, tem-se: ) Para em anos e f() em porcentagem da área da flo resta a cada ano, temos de acordo com o gráfico: 00 = 0 c = 0 c f(0) = 0 6a + 00 f(6) = 0 = 0 6b + 0 f(0) = 60 0a + 00 = 60 0b + 0 6a + 00 = 00b a + 00 = 600b c = Portanto, f() = + 0 Resposta: a = 00, b = e c = 0 f() = a 0b = 0 a 60b = 0 c = 0 a = 00 b = c = 0 ) I) Graficamente, uma função é injetora quando nenhuma reta horizontal intercepta o gráfico mais de uma vez. Assim, não é injetora a função da alternativa a. II) O gráfico da alternativa c não é função, pois eiste reta vertical que intercepta o gráfico mais de uma vez. III) O gráfico da alternativa e não é função, pois eiste reta vertical que não intercepta o gráfico com. IV) Uma função é sobrejetora quando Im = CD. Assim, não é sobrejetora a função da alternativa b, pois CD = Im = * +. V) Portanto, é bijetora (injetora e sobrejetora) a função da alternativa d I) A função não é sobrejetora, pois Im(f) = {0; } CD(f) = II) A função não é injetora, pois f( ) = f() = III) f( ). f() =. 0 = 0 IV) f( ) + f() = + = ) Se f: * + tal que f( ) = f( + ) é injetora, então: = + ( ) * + ( + ) * + = 0 > 0 = ou = > 0 + > 0 + > 0 = ou = Resposta: = ou =, se = 0 6) a) A função f é definida por f() = +, se {,,,, } +, se {6, 7, 8, 9} b) f não é injetora pois f() = f(6) = 8 c) Para os meses de agosto e novembro não se pode afirmar o final da placa, justamente por não ser injetora. d) f( + ) f() = [ + + ] [ + ] =, para =,,, e f( + ) f() = [ + + ] [ + ] =, para = 6, 7, 8

21 e) O gráfico de f é ) Se f() = + e g() =, então: a) (fog)(0) = f(g(0)) = f( ) = 8 + = 7 b) (gof)(0) = g(f(0)) = g() = = c) (fof)() = f(f()) = f() = 8 + = 9 d) (gof)() = g(g()) = g( ) = = Respostas: a) 7 b) c) 9 d) ) Se f() = e g() =, então: (gof)() = g(f()) = g( ) = ( ) = ) Analisando o gráfico podemos concluir que a) falsa de janeiro a setembro de 007 a arrecadação da Receita Federal ora aumentou ora diminuiu; b) falsa admitindo que a arrecadação da Receita Federal em setembro de 007 tenha sido de R$ 6, bilhões, temos 6,., = 0,8 > 8,8 c) falsa admitindo que em janeiro de 007a arrecadação da Receita Federal tenha sido de R$ bilhões, temos:., = 6,7 > 8,8 d) falsa embora a arrecadação da Receita Federal tenha sido crescente de fevereiro a abril de 007, e de maio a julho, ela foi decrescente de julho a agosto. e) verdadeira de fato, de julho a setembro de 007 a arrecadação da Receita Federal foi decrescente. 8) a) Falsa, pois f() = 0 b) Falsa, pois D(f) = c) Falsa, pois Im(f) = {y y 0} d) Verdadeira e) Falsa, pois para 0 < < f é decresccente 9) Se f é uma função estritamente crescente e f( 7) < f( ), então 7 < < 6 0) ) Se f() = e g() = +, então: a) (gof)() = g(f()) = g() = + = 7 b) (gof)() = g(f()) = g(6) = 6 + = 9 c) (gof)() = g(f()) = g() = + Respostas: a) 7 b) 9 c) + ) Se, o resto da divisão de por pertence ao conjunto {0; ; ; }, então, f() = 0 ou f() = ou f() = ou f() =. Assim, para g() = +, tem-se: I) Se f() = 0 (gof)() = g(f()) = g(0) = = II) Se f() = (gof)() = g(f()) = g() =. + = 0 III) Se f() = (gof)() = g(f()) = g() =. + = IV) Se f() = (gof)() = g(f()) = g() =. + = Portanto, o conjunto imagem de gof é {0; ; }, que é formado por três números quadrados perfeitos. ) Observando os gráficos das funções f e g, temos: I) f() = 0 II) (gof)() = g(f()) = g(0) = III) g() = a, com a < 0 IV) (fog)() = f(g()) = f(a) =, pois a < 0 e a função f é constante e igual a para todo valor negativo. Assim, (gof)() + (fog)() = + = 6) Se g() = e (fog)() =, então: I) f(g()) = II) g() = = = = Assim, para =, tem-se: f(g()) = f g = f + = = = 7) Se f() = + e g() = a + b, então: I) f(g()) = f(a + b) = (a + b) + = a + b + II) f(g()) = a + b + = 8 + 7

22 a = 8 a = a + b = + = 6 b + = 7 b = 8) I) f: tal que f() = y = II) Trocando por y e y por, temos: 9) = y y = + y = + f + () =, com f : III) Representando graficamente f e f, temos: ) I) A função que fornece o salário y a partir do número de horas trabalhadas h, é: y(h) = y(h) = II) y(60) = = 0 III) Para y 0, temos: y(h) = 0h 90 y = 0. h(y) 90 y h(y) = y + 90 h(y) = 0 IV) Para y > 0, temos: y(h) = h 70 y =. h(y) 70 y h(y) = y + 70 h(y) = V) A função que fornece o número de horas trabalhadas h a partir do salário y, é: y h(y) = 0h 90, para 0 h (h 60) 90, para h > 60 0h 90, para 0 h 60 h 70, para h > , para y 0 0 y + 70, para y > 0 + ) I) f() = y = II) Trocando por y e y por, temos: = + y y + + y = y y + y = y. ( + ) = y = f () = + + III) D(f ) = CD(f) = {a} = { }, portanto, a =. 0) I) f() = y = II) Trocando por y e y por, temos: = y = + y = + y = f () = ) I) Sendo o número pensado, o resultado obtido com a + sequência de operações é y = II) Trocando por y e y por, temos: = y y + y =, pois y y + = y = + n Módulo Funções Trigonométricas de um Ângulo Agudo ) Pitágoras: = + (AB) AB = sen B =, cos B =, tg B = =, sen C =, cos C = e tg C = ) sen α = = = 8 ) cos α = 0,8 = 0,8 = 6 0

23 ) 9) Seja, em metros, o comprimento do cabo. 0 0 I) sen 0 = 0, = = 0 II) %. 0 = III) 0 + = sen 0 = = = 6 0) ) 6) 0 0 cos 0 = = = = I) Pitágoras: (a) = a + = 8a = a, logo o menor lado é a. II) Seja α o ângulo oposto ao menor lado: a cos α = cos α = a tg 60 = 0 = 0. = 0.,7,6 ) I) tg 60 = = = y y y II) tg 0 = = = Então 00 =. y y = 00 ) 7) Seja, em metros, o comprimento da sombra do edifício: tg 0 = = =. = ,7 6 8) Seja, em centímetros, a altura de cada degrau: sen 0 = = =, ) I) cos α = sen α = 7 7 II) sen α = = = I) tg α = = a. tg α a II) A altura da árvore é,70 + =,70 + a. tg α

24 sen + sec + tg cos cos ) = = cos + cotg cos cos + sen + sen + sen cos cos = = = sen. cos + cos sen + sen sen =. = cos cos. ( + sen ) sen =. = (sec ). (tg ) cos cos ) f(60 ) = sen 60 + cos 60 + cotg cossec 60 tg 60 sec 60 f(60 ) = f(60 ) = f(60 ) = f(60 ) = 6) sen a + cos a = m (sen a + cos a) = m sen a + sen a. cos a + cos a = m sen a. cos a = 7) y = (sec a cos a). (cossec a sen a). (tg a + cotg a)= = cos a. sen a. + = cos a sen a sen a cos a cos a sen a cos a =.. = cos a sen a sen a sen a + cos a sen a. cos a sen a cos a =.. = cos a sen a sen a. cos a = sen a. cos a. = sen a. cos a sen a sen b cos a + cos b 8) y = + = cos a cos b sen a + sen b cos. ( + sen ) sen m (sen a sen b).(sen a + sen b)+(cos a + cos b).(cos a cos b) = = (sen a + sen b).(cos a cos b) (sen a sen b) + (cos a cos b) = = (sen a + sen b).(cos a cos b) = = 0 (sen a + sen b).(cos a cos b) 9) Para tg = t, temos: sen sen. cos + y = sen + sen. cos cos cos = = sen cos sen cos cos cos = tg + tg = tg tg a + tg b tg a + tg b 0) = = cotg a + cotg b + tg a tg b tg a + tg b tg a. tg b = = (tg a + tg b). = tg a. tg b tg b + tg a (tg a + tg b) tg a. tg b ) Para cos =, temos: cossec sec sen cos y = = = cotg cos sen = = = cos ) Para tg a =, temos: t + t t = t. (t + ) = (t + ).(t ) t t cos sen sen. cos cos sen sen = =. = cos sen sen. cos cos sen sen sen a cossec a sen a sen a y = = = sec a cos a cos a cos a

25 cos a cos a cos =. a = = sen a sen a sen a = cotg a = = = 8 tg a 8 ) Para sen =, temos: cos sen = (cos + sen ).(cos sen ) = =. ( sen sen 7 ) = = FRENTE ÁLGEBRA E GEOMETRIA PLANA n Módulo Potenciação ) = ) 0 = 0 ) =.. = ) ( ) = ( ). ( ). ( ) = ) = (.. ) = 6) = 7) ( ) = ( ). ( ) = 8) = (. ) = 9) = = 0) ( ) = = ( ) ) 0 = ) ( ) 0 = ) 0 = ( 0 ) = ) ( ) 0 + ( 6) : ( ) = 6 : ( ) 6 = + 6 = 6) sen a cos a sen a sen a = = = ) = = cos a cos a + sen a cos a 9. = = + = ) + = = =. = ) = = = ( ) = = 7 9) 00 = 00 = 99 0) número de pessoas = = 6 + = 7 ) I) = ( ) = 6 II) y = =.. = 8 III) z = =. = 9 IV). y. z = = = = n n = (,). (0,) ) (9,9) 0 ) I) caracter = 8 bits = byte II) Kb = 0 bytes III) Mb = 0 Kb IV) Gb = 0 Mb V) n = 60 Gb = Mb = Kb = = bytes = caracteres ) a) a = = 7 b = ( ) = 8 c = = = 9 d = ( ) = = ( ) 8 b) ordem crescente: b < d < c < a ) I) M sol =, kg = 9, kg 9, II) M gli = M sol = kg = = 6, kg = 6, t = 6, t 0 6) (0,) + (0,6) = 0,. 0,. 0, + 0,6. 0,6 = 0, ,008 0,06 6

26 7) a) Verdadeira: = ( ) = () 6 = 6 b) Falsa: 6 = 6 = ± = ± 6 = ± c) Verdadeira: ( ) < 6 < 8 d) Verdadeira: 0 = 0, (0 ) = (0,) 0 = 0,0 e) Verdadeira: n + + n = n. + n = n ( + ) =. n 7) =.. + = = + = = 8) =. +. = + = 8 n +. n n.. n 8) = =. n +. n. n ( ) 6 = = = n. 6 9) a = 6 ( a ) = () a = a = = 0) 0 = (0 ) = () 0 = 0 = = 7 8 ). 6 = =. (. ) 6 =. 0 6 ) 7 y = (7 y ) = () 7 y = 7 y = = 9) I) 7 = II) 8 = III) < 89 < < 89 < 7 < 89 < 8 0) I) A =. =. = 9 II) 6 = 6 III) 7 = 9 IV) 6 < 9 < 9 6 < 9 < 9 6 < A < 7 ) = = 7 + = = 8 = = + = 8 algarismos ) = =. 8 0 = ) = = 6 7 = 8 = 7 = ( 9 ) = 9 n Módulo Radiciação ) 8 = 9 = 9 ) 8 = 9 = 9 ) ) 6 = = 6 = ( ) = ) = = = = = = = 8 + = =. =. = 6) =..7 =.7. = 8 ) 6. = =. = 6 = 0. = = 6 =. 6 = ) a. a a a = a.a a a = a a. a = = a. a a = 8 = a = a a. a = ) y = 6 y = 6, = ( ), = = =, a.a = 6

27 + 6) + = ( + ) + ( ) = + ( ). ( + ) = = = () 7) +. = 6 + ) = ( ). ( ) = = = 8687 ) Para = 0, e y = 0,00, temos: + y ( y) = = y y 0,( 0, 0,00) 0,( 0,0) = = = 0,00 0,00 0,0 = 0,. =. 0 = 0, 0,00 0 8) +. + = = = + () n Módulo Fatoração ) a b 0a b = 6a b (a b) ) 6ab + b + a + 0a b = = b(a + b ) + a (a + b ) = (a + b ). (b + a ) ) ab + a + b + = a(b + ) + (b + ) = (b + ). (a + ) ) ab + a b = a(b + ) (b + ) = (b + ). (a ) ) y + + y + = (y + ) + (y + ) = (y + ). ( + ) ab + a + b + a(b + ) + (b + ) 6) = = ab a + b a(b ) + (b ) (b + ). (a + ) = = (b ). (a + ) 7) a = a = (a + ). (a ) 8) = ( + ). ( ) 9) 8a b = 9. (6 9a b ) = 9. ( + ab). ( ab) 0) = ( ) () = ( + ). ( ) = ( + ). ( + ). ( ) ).... = = = =.. = =. = b + b 6 = 66 ) Para a = 0, e b = 0,, temos: a b a b = a b(b a) = b a (b + a)(b a) a b (0,). 0, 0,00. 0 = = = = = a + b 0, + 0, 0,. 0 =. 0 = = = ) Para = 0, e y = 0,0, temos: y (y ) 0,(0,0 + 0,) = = = y y 0,0 0,. 0, 0,. 0, = = = 0, 0, 00 6) ( + m) = +.. m + (m) = + m + 9m 7) (a ) = a. a. + () = a 6a + 9 8) ( + ) = () +. + () = + + = = 8 + 9) a + a + = a +.. a + = (a + ) 0) 9a + 0ab + b = (a) +. (a). (b) + (b) = (a + b) ) = +.. ( 9 ) + ( 9 ) = ( 9 ) + y y ( + y). ( + y). ( y) ). = = y y + y + y y( y). ( + y) ( y). ( + y) = = y( y). ( + y) 0 a + a b a (a + b) a ) = = a + ab + b (a + b) (a + b) y 7

28 [( + ). ( + )] ) = = ( + ) = = = ( + ) ( + ) ( ) = = ( + ) + ) a + b a b a + b. = a b a + b ab = (a + b) (a b) a + b. = (a b). (a + b) ab = a + ab + b (a ab + b ) a + b. = (a b). (a + b) ab ab (a + b) =. = (a b). (a + b) ab 6) ( + + ) = ( + + ) = ( + ) = = () +. + () = = a + b a = 8 e b = 6 b a a( + ab) + b a 7) I) M = a + = = + ab ( + ab) a b + b b(a + ) = = ( + ab) (ab + ) ab a ( + ab) (ab a ) II) N = = = + ab ( + ab) + a (a + ) = = + ab (ab + ) 8) a + b a b ab. (a + b). ab(a b) = = a ab a b b a(a b). b(a b ) (a + b) = = (a + b)(a b) (a b). () ( + ) 9) y = = = ( + ). ( ) = = = ( + ). ( ) ( + ). ( ) a b b(a + ) M ab + b(a + ) III) = = = b N a + a + ab + ( ) = = ( + ). ( ) + ( ).( + ) ( + ) 0) = = ( + ). ( ) + = = = ( + ). ( ) ( + ). ( ) ) Para = e y =, temos: ( + y ). ( y ). ( + y + y ) = = y = ( + y ). ( + y + y ) = () = 6 = + ( y ). ( + y) ( + y ). ( + y + y ) ) Se m + n + p = 6, mnp = e mn + mp + np =, então: (m + n + p) = 6 m + n + p + (mn + mp + np) = 6 m + n + p +. = 6 m + n + p = m + n + p Portanto, = = 7 mnp ) a + b c ab = (a ab + b ) c = (a b) (c) = = [(a b) + c]. [(a b) c] = (a b + c). (a b c) ) (a + b + c) = [(a + b) + c] = (a + b) + (a + b). c + c = = a + ab + b + ac + bc + c = a + b + c + ab + ac + bc ) + = b + = b = b + = b n Módulo Introdução ao Estudo da Geometria Plana e Triângulos ) Como r // s, então A + B = 80 e, pelo enunciado, B = A, assim: A + B = 80 A + A = 80 A = A = = e B = A =. = Logo, B A = = 90 = ( ) 8

29 ) = 80 (os ângulos são colaterais) + = 80 = 80 = 6 6 = = 6) Conforme a figura: ) ) Traçando uma reta t, pelo vértice do ângulo α, paralela às retas r e s, tem-se: α = + 0 α = = 80 6 = = 0 = = 0 6 Pelo teorema do ângulo eterno, no triângulo, b = 60 + = = = 00 7) Traçando as retas t e p, pelos vértices dos ângulos 0 e 70, respectivamente, paralelas às retas r e s, tem-se: Traçando uma reta t, pelo vértice do ângulo, paralela às retas r e s, e sendo a medida do ângulo, tem-se: = + = 00 ) α = 0 8) α + 80 = 80 α = α = 00 9

30 ângulo central comprimento do arco ) 7, 800 km 60 C Como as grandezas são diretamente proporcionais, tem-se: 7, 800 km 800 km = = 60 C 0 C C = km = km Resposta: km ) = 80 = = 0 9) I) No triângulo ABC, temos: = 80 = = y + z = 80 (y + z) = 0 y + z = 70 II) No triângulo BCI, temos: + y + z = = 80 = 0 0) ) Pelo Teorema do ângulo eterno, = = 0 α + 90 = α 90 = α α = 0 ) ) I) A ^DC = 90 A ^DB = 90 0 = 60 II) ^C = ^C = 0 III) No triângulo BCD, C ^BD = = 00 I) No triângulo AHC, temos: ^A = = 60 II) No triângulo AHS, temos: H ^SA = = 60 III) No triângulo BAS, temos: = 80 = = 0 0

31 6) 9) 7) ^ I) B = = 0 II) r é a bissetriz de ^B, então C ^BR = III) B ^RA = + 0 = 8 Então, γ = 80 γ = γ = Se ^A ^ 80 0 = 0, então, no triângulo ABC, B = ^B = 80 e ^C = 80 No triângulo BCP, tem-se: θ θ = 80 = = 00 0) 8) I) f + f = 80 f = 80 f = 6 II) f + = 90 = 90 f = 90 6 = Como NQ = NH então, θ = N ^QH = N ^HQ = Pelo Teorema do ângulo eterno, no triângulo NQH, β = + = 70 Como o triângulo MPN é isósceles, então ^ P = = 0 No triângulo PGH, 0 + α + = 80 α = 0 Logo, α + β + θ = = 0 ) I) No triângulo ABC, temos: α + + = 80 α+ = 80 II) No triângulo BOC, temos: α + + = 80 α + = 80 α + = 80 α = 80 III) α + = 80 6α + = 60 α = 80 α = 6 I) No triângulo ABD, AB = BD, então B ^DA = B ^AD = II) C ^BD é ângulo eterno do triângulo ABD, assim, C ^BD = + = III) No triângulo BCD, BD = CD, então D^CB = C ^BD = IV) y é ângulo eterno do triângulo ACD, assim, y = + =

32 ) ) Seja R, o raio da circunferência. I) No triângulo ABC, BA = BC, então ^A = ^C 80 y = 80 = y II) No ponto D, + y + 80 = 80 = y = 0 III) ^A = ^C = = = 80 Se MN = OP e OP = R, então MN = R α Logo, α = β + β α = β = β IV) ^A + ^B + ^C = ^B + 80 = 80 ^B = 0, portanto, A ^BC = 0 ) ) I) Como o triângulo ADC é isósceles, então: ^ 80 0 A = = = 7 II) Se A ^DC = 7, então, B ^DC = 0 III) Como AB = BC, então ^A = ^C = 7, logo, B ^CD = 7 0 = IV) No triângulo BCD, y = 80 y = 0 Então, + y = = 0 + = 80 = 80 = 0, portanto, C ^AB = 0 Resposta: 0