MATEMÁTICA CADERNO 3 SEMIEXTENSIVO E FRENTE 1 ÁLGEBRA. n Módulo 9 Sistemas Lineares II

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1 MATEMÁTICA CADERNO SEMIEXTENSIVO E Assim: A tem R$,, B tem R$ 8,, C tem R$ 9, e D tem R$ 6,. FRENTE ÁLGEBRA n Módulo 9 Sistemas Lineares II x + y + z = x + y + z = ) y + z = y + z = 6z = 8 z = ) x + y + z = x + y + z = y + = z = z = z = x + + z = y = z = x = y = z = x + y = x + y = x + y = y + z = y + z = w + ( w) = z + w = z = w z = w y + w = y = w y = w A + B = 7 B = 7 A ) A + C = C = A B C = B C = B = 7 A B = 7 A C = A C = A (7 A) ( A) = 7 A + A = B = 7 A B = 7 B = C = A C = C = A = A = A = 6) Seja t o número de rolos de m, e v o número de rolos de m. Total de rolos 8: t + v = 8; 8m de arame: t + v = 8. t + v = 8 t + v = 8 t + v = 8 t + v = 8 segunda equação menos o dobro da primeira t + v = 8 t = 8 t = 8 v = x + y = x + y = x + y = x = / w = w = / w = / w = / z = w z = / z = / z = / y = w y = / y = / y = / 7) x + y + z = x + z + t = y + z + t = 7 x + y + t = Logo ab c d = x y w z = = 6 ) Seja h o número de homens e m o número de mulheres que aguardam o Dr. Antonio. Chegando o Dr. Antonio o número de homens será h + e teremos: h + = m h = m h m + = h = m + Igualando e teremos: m = m + m = h = m = = O total de pessoas aguardando o Dr. Antônio será 9 (h + m = + = 9) A + B + C + D = 78 A + B + C + D = 78 B = A ) B C = A A = = C + = D D = A + A + A + A + A + = 78 B = A C = A D = A + A = B = = 8 C = = 9 D = + = 6 Observe que somando as quatro equações teremos: x + y + z + t = x + y + z + t = x 8) y = z k Multiplicando nas matrizes teremos: x + y z = x + y + z = x + y z = k a) Somando as duas primeiras equações: x + y z = y = 7 x + y z = k b) (Terceira equação) (primeira equação): x + y z = y = 7 y = k Para que as duas últimas equações sejam compatíveis é neces sário que k = 7 k =. Neste caso o sistema é possível e indeterminado, verifique que a última equação é a soma do dobro da primeira equação com a segunda equação.

2 9) x + y + z = x + 7y + z = x + 9y + z = = = Sistema possível e determinado, e a única solução é a trivial: S = {(; ; )}. ) = ± ± = = m = = m = ou m = x + y y = x + y + z = x y z = x x + y + z = ) 7 y = x y + 7z = z x y z = 7 = = Como o determinante do sistema é nulo, o sistema é possível e indeterminado. Descartando-se a segunda equação e subtraindo a terceira da primeira teremos: x + y + z = 6y + 6z = Fazendo z = k o conjunto solução será: 8 S = k; k; k k x + y = z x = z 6 6z y = 8 y = z 6 ) (x + y z) + (x y) + (z ) = Como x, y e z são números reais e a equação acima é a soma dos quadrados de três números reais, as parcelas da soma são maiores ou iguais a zero. Como a soma é zero, então cada parcela é nula: ) a) Para soluções não triviais o sistema é possível e indetermi - nado e, portanto, p n =. b) Para p = + = = x + y z = x my z = x + y + mz = m a) Para que o sistema admita uma única solução, p = q = n =. Logo o determinante do sistema deve ser não nulo: m m m m(m + ) m m e m. Observe que para m = o sistema é homogêneo, e, portanto, possível; nesse caso p = q = n =. E o sistema admite infinitas soluções. O único valor que m não poderá assumir é, portanto,. x + y z = x + y z = b) m = x z = x = z x + y = y = z Fazendo z = k, o conjunto solução será: S = {(k, k, k) k ) x + y z = x y = z - = x = y = z = Assim, x + y + z = + + = x + y + z = x my + z = z + 6y mz = x + y z = x + x = x = y x = y z = z = ) x + 7my + 6z = my + z = (m )x + y mz = Se o sistema deve admitir soluções diferentes da trivial, o sistema é possível e indeterminado e, portanto, o determi - nante do sistema deve ser nulo: 7m 6 m m m m = ou m = = m m = Para o sistema admitir soluções diferentes da trivial o sis - tema deve ser possível e indeterminado, logo o deter minante do sistema é nulo: m 6 m m 6 = 8m m 8 + 6m = 6) a x + y a z = x a y + z = x + y z = a a a = a + = a = a = ± 8m + m + = m + m + =

3 n Módulo Números Complexos ) ( + 7i) ( i) = i + i i = + i + = 9 + i ) f(z) = z z + f( i) = ( i) ( i) + = = i + i + i + = i ) x + (y )i = y + xi, (x e y são reais) x = y x y = y = x x = y (y ) = y x = y = ) I) z = a + 8ai e z = + bi, (a, b ) z + z = (a ) + (8a + b)i II) (z + z ) deve ser imaginário puro, então a = e b a = e b Resposta: a = e b ) I) (a + i) ( + i) = a + ai + i + i = (a ) + (a + )i II) (a + i) ( + i) deve ser um número real, então a + = a = 6) (a + i) = (a + i) (a + i) = (a + ai + i ) (a + ai + i ) = = [(a ) + ai] [(a ) + ai] = [(a ) + ai] = = (a ) + (a ) ai + a i = (a ) a + a(a )i Para que (a + i) seja um número real, devemos ter: a (a ) = a = ou a = a = ou a = ± Assim, a pode assumir valores reais, a saber:, e i ( i) ( i) i i + i i 7) = = = = + i ( + i) ( i) i ( ) i = = i + i ( + i) (7 + i) + i + 7i + i 8) = = = 7 i (7 i) (7 + i) 7 (i) + 7i + 7i + 7i 7 = = = = + i 9 i 9 + z 9) x + yi (x + yi) ( i) x + yi xi yi = = = = z + i ( + i) ( i) i (x + y) + (y x)i (x + y) (y x) = = + i, então: + y x = y x = x y = + i ( + i) ( + i) ( + i) + i + i i ) = = = = = i i ( i) ( + i) i + Logo, + i = i = i ) I) ( + i) = [( + i) ] = ( + i + i ) = (i) = i = i II) i i i = = = = ( + i) i i i i i 6 + i i ) = + i + i = = i i i 9 9! ! ) I) n = = = = 6! (9 )!! II) k = i + i + i + i + i + i 6 + i 7 + i i + i 6 = i + i 6 = = = = i + i = i = + i ) ( + i) = ( + i) ( + i) ( + i) = = ( + i + i ) ( + i + i ) ( + i) = (i) (i) ( + i) = = i ( + i) = ( + i) ) ( + i) = [( + i) ] = [ + i + i ] = (i) = i 6) ( i) 6 = [( i) ] 8 = [ i + i ] 8 = ( i) 8 = 6i 8 = 6 7) Sejam u = a + bi u = a bi e v = c + di v = c di I) u + v = i (a bi) + (c di) = i (a + c) (b + d)i = i a + c = b + d = II) u v = 6 (u v) (u + v) = 6 [(a + bi) (c + di)] [(a + bi) + (c + di)] = 6 [(a c) + (b d)i] [(a + c) + (b + d)i] = 6 III) Substituindo (I) em (II), temos: [(a c) + (b d)i] [ + i] = 6 (a c) + (a c)i + (b d)i + (b d)i = 6 [(a c) (b d)] + [(a c) + (b d)]i = 6 + i (a c) (b d) = 6 (a c) + (b d) = a c = b d = a + c = a = a c = b = u = i IV) u v = i b + d = c = v = + i b d = d =

4 8) Para z = a + bi e z = a bi, temos: z + z + z + z = + 8i z + 6z = + 8i (a + bi) + 6 (a bi) = + 8i a + bi + 6a 6bi = + 8i a bi = + 8i a = b = 8 a = b = z = i b) Fazendo (I) (II), temos: 9) Para z = a + bi e z = a bi, temos: z = z (a bi) = (a + bi) a bi = a + abi + b i a bi = (a b ) + abi ou a b = a ab = b a b = a b(a + ) = a b = a a b =a b = a = ou ou ou a = a = a b = a = b = a = b = b = a = a = ou ou b = b = z = ou z = ou z = + i ou z = i ) Para z = x + yi e z = x yi, temos: z z = (x + yi) (x yi) = x + y =, que representa uma circunferência de centro na origem e raio. ) a) (I) z z = (x + iy) (x iy) = x i y = x + y = Os pontos (x, y), da última equação, descrevem uma circunferência de centro na origem e raio. Assim, as intersecções são os pontos P (; ); P (; ); P (, ) e P (; ). Respostas: a) z = ; Re(z) = ou Im (z) = b) (; ), (; ), ( ; ) e (; ) z = + i Im(z ) = ) Im(z ) Im(z ) z = 7i Im(z ) = 7 n Módulo Função Polinomial ) Se P(x) = x + ( + m)x + ( + m)x + m, então: P(m) = m + ( + m). m + ( + m)m + m = = m + m + m + m + m + m = = m + m + 6m ) P(x) = x n x n + x n + x x + ; P( ) = 9 Como os sinais dos coeficientes se alternam e x tem coefi - ciente positivo, todos os termos que possuem coeficiente positivo têm expoente par e, portanto, n é par. Para x =, tem-se: P( ) = ( ) n ( ) n + ( ) n + ( ) ( ) + = = = 9 8 termos (pois 8 + = 9) Como de ( ) n a ( ) temos 8 termos, então n = 8. ) Se. P(x) + x. P(x ) = x + x +, então: I) Para x = fi. P() +. P( ) = P() = P() = II) Para x = fi. P() +. P( ) = P() +. P() = + +. P() +. =. P() = P() = Pode-se, também, observar que: x + y = x + y = z = (II) (z ) = z (x iy) = (x + iy) x xyi + i y = x + xyi + i y xyi = x = ou y = Re(z) = ou Im(z) = ) Em P(x + ) = x 7x + 6, substituindo x por x, tem-se: P(x + ) = (x ) 7(x ) + 6 P(x) = x x + 7x P(x) = x 9x + ) I) P(x) = ax + bx + cx + II) P( x) = a( x) + b( x) + c( x) + = ax + bx cx + III) P(x) P( x) = ax + cx

5 IV)Se P(x) P( x) = x fi ax + cx = x, então: a = a = c = c = V) P( ) = fi a + b c + = fi fi + b + = b = Assim, P(x) =. x. x + e, portanto, P() = + = e P() = = 6) Para que o polinômio p(x) = (m )x + (m 6)x + (m + )x + tenha grau, devemos ter: m = fi não existe m m 6 m = m e m 7) gr(f) = n + gr(g) = n f(x) r(x) g(x) q(x) I) gr(q) = gr(f) gr(g) = (n + ) (n ) = + = fi gr(q) = II) gr(r) gr(g) fi gr(r) n ; n Œ *, n 8) x (x + x ) + x + x x x = = x x x + x + x x x = x x +. x +. x = =. x +. x +. x 9) I) ax + b(x + ) + c(x + ) = (x + ) ax + bx + bx + b + cx + cx + c = x + 6x + 9 (a + b + c). x + (b + c). x + b + c = x + 6x + 9 II) a + b + c = b + c = 6 a + b + c = b + c = b + c = 9 b + c = 9 a + b + c = b + c = 9 a + b = b = a = b = c = c = c = III) a b + c = ( ) + = + + = 7 ) I) P (x) = (m + n + p)x (p + )x + mx + (n p)x + n II) P (x) = mx + (p + 7)x + mx + m III) P (x) = P (x) m + n + p = m + n + p = p = m m + p = m = p + 7 m = p + 7 n p = m n p = m n = m n = m m + n + p = p = m = n = x + A B ) = + x x x + x + A. (x + ) + B. (x ) = (x ). (x + ) (x ). (x + ) Ax + A + Bx B = x + (A + B). x + (A B) = x + A + B = A B = A = B = 8 a b c 8 ) = + + = x x x x x + x. (x ). (x + ) a. (x ). (x + ) + b. x. (x + ) + c. x. (x ) = x. (x ). (x + ) a(x ) + bx + bx + cx cx = 8 (a + b + c)x + (b c)x a = 8 a + b = c = b c = a = b = a = 8 c = ) P(x) = x 7x + x + Q(x) = x 8 m = n = p = I) x 7x + x + x 8 x + 8x x R(x) = x + x + II) R(x) = x + x + A = ; B = ; C = III) A + B + C = + + = ) x + 69 x + x + 8 x x 8x x x + 8 x 8x x + 6x + x 8x + x x x 6

6 ) I) P(x) =. (x + ) + x. (x ) + 8 = = x + x + + x x + 8 = x + x + II) x + x + x + x + x x 7 ) Note que x + x = (x + ). (x ) Fazendo P(x) = x 8 +. x 79 x x, temos: I) x 8 +. x 79 x x x + r Q (x) r = P( ) = ( ) 8 +. ( ) 79 ( ) ( ) = = = 7 fi P( ) = 7 6) P(x) x + x + x fi II) x 8 +. x 79 x x x r Q (x) fi P(x) = (x + ). (x ) + (x + ) P(x) = x x + x + x + P(x) = x x + x r = P() = = + = fi fi P() = III) P(x) (x + ). (x ) fi R(x) = ax + b Q(x) fi P(x) = (x + ). (x ). Q(x) + ax + b 7) I) P(x) x + x x + x Portanto: P(x) = (x + x ). (x ) + x + II) P() = ( + ). ( ) +. + = + + = 8) I) x + mx x + x x x + x x + (m ) (m ). x + x (m ). x (m ). x + m ( m + ). x + m II) ( m + ). x + m =. x + m = m + = m = P( ) = 7 IV) fi fi R(x) = x P() = a + b = 7 a + b = a = b = V) R() =. = ) x + x x x por x + Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini: + coeficientes 7 resto Q(x) = x x + x 7 e resto nulo ) Pelo dispositivo de Briot-Ruffini: coeficientes resto 9) I) ax + x ax + x ax + ax ax + ( + a) ( + a)x ax + ( + a)x + 6a + ax + 6a + II) r() = fi r() = a + 6a + = fi a = fi a = III) Q(x) = ax + ( + a) = x + [ +. ( )] = x IV)Q() =. () = = Q(x) = x + x e resto igual a Pelo Teorema do resto: P( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + = + + = ) Utilizando o Teorema do resto: r = p =.. + = + 8 =. + = 8 + = = 8 8 6

7 ) Pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini: coeficientes Q(x) = x + x + x ) Pelo Teorema do resto: resto r = P() = = + + = 6) Pelo Teorema do resto: r = p() =. k. 7 =. k = k = 7 k = 8 7) I) f x fi f(x) = (x ). (x + ) + kx 9 kx 9 x + II) Se f(x) é divisível por x, então f() =, portanto: ( ). (. + ) + k 9 =. + k 9 = k = 6 k = 8) Pelo Teorema do resto, temos que o resto é igual a p(), então: a.. + = 7a 6 + = 7a = 9 a = 9) I) Se P(x) é divísivel por x, então: P() = fi + a. b = +. a b = 6 + 8a b = 8a b = 6 II) P(x) dividido por x + dá resto 8, então: P( ) = 8 fi ( ) + a. ( ) b. ( ) = 8 + 6a + b = a + b = 8a + b = 8a b = 6 a = III) 8a + b = b = 8 p() = ( ). q() + fi. q() + = q() = q() = fi r = ) I) Pelo Teorema do resto, p() = e p() = II) Notar que x x + 6 = (x ). (x ). Portanto, temos: p(x) (x ).(x ) fi r(x) = ax + b Q(x) fi p(x) = (x ). (x ). Q(x) + ax + b III) fi p() = p() = a + b = a + b = a = b = fi r(x) = x FRENTE ÁLGEBRA n Módulo 9 Sequências e Progressão Aritmética ) Se a =, a = e a n + = a n + a n +, "n Œ *, então: I) a = a + a = + = II) a = a + a = + = 7 III) a = a + a = + 7 = IV) a + a + a + a + a = = 6 n + n ) I) a n = = =, "n Œ * n + n + n + II) a. a. a.. a 98. a 99 = =..... = =, 99 ) Na P.A., tem-se a 7 = e r =, então: a 7 = a + 6. r fi = a + 6. = a + a = 8 ) Sendo p(x) = x + ax + bx, pelo Teorema do resto, temos: p() = 8 + a + b = fi p() = + a + b = a + b = a + b = a = 6 b = 9 ) I) Se p(x) é divisível por x, então p() = II) p(x) x fi p(x) = (x ). q(x) + q(x) III) Chamando de r o resto da divisão de q(x) por x, temos: r = q() IV)Para x =, temos: ) O décimo quinto termo da progressão aritmética (; 7; 9; ) é a = +. =. ) A população mundial atual é de, bilhão de pes soas, ou seja, 6, bilhões de habitantes. Assim, na progressão aritmética (p, p, p, ) que determina o número de habitantes da Terra em (7, 8, 9, ), respectivamente, temos: I) p = 6, bilhões e p = 6,9 bilhões, portanto, a razão (r) da progressão é, em número de habitantes, r = (6,9 6,) bilhão =,9 bilhão. II) p 9 = p + (9 ). r = (6, + 8.,9) bilhões = = 7,7 bilhões. 7

8 O número de habitantes da Terra que, em, não terá água potável será de. 7,7 bilhões =, bilhões. 6) I) (; ; 6; ; ) é uma P.A. de razão, então: a n = a + (n ). r fi = + (n ). = (n ). = n n =, assim, o restau - rante serviu refeições após dias de funcionamento. II) Não abrindo aos domingos, cada semana tem 6 dias de funcionamento do restaurante, assim: 6 fi = III) Se o primeiro dia de funcionamento foi uma segundafeira, dias depois equivalem a 7 semanas de segunda a sábado mais dias, o que ocorreu numa quarta-feira. 7) Observando-se que. f(n) +. f(n) f(n + ) = = + = f(n) +, a sequência definida por é uma P.A. cujo f() = f(n + ) = f(n) + primeiro termo é f() = e cuja razão é r =, assim: f() = f() +. r = +. = + = 8) I) II) fi 9 + ( 7) = é múltiplo de fi 7 7 = é múltiplo de III) Os múltiplos de entre 9 e 7 estão em P.A. com a =, r = e a n =, assim: a n = a + (n ). r fi = + (n ). = + n 9 = n n = 9 Resposta: 9 r + r 9) r = 6r = r r = r = ) I) Se a for a idade do filho do meio e r for a razão, podemos 8 re presentar essas idades por a r; a r; a; a + r; a + r II) Pelo enunciado: (a r) + (a r) + a + (a + r) + (a + r) = (a + r) (a r) = a = r = III) As idades são: ; 7; ; ; 6. IV) A idade do ọ filho é. ) Sendo x a quantia emprestada por cada irmão, em milhares de reais, tem-se: I) ( x; + x; 7 x) é uma P.A., então x + 7 x + x = 8 + x = x 6x = x = II) O valor emprestado, acrescido de % é dado por x., =.., = 9,6 III) 9,6 milhares de reais = 9 6 reais ) Na P.A., a 9 + a n 8 = a + a n, pois 9 + n 8 = + n, assim: a 9 + a n 8 = (x ) + (x + ) = = x x + x + x + x + x + = x + 6x ) a 6 + a n = a + a n, pois 6 + n = + n. Portanto, a 6 + a n = a + a n = ) Os n primeiros números ímpares (,,,..., n ) formam uma progressão aritmética de primeiro ter mo a =, milésimo termo a =. = 999, e cuja soma é dada por: (a + a n ). n ( + 999). S n = S = S =.. ) Observando que 7 e 7 concluímos que o primeiro múltiplo de 7 após o é a = + (7 ) = e o múl tiplo de 7 que antecede o é a n = =. A soma pedida é, portanto, ( + ) S n = =. n Como a n = a + (n ). r, temos que = + (n ). 7 n = n = ( + ) Então, S n =. = 7. = 67 6) S = (a + a ). = 7 (a + a ) a = 6 = a 6 = 7) Se T n representa o enésimo número triangular, então T = T = + T = + + T n = n

9 ( + ) Portanto, T = =. = 8) Os números naturais n, n 999, que, divididos por 9, deixam resto, são os termos da progressão aritmética: (; ; 9;...; 99), de razão r = 9 Fazendo a = e a p = 99, tem-se: a p = a + (p ). r fi 99 = + (p ). 9 p = ( + 99). e S p = S = = 6 9) I) Se (a, a, a,, a ) forem os primeiros termos de uma ) progressão aritmética, de razão, que representam os preços dos DVDs, então a = a + ( ). a = 7a a = 8 a = 6 II) A soma do primeiros termos da progressão aritmética (8,,,, 6, ) é S =. = 8 ) S = a =. +. = S = a + a =. +. = Portanto, a = e, a + a = a = a = 9 consequentemente, r = a a =. ) a) a + a 9 = a + a + 8r = a + r + a + 7r = a + a 8 (a b) S 9 = a 9 ). 9 = 7 87 e como a + a 9 = a + a =. a, tem-se:. a. 9 = a = 7 87 a = 986 Respostas: a) demonstração b) 986 n Módulo Progressões Geométricas ) Por exemplo, q = e a = (a n ) = ( ; ; ; 8;...) estritamente decrescente. ) Considerando a P.G. ( ; ; ), a razão é a q = = =, e o terceiro termo é a a = a. q =., = ) A sequência em questão é uma progressão geométrica de ọ termo a = e razão q =. Como a n = a. q n, o ọ termo é a = a. q =. =. =. = 876 e < 876 <. Observe na figura que o ponto A de início da busca é o centro de um quadrado, onde um dos vértices é o ponto N, local do naufrágio. Se AN = milhas, o último trecho percorrido pela equipe antes de atingir os naúfragos é lado de um quadrado de milhas de lado. Assim, a equipe andou =. ( ) = ( + ). =. = milhas e levou = horas. ) Na progressão geométrica dada tem-se a = e q = e, utilizando o termo geral a n = a. q n, resulta a = a. q =. = = = Resposta: ) Em 9, a pintura valia dólares. Em 9, a pintura valia (. ) dólares. Em 9, a pintura valia (. ) dólares. Em, a pintura valia (. ) dólares = dólares. 9

10 6) I) horas = 8 min = 9. min II) Após horas, o número de bactérias da espécie que divide-se em duas a cada minutos, é o 9 ọ termo da P.G. (,,, ), assim, a 9 = a. q 8 =. 8 = 8 III) horas = 8 min = 6. min IV) Após horas, o número de bactérias da espécie que divide-se em duas a cada minutos, é o 6 ọ termo da P.G. (,,, ), assim, b 6 = b. q =. = a 8 9 V) A relação pedida é = = = 8 b 6 7) Na P.G.(; a; ), tem-se a = e q = a. Se a 9 = 6, então: a 9 = a. q 8 fi 6 =. a 8 8 = a 8 8 a = ± 8 = ± 8) A cada ano que passa, o valor do carro passa a ser 7% do valor do ano anterior (% % =7%). Se v é o valor do ọ ano, no oitavo ano, o car ro estará valendo a 8 = a. q 7 = v. (,7) 7 = (,7) 7. v 9) Sendo a =, q =, a n = 79 e a n = a. a n, resulta 9 79 =. n 6. = n 8 = n n = 8 n = 9 9 ) Se ( ; ; x) é uma P.G., então: () =. x =. x x = =. = = = = 9 ) I) Se ; a; 7 é uma P.G,. com a >, tem-se: a = a. q 7 =. q q = 8 fi q = 9, pois a > II) Se (x; y; z) é um P.A. com x + y + z = e razão r = q = 9, tem-se: x + y + z = y + y + y + = x = y 9 x = y 9 z = y + 9 z = y + 9 y = y = x = y 9 x = z = y + 9 z = ) Na P.G.(; 6; 8; ), temos a = e q =. Então, a = a. q =. O produto dos primeiros termos da P.G. é P = (a. a ) = (.. ) =. = =. e todos os termos são positivos. Resposta: P =. a = 6) I) fi a n = a. q n = n = q = II) P n = (a. a n ) n = 9 fi n = 9 n n = 9 n n = 9 n n 6 = fi fi n =, pois n > n n ) Se x, x +, x estão em P.G., nesta ordem, então (x + ) = x (x ) x + x + = x x x + = x 8x = x =. 8 ) Se (log a; log b; log c) é uma P.A., então: log a + log c log b =. log b = log a + log c log b = log(a. c) b = a. c fi (a; b; c) é uma P.G. ) Se ( + x; + x; 6 + x) é uma P.G., então: ( + x) = ( + x). (6 + x) 9 + 6x + x = 6 + x + 6x + x x = Assim, para x =, tem-se a P.G. (; 6; 9), cuja razão é 6 9 q = = = 6 a. (q n ) 7) Na P.G. (; ; ; 8; 6; ), sendo S n =, tem-se: q a. (. (q ) ) S = = = = ( ) = 6 q 8) I) P.G.(; ; 9; ) q =. ( 7 ) 86 II) S 7 = = = 9

11 9) A quantidade de área desmatada a cada ano, em km, são os termos da progressão geométrica (; 6; ; ; ). A área total desmatada nos n anos em que ocorreram desmatamentos, em km, é a soma dos n primeiros termos dessa progressão. Desta forma: a. [ n [q n ] ] S n = = = 8 q n = 7 n = 8 = 7 n = 7 Resposta: n = 7 ) O número de gotas que vazaram a cada hora são os termos da progressão geométrica (; ; ; 8; ) Durante as horas do dia vazaram S =. ( ) gotas, correspondente a = litros, ou seja, litros. II) a n = a. q n fi =. 6 n 6 = 6 n fi 6 = 6 n = n n = III) Para q = 6 e n =, tem-se q > n ) Para x = e x n = a. x n, tem-se: x = a. x = a. = a x = a. x = a. a = a x = a. x = a. a = a Assim, a sequência (x ; x ; x ; ) = (a; a ; a ; ) é uma P.G. de primeiro termo x = a e razão q = a a) Quando a =, tem-se a P.G. (; ; ; ), assim, x = x. q = a. a = a = = 8 b) Quando a =, tem-se a P.G. (; ; ; ), assim,. ( 8 ). (66 ) x + x + + x 8 = S 8 = = =. 66 = = 98 Resposta: a) x = 8 b) x + x + + x 8 = 98 ) a. (q n ) S n = q a = q = S n = 8. ( n ) fi 8 = ) I) = = 9 n = 66 n = 66 n = 8 n = 8 a a ) I). q = = a a. q 6 = = a q = = q = 8 q = a q 8 q II) a. q = fi a. ( ) = a = II) Para poder fazer o empilhamento indefinidamente, h. Portanto, o menor valor é. 6) Os triângulos equiláteros construídos de acordo com o enunciado terão as medidas dos lados constituindo uma progressão geométrica de primeiro termo cm e razão, isto é: (,,, ).. [( ) 8 ] III) S 8 = = = 8 ) Sendo a =, a n = e S n = 8, tem-se: a a q n I) S n =. (q n ) a = = q q a q n. q a a n. q a = = fi q q q fi 8 = 8q 8 = q q 86q = 6 q = 6

12 A soma S dos perímetros da infinidade de triân gulos cons - truídos, em centímetros, é dada por: S = S =. ( ) =. = = ) x x x x x 9... = 7 x x x x x = 9 7 x x = x x + = x = ou x = ; O conjunto solução da equação é. 7) A soma das áreas dos infinitos círculos é S = π. + π. + π. +..., que é a soma dos infinitos termos da P.G. em que a = 9π e q =. a a 8) I) S =, em que a = e q = fi q 6 II) log S = fi log = = a = a a a 9) I) S =, em que S = e q 8 a = 8 fi = q 8 8 = q q = 8 q = q = x x x x ) x = 6 = x = 6 x =. 6 x = a Logo, S = 9π 9π 6π = = = = π q a fi S = = 6 a II) O quinto termo dessa progressão é a = a. q = 8. = 8. = 6 n Módulo Fatorial, Números Binomiais e Triângulo de Pascal ou Tartaglia!.. 9! ) = =. = 9! 9! )!!.. 9!. 9!. 9!. ( ) = = 9! 9! 9! = =. = (n + )! (n + ). n. (n )! ) = = (n + ). n = n + n (n )! (n )! ) (n + )! + (n + )! =. (n + )! (n + ). (n + ). (n + )! + (n + ). (n + )! =. (n + )! (n + ). (n + ) + (n + ) = n + n + n + + n + = n + 8n = n. (n + 8) = fi n =, pois n )! ! = = 98 98!.! 98!.. =. 99 = 9 9 x + 6) Se = 7 x, podemos ter: x + x x + I) = x = x x fi x + < x < x < fi x = ou x = II) Para x, tem-se: (x + )! (x )!. = 7.!(x )!!(x )!. (x + ). x. (x )! 7. (x )! =.... (x + ). x 7 (x + ). x = = 7..

13 x + x = x + x = x = 6, pois x Resposta: V = {; ; 6} 7) = k = p ou k + p = n, pois se k + p = n os números binomiais são complementares. 8) = x = x 7 ou x x 7 9) ) n k n p x + x 7 = 6x = ou x = 6 x = ou x = Resposta: V = {; } Utilizando a Relação de Stifel, observando as duas linhas do Triângulo de Pascal acima, tem-se: + = m m m m m p p m m m m m m m p p m m I) m e m são números binomiais complementares, p m p pois p + m p = m, então, m = m = II) Utilizando a Relação de p m p Stifel, observando as duas linhas do Triângulo de Pascal acima, tem-se: + = fi m p m p fi + = m = p m p ) = = = 6, pois é a soma de todos os números binomiais da linha. Resposta: 6 ) = = = 6 = 6 = 6 Resposta: 6 m p k = k k = 6 k ! ) = = = =!! k = k ! = =. =, pois é a soma dos primeiros...! elementos da coluna, e o resultado localiza-se na linha seguinte ( + = 6) e na coluna seguinte ( + = ), em relação ao último binomial somado. Resposta: ) k + = = = k 6 7 k = 7! ! = = = 7. =, pois é a soma dos!!!... primeiros elementos de uma diagonal, e o resultado localizase abaixo do último binomial somado. Resposta: ) = = = p = p 6! ! = = = 6!6! ! Resposta: 6 m 6) = = m = 9 m = 9 7) I) Os coeficientes da linha do triângulo de Pascal são,, 6, e. II) (x y) = x y x y + 6x y x y + x y = = x x y + 6x y xy + y 8) I) Os coeficientes da linha 6 do Triângulo de Pascal são, 6,,,, 6 e II) (x ) 6 =x 6 6x + x x + x 6x + + x 6 = x 6 x + 6x 6x + x 9x + 6 9) I) No desenvolvimento de (x + ), com expoentes decres - centes de x, o termo geral é T k + = II) Fazendo k =, obtém-se o ọ termo, assim: T =. (x ). =. x. 8 = 96. x Resposta: 96x k = m k m m m m m k. (x ) k. k ) I) No desenvolvimento de x +, o termo geral é k k T k + =. (x ) k. =. x 8 k. k k II) Para obter o termo em x, devemos ter 8 k = k =, assim: T =. x 8.. = 6. x. =. x 9 7

14 ) I) No desenvolvimento de x +, o termo geral é x T k + =. (x ) k. (x ) k =. x k. x k = k k k =. x k II) Para obter o termo em x, devemos ter k = k =, assim, não existe o termo pedido, pois k œ. Observe que k deve ser um número natural entre e para que se tenha o binomial Resposta: não existe ) I) No desenvolvimento de x+ 8, o termo geral é x k T k + =. x 8 k. =. x 8 k. k. k. x k = 8 k =. k. k. x 8 k II) Para obter o termo independente de x, isto é, o termo com x, devemos ter 8 k = k =, assim, o termo é T k + = T ( ọ termo) k 8 k x 8 k ) I) O ponto (; ) pertence à reta y = x + p q, então: =. + p q p q = II) O ponto (; ) pertence à reta y = 7 =. + q q = x + q, então: III) p + q = 7 + = p q = q = 7 p = q = ) I) O ponto P de intersecção das retas y = x + e y + x = é dado pela solução do sistema formado pelas duas equações, assim: y = x + y + x = x + y = x + y = x = fi P ; y = II) A reta vertical que passa pelo ponto P ; tem equação x = ) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x + y) é obtida fazendo x = e y =, assim: S = (. +. ) = ( + ) = = Resposta: ) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x y) é n obtida fazendo x = e y =, assim: S = ( ) = = FRENTE GEOMETRIA ANALÍTICA E MÉTRICA Módulo 9 Equação Geral da Reta e Posição Relativa entre Duas Retas ) I) O ponto A(a; ) pertence à reta x + y =, então: a +. = a = fi A( ; ) II) O ponto B(; b) pertence à reta x + y =, então: + b = b = fi B(; ) III) A distância entre os pontos A( ; ) e B(; ) é d = ( + ) + ( + ) = 6 + = = ) A reta y = é horizontal, portanto, é mediatriz de um segmento vertical, cujo ponto médio deve ter y =. Um possível segmento tem extremos A(; ) e B(; ), pois y A + y B + ( ) x A = x B e = = ) A reta passa pelos pontos (; ) e (; ), assim, sua equação é dada por: x y = x + y = y = x + y = x + 6) Os pontos I e I pertencem à parábola y = x e à reta y = x +, logo, suas coordenadas são as soluções do sistema formado pelas duas equações, assim: y = x y = x y = x y = x + x = x + x + x = A soma dos valores de x que satisfazem a equação x b + x = é =, que corresponde à soma das a abscissas dos pontos I e I.

15 7) A reta passa pelos pontos ( ; ) e (; ), assim, sua equação é dada por: x = 6 + y x + y = x + y 6 = x y + 6 = 8) I) Os pontos P(; y P ), (; 8) e (; ) estão alinhados, pois per - tencem ao gráfico da função do ọ grau f(x), então: y = + y P = y P = fi P(; ) II) O gráfico da y = g(x) é uma reta que passa pelos pontos P(; ) e ( ; ), assim, sua equação é dada por: x y P 8 y = x y + y = x y + = ) D ) B 8) E 9) A ) A ) C n Módulo Circunferência 9) A ) D ) C ) B ) B ) C ) A 8) B 9) A ) A 6)D 7)D 8) D 9) E )C ) D n Módulo Prismas e Pirâmides ) x y + = y = x + y = x + 9) A reta passa pelos pontos (; ) e (; ), assim, sua equação é dada por: x y = x + y = Outra maneira: A equação da reta cujas intersecções com os x y eixos são (p; ) e (; q) é dada por + =, assim, para p q os pontos (; ) e (; ), tem-se: x y + = x + y = x + y = ) I) Sendo P o ponto médio do lado NQ, com N(; 9) e Q(; ), tem-se: x N + x Q + x P = = = fi P(; 6) y N + y Q 9 + y P = = = 6 II) A mediana traçada do vértice M é o segmento de reta que une o vértice M(; ) e o ponto médio do lado NQ, dado por P(; 6), assim, sua equação é: x 6 y = y 6x = y = 6x y = x ) I) Área lateral (A L ): A L = 8 m fi. L = 8 fi L = m II) Área da base (A b ): L.. A b = = m = m III) Volume do prisma (V): V = A b. h =. m = 6 m ) C ) D ) A ) A 9) C ) E ) A ) C ) C ) A ) E 6) C 7) C 9) D ) D ) C ) D 7) C 8) E ) D Prisma de base pentagonal

16 ) II) Área base (A b ): A b = = = 6 III) Área lateral (A L ): A L = 6.. h = 6.. = IV)Área total (A T ): A T =. A b + A L =. 6 + = = + = I) Base do prisma: ) ) = + h fi h = II) Área da base (A b ): 8. A b = m = m III) Volume do prisma (V): V = A b. H = m. m = 6 m I) Altura da base (a), em cm: = a + 6 fi a = 8 II) Área da base (A b ), em cm :. 8 A b = = 8 III) Altura do prisma (h), em cm, e volume do prisma (V), em cm : V = A b. h fi 8 = 8. h h = 6) B 7) C 8) C 9) C ) B ) B ) A ) D ) B I) Aresta da base (): = raio circunferência circunscrita = 6