Autoria: Fernanda Maria Villela Reis Orientadora: Tereza G. Kirner Coordenador do Projeto: Claudio Kirner. Projeto AIPRA (Processo CNPq /2010-2)

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1 Autoria: Fernanda Maria Villela Reis Orientadora: Tereza G. Kirner Coordenador do Projeto: Claudio Kirner

2 1 ÍNDICE Uma palavra inicial... 2 Instruções iniciais... 3 Retângulo... 5 Quadrado... 6 Triângulo... 7 Classificação dos triângulos quanto aos lados... 8 Classificação dos triângulos quanto aos ângulos... 9 Trapézio Pentágono Círculo Questionário Uma palavra final Marcadores... 15

3 2 UMA PALAVRA INICIAL Este livro versa sobre geometria plana e espacial, de uma maneira geral, explorando fórmulas para o cálculo de perímetro, área e volume das figuras geométricas. Trata também sobre as figuras tridimensionais e casos especiais das diferentes figuras geométricas. O livro aborda seis figuras, sendo elas: retângulo, quadrado, triângulo, trapézio, pentágono e círculo. Geometria é o estudo do espaço e das figuras que estão neste espaço, de forma a explorar o modo como elas se dispõem no mesmo. Na sua forma mais simples, a geometria trata de problemas métricos, como o cálculo da área e do diâmetro de figuras planas e da superfície e volume de corpos sólidos, abordagem que será enfocada neste livro. O livro trata particularmente dos casos especiais do triângulo, que são o equilátero, o isósceles, o escaleno, o retângulo, o acutângulo e o obtusângulo. Todas as figuras geométricas tem um resumo de seu estudo escrito no livro, além de diretrizes para utilização da ferramenta de Realidade Aumentada. Uma aplicação de Realidade Aumentada permite que, a partir de uma imagem capturada pela webcam, a ela sejam adicionadas figuras, animações e sons. A cena resultante é exibida na tela do computador e assim é possível observar o que acontece com cada objeto e interagir com eles. Para ativar os efeitos de Realidade Aumentada é necessário trabalhar com um objeto que funciona como referência, o marcador (Figura 1). Posicionando o marcador em frente à webcam, o computador o reconhece e cria os objetos virtuais na cena de acordo com ele.

4 3 INSTRUÇÕES INICIAIS Figura 1: Marcador. Para iniciar os estudos de geometria, siga os seguintes passos: 1. Destaque o marcador do final do livro (Página 16) e cole-o em um material mais resistente. Construa a forma de ponteiro do marcador utilizando dois palitos. Os palitos devem ser colados no marcador de acordo com a Figura 2. O marcador avançará para as próximas animações de uma mesma figura geométrica. 2. Inicie a aplicação de Realidade Aumentada. 3. Tecle A para que as animações sejam ativadas. 4. Em cada página relacionada a uma figura geométrica haverá um marcador específico. Posicione esse marcador de forma que a webcam consiga capturá-lo e exiba o ponto referente à ativação da animação representado por uma esfera azul. Figura 2: Marcador

5 4 INSTRUÇÕES INICIAIS Figura 3 Marcador com ponteiro 5. Para avançar para as animações de cada figura geométrica, utilize o ponteiro do marcador. Observe na Figura 3 que sobre o marcador é projetada a imagem de uma mão e na extremidade do ponteiro há uma esfera azul. Esta esfera azul deve colidir com cada esfera referente aos marcadores específicos do livro. Isso pode ser feito tocando o círculo branco desenhado ao lado de cada marcador neste livro, utilizando a extremidade do ponteiro. Realize os passos 4 e 5 para cada marcador de figura geométrica mostrado no livro. 6. Finalize seus estudos respondendo ao questionário de avaliação de aprendizagem. Bons estudos!

6 RETÂNGULO 35 O Retângulo é um quadrilátero, ou seja, um polígono de quatro lados. Os lados opostos entre si possuem a mesma medida. No retângulo, todos os ângulos internos são retos, ou seja, possuem medida igual a 90º. Assim, a soma dos seus ângulos internos é igual a 360º, como em qualquer quadrilátero. Fórmulas P=2 *(B+H) S=B*H V=B*H*L Onde: - L é a largura; - B é a base; - H é a altura; - P é o perímetro; - S é a área; - V é o volume. H B O cálculo do perímetro do retângulo é feito somando-se as medidas de cada um dos lados. Como lados opostos possuem a mesma medida, pode-se somar duas vezes a base e duas vezes a altura, ou mesmo somar a base e a altura e, então, multiplicar por dois. O cálculo da área é feito multiplicando-se a medida da base do retângulo pela medida da sua altura. O paralelepípedo é um sólido em que todas as faces são retangulares. Assim, o paralelepípedo possui a medida de volume. Para o cálculo do volume do paralelepípedo, faz-se base vezes altura vezes largura. L

7 6 QUADRADO O quadrado, assim como o retângulo, é um polígono de quadro lados. A diferença é que no quadrado, os quatro lados e os quatro ângulos internos são iguais. O quadrado é considerado um caso especial de retângulo. Assim, seu perímetro, sua área e seu volume são medidos da mesma maneira, no entanto, as fórmulas podem ser simplificadas. Fórmulas P=4*L S=L*L =L 2 V=L*L*L =L 3 Onde: - L é a medida do lado do quadrado; - P é o perímetro; - S é a área; - V é o volume. L L O cálculo do perímetro do quadrado é feito somando-se as medidas de cada um dos lados. Como todos os lados possuem a mesma medida, pode-se multiplicar o lado por quatro. O cálculo da área é feito multiplicando-se a medida da base do quadrado pela medida da altura. Como base e altura têm a mesma medida, então se pode fazer lado ao quadrado. O cubo é um sólido em que todas as suas faces são quadradas. Para o cálculo do volume do cubo, faz-se a medida da área da base vezes a largura vezes a altura do quadrado. Como todos os lados são iguais, calcula-se lado ao cubo. L

8 7 TRIÂNGULO O triângulo pode ser imaginado como a metade de um retângulo. Ele é formado por três lados que se juntam e formam três vértices. A soma dos seus ângulos internos é igual a 180º. Fórmulas P= L1+L2+L3 S= (B*h)/2 V=(Bp*hp)/3 Onde: - L1, L2 e L3 indicam os lados do triângulo; - B é a base; - h é a altura; - hp é altura da pirâmide; - Bp é a área da base da pirâmide; - P é o perímetro; - S é a área; - V é o volume. B hp h O cálculo do perímetro é feito somando-se as medidas de cada um dos lados. O cálculo da área é feito multiplicando-se a medida da base do triângulo pela medida da altura, e dividindo-se o resultado por dois. Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O número de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base. Se o polígono da base for um quadrado, a pirâmide é quadrada, se for um triângulo, a pirâmide é triangular (ou tetraedro), e assim por diante. Para o cálculo do volume da pirâmide, faz-se a medida da área do polígono da base vezes altura da pirâmide, dividido por três.

9 8 Classificação dos triângulos quanto aos lados O triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas dos seus lados (Figura 4): Triângulo equilátero: possui os três lados com medidas iguais. Triângulo isósceles: possui dois lados com medidas iguais. Triângulo escaleno: possui os três lados com medidas diferentes. Figura 4 Classificação dos triângulos quanto aos lados Observação: O cálculo do perímetro e da área é o mesmo para qualquer tipo de triângulo, como foi mostrado na página 7.

10 9 Classificação dos triângulos quanto aos ângulos O triângulo também pode ser classificado de acordo com as medidas dos seus ângulos (Figura 5): Triângulo retângulo: possui um ângulo com medida igual a 90º. Triângulo acutângulo: possui todos os ângulos com medidas menores que 90º. Triângulo obtusângulo: possui um ângulo obtuso, ou seja, maior que 90º. Figura 5 Classificação dos triângulos quanto aos ângulos Observação: O cálculo do perímetro e da área é o mesmo para qualquer tipo de triângulo, como foi mostrado na página 7.

11 10 TRAPÉZIO O trapézio é um quadrilátero, assim a soma das medidas de seus ângulos internos é 360º. A principal característica do trapézio é possuir dois lados paralelos que correspondem às suas bases, uma maior e outra menor. Fórmulas P=B+b+L 1 +L 2 S= ((B+b)*h)/2 V=S*Lg, onde: - L 1 e L 2 indicam os lado; - B é a base maior; - b é a base menor; - h é a altura; - Lg é largura do prisma; - P é o perímetro; - S é a área; - V é o volume. b B h Lg O cálculo do perímetro do trapézio é feito somando-se as medidas de cada um dos lados, ou seja: base maior mais base menor mais os outros dois lados não-paralelos. O cálculo da área é feito multiplicando-se a soma das medidas das bases pela altura e, em seguida, dividindo-se o resultado por dois. Um prisma é todo poliedro formado por uma face superior e uma face inferior paralelas e congruentes (também chamadas de bases), e as laterais, que são paralelogramos. O prisma recebe um nome de acordo com a forma das bases. Por exemplo, se a base é um trapézio, tem-se o prisma de base trapezoidal. Para o cálculo do volume do prisma, faz-se a medida da área da base vezes a largura do prisma.

12 11 PENTÁGONO O pentágono é uma figura de cinco lados. A soma dos seus ângulos internos é 540º. Quando o pentágono possui todos os seus cinco lados com a mesma medida, ele é chamado de pentágono regular. Se os lados possuem medidas diferentes, o pentágono é dito irregular. Neste tópico será estudado o pentágono regular. Fórmulas P=L+L+L+L+L S= Área triângulo + Área trapézio V=S*Lg Onde: - L indica cada lado; - Lg é a largura; - P é o perímetro - S é a área; - V é o volume. O cálculo do perímetro do pentágono é feito somando-se as medidas de cada um dos lados. O pentágono pode ser dividido em um triângulo e um trapézio, como pode ser observado na figura abaixo. Assim, o cálculo da área é obtido somando a área do triângulo e a área do trapézio. L Para o cálculo do volume do prisma de base pentagonal, faz-se a medida da área da base (que é um pentágono) vezes a largura do prisma. Lg

13 12 CÍRCULO Para entender o que é um círculo, considere um ponto no espaço que será chamado de centro. O círculo é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão distantes do centro a uma distância menor ou igual a r. Essa distância r é chamada raio do círculo. A circunferência é o contorno do círculo, ou seja, apenas os pontos que estão exatamente a uma distância r do centro. Fórmulas P = 2*π*r S = π*r² V = (4/3)* π*r³ Onde: - π vale 3,14; - r é o raio do círculo; - P é o comprimento da circunferência; - S é a área do círculo; - V é o volume da esfera. O cálculo do comprimento da circunferência, também chamado de perímetro, é feito multiplicando o fator pelo raio e por 2. O cálculo da área é obtido fazendo a multiplicação do fator pelo raio elevado ao quadrado. A esfera é o sólido obtido a partir da revolução de uma semicircunferência (a metade de uma circunferência) em torno do diâmetro. Para o cálculo do volume da esfera, faz-se quatro terços vezes o fator vezes o raio ao cubo. r

14 13 QUESTIONÁRIO Este questionário visa avaliar os conhecimentos adquiridos após o estudo do livro sofre formas geométricas. Para responder as perguntas sobre geometria, coloque o artefato de Perguntas e Respostas sob a webcam. O artefato possui 6 pontos: um para mostrar a pergunta (P), um para verificar a resposta correta (R), três pontos para as alternativas da resposta (1, 2, 3), e um ponto para visualizar a animação em 3D (X). (Figura 6) P X R Figura 6 Artefato do Questionário Além deles, na parte inferior do artefato estarão posicionados 10 pontos de ativação, referentes ao gabarito do questionário, que servirão para marcar cada pergunta que o usuário acertar. Para acionar cada um desses pontos, deve-se utilizar o marcador com o ponteiro. Posicionando-se a extremidade desse ponteiro exatamente dentro dos círculos, cada ponto é acionado. Assim, para responder as perguntas, siga os seguintes passos: 1. Tecle a para ativar todos os pontos; 2. Clique em P para ver a pergunta; 3. Clique em X para visualizar a animação; 4. Clique em uma das alternativas para responder (1, 2 ou 3); 5. Clique em R para ver a resposta. Aparecerá uma esfera azul embaixo da alternativa correta; 6. Caso tenha acertado a pergunta, clique na esfera correspondente do gabarito para marcar o acerto; 7. Clique novamente em X e em R para desativá-los. 8. Repita todos os passos para as próximas perguntas. 9.

15 14 UMA PALAVRA FINAL Este livro de geometria busca oferecer uma alternativa interativa aos livros tradicionais utilizando os conceitos de Realidade Aumentada. Porém, seu propósito é apenas complementar o ensino de geometria com a utilização de recursos multimídia, e não substituir os livros de matemática atuais. Com as animações tridimensionais oferecidas a partir da Realidade Aumentada, é possível prender a atenção dos alunos e permitir que eles manipulem cada objeto referente às formas geométricas. Assim, o ensino se torna interativo e a experiência do aprendizado se faz mais prazerosa. Referências Bibliográficas Apostila de Matemática do Curso Positivo 4ª e 5ª séries

16 15 MARCADORES

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