MATEMÁTICA CADERNO 2 SEMIEXTENSIVO E. FRENTE 1 Álgebra. n Módulo 5 Módulo de um Número Real. 5) I) x + 1 = 0 x = 1 II) 2x 7 + x + 1 0

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "MATEMÁTICA CADERNO 2 SEMIEXTENSIVO E. FRENTE 1 Álgebra. n Módulo 5 Módulo de um Número Real. 5) I) x + 1 = 0 x = 1 II) 2x 7 + x + 1 0"

Transcrição

1 MATEMÁTICA CADERNO SEMIEXTENSIVO E ) I) x + 0 x II) x 7 + x + 0 FRENTE Álgebra n Módulo Módulo de um Número Real ) x 6x + < não tem solução, pois a 0, "a Œ ) A igualdade x x x +, com x + 0, é verificada para: ọ ) x x x + x x 0 x ou x ọ ) x + x + x + x + x 0 x 0 ou x Assim, o conjunto solução da equação é { ; 0; } e a soma dos valores de x é igual a. 6) Assim, x 7 + x + 0 x ) V {x Œ / x } Resposta: V {x Œ x } 7) I) x 0 fi ( + x) ( x) 0 x 0 x e x 0 0 x. II) x 0 fi ( + x) ( ( )) 0 ( + x) ( + x) 0 ( + x) 0 V x Œ x < ou x > ) I) x + 0 x II) x + x + "x Œ e x 0 fi x 0 O conjunto solução da inequação é S {x Œ x } 8) Lembrando que x x se x 0 e x x se x 0, temos: ) a 0 e b 0 fi a b ab + a b ab + ) a 0 e b 0 fi a b ab + a b ab + ( ) ( ) ) a 0 e b 0 fi a b ab + a b ab ( ) + () ( ) a b ab ) a 0 e b 0 fi + a b ab ( ) + ( ) (+ ) Assim, x + x + x 7 Então, sendo a e b dois números reais diferentes de zero, a a b ab expressão algébrica + resulta ou. a b ab

2 9) I) x + 0 x II) Se x fi f(x) x. x + x. (x + ) III) Se x fi f(x) x. x + x. ( x ) ) I) O gráfico da função g: definida por g(x) x é IV) O gráfico da função definida por x. (x + ), para x f(x) x. x + é: x. ( x ), para x II) O gráfico da função h: definida por h(x) x é 0) a) é falsa, pois se x e y, tem-se x < y e x > y b) é verdadeira c) é falsa, pois se x e y, tem-se x + y e x + y + 7 d) é falsa, pois x 0 para todo x Œ e) é falsa, pois se x < 0, então x x III) O gráfico da função f: definida por f(x) x f(x) x é ) x < < x < < x < < x < ) x x x 8 x 6) I) O gráfico da função g(x) x x + é ) x x ou x ) x x + < < x x + < < x x + x x + < x x + 6 > 0 x x + < 0 II) O gráfico da função f(x) x x + x x + é x < ou x > < x < ou < x < < x <

3 7) I) x x 0 x ou x II) Se x < ou x >, tem-se x x > 0 e x x f(x) x x x x x x III) Se < x <, tem-se x x < 0 e x x f(x) (x x ) x x x x Assim, o gráfico da função f é: ) B A ) I) B B t 0 II) A B t n Módulo 6 Matrizes Definição e Operações x + x x y + y y 7) + 0 z t + 0 z z t t ) Se a matriz A é de ordem x e a ij i. j, então: a a a... A a a a... 6 i j, se i j ) A matriz de ordem x com a ij, é: i + j, se i j a a a +.. a a a ) Lembrando que o produto de matrizes de ordens n x m e p x q existe se m p e resulta numa nova matriz de ordem n x q. Pode-se observar que: A n x m. B p x q C n x q iguais resultado I) Verdadeira, pois A x. B x C x x 0 ) A + B II) Falso, pois A x. B x não existe III) Verdadeira, pois A x. B x C x X A B + X ) I) + C X A B + X + 6C X A + B + 6C II) Para as matrizes A, B e C dadas no enunciado, tem-se: X x 9) Se A é uma matriz x e B uma matriz n x m, tem-se: I) Existe A. B se, e somente se, n II) Existe B. A se, e somente se, m

4 0) ( ). ( ) () ) I) AB II) BA III) AB BA 6 0 ) I) Se A é uma matriz x e a ij ( ) j, tem-se: A a a a II) Se B é uma matriz x e b ij ( ) i, tem-se:.. b.. B.. b.... b.. III) O elemento c da matriz C A. B é dado por: c a. b + a. b + a. b ( ). ( ) +. + ( 8). ( ) ) Sendo A e A.B, devemos ter a b c B, tal que: d e f fi a b c 8. fi d e f Portanto, a soma dos elementos da primeira coluna da matriz B é a + d. 0 ) Para A e I, tem-se: 0 I) A A. A. II). A. 0 III). I. 0 a + d a + d 0 9 IV) A +. A. I a d ) I). 0 x 0 II). y. Logo, x + y n Módulo 7 Determinantes Propriedades, Teorema de Laplace e Regra de Chió ) 0 x x x x x x + x 0 x 7 ou x A solução positiva, x, é um número primo. ) x + 0 x 0 y y x y + y x + x. x y.y x(x + ) y(y + ) x y x + x y y 0 x y y x Observe que a expressão da alternativa a está correta, pois trata-se de uma soma de matrizes, porém, não é equivalente à expressão dada no enunciado que é uma soma de determinantes. x ) x x x x ( x) x ( x) ( x) 0 ( x). ( x ) 0 ( x). ( x) 0 x ou x 0 fi x 0, pois deve-se ter x 0 x fi fi S {0} ) Se a matriz A é quadrada de ordem com, então: a ij i j, para i j a ij i j, para i j I) A a a a a y x y + y 0 y III) fi x y + 0 x ) A nova matriz obtida, de acordo com o enunciado, é, e o determinante dessa matriz é x.

5 II) det A ( ) + 6 6) I) A x. B x. x x x x x x x + x II) det(a x. B) 0 fi fi ( x). ( + x) ( x). ( x) x 6x x + x + 6x 6x 0 0x x + 0 x + x 0 x ou x Resposta: x ou x 7) 7 x x x x + x x + + x 7 7x + 7 7x x 9 Resposta: V {9} 8) I) A B t fi x 0 fi y + z y z x x y 0 fi z x y 0 z y + z x II) x y z ) + a 0 ( + a). ( a) + 0 a a + 0 a a ou a 0) I) A. B I fi. a b 0 0 a a fi b b 0 0 ) I) M + k. I + k k 0 0 k + k + k II) det(m + k. I) 0 fi 0 fi fi ( + k). ( + k) k + k + k + 0 k + 7k + 0 k ou k ) D a b, pois cada troca de c d c d a b d c b a filas paralelas provoca a troca do sinal do valor do deter - minante. Observe que, inicialmente, trocaram de posição a ạ e a ạ linhas e, finalmente, trocaram de posição a ạ e a ạ colunas. ) I) x a b, pois trata-se do determinante de c d a c b d uma matriz e da sua transposta, cujos valores são iguais. II) y a c ( ).. ( ).. x 6x b d a c b d y 6x III) x x 6 ) I) det A fi a m b n c p. a m b n a m b n c p c p II) det B. m a n b m a n b p c p c. ( ). a m b n c p. ( ). + k + k fi a a 0 b 0 b a b ) Se A é uma matriz quadrada de ordem e det A 6, então: det(a) x 97 fi. det A x 97 fi fi 6. ( 6) x x 97 x II) Para a e b, tem-se A a III) det A + b IV) det A det (A. A) det A. det A ( ). ( ) 6) O determinante da matriz A t (transposta de A) é igual ao determinante da matriz A, pode ser expressa matemati - camente por det(a t ) det A

6 a b b c c a a b b c 0 7) D b c c a a b b c c a 0 0 c a a b b c c a a b 0 x + x + x x + a x + b x a b 8) y y + a y + b y a b z z + a z + b z a b.( ) + + x a. b. y a. b. 0 0, pois a ạ e a ạ colunas são z iguais. m + m + m + m + 9) m + m + m + m + 0, pois a ạ e a ạ m + m + m + m +.( ) + + a a 0 a 0 a ) a 0 a > 0 0 a a Multiplicando a ạ, a ạ e a ạ coluna por e somando-as à ạ coluna, tem-se: a + a a 0 a a 0 a + 0 a 0 a a + 0 a > 0 (a + ). 0 a > 0 a + a a a a Multiplicando a ạ linha por ( ) e somando-a às outras linhas, tem-se: a a 0 0 a a a (a + ). > 0 0 a a a (a + ).. ( ) +. a a 0 a a 0 (a + )... [( a) a ] > 0 > 0 (a + ). ( a + a a ) > 0 (a + ). ( a) > 0 < a <, pois o gráfico da função f(a) (a + ). ( a) é do tipo a a colunas são proporcionais. 0) Na matriz A, tem-se a e o seu cofator 0 é dado por: A ( ) +. ( ) x x x x x x x ) 0. ( ) +. x 0 x x. ( ). x. x 0. ( ). x. x.. 0, para qualquer x Œ, pois 0 (filas paralelas iguais) x 0 x x ) 0. ( ) +. x 8 0 x log x x 0 8 x. ( ). (x 6x) 0.. x. (x 6) 0 x 0 ou x 6 0 x 0 ou x 8 ou x ) Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, são verdadeiras as seguintes propriedades: I) det A det A t II) det(a. B) det A. det B III) det(a ) det(a. A) det A. det A (det A) IV) det A. det A t det A. det A (det A) Não é verdadeira a afirmação det(a + B) det A + det B ) I) A x fi det A x x II) B 0 x fi det B x x III) det (A. B) 0 fi det A. det B 0 fi fi (x ). ( x ) 0 x 0 ou x 0 x ou x 0 x ou x ou x 0 6) det(a ) det(a. A) det A. det A (det A) 6

7 7) Para A e B, tem-se: 0 0 I) A. B II) n det(ab) 0, pois a ạ e a ạ linha são proporcionais. III) Para n 0, tem-se 7 n 7 0 Resposta: 8) I) A fi det A 0 II) B a b fi det B ad bc c d III) det(ab) 0 fi det A. det B 0 fi fi. (ad bc) 0 ad bc 0 sen x 8 9) 0 sen x cotg x 0 sen x. cos x 0 fi 0 0 cos x cos x fi cos x 0, pois sen x 0 (observe que cotg x sen x não existe para sen x 0, consequentemente, o determinante dado não poderia ser calculado). Assim, cos x 0 x + n., n Œ Para 0 x, o menor valor de x é obtido fazendo n 0, que resulta x. 0) Seja M, então: I) det M. II) M III) M (M ) t M é a matriz dos cofatores. IV) M M M det M ) Se as matrizes são inversas uma da outra, então: A B I x y x ( ) + y + x ( ) + y x + y + x + y x + x 0 x x + y y 0 y + y ) Seja A, então: a b c d I) A A I 0 0 a b c d 0 0 a + 0 c b + 0 d 0 a + ( ) c 0 b + ( ) d 0 0 a b c d 0 0 a, b 0, c 0, d, então A II) A + A III) (A + A ) ( ) ( ) ( ) 0 0 IV) (A + A ) ( ) ( ) () Assim, (A + A ) 8 A ) Se M, então: I) det M II) A ( ) + ( ) ( 0) 0 0 Se b b for o elemento da. linha e. coluna matriz inversa, então: A b b det M 7

8 ) Se A admite inversa, det A x x 0 x x x 0 0 6x + x 0 x ( x + ) 0 x 0 e x Como a matriz A é quadrada de ordem, então: det (A) det A 8 det A Assim, det B 8 det A III) det B det B 8 det A 8 ) I) Se B, seja B, então: 0 a b c B B I 0 a b c d 0 0 a + 0 c b + 0 d a b d a c b d 0 0 a c b d 0 0 7) I) det A det A det A II) det A x x + x x x x x 0 8) (X A) t B [(X A) t ] t B t a b 0 a b 0 b d c d B 0 X A B t X A A B t A X I B t A X B t A II) A B C C 0 C III) A B + C IV) det (A B + C) 8 ( ) ) a) A B a + b 0 a + b c + d 0 c + d A B a c a b c d 0 b) B A 0 a b c a + c b + d 0 a + c 0 b + d B A a + c c a + b c + d d b + d d c) AB BA a a + b a + c b + d c c + d c d 6) I) A det A 0 0 II) B A det B det (A) a a + c a + b b + d c c c + d d c 0 a d 8

9 n Módulo 8 Sistemas Lineares ) x + y x + y z x + z Regra de Cramer D ( ) D D x D x 0 0 D x m x x m D D y m m m + m + D y m + y y m + D D z 0m 0 m m m + D y ( ) ( ) D y 0 D z ( ) D z D x D y D z x ; y ; z D D D S { ; ; } ) D z 0m 0 z z m D S {( m ; m + ; m )} ax + y + az a bx + y + b z b cx + y + c z c D (b a)(c b)(c a) a a b a c c a a b a c c ) x + z x + y + z y z D D z (b a)(c b)(c a) a a b a c c Determinante de D z observe que é idêntico ao determinante da matriz incompleta (D) pois os resultados das equações coicidem com os coeficientes de z. D x x 0 0 D x D 7 ) x + y + z x + y + z x + y + az ) D y 7 y 0 D y 7 0 D 7 D z 7 z 0 D z 7 0 D 7 x 0 + y 0 + z 0 ( ) + ( ) + 7 x + y + z m x y z m z + y z m + D D x m m m + m 6) Para que o sistema tenha uma única solução (SPD) basta que o determinante dele seja não nulo (D 0). D 0 a 0 a a x + y + z x + y + z x + y + z a D a 0 (para a ) D x D x 0 D x 0 x D

10 D y ) D y 0 D y 0 y y D 0 D z D z 60 D z 60 z z D 0 S {(; ; )} I) Se o perímetro do setor circular é igual ao perímetro do quadrado, então, x + R + R R x R II) Pela definição de medida de arco, em radianos, temos: x R a R R 7) kx y x + ky a) Se (k; k) é solução então k k k k + k k k k k + k k k 0 k + k 0 ) k ou k k k ou k b) Para k a solução será (k; k) (; 6) e portanto x + y comp ( AB) 0 cm a r 0 cm Resposta: rad FRENTE Trigonometria n Módulo Funções Trigonométricas de um Ângulo Audo ) C.. R.. cm 0. cm Resposta: 0. cm 6). rad, rad 80 rad 0,09 rad Resposta: 0,09 rad 7) comp ( AB) cm cm ) a fi, r 0 cm r r, Resposta: 0 cm 0. rad ) I) a 0 rad 80 6 comp ( AB) comp ( AB) II) a fi r 6 cm comp ( AB). cm, cm,7 cm 6 I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min 0. 0 fi x 7, 7 0 min x 60 II) x + a 0 fi a 0 x Resposta: 0 Resposta:,7 cm 0

11 8) ) I) Verdadeira, pois para o ponteiro das horas, temos: tempo ângulo 60 min 0 t. 0 t fi a graus t min x 60 II) Verdadeira, pois para t, temos: a graus 6 I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min 0. 0 fi x 7, 7 0 min x 60 III) Verdadeira, pois: II) x + a 90 fi a 90 x Resposta: 8 0 9) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min fi x min x 60 Portanto, x + a fi + a 6 a I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min fi x 0 min x 60 II) x + a 0 fi a 0 x 0 Resposta: IV) Verdadeira, pois em minutos o ponteiro dos minutos percorre da volta, assim, a extremidade descreve 60 um arco de... R..,. 0 cm,6 cm, pois R 0 cm é a medida do ponteiro e corresponde ao raio da circunferência. 0) ) a) fi , portanto, a ạ 70 determinação positiva é b) 0 60 fi 0. ( 60 ) 0, assim, a ạ determinação negativa é 0, 0 portanto, a ạ determinação positi - va é I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min 0. 0 fi x 7, 7 0 min x 60 II) x + a 90 fi a 90 x c) fi. +, portanto, a ạ determinação positiva é Respostas: a) 80 ; b) 0 ; c)

12 ) Os arcos côngruos de 60 são do tipo 60 + n. 60, com n Œ. Assim, os arcos positivos menores que 00, são: I) Para n fi II) Para n fi III) Para n fi IV) Para n fi Resposta: 00, 660, 00 e 80 7) ) a) n. (n Œ ) b) + n. (n Œ ) c) + n. (n Œ ) d) + n. (n Œ ) e) 0 + n. 60 (n Œ ) f) 00 + n. 60 (n Œ ) 8) comp ( AB) 0 cm a r cm Resposta: rad ) a) + n. (n Œ ) b) n. (n Œ ) c) + n. (n Œ ) d) + n. (n Œ ) e) n. (n Œ ) f) + n. (n Œ ) g) ± + n. (n Œ ) h) ± + n. (n Œ ) i) ± 0 + n. 60 (n Œ ) I) Se a corda AB mede 0 cm, então, o triângulo OAB é equilátero, portanto, A ^OB a 60 comp ( AB) comp ( AB) II) a fi r 0 cm comp( AB) Resposta: 0 0 cm cm rad 6) n Módulo 6 Funções Trigonométricas no Ciclo Trigonométrico ) Para x variando de 0 a 60, a expressão (6 sen x) assume valor mínimo quando sen x é máximo, ou seja, quando sen x. Assim, para sen x, tem-se 6 sen x 6 ) I) fi 0 é ạ determinação positiva II) sen 90 sen 0 sen 60 Resposta: 7 7., ) I), II)., 6,8

13 Resposta: V ; 7) sen x 7 III), < 6 < 6,8 fi < 6 < fi 7 fi sen < sen 6 < sen fi < A < 0 ) sen ; sen ; sen ; ; sen ; n ; ; ; é uma sequência estritamente decres - cente, de termos positivos e tende a zero. ) sen x 0 Para 0 x, temos x 7 ou x 6 Resposta: V 7 ; 6 6 8) sen x cos x fi 6 6 fi sen x, pois x Œ ọ quadrante 6 9) x sen q fi x x x Resposta: x Para 0 x, temos x 0 ou x ou x Resposta: V {0; ; } 0) cossec x sen x sen x 6) sen x Para 0 x, temos x ou x Para 0 x, temos x ou x 6 Resposta: V ; 6 6 6

14 ) sen x 7) Para "x Œ, temos: cos x 0 cos x 0 cos x + cos 8 x 8 Dessa forma: +, 8) I),7 II), A solução geral da equação, nesses pontos, é: x + n. ou x + n. 6 6 III),7 0,8 Resposta: x Œ x + n. ou x + n. (n Œ ) 6 6 sen 90 + cos 60 + sen 70. cos 80 ) E cos 0 + sen ( ). ( ) + 0 Resposta: ) Para x, temos: cos x + sen x sen x y cos x + sen x cos + sen sen ( ) + cos + sen IV) Observando a figura, tem-se: cos,7 < cos, < cos, < cos 0,8 fi fi cos < cos, < cos < cos Assim, se F(x) cos x, conclui-se que F < F(,) < F( ) < F 9) cos x ) Como cos x para "x Œ e >, não existe arco x tal que cos x 7 ) I) + fi é a ạ determinação positiva II). + fi é a ạ determinação positiva III) sen. cos () sen. cos 7 ( ). ( ) Resposta: Para 0 x, temos x Resposta: V {} 0) cos x 6) cos x fi. cos x fi fi. cos x + fi fi f(x) fi Im(f) [ ; ]

15 Para 0 x, temos x ou x Resposta: V ; ) sen x. cos x 0 sen x 0 ou cos x 0 ) sec x cos x cos x Para 0 x, temos x 0 ou x Resposta: V {0; } ) sec x cos x cos x A solução geral da equação, nesses pontos, é: x 0 + n. n. Resposta: V x Œ x n., n Œ ) cos x cos x ± ± ± Para 0 x, temos x ou x Resposta: V ; ) cos x A solução geral da equação, nesses pontos é x + n. Resposta: V x Œ x + n., n Œ 6) Para x, temos: A sen x + cos x tg x sen + cos tg Resposta: zero A solução geral da equação, nesses pontos, é: x ± 6 + n. Resposta: V x Œ x ± + n, n Œ 6 7) Para x, temos: x x sen +. tan. cos x sen +. tan 6. cos

16 +... ) I) II) III) IV) cos 0 + sen 80 + tg 70 cos 0 + sen 90 + tg ) Se é raiz da equação tg x m. cos x + sen x 0, então: tg m. cos sen 0 () m. + 0 m + 0 m + 0 m ) I) fi a Œ sen a < 0 ọ quadrante cos a < 0 II) fi fi b Œ cos b < 0 ọ quadrante tg b < 0 cos b < 0 sen b > 0 III) fi fi g Œ sen g > 0 ọ quadrante cotg g > 0 sen g > 0 cos g > 0 ) tg x 0 Resposta: 9) Se tg x > 0, x pode pertencer ao ọ ou ọ qua - drantes, pois são os quadrantes nos quais a tangente é positiva. 0) Para x, temos: y cos x + sen x + tg x sec 8x cos + sen + tg sec cos Para 0 x, temos x 0 ou x ou x Resposta: V {0; ; } ) tg x ± tg x ou tg x ) Para 0 x, temos x ou x ou x ou x 7 Resposta: V ; ; ; 7 I) sen 0 sen 60 II) cos 0 cos 60 III) tg 0 tg 60 IV) < < fi sen 0 < cos 0 < tg 0 6) I) cos a sen a fi cos a, pois a Œ ọ quadrante sen a II) tg a cos a 9 6 fi 6

17 7) I) cos x sen x fi 0) tg x fi cos x, pois x Œ ọ quadrante II) tg x sen x cos x 8) cotg x tg x tg x A solução geral da equação, nesses pontos, é: x + n. Resposta: V x Œ x + n., n Œ Para 0 x, temos x ou x Resposta: V ; 9) cotg x tg x tg x. ) Para cossec x, tem-se: I) cossec x fi sen x sen x sen x fi sen 6 x II) cos x sen x III) tg sen x x cos x IV). sen x 9. tg 6 6 x sen x ) sen x cos x tg x cos x Para 0 x, temos x ou x Resposta: V ; Para 0 < x <, temos x ou x Resposta: V ; 7

18 ) cos x + sen x 0 sen x cos x sen x tg x cos x A solução geral da equação é: x + n. x + + n. x + n. Resposta: x Œ x + n., n Œ x 6) Para que a função f(x) tg exista, devemos ter: x + n. x + n. (f) + n., n Œ 7 Para x Œ [0; ], temos x ou x ou x, portanto, soluções. ) sen x Para que a função f(x) sen x + cos x exista, devemos ter sen x + cos x 0 sen x cos x sen x cos x tg x 7) A função y tg(x 0 ) não é definida para x n. 80 x 0 + n. 80 x 60 + n. 90 Sendo 0 < x < 90, temos, para n 0, x 60 Resposta: 60 sen x cos x 8) tg x + cotg x + cos x sen x sen x + cos x sen x. cos x sen x. cos x sen x. cos x 9) Sendo f(x) sen x e g(x) tg x, temos os seguintes gráficos: Assim, o domínio da função é x (f) + n. (n Œ ) + n. ) tg x Os pontos de encontro dos gráficos das funções são as soluções da equação f(x) g(x), assim, temos: sen x sen x sen x tg x sen x sen x 0 cos x cos x sen x 0 sen x 0 ou cos x x n. cos x Para 0 < x <, a equação não tem solução, ou seja, não exis - tem pontos de encontro dos gráficos. Resposta: zero 8

19 0) Se < y <, então: x + x + tg y x + tg y x + tg y x + fi x + x + 0 x tg y x + cotg y x + fi Resposta: x e y x tg y sec x + tg x m. tg x m n ) I) sec x tg x n. sec x m + n m n tg x m + n sec x II) sec x + tg x fi tg y x + m + n + m n m + m.n + n m m.n + n + m + m.n + n + m m.n + n x y tg y x + ) 9 cos x ( ) cos x cos x cos x cos x O menor valor positivo de x para o qual cos x é. 6 cos x ( ) I) cos ) x. cos x cos x cos x cos x. cos x cos x 0. cos x cos x 0 cos x. (. cos x ) 0 cos x 0 ou cos x m.n m.n ) Considerando a função g(x) x x +, tem-se: b I) A abscissa do vértice é x v a II) A ordenada do vértice é y v a Representando graficamente as funções g(x) x x + e f(x) sen x, temos: II) Para 0 x < cos x fi x, cos x 0 não tem solução e ) Como sen t, o valor mínimo de P(t) é obtido quando sen t, isto é: t fi t Como os gráficos não possuem intersecção, a equação sen x x + x f(x) g(x) não tem solução. Resposta: zero 9

20 6) cos x + sen x 0 sen x cos x sen x tg x cos x 9) cos x Para que a função f(x) sen x exista, devemos ter sen x 0 sen x x + n. (f) + n, n Œ 60) sen x sec x cos x sen x cos x cos x 7 Para x Œ [0; ], temos x ou x ou x, portanto, soluções. sen x. cos x cos x sen x. cos x ( sen x) sen x. cos x + sen x sen x. cos x sen x 0 sen x. (cos x sen x) 0 sen x 0 ou cos x sen x 0 sen x 0 ou sen x cos x sen x 0 ou tg x 7) sen x Para que a função f(x) sen x + cos x exista, devemos ter sen x + cos x 0 sen x cos x sen x cos x tg x A solução geral da equação é x n. ou x + n. Resposta: x Œ x n. ou x + n., n Œ Assim, o domínio da função é x (f) + n. (n Œ ) + n. 8) sen x + sen x + sen 6 x sen x sen x sen 6 x sen x ou sen x 6) Para 0 x, temos: I) sen x cossec x II) cos x sen 8 x fi cos x 9 9 sen x III) tg x. cos x. sen x. cos x tg x IV) A cossec x A solução geral da equação é x + n. Resposta: x Œ x + n., n Œ. 6 Resposta: 7 7 0

21 6) sen x + sen x 0 sen x. (sen x + ) 0 sen x 0 ou sen x Para 0 x 0 x, tem-se: I) sen x 0 fi x 0 ou x ou x x 0 ou x ou x III) V 0; ; ;, portanto, são soluções para x Œ [0; ] Resposta: 6) Sendo x um arco do ọ quadrante e cos x, temos: I) sen x cos 9 7 x fi sen x 6 6 II) cos( + x) cos x 7 III) cos( + x) + sen x + Resposta: 7 + II) sen x fi x x cos x + m. sen x 0 6) I) cos x m. sen x. cos x m. sen x II) sen x + cos x fi m m m m m m ± ± ±. ± Resposta: m ± 66) cos x sen x cos x ( cos x) cos x + cos x 0 cos x (impossível) ou cos x x n., n Œ Resposta: {x Œ x n., n Œ } 67) Para x dezenas de certo produto, o lucro L(x) em milhares de reais é obtido por L(x) V(x) C(x). Para x, resulta: L().. sen. cos. 6.. sen + cos cos x sen x m m Portanto, o lucro, em reais, obtido na produção de dezenas dessas peças é ) I) sen x + cos x fi (sen x + cos x) sen x +. sen x. cos x + cos x sen x + cos x. sen x. cos x II) cos x + sen x. sen x. cos x. sen x. cos x. sen x. cos x. sen x. cos x 0 sen x 0 ou cos x 0 sen x 0 ou cos x 0 x n., n Œ Resposta: x Œ x n., (n Œ ) x. 68) A função f(x) sen, em que f(x) é o número de clientes, assume: I) número máximo de clientes, quando sen x. (às 8 horas), igual a: f(8) sen ( ) 700 II) número mínimo de clientes, quando sen x. (às 6 horas), igual a:

22 f(6) sen Portanto, a diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do super mer cado, em um dia completo, é igual a 600. x x 69) cos 0 fi cos fi x fi ± + n., n Œ fi x ± + n., n Œ 6 Para x Œ [ ; ] e n Œ, temos: n Para x Œ [0;], temos: 9 x 0, x, x ou x e Módulo 7 Adição e Subtração de Arcos Arco Duplo ) sen 7 sen ( + 0 ) sen cos 0 + sen 0 cos ) x, x, x ) Fazendo x sen + cos, temos: I) x (sen + cos ) sen +. sen. cos + cos + sen 0 + II) x fi 6 x., pois x > 0 Resposta: 6 Se x + y 90, temos cos y sen x. Então cos x cos y cos x sen x cos x ( cos x) cos x cos x (x é agudo) Portanto: x 0, y 60 e y x 0 ) y sen 0 cos 7 sen( + 60 ) cos( + 0 ) sen. cos 60 + sen 60. cos cos. cos 0 + sen. sen Resposta: 7) Para 0 < z <, tem-se: sen z + sen z 0 sen z ou sen z z ou z ou z 6 6 Assim, a soma dos possíveis valores de z em radianos é + +, que corresponde a ) tg a + tg b Como tg (a b), + tg a. tg b para a x + y e b y obtém-se tg(x + y) tg y tg(x + y y) tg x + tg(x + y). tg y Resposta: tg x sen y sen y ) I) fi 0 < y < cos y 7) Lembrando que sen( x) sen x, "x Œ, temos: sen x sen( x) 0 sen x + sen x 0 sen x ou sen x 0 II) x + y x y fi sen x sen y sen. cos y sen y. cos

23 .. 0 Resposta: (x + y) 6) fi fi tg x tg x + tg y tg x. tg y tg x fi + tg y 99 tg y tg y + 99 tg y 00 tg y 0 tg y 0, 7) I) sen(x + y) + sen(x y) sen x. cos y + sen y. cos x + + sen x. cos y sen x. cos y. sen x. cos y sen x. cos y sen(x + y) + sen(x y) x. cos y II) sen x + cos y sen x + cos y sen x x, pois 0 x < e 0 y < cos y y 0 Resposta: ; 0 8) I) sen 0 sen 0 II) E sen(0 + a) + sen(0 a) sen 0. cos a + sen a. cos sen 0. cos a sen a. cos 0. sen 0. cos a.. cos a cos a Resposta: cos a 9) Se cos x, então: sen + x sen. cos x + sen x. cos. cos x + 0. sen x cos x Resposta: 0 + tg y tg y 0) I) sen( x) sen(0 x) sen 0. cos x sen x. cos 0 sen x II) sen( + x) sen. cos x + sen x. cos sen x III) sen x sen. cos x sen x. cos cos x IV) E sen( x) + sen( + x) sen x + cos x sen x + ( sen x) cos x + cos x. sen x Resposta:. sen x ) I) II) III) sen(8 a) sen(0 a) sen 0. cos a sen a. cos 0 sen a IV) cos a cos. cos a + sen. sen a sen a V) sec 0 sec 0 cos 0 VI) sen(8 a). cos a + sec 0 cos n a fi fi sen a. sen a + cos n a sen a + cos n a sen a cos n a cos a cos n a n Resposta: n ) I) cotg a tg a II) cotg b tg b tg a + tg b III) tg(a + b) tg a. tg b IV) tg(a + b) fi a + b, pois a e b são agudos Resposta: ) Lembrando que cos 0 e sen 0, tem-se:. sen x +. cos x cos 0. sen x + sen 0. cos x sen (x + 0 ). 7 x n. 60 ou x n. 60, n Œ x 0 + n. 60 ou x 90 + n. 60, n Œ Resposta: V {x Œ x 0 + n. 60 ou x 90 + n. 60, n Œ } ) I) sen( x) sen. cos x sen x. cos sen x II) sen + x sen. cos x + sen x. cos x III) Se x, tem-se:. cos. sen ( x). sen + x. ( ). sen x. ( cos x). sen x. cos x sen(x) sen

24 ) I) cos (90 + x) sen x II) cos (80 x) cos x III) cos (60 x) cos x IV) cos (90 x) sen x V) sen (70 + x) cos x VI) sen (90 + x) cos x VII) sen (60 + x) sen x cos(90 + x) + cos(80 x)+cos(60 x) +. cos(90 x) VIII) sen(70 + x) sen(90 + x) cos(90 x) + sen(60 + x) sen x cos x + cos x +. sen x cos x cos x sen x + sen x. sen x sen x tg x. cos x cos x Resposta: tg x 9) I) cos(x + ) cos x II) sen + x cos x III) tg ( x) tg x IV) cos (x + ) + sen + x tg( x) + cotg x cos x + cos x ( tg x) + cotg x tg x + cotg x sen x cos x sen x + cos x + cos x sen x sen x. cos x sen x. cos x. sen x. cos x sen (x) 6) Se a + b 0, então: (cos a + sen b) + (cos b + sen a) cos a +. cos a. sen b + sen b + cos b + +. cos b. sen a + sen a + +. (sen a. cos b + sen b. cos a) +. sen (a + b) +. sen ) Se tg x e tg y, então: tg x tg y tg (x y) + tg x. tg y ) I) sen x sen x sen + x cos x cos x sen x II) cotg x cos x sen x III) cos(80 + x) cos x IV) sec( x) cos( x) cos x sen x.cotg x V) y cos(80 + x). sec( x) sen x cos x. cos x sen x sen x cos x. cos x 0) Se x Œ 0;, então: I) cos(x) fi x x 6 II) sen x sen 6 ) I) sen x fi x 0 90 < x < 80 II) cos(x) cos 00 cos 60 ) cos x sen x. sen x. cos x + sen x cos x 0 cos x sen(x) + (sen x + cos x) sen(x) + sen(x) ) I) 0 x 0 x II) sen x cos x sen(x) fi fi x ou x x ou x 6 sen x III)

25 ) Para sen a, tem-se: sen a + cos 6 a fi + cos a cos 9 a cos a ± a) sen (a). sen a. cos a.. ± ± b) cos (a) cos a sen 9 6 a 7 0) y + sen x. cos x +. sen x cos x + sen (x) Para 0 x 0 x, temos: 0 0 sen (x) sen (x) sen (x) + y 7 O maior valor que y pode assumir é, portanto, igual a. 7 Respostas: a) ± ; b) ) I) sen x fi cos x 0 II) sen(x). sen x. cos x. ( ). 0 0 Resposta: 0 6) Sendo cos x e observando que cos(x) cos x sen x cos x ( cos x). cos x, tem-se: I) cos(x). cos 9 9 x II) cos(x). cos (x). 6 Resposta: ) sen x sen x. cos x e cos x 0 cos x sen x cos x e cos x 0 sen (x) A solução da equação proposta é V Ø, pois sen (x) ). cos (x) cos x. (cos x sen x) cos x. (. cos x ) cos x. cos x cos x. cos x cos x 0 cos x fi cos x, pois cos x Como x Œ ]0; [, tem-se x ou x Resposta: {; } ± 9 8 ) Sendo f(x) cos(x) e g(x) sen x, temos: f(x) + g(x) cos(x) + sen x cos x sen x + sen x sen x + sen x fi 7) y (sen x + cos x) sen x +. sen x. cos x + cos x (sen x + cos x) + (. sen x. cos x) + sen(x) Resposta: + sen(x) 8) y (sen x + cos x + ). (sen x + cos x ) (sen x + cos x) sen x +. sen x. cos x + cos x. sen x. cos x sen(x) 9) sen a cos a fi (sen a cos a) sen a sen a cos a + cos a sen (a) sen (a) sen (a). tg x a ) I) Sendo tg(x), fazendo x, temos: tg x tg a a II) Para tg, temos: a. tg a tg. tg a ) I) cos(x) cos x sen x sen x sen x. sen x II) cos(x) +. sen x + 0. sen x +. sen x + 0 0, assim, não existe x que satisfaça a equação.

26 6) cos x +. sen x + 0 sen x +. sen x + 0 sen x + 0 sen x, assim, a equação não tem solução. Resposta: nenhuma n Módulo 8 Lei dos Senos e dos Cossenos ) De acordo com o enunciado, tem-se a figura a seguir: sen x cos x 7) I) tg x + cotg x + cos x sen x sen x + cos x sen x. cos x sen x. cos x sen x. cos x II) sen (x). sen x. cos x. Resposta: x 8) I) cos + x x cos. cos sen. sen I) sen 0 sen (60 + ) sen 60. cos + sen. cos II) Pela lei dos senos, obtém-se: 0 c 0 c sen 0 sen c 0 c x x 0. cos ( ). sen sen x ) II) Sendo cos (a). sen x a, fazendo a, temos: cos x. sen x III) Para cos x, temos:. sen. sen x x. sen x sen x sen x ± ± ± I) Pela lei dos senos, tem-se: sen sen 0 sen II) sen sen fi fi + b Assim, cos x + sen ± x ) Resposta: ± 6

27 Seja a a medida do ângulo AO^ B (0 < a < ). Pela lei dos cossenos, temos: (AB) (OA) + (OB) (OA) (OB) cos a fi fi 6 () + ()... cos a cos a fi a II) No triângulo ABC, tem-se: AB AB sen 60 fi BC ( ) AB ( ) Resposta: 7) De acordo com o enunciado, tem-se a figura a seguir: ) De acordo com o enunciado, tem-se a figura a seguir: Sendo R, em metros, o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, pela lei dos senos, tem-se: AB 0 R fi R R. sen 60 0 sen ^C sen 60 R. 0 0 R Resposta: 0 m 0 Sendo a a medida do ângulo B ^AC, pela lei dos cossenos, tem-se: ( 9) cos a cos a 70. cos a cos a fi a 60, pois 0 < a < Resposta: 60 8) Sendo a, b e a 60 o ângulo formado pelos lados a e b, a área do triângulo é dada por:. a. b. sen a... sen 60 ) De acordo com o enunciado, tem-se a figura a seguir:... 6 Resposta: 6 Sendo x, em metros, a medida do terceiro lado, pela lei dos cossenos, tem-se: x cos 0 x x x 96 fi x, pois x > 0 Resposta: m 9) De acordo com a lei dos senos e sendo R o raio da circun - ferência que circunscreve o triângulo ABC, temos: 0) AB sen ^C Resposta: R fi R. R 6) I) No triângulo BCP, pela lei dos senos, tem-se: BC PB BC. sen 0 PB. sen fi sen sen 0 fi BC. (6 ). BC ( ) 7

28 I) No triângulo ABD, tem-se: AB AB sen 0 fi AB 0 AD 0 0 < < fi 00 < 0. < 0 II) No triângulo ABC, tem-se: AB 0 0 tg 60 fi x BC x 0 ) ) Utilizando a lei dos cossenos no triângulo ACD obtém-se: ( ) +... cos C ^ cos C ^ 0 cos ^C 0 cos ^C ^C 60 o, pois 0 < ^C < 80 ) I) ^ A + ^B + ^C 80 ^A + ^C 80 ^B II) cos ^B cos (80 ^B) cos (^A + ^C) III) Pela lei dos cossenos, tem-se: b a + c ac cos ^B b a + c ac[ cos (^A + ^C)] b a + c + ac cos (^A + ^C) ) O triângulo ABC é isósceles, pois tem dois ângulos com me - didas iguais a 0. Os dois lados opostos a esses ângulos tam bém têm medidas iguais e cada um mede. A área do triângulo ABC é dada por:. AC. BC. sen A ^CB... sen 0... I) c sen C sen C b c sen B c b fi sen B sen B II) b + c fi (c) + c 9 c + c 9 c 9 c 9 fi c, pois c > 0 III) b c. Resposta: 6 e b sen B 6 A distância x, em km, entre B e C é tal que: x cos 60 o x x x 00 fi fi x 00 0, pois x > 0 ) c a + b ac. cos ^C fi fi c + ( )... cos c c c 0 fi c 0, pois x > 0 Resposta: 0 8

29 6) a) +... cos 8 cos cos 9 9) AC BC b) fi sen b sen a sen 60 sen a. sen a. sen 60. sen a. sen a >, portanto, não existe a. Respostas: a) cos a 9 b) Nas condições propostas, não existe o triângulo. I) No triângulo ABC tem-se: (AC) + fi AC II) No triângulo ACD tem-se: ( ) + x.. x. cos 60 x x 0 fi x, pois x > 0 III) O perímetro, em centímetros, é FRENTE Geometria Plana e Analítica 7) n Módulo Polígonos: Definição, Classificação e Propriedades Sendo BC x, tem-se: x +... cos A fi fi x cos x cos Se é obtuso, isto é, 90 o < < 80 o, então: < cos < 0 fi > cos > 0 fi fi 0 < cos < fi 0 + < cos a < + fi fi < x < 9 fi < x < 7 ) O icoságono tem 0 lados fi n 0 n(n ) 0(0 ) d ) Seja n o número de lados do polígono, então: d n(n ) n n d n 6n n n n n 6n 0 n 9n 0 n 9, pois n > 8) ) O decágono tem 0 lados fi n 0 S i (n ). 80 (0 ) ) a e 6 e a i + a e 80, então: 0 a i cos x cos x 0 cos x cos x 8 ) I) a i a e e a i + a e 80 a e + a e 80 a e 80 a e II) a e fi n 60 n 8 n n Logo, o polígono é o octógono. 9

30 6) III) a ) Seja a o ângulo de cada vértice da estrela e o triângulo isósceles em cada ponta da estrela: 80 a é ângulo externo do polígono de n lados, assim: A figura interna é um hexágono e S e ) I) a e 0 0 n 6 n 8 n n n(n ) 8(8 ) II) d 9. 8) Polígono : n lados e d diagonais Polígono : (n + 6) lados e (d + 9) diagonais (n + 6). (n + 6 ) n(n ) I) + 9 (n + 6). (n + ) n(n ) + 78 n + n + 6n + 8 n n + 78 n + 6n + n 78 8 n 60 n n(n ) ( ) II) d 80 a n. 80 na n (n ). 80 na n a n 6 ) I) S i (n ) n 8 n + n n(n ) ( ) II) d é o total de diagonais III) O número de diagonais que passam pelo centro é n 7 IV) O número de diagonais que não passam pelo centro é ) Então, temos: Polígono : lados e diagonais Polígono : lados e diagonais Como o número de vértices é igual ao número de lados, a soma pedida é x + x x x 6 ) 9) Sendo a o ângulo remanescente, temos: I) S i (n ) a 80 n a a 80 n 60 II) 0 < a < 80 0 < 80 n 60 < < 80 n < < n <, < n <, fi n I) x + x 8 x 8 x II) x + y 80 fi y 80 y 8 Logo, os ângulos medem:, 8, e 8. Resposta:, 8, e 8 0

31 ) x 6/ 6 0) x. x 6 ) a a ) Todo losango é um paralelogramo, pois tem lados opostos paralelos. 6) I) O triângulo APB é isósceles, pois AB AP, então A ^BP A ^PB a. II) P^AB III) No triângulo APB, temos: 0 + a + a 80 a 0 a 7 7) I) O triângulo CDE é isósceles, pois CD CE, então C ^ED C ^DE a II) D ^CE III) a + a a IV) No triângulo CEF, temos: C ^FE 80 C ^FE 0 B ^FD Resposta: 0 AB A B 8 8) fi B C 6 B C BC B C B C Resposta: cm I) 0 x 0x 6 x,6 AB,6 II) 0 y 0y 9 y,9 B C,9 0 III) z 0z 6 z 6, C D 6, B,6 cm, B C,9 cm e C D 6, cm ) x + 0 x + 0 x 8 x 6 (x + 0). (x 6) (x 8)(x + 0) x 6x + 0x 60 x + 0x 8x 60 6x 60 x x+ 6x 00 8x x Resposta: 9) n Módulo 6 Semelhança de Triângulos e Relações Métricas nos Triângulos Retângulos AB BD + BE 0 ) ABD CBE fi fi CB BE BE BE + (BE) 0 (BE) + BE 0 0 fi BE 0 90 I) 9x 80 x x II) 9y 60 y 0 y III) 9z 0 z z 0 AB BC 0 ) ABC EDC fi fi ED DC x x x x, Resposta: m, 0 m e m

32 ) Sendo x a medida do lado do quadrado, temos: BD DE x x BDE BAC fi fi BA AC 9) x x x + x x x 0,7 ) Sendo x, em metros, o comprimento da sombra da estátua, temos: + x x 8 + x x x 8 x 8 x 8 x 8 Resposta: m Sendo x o comprimento do cabo de energia, em metros, temos: x x x 00 fi x 0 0) Sendo x a medida, em metros, de cada lado não-paralelo do trapézio isósceles, temos: x + x 0 m x 0 m ) Sendo x, em metros, a medida de ED, pela semelhança dos triângulos AED e ABC, temos: AE ED x fi x 0 + x x x 0 AB BC x x 0 x 6) ABE CDE fi fi AB AE fi 6 AE AE 08 AE 0 CD CE 0 7 No triângulo ABC, sendo h a medida em metros do trapézio, temos: h + (8 m) (0 m) fi h 6 m ) De acordo com o Teorema de Pitágoras, tem-se: r (r ) + 0 0r r, 7) Sendo x, em metros, a medida do raio do disco voador, então: x 8 x x 6 ) 8) Sendo x, em metros, o comprimento da sombra da moça no chão, temos: x + x,x + x,x, x,x x x,0, De acordo com o Teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo OCE, tem-se: (OE) (OC) + (CE) Assim: (OE) (8) + (8) (OE) (OE) 6 fi OE

33 ) Fazendo AB x, tem-se a figura a seguir: h + (6 x) h x 0 x Logo, x 0 x 9 x x 9 n Módulo 7 Área das Figuras Planas x x x 76 fi x ) ) ) Utilizando a relação (HIP). (ALT) (CAT). (CAT), temos: 6. h 9. h 7, I) CE AB m DE m II) No triângulo ADE, tem-se: ( m) + h ( m) h m III) A área do trapézio é: (AB + CD). h ( m + 8 m). m S 6 m Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo sombreado, tem-se: R R a + + (R a) a R R + ar + + R ar + a ar R ar ar R a R a R ) Considerando as medidas em centímetros, tem-se: 6) I) x + h x + h 9 ( x) + h 0x + x + h 6 x + h 9 x + h 9 0x + x + h 9 0x x + h 9 + h 9 h 9 9 x 9 x 9 x Se h é altura do triângulo ACB relativa ao lado CB, e se x é a medida de CD, então: I) No triângulo ADC, tem-se h + x h 9 x II) No triângulo ADB, tem-se h 9 x h 9 x

34 II) A área do trapézio, em centímetros quadrados, é: (0 + )... S 8 ) I) Sendo S 6 m a área do triângulo equilátero de lado L, em metros, tem-se: L. L S 6. L 6 L 8 II) A altura h, em metros, do triângulo equilátero, é dada por: L. 8. h. III) Sendo A a área do quadrado, em metros quadrados, cuja diagonal, em metros, é d h, tem-se: ) A área sombreada S corresponde à diferença entre a área de S l.. R.. 6) A área S da coroa circular sombreada, em cm, corresponde à diferença entre a área do círculo maior, de raio cm, e a do círculo menor, de raio cm, assim: S ) um quadrado de lado l e da área de um círculo de raio R, assim: d () 6. A ) I) A área do quadrado ABCD é cm, assim, a medida do lado quadrado é l cm II) BD l cm é a diagonal do quadrado BD III) EF FG cm cm IV) A área do triângulo EFG é dada por EF. FG. cm cm cm cm I) A diagonal do quadrado é d R II) A área pedida S corresponde à diferença entre a área do círculo de raio R e a do quadrado de diagonal d, assim: S. R d. Respostas: D 8) I) Se o lado do quadrado ABCD mede cm, o raio do círculo, em centímetros, é R II) A diagonal do quadrado menor, em centímetros, é d R III) A área pedida S, em centímetros quadrados, corresponde à diferença entre a área do círculo de raio R e a do quadrado de diagonal d, assim: d S. R.

35 9) A área S da parte sombreada corresponde à área do quadrado menor, cuja diagonal mede d a, assim: d S (a) a a ) 0) I) A área do quadrado ABCD, em cm, é S II) AE AF, em cm. III) A área do triângulo AEF, em cm, é AE. AF. S 8 IV) A área S do octógono, em centímetros quadrados, é: S S. S. 8 I) fi R ).. II) S.. R.. ( )... (. ) ) I) Se a é a área de cada um dos 6 triângulos equiláteros que formam o hexágono central de área k, então, k 6a. II) A soma das áreas dos triângulos ACE e BDF é 9a + 9a 8a. 6a k ) I) S HEX 6. S OAB fi 6 6. S OAB S OAB S OAB + S OBC. S OAB II) S ABC S OAB O pentágono hachurado tem área S correspondente a dois triângulos equiláteros de lado, assim, tem-se: ). S.

36 I) S HEX 6. S OAB fi 6. S OAB S OAB 6 7) I) O polígono regular de n lados é formado por n triângulos isósceles congruentes, como o da figura a seguir: S OAB + S OBC. S OAB II) S ABC S OAB III) S PENT S HEX S ABC 6) II) Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se: b + a r b r a fi fi b r a b. r a a. a. I) AH HC fi AC. a. S OAB + S OBC. S OAB a. II) S ABC S OAB x. AC III) S ACM x. a. IV) S ABCM. S HEX fi S ABC + S ACM. S HEX fi a. x. a. a. fi III) A área do polígono de n lados é dada por b. a. r a. a n. n. na r a 8) Sendo R o raio do círculo maior (figura I) e r o raio de cada círculo menor (figura II), tem-se: I).. R... r R. r II) s. r III) S. R. (. r). 9. r 9.. r 9. s 9) a x a a + a + x a x a x 8 V) Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACM, temos: (AM) (AC) + x (a. ) + fi AM 7a a a 9a + fi 6 6 a I) M é ponto médio de BC fi N é ponto médio de BD fi MN // CD CD e MN b 6

37 II) A área do triângulo BCD é A b. h h b h MN.. III) A área do triângulo MNP é b. h b. h b. h.. A 8 ) I) Se o ponto A(a ; ) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, então, a a 8 II) Se o ponto B(; b) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, então, b b Resposta: a 8 e b 6) a) reta paralela ao eixo das ordenadas (eixo y) b) reta paralela ao eixo das abscissas (eixo x) 7) S ABC 0) I) S ABC. S ADE S ADE II) Se a razão de semelhança entre duas figuras semelhantes é k, a razão entre as áreas dessas figuras é k, então: S ABC fi fi S ADE BC DE BC BC DE DE n Módulo 8 Coordenadas Cartesianas Ortogonais, Razão de Secção, Alinhamento de Três Pontos e Curvas 8) Representando graficamente os pontos (0; 0), (a; 0), (a; b) e (0; b), com a > b > 0, tem-se: ) Ligando os pontos, na ordem dada, por linhas retas, forma-se um retângulo de área a. b, cujo centro é o ponto a b ; Resposta: retângulo; (a. b) u.a.; a b ; 9) De acordo com o enunciado, tem-se a figura a seguir. ) Para que os pontos A(a; ) e B( ; b) sejam coincidentes, os pares ordenados devem ser iguais, portanto, (a; ) ( ; b) a e b Resposta: a e b ) a) b 0; b) a 0; c) a > 0 e b < 0; d) a b ) Se a < 0 e b > 0, então: I) P(a; b) pertence ao ọ quadrante, pois a < 0 e b < 0 II) Q(b; a) pertence ao ọ quadrante, pois b > 0 e a > 0 Sendo a medida do lado do triângulo equilátero ABC, tem-se, para o vértice C: I) x C II) y C 7

38 0) Observando que o quadrilátero da figura é um paralelogramo de base b e altura h, sua área é dada por b. h. 0, em unidades de área. ) Sendo P(x; 8), Q(; 0) e PQ 8, tem-se: PQ (x ) + ( 8 0) 8 (x ) (x ) + 6 (x ) 0 x 0 x ) ) É falsa, pois pontos de abscissa nula estão no eixo Oy. ) É verdadeira. ) É verdadeira. ) É verdadeira. ) É falsa, pois os pontos da bissetriz dos quadrantes pares são do tipo (a; a) Resposta:, e ) Se P( ; a) pertence ao. quadrante, então a 0, assim, sendo Q(a; ) e PQ, tem-se: PQ (a + ) + (a + ) (a + ) + (a + ) a + a + + a + a + a + 6a 0 0 a + a 0 0 a ou a a, pois a 0 ) AB ( ) + (0 ) AC (0 ) + ( ) AD ( ) + ( ) BE ( ) + ( 0) BF 0 CD ( 0) + ( ) + 9 CG ( 6 0) + ( ) DE ( ) + ( + ) EF (0 + ) + (0 ) B 0 ; AC 7; AD 0; BE 8; BF ; CD ; CG 0; DE 6 ; EF ) De acordo com o enunciado, temos a figura a seguir: 6) Para os pontos A(; ), B( ; ) e C(; ), tem-se: I) AB ( + ) + ( ) II) AC ( ) + ( ) + III) BC ( + ) + ( ) V) O perímetro do triângulo ABC é AB + AC + BC Resposta: + 7) Para os pontos A(; 0), B(; ) e C(8; ), tem-se: I) AB ( ) + (0 ) II) AC (8 ) + ( 0) III) BC ( 8) + ( ) IV)Como AB AC + BC, tem-se que o triângulo ABC é retângulo com catetos AC e BC, assim, sua área é da por AC. BC Respostas: Triângulo retângulo; u.a. 8) Para os pontos A(0; ), B(; ), C(7; ) e D(; ), tem-se: I) AB ( 0) + ( ) + II) III) BC (7 ) + ( ) + CD (7 ) + ( + ) + Existem duas possibilidades para o quadrado ABCD, assim, tem-se: I) Se o centro do quadrado for o ponto (; ), a distância à origem (0; 0) é ( 0) + ( 0) II) Se o centro do quadrado for o ponto (; ), a distância à origem (0; 0) é ( 0) + ( 0) 8 IV) DA ( 0) + ( + ) + V) AC (7 0) + ( ) VI) BD ( ) + ( + ) VII) Como AB BC CD DA (lados congruentes) e AC BD (diagonais congruentes), tem-se que o quadrilátero ABCD é um quadrado. Resposta: Quadrado 8

39 9) Para os pontos A(; ), B( ; ) e C(; 6), tem-se: I) D , 6 assim, os pontos A, B e C não estão alinhados, portanto, são vértices de um triângulo. II) AB ( + ) + ( + ) + 6 III) AC ( ) + (6 + ) IV)BC ( + ) + (6 + ) V) Como AC BC AB, tem-se que o triângulo ABC é isósceles e não equilátero. y P(; ) x Resposta: P(; ) ) Sendo M o ponto médio de AB e, sendo d, a distância entre o portão e o ponto médio de AB, temos: M ; (;) e d ( ) + (9 ) ) Se M(; ) é o ponto médio do segmento AB com A(; ) e B(x B ; y B ), então: 0) Para A( ; 6) e P(; y), tem-se: AP 0 ( + ) + (y 6) (y 6) (y 6) 00 (y 6) 6 y 6 8 ou y xb + y B x B B( ; ) y B y ou y P(; ) ou P(; ) Resposta: P(; ) ou P(; ) ) Se P(x; y) é o ponto equidistante da origem O(0; 0) e dos pontos A(; 0) e B(0; ), então: PB PO PA PO x + (y ) x + y (x ) + y x + y x + (y ) x + y x + y 6y + 9 x + y (x ) + y x + y x x + + y x + y 6y P ; x + 0 6y 9 y x x Resposta: P ; ) Se P(x; y) é o ponto equidistante dos pontos A(0; 0), B(; 7) e C(7; ), então: PA PB PA PC x + y (x ) + (y 7) x + y (x 7) + (y + ) x + y x x + + y y + 9 x + y 0 x + y x x y + y + x y 0 x + 7y x + 7y x + 7y 7x y 9x 7y 7 0x 00 ) Se (; ) é o ponto médio do segmento de extremos (; y) e (x; 7), então: + x y + 7 x x + y + y 6) O centro C( ; ) da circunferência é o ponto médio do diâme tro de extremos P(; 6) e Q(x Q ; y Q ), então: + x Q 6 + y Q Resposta: Q( 0; ) x Q 0 Q( 0; ) y Q 7) No triângulo de vértices A(; 8), B(; ) e C(6; ), tem-se: + 6 I) O ponto médio do lado BC é M ; M(; ) II) O comprimento da mediana AM é dado por AM ( ) + (8 + ) ) No triângulo de vértices A(; ), B(; ) e C( ; ), tem-se: I) O ponto médio do lado AC é + M ; M ; II) O comprimento da mediana BM é dado por 9

40 BM ( + ) + + ) Para os pontos A(; ), B(8; ) e C( ; ), tem-se: D 8 pontos A, B e C são alinhados. Resposta: Sim , assim, os 9) No triângulo de vértices A(0; 0), B(; 7) e C(; ), tem-se: I) O ponto médio do lado BC é M + 7 ; M(; ) II) O comprimento da mediana AM é dado por AM ( 0) + ( 0) M ) Para os pontos A( ; ), B(; ) e C(9; ), tem-se: D 9 pontos A, B e C são colineares , assim, os ) Representando os pontos dados num sistema cartesiano, tem-se a figura a seguir: 0) Sendo A( ; ), B(; 7), C(x C ; y C ) e D(x D ; y D ) os vértices de um paralelogramo e sendo P(; ) o ponto médio das diagonais, tem-se: xa + xc + xc x P I) C(; ) y A + y C + y y C x C y C P xb + xd + xd x P II) D(; ) y B + y D 7 + y y D x D y D P Resposta: (; ) e (; ) ) Representando os pontos dados num sistema cartesiano, tem-se a figura a seguir. Se o ponto P(; m) pertence a um dos lados do triângulo ABC, observa-se que esse lado é AC, assim, A, P e C devem estar alinhados, portanto: m 0 m + 0 m m m O ponto médio da diagonal AC é M(; 0) que coincide com o ponto médio da diagonal BD, assim: xb + xd + xd x M D(9; ) y B + y D + y y D x D 9 y D M 0 ) Para que os pontos A(0; a), B(a; ) e C(; ) sejam vértices de um triângulo, deve-se ter: 0 a a a e a 0 a + a + a 0 a a 0 6) I) P(x 0 ; y 0 ), A( ; ) e B(; ) estão alinhados, então: x 0 y 0 x 0 + y x 0 + y 0 + x 0 + y 0 0 0

41 II) P(x 0 ; y 0 ), C( ; ) e D(; ) estão alinhados, então: x 0 y 0 0 x 0 + y x 0 + y 0 0 x 0 + y III) x 0 + y x 0 + y x 0 y 0 0 x 0 + y A área do quadrilátero é dada por (AC + BD). h ( + ). Resposta: u.a. 0) Representando o quadrilátero no sistema cartesiano, tem-se: x 0 y 0 0 8x x0 y0 0 x 0 y 0 P ; x 0 Resposta: P ; 7) Para os pontos A(0; ), B(; 0) e C( ; ), tem-se: 0 I) D II) A área do triângulo ABC é dada por D 8 8 S 9 8) I) Se B é o ponto em que a reta x + y encontra o eixo x, então y B 0, logo, x B + 0 x B, portanto, B(; 0) II) Se C é o ponto em que a reta x + y encontra o eixo y, então x C 0, logo, 0 + y C y C, portanto, C(0; ) III) Para os pontos A(; ), B(; 0) e C(0; ), tem-se: D IV) A área do triângulo ABC é dada por D 6 6 S 9) Representando o quadrilátero no sistema cartesiano, tem-se: 7 I) A área do triângulo ABC é S 0, II) A área do triângulo ACD é S III) A área do quadrilátero ABCD é S + S 0, +, Resposta:,u.a. ) Para os pontos A(; ), B(; 7) e C(6; ), tem-se: I) AB ( ) + (7 ) II) AC (6 ) + ( ) + 9 III) BC (6 ) + ( 7) + 8 IV)O perímetro do triângulo ABC é V) A área do triângulo ABC é 6 7 Resposta: perímetro área 7 ) Se os pontos A(7; ), B(; ) e C(x; 6), com x inteiro, formam um triângulo de área 9, então: 7 x x x 8 9x x 67 8 ou 9x 67 8 x ou x x, pois x é inteiro 9 Resposta: x

42 ) Se os pontos A ;, B( ; ) e C t; são colineares, então: t 0 + t + t ) A ABC u.a. Resposta: u. a t + 6 6t t 7 t ) Para os pontos A(; ), B(; ) e C(; ), tem-se: D 0, portanto, A, B e C estão alinhados e pertencem ao gráfico da função f(x) x +, pois f(), f() e f() ) A distância real entre o ponto de partida C da joaninha e o de chegada A é o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos m e 6 m. Assim sendo, essa distância d, em metros, é: d ) 9 8) Se A, B e C são vértices de um triângulo, então neces saria - mente: k k k 0 9k k 9) Sendo S a área do triângulo de vértices A(6;8), B(;) e C(8;), temos: S 0) Os pontos A, B e C pertencem a uma mesma reta 0 x x 6 ) Os pontos A, B e P estão alinhados, então: k k + 0 k Portanto:. k + Sendo x a medida do lado da malha quadriculada da figura, a medida do lado da malha quadriculada da figura é x. Assim, A B x, AB x e, portanto, o fator de am pliação da figura para a figura é: A B x AB x

MATEMÁTICA CADERNO 3 CURSO E. FRENTE 1 Álgebra. n Módulo 11 Módulo de um Número Real. 5) I) x + 1 = 0 x = 1 II) 2x 7 + x + 1 0

MATEMÁTICA CADERNO 3 CURSO E. FRENTE 1 Álgebra. n Módulo 11 Módulo de um Número Real. 5) I) x + 1 = 0 x = 1 II) 2x 7 + x + 1 0 MATEMÁTICA CADERNO CURSO E ) I) + 0 II) 7 + + 0 FRENTE Álgebra n Módulo Módulo de um Número Real ) 6 + < não tem solução, pois a 0, a ) A igualdade +, com + 0, é verificada para: ọ ) + 0 ou ọ ) + + + +

Leia mais

5) [log 5 (25 log 2 32)] 3 = [log 5 (5 2 log )] 3 = = [log 5 (5 2 5)] 3 = [log ] 3 = 3 3 = 27

5) [log 5 (25 log 2 32)] 3 = [log 5 (5 2 log )] 3 = = [log 5 (5 2 5)] 3 = [log ] 3 = 3 3 = 27 MATEMÁTICA CADERNO CURSO E ) [log ( log )] = [log ( log )] = = [log ( )] = [log ] = = 7 FRENTE ÁLGEBRA n Módulo 7 Logaritmos: Definição e Existência ) a) log 8 = = 8 = = b) log 8 = = 8 = = c) log = = (

Leia mais

5) [log 5 (25 log 2 32)] 3 = [log 5 (5 2 log )] 3 = = [log 5 (5 2 5)] 3 = [log ] 3 = 3 3 = 27

5) [log 5 (25 log 2 32)] 3 = [log 5 (5 2 log )] 3 = = [log 5 (5 2 5)] 3 = [log ] 3 = 3 3 = 27 MATEMÁTICA CADERNO SEMIEXTENSIVO D ) [log ( log )] = [log ( log )] = = [log ( )] = [log ] = = 7 FRENTE ÁLGEBRA n Módulo Logaritmos Definição e Existência ) a) log 8 = = 8 = = b) log 8 = = 8 = = c) log

Leia mais

MATEMÁTICA CADERNO 2 CURSO D. FRENTE 1 ÁLGEBRA n Módulo 7 Sistema de Inequações. n Módulo 8 Inequações Produto e Quociente

MATEMÁTICA CADERNO 2 CURSO D. FRENTE 1 ÁLGEBRA n Módulo 7 Sistema de Inequações. n Módulo 8 Inequações Produto e Quociente MATEMÁTICA CADERNO CURSO D ) I) x 0 As raízes são e e o gráfico é do tipo FRENTE ÁLGEBRA n Módulo 7 Sistema de Inequações ) I) x x 0 As raízes são e e o gráfico é do tipo Logo, x ou x. II) x x 0 As raízes

Leia mais

MATEMÁTICA CADERNO 4 CURSO E FRENTE 1 ÁLGEBRA. Módulo 15 Determinantes. 6) I) A x. B = x. = x 4 + x

MATEMÁTICA CADERNO 4 CURSO E FRENTE 1 ÁLGEBRA. Módulo 15 Determinantes. 6) I) A x. B = x. = x 4 + x n FRENTE ÁLGEBRA Módulo Determinantes ) + 7 ou A solução positiva,, é um número primo. ) A nova matriz obtida, de acordo com o enunciado, é 6, e o determinante dessa matriz é 8 + 8 + 8 6 6 y y + ) + y

Leia mais

5) [log 5 (25 log 2 32)] 3 = [log 5 (5 2 log )] 3 = = [log 5 (5 2 5)] 3 = [log ] 3 = 3 3 = 27

5) [log 5 (25 log 2 32)] 3 = [log 5 (5 2 log )] 3 = = [log 5 (5 2 5)] 3 = [log ] 3 = 3 3 = 27 MATEMÁTICA CADERNO CURSO D ) [log ( log )] = [log ( log )] = = [log ( )] = [log ] = = 7 FRENTE ÁLGEBRA n Módulo Logaritmos: Definição e Eistência ) a) log 8 = = 8 = = b) log 8 = = 8 = = c) log = = ( )

Leia mais

Matemática D Extensivo V. 3

Matemática D Extensivo V. 3 Extensivo V. Resolva Aula 9 9.0) C 9.01) B Em AC, temos: 8 x + 7 x = 9 6 = x x = PQRO é um losango. Assim, os ângulos opostos são iguais. + 00 = 60 = 80 o Aula 10 9.0) B 10.01) Comprimento:. = Comprimento:.

Leia mais

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III 0 Dois círculos de centros A e B são tangentes exteriormente e tangenciam interiormente um círculo de centro C. Se AB = cm, AC = 7 cm e BC = 3 cm, então o raio

Leia mais

Professor Mascena Cordeiro

Professor Mascena Cordeiro www.mascenacordeiro.com Professor Mascena Cordeiro º Ano Ensino Médio M A T E M Á T I C A. Determine os valores de m pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que os pontos (0, -), (, m) e (-, -)

Leia mais

NOTAÇÕES. : inversa da matriz M : produto das matrizes M e N : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B

NOTAÇÕES. : inversa da matriz M : produto das matrizes M e N : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B NOTAÇÕES R C : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária i = 1 det M : determinante da matriz M M 1 MN AB : inversa da matriz M : produto das matrizes M e N : segmento

Leia mais

NOTAÇÕES. R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos

NOTAÇÕES. R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos NOTAÇÕES R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária: i = 1 z : módulo do número z C Re(z) : parte real do número z C Im(z) : parte imaginária do número z C

Leia mais

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 13 EXERCÍCIOS 1) A representação cartesiana da função y = ax 2 + bx + c é a parábola abaixo. Tendo em vista

Leia mais

MATEMÁTICA CADERNO 1 CURSO D FRENTE 1 ÁLGEBRA. n Módulo 2 Equação do 2 ọ Grau

MATEMÁTICA CADERNO 1 CURSO D FRENTE 1 ÁLGEBRA. n Módulo 2 Equação do 2 ọ Grau CADERNO CURSO D FRENTE ÁLGEBRA n Módulo Equação do ọ Grau n Módulo Equação do ọ Grau ) Na equação 6x x = 0, tem-se a = 6, b = e c =, então: I) = b ac = + = b ± ± II) x = = x = ou x = a Resposta: V = ;

Leia mais

MATEMÁTICA SARGENTO DA FAB

MATEMÁTICA SARGENTO DA FAB MATEMÁTICA BRUNA PAULA 1 COLETÂNEA DE QUESTÕES DE MATEMÁTICA DA EEAr (QUESTÕES RESOLVIDAS) QUESTÃO 1 (EEAr 2013) Se x é um arco do 1º quadrante, com sen x a e cosx b, então é RESPOSTA: d QUESTÃO 2 (EEAr

Leia mais

NOME: ANO: 3º Nº: PROFESSOR(A):

NOME: ANO: 3º Nº: PROFESSOR(A): NOME: ANO: º Nº: PROFESSOR(A): Ana Luiza Ozores DATA: Algumas definições Triângulos: REVISÃO Lista 06 Triângulos e Quadriláteros Classificação quanto aos lados: Escaleno (todos os lados diferentes), Isósceles

Leia mais

MAT 2A SEMI AULA Interseção com eixo y. x = 0. f (0) = = zeros da função: y = 0. x 2 + 3x = 0 x( x + 3) = 0

MAT 2A SEMI AULA Interseção com eixo y. x = 0. f (0) = = zeros da função: y = 0. x 2 + 3x = 0 x( x + 3) = 0 MAT A SEMI AULA 03 03.01 Interseção com eixo y x 0 f (0) 0 4 0 + 10 10 03.0 zeros da função: y 0 x + 3x 0 x(x + 3) 0 x 0 ou x 3 (0; 0) e (3; 0) 03.04 y 0 x + 4 0 x 4 x R 03.04 x v b ( ) a 1 1 x v 1 1 +

Leia mais

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3 01 Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b a) a = 3, b, b R b) a = 3 e b = 1 c) a = 3 e b 1 d) a 3 1 0 y = 3x + 1 m = 3 A equação que apresenta uma reta com o mesmo coeficiente angular

Leia mais

Prova 3 Matemática. N ọ DE INSCRIÇÃO:

Prova 3 Matemática. N ọ DE INSCRIÇÃO: Prova QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: NOME DO CANDIDATO: N ọ DE INSCRIÇÃO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA. Confira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, conforme o que consta na etiqueta

Leia mais

Prova 3 Matemática. N ọ DE INSCRIÇÃO:

Prova 3 Matemática. N ọ DE INSCRIÇÃO: Prova QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: NOME DO CANDIDATO: N ọ DE INSCRIÇÃO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA. Confira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, conforme o que consta na etiqueta

Leia mais

Prova 3 Matemática. N ọ DE INSCRIÇÃO:

Prova 3 Matemática. N ọ DE INSCRIÇÃO: Prova QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: NOME DO CANDIDATO: N ọ DE INSCRIÇÃO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA. Confira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, conforme o que consta na etiqueta

Leia mais

Prova 3 Matemática. N ọ DE INSCRIÇÃO:

Prova 3 Matemática. N ọ DE INSCRIÇÃO: Prova QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: NOME DO CANDIDATO: N ọ DE INSCRIÇÃO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA. Confira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, conforme o que consta na etiqueta

Leia mais

NOTAÇÕES. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

NOTAÇÕES. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares. MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária i = det M : determinante da matriz M M : inversa da matriz M MN : produto das matrizes M e N AB

Leia mais

UPE/VESTIBULAR/2002 MATEMÁTICA

UPE/VESTIBULAR/2002 MATEMÁTICA UPE/VESTIBULAR/00 MATEMÁTICA 01 Os amigos Neto, Maria Eduarda, Daniela e Marcela receberam um prêmio de R$ 1000,00, que deve ser dividido, entre eles, em partes inversamente proporcionais às respectivas

Leia mais

Geometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo

Geometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo Índice Geometria plana Polígonos Triângulos Congruência de triângulos Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo Quadriláteros Teorema de Tales Esquadros de madeira www.ser.com.br

Leia mais

Exercícios Propostos. Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir.

Exercícios Propostos. Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir. Exercícios Propostos Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir. Exercício 2: As bissetrizes de dois ângulos adjacentes AÔB e BÔC são,

Leia mais

Geometria Plana 1 (UEM-2013) Em um dia, em uma determinada região plana, o Sol nasce às 7 horas e se põe às 19 horas. Um observador, nessa região, deseja comparar a altura de determinados objetos com o

Leia mais

Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Geometria Analítica 3º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO

Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Geometria Analítica 3º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Geometria Analítica 3º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista 1 1º Bimestre 2012 Aluno(a): Número: Turma: 1) Resolva

Leia mais

ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) TURNO. 01. Determine a distância entre dois pontos A e B do plano cartesiano.

ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) TURNO. 01. Determine a distância entre dois pontos A e B do plano cartesiano. SÉRIE ITA/IME ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) ALUNO(A) TURMA MARCELO MENDES TURNO SEDE DATA Nº / / TC MATEMÁTICA Geometria Analítica Exercícios de Fixação Conteúdo: A reta Parte I Exercícios Tópicos

Leia mais

CM127 - Lista Mostre que os pontos médios de um triângulo isósceles formam um triângulo também isósceles.

CM127 - Lista Mostre que os pontos médios de um triângulo isósceles formam um triângulo também isósceles. CM127 - Lista 2 Congruência de Triângulos e Desigualdade Triangular 1. Faça todos os exercícios dados em aula. 2. Em um triângulo ABC a altura do vértice A é perpendicular ao lado BC e divide BC em dois

Leia mais

NOTAÇÕES. R N C i z. ]a, b[ = {x R : a < x < b} (f g)(x) = f(g(x)) n. = a 0 + a 1 + a a n, sendo n inteiro não negativo.

NOTAÇÕES. R N C i z. ]a, b[ = {x R : a < x < b} (f g)(x) = f(g(x)) n. = a 0 + a 1 + a a n, sendo n inteiro não negativo. R N C i z det A d(a, B) d(p, r) AB Â NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números naturais : conjunto dos números complexos : unidade imaginária: i = 1 : módulo do número z C : determinante

Leia mais

Proposta de correcção

Proposta de correcção Ficha de Trabalho Matemática A - ºano Temas: Trigonometria (Triângulo rectângulo e círculo trigonométrico) Proposta de correcção. Relembrar que um radiano é, em qualquer circunferência, a amplitude do

Leia mais

RECUPERAÇÃO FINAL DE MATEMÁTICA PROFESSOR GILMAR BORNATTO

RECUPERAÇÃO FINAL DE MATEMÁTICA PROFESSOR GILMAR BORNATTO 1. (Unesp) Seja A = [a Œ] a matriz 2 x 2 real definida por a Œ = 1 se i j e a Œ = -1 se i > j. Calcule A. 2. (Unesp) Seja A=[a Œ] a matriz real 2 x 2 definida por a Œ=1 se i j e a Œ=-1 se i>j. Calcule

Leia mais

Exemplo Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

Exemplo Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir: GEOMETRIA PLANA TEOREMA DE TALES O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência: Se duas retas transversais são cortadas por um feixe de retas paralelas, então a razão entre

Leia mais

3) O ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcular a abscissa a do ponto P.

3) O ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcular a abscissa a do ponto P. Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Lista 2: Plano cartesiano, sistema de coordenadas: pontos e retas. 1) Represente no plano cartesiano

Leia mais

CM127 - Lista 3. Axioma da Paralelas e Quadriláteros Notáveis. 1. Faça todos os exercícios dados em aula.

CM127 - Lista 3. Axioma da Paralelas e Quadriláteros Notáveis. 1. Faça todos os exercícios dados em aula. CM127 - Lista 3 Axioma da Paralelas e Quadriláteros Notáveis 1. Faça todos os exercícios dados em aula. 2. Determine as medidas x e y dos ângulos dos triângulos nos itens abaixo 3. Dizemos que um triângulo

Leia mais

Circunferência e círculo. Posições relativas de ponto e circunferência. Posições relativas de reta e circunferência

Circunferência e círculo. Posições relativas de ponto e circunferência. Posições relativas de reta e circunferência Circunferência e círculo Circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão a uma distância r do ponto O. Observação O conjunto constituído dos pontos de uma circunferência

Leia mais

A 1. Na figura abaixo, a reta r tem equação y = 2 2 x + 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B 0. estão na reta r, sendo B 0

A 1. Na figura abaixo, a reta r tem equação y = 2 2 x + 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B 0. estão na reta r, sendo B 0 MATEMÁTICA FUVEST Na figura abaixo, a reta r tem equação y = x + no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B 0, B, B, B 3 estão na reta r, sendo B 0 = (0,). Os pontos A 0, A, A, A 3 estão no eixo

Leia mais

1 a Lista de Exercícios MAT 105 Geometria Analitica

1 a Lista de Exercícios MAT 105 Geometria Analitica 1 a Lista de Exercícios MAT 105 Geometria Analitica - 2017 1 a parte: Vetores, operações com vetores 1. Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo

Leia mais

MATEMÁTICA. Um pintor pintou 30% de um muro e outro pintou 60% do que sobrou. A porcentagem do muro que falta pintar

MATEMÁTICA. Um pintor pintou 30% de um muro e outro pintou 60% do que sobrou. A porcentagem do muro que falta pintar MATEMÁTICA d Um pintor pintou 0% de um muro e outro pintou 60% do que sobrou. A porcentagem do muro que falta pintar é: a) 0% b) % c) % d) 8% e) % ) 60% de 70% % ) 00% % 0% 8% d Se (x y) (x + y) 0, então

Leia mais

Módulo Quadriláteros. Relação de Euler para Quadriláteros. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Módulo Quadriláteros. Relação de Euler para Quadriláteros. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Módulo Quadriláteros Relação de Euler para Quadriláteros 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Quadriláteros Relação de Euler para Quadriláteros 2 Exercícios de Fixação Exercício 5. Seja

Leia mais

Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Fase

Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Fase Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo 017-1 a Fase Proposta de resolução Caderno 1 1. Como 9 =,5 e 5,, temos que 5 < 9 indicados na definição do conjunto, vem que: e assim, representando na reta real os

Leia mais

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA Trigonometria Aula 0: Matrizes e Determinantes Trigonometria Deduzindo da própria palavra, trigonometria é a parte da geometria que estabelece relações métricas e angulares entre

Leia mais

ÍNDICE: Relações Métricas num Triângulo Retângulo página: 2. Triângulo Retângulo página: 4. Áreas de Polígonos página: 5

ÍNDICE: Relações Métricas num Triângulo Retângulo página: 2. Triângulo Retângulo página: 4. Áreas de Polígonos página: 5 ÍNDICE: Relações Métricas num Triângulo Retângulo página: Triângulo Retângulo página: 4 Áreas de Polígonos página: 5 Área do Círculo e suas partes página: 11 Razão entre áreas de figuras planas semelhantes

Leia mais

Lista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante.

Lista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. MA13 Exercícios das Unidades 4 e 5 2014 Lista 3 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. 1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Prove que os pontos médios

Leia mais

Grupo 1 - N1M2 - PIC OBMEP 2011 Módulo 2 - Geometria. Resumo do Encontro 6, 22 de setembro de Questões de geometria das provas da OBMEP

Grupo 1 - N1M2 - PIC OBMEP 2011 Módulo 2 - Geometria. Resumo do Encontro 6, 22 de setembro de Questões de geometria das provas da OBMEP Grupo 1 - N1M2 - PIC OBMEP 2011 Módulo 2 - Geometria Resumo do Encontro 6, 22 de setembro de 2012 Questões de geometria das provas da OBMEP http://www.obmep.org.br/provas.htm 1. Áreas - capítulo 2 da apostila

Leia mais

Acadêmico(a) Turma: Capítulo 5: Trigonometria. Definição: Todo triângulo que tenha um ângulo de 90º (ângulo reto)

Acadêmico(a) Turma: Capítulo 5: Trigonometria. Definição: Todo triângulo que tenha um ângulo de 90º (ângulo reto) 1 Acadêmico(a) Turma: 5.1. Triangulo Retângulo Capítulo 5: Trigonometria Definição: Todo triângulo que tenha um ângulo de 90º (ângulo reto) Figura 1: Ângulos e catetos de um triangulo retângulo. Os catetos

Leia mais

MATEMÁTICA. Capítulo 3 LIVRO 2. (I) Áreas das Figuras Planas (II) Áreas de Polígonos Regulares. Páginas: 168 à 188

MATEMÁTICA. Capítulo 3 LIVRO 2. (I) Áreas das Figuras Planas (II) Áreas de Polígonos Regulares. Páginas: 168 à 188 MATEMÁTICA LIVRO Capítulo (I) Áreas das Figuras Planas (II) Áreas de Polígonos Regulares Páginas: 68 à 88 Áreas de Figuras Planas toda área é uma medida de superfície [u] unidade padrão [u]² [u] I. ÁREA

Leia mais

r a t (I), ht rs (II) e (III) r s t r a

r a t (I), ht rs (II) e (III) r s t r a 01 De T 1 e T 3, temos: a h r s h r a t (I), ht rs (II) e (III) r s t r a De T e T 3, temos: h b s s b s b t (IV) e (V) r s t r h De (III) e (V): b h h a b (VI) h a Somando (I) e (IV) temos: r s at bt

Leia mais

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos Polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano. Exemplos 11.1 Elementos de um polígono

Leia mais

Prof. Luiz Carlos Moreira Santos. Questão 01)

Prof. Luiz Carlos Moreira Santos. Questão 01) Questão 01) A figura abaixo representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão (vide figura), além de mesma altura. Se AB = m e BCA mede 0º, então a medida da extensão de cada degrau

Leia mais

Projeto de Recuperação 1º Semestre - 2ª Série (EM)

Projeto de Recuperação 1º Semestre - 2ª Série (EM) Projeto de Recuperação 1º Semestre - 2ª Série (EM) Matemática 1 MATÉRIA A SER ESTUDADA Nome do Fascículo Aula Exercícios Matrizes e Determinantes Classificação de matrizes (pag. 0) 1,2,,4,6,8 Matrizes

Leia mais

Lista de Exercícios 1 - Caio Milani e Gabriel Mendes (1º Ano)

Lista de Exercícios 1 - Caio Milani e Gabriel Mendes (1º Ano) Lista de Exercícios 1 - Caio Milani e Gabriel Mendes (1º Ano) Polígonos 1. Calcule o número de diagonais de um icoságono (20 lados). 2. Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número

Leia mais

MÓDULO 29. Trigonometria I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Fórmulas do arco duplo: 1) sen (2a) = 2) cos (2a) =

MÓDULO 29. Trigonometria I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Fórmulas do arco duplo: 1) sen (2a) = 2) cos (2a) = Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 9 Trigonometria I Resumo das principais fórmulas da trigonometria Arcos Notáveis: Fórmulas do arco duplo: ) sen (a) ) cos (a) ) tg

Leia mais

Tema III Geometria analítica

Tema III Geometria analítica Tema III Geometria analítica Unidade 1 Geometria analítica no plano Páginas 154 a 181 1. a) A(1, ) B( 3, 1) d(a, B) = ( 3 1) + (1 ( )) = ( 4) + 3 = 16 + 9 = 5 = 5 b) C ( 3, 3) O(0, 0) d(c, O) = (0 3 )

Leia mais

CUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico)

CUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico) 1 INTRODUÇÃO CUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico) ARCOS: Dados dois pontos A e B de uma circunferência, definimos Arco AB a qualquer uma das partes desta circunferência

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA 2017

GEOMETRIA ANALÍTICA 2017 GEOMETRIA ANALÍTICA 2017 Tópicos a serem estudados 1) O ponto (Noções iniciais - Reta orientada ou eixo Razão de segmentos Noções Simetria Plano Cartesiano Abcissas e Ordenadas Ponto Médio Baricentro -

Leia mais

1. Área do triângulo

1. Área do triângulo UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Geometria Plana II Prof.:

Leia mais

Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart Relação de Stewart 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart Relação

Leia mais

Triângulos classificação

Triângulos classificação Triângulos classificação Quanto aos ângulos Acutângulo: possui três ângulos agudos. Quanto aos lados Equilátero: três lados de mesma medida. Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º. Retângulo:

Leia mais

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cartesianas 1 Coordenadas Cartesianas 1.1 O produto cartesiano Para compreender algumas notações utilizadas ao longo deste texto, é necessário entender o conceito de produto cartesiano, um produto entre conjuntos

Leia mais

CONCURSO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO MILITAR DO RECIFE - 99 / 00 PROVA DE CIÊNCIAS EXATAS DA. 1 a é equivalente a a

CONCURSO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO MILITAR DO RECIFE - 99 / 00 PROVA DE CIÊNCIAS EXATAS DA. 1 a é equivalente a a 13 1 a PARTE - MATEMÁTICA MÚLTIPLA ESCOLHA ESCOLHA A ÚNICA RESPOSTA CERTA, ASSINALANDO-A COM X NOS PARÊNTESES À ESQUERDA Item 01. Se a R e a 0, a expressão: 1 a é equivalente a a a.( ) 1 b.( ) c.( ) a

Leia mais

3º trimestre SALA DE ESTUDOS Data: 11/17 Ensino Médio 3º ano A, B e C. Prof. Maurício Nome: nº

3º trimestre SALA DE ESTUDOS Data: 11/17 Ensino Médio 3º ano A, B e C. Prof. Maurício Nome: nº º trimestre SALA DE ESTUDOS Data: 11/17 Ensino Médio º ano A, B e C. Prof. Maurício Nome: nº CONTEÚDOS: EQUAÇÃO DA RETA E EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA. 1. (Eear 017) O triângulo ABC a) escaleno b) isósceles

Leia mais

Propostas de resolução. Capítulo 5 Figuras geométricas F Na figura observam-se dois pares de ângulos verticalmente opostos.

Propostas de resolução. Capítulo 5 Figuras geométricas F Na figura observam-se dois pares de ângulos verticalmente opostos. Capítulo 5 Figuras geométricas F3 Pág 77 11 Na figura observam-se dois pares de ângulos verticalmente opostos Logo, x 160 x + x + 100 + 100 = 360 x = 360 00 x = 160 = x = 80 Portanto, x = 80 1 x = 90 +

Leia mais

EXTENSIVO APOSTILA 03 EXERCÍCIOS DE SALA MATEMÁTICA A

EXTENSIVO APOSTILA 03 EXERCÍCIOS DE SALA MATEMÁTICA A EXTENSIVO APOSTILA 03 EXERCÍCIOS DE SALA MATEMÁTICA A AULA 07 01) f(x) = (x) + f(x) = 4x + f(x) g(x) = (x) g(x) = 4x = g(x) h(x) = (x) h(x) = 4x h(x) 0) Se é uma função linear, pode-se escreer como f(x)

Leia mais

Geometria Plana. Exterior do ângulo Ô:

Geometria Plana. Exterior do ângulo Ô: Geometria Plana Ângulo é a união de duas semiretas de mesma origem, não sendo colineares. Interior do ângulo Ô: Exterior do ângulo Ô: Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, apresentarem um lado

Leia mais

Questão 03 Sejam os conjuntos: A) No conjunto A B C, existem 5 elementos que são números inteiros.

Questão 03 Sejam os conjuntos: A) No conjunto A B C, existem 5 elementos que são números inteiros. Questão 0 Dada a proposição: Se um quadrilátero é um retângulo então suas diagonais cortam-se ao meio, podemos afirmar que: A) Se um quadrilátero tem as diagonais cortando-se ao meio então ele é um retângulo.

Leia mais

AB AC BC. k PQ PR QR GEOMETRIA PLANA CONCEITOS BÁSICOS SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS. Triângulos isósceles

AB AC BC. k PQ PR QR GEOMETRIA PLANA CONCEITOS BÁSICOS SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS. Triângulos isósceles GEOMETRIA PLANA Triângulos isósceles CONCEITOS BÁSICOS Retas paralelas cortadas por uma transversal São aqueles que possuem dois lados iguais. Ligando o vértice A ao ponto médio da base BC, geramos dois

Leia mais

Geometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo

Geometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo Índice Geometria plana Polígonos Triângulos Congruência de triângulos Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo Quadriláteros Teorema de Tales Esquadros de madeira www.ser.com.br

Leia mais

Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Fase

Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Fase Prova final de MATEMÁTICA - o ciclo 015 - a Fase Proposta de resolução Caderno 1 1. Calculando o valor médio das temperaturas registadas, temos Resposta: Opção B 19 + 0 + + + 5 7 0 = 5 0 =,6..1. O triângulo

Leia mais

Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Chamada

Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Chamada Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo 013 - a Chamada Proposta de resolução 1. 1.1. Como se escolhe um aluno do primeiro turno, ou seja, um aluno com um número ímpar, existem 1 escolhas possíveis (1, 3,

Leia mais

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - V

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - V MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - V 1) (PUC/MG) Na figura, ABCD é paralelogramo, BE AD e BF CD. Se BE = 1, BF = 6 e BC = 8, então AB mede a) 1 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 ) (CESGRANRIO) O losango ADEF

Leia mais

Assinale as questões verdadeiras some os resultados obtidos e marque na Folha de Respostas:

Assinale as questões verdadeiras some os resultados obtidos e marque na Folha de Respostas: PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - MAIO DE 0. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Assinale as questões

Leia mais

MATEMÁTICA - 3o ciclo Circunferência - ângulos e arcos (9 o ano) Propostas de resolução

MATEMÁTICA - 3o ciclo Circunferência - ângulos e arcos (9 o ano) Propostas de resolução MATEMÁTICA - 3o ciclo Circunferência - ângulos e arcos (9 o ano) Propostas de resolução Exercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Como o trapézio é isósceles, então BC = AD, pelo que também

Leia mais

MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de 2018

MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de 2018 MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I a Lista de Exercícios - o semestre de 8 Exercícios -8: os espaços V e V 3. Exercícios 9-7: dependência, independência linear, bases. Exercícios 8-48: sistemas lineares.

Leia mais

TIPO-A. Matemática. 03. Considere os números naturais a = 25, b = 2, c = 3, d = 4 e analise as afirmações seguintes:

TIPO-A. Matemática. 03. Considere os números naturais a = 25, b = 2, c = 3, d = 4 e analise as afirmações seguintes: 2 Matemática 01. Recorde que uma função f: R R diz-se par quando f( x) = f(x) para todo x real, e que f diz-se ímpar quando f( x) = f(x) para todo x real. Com base nessas definições, analise a veracidade

Leia mais

Módulo Quadriláteros. Quadriláteros Inscritos e Circunscritos. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Módulo Quadriláteros. Quadriláteros Inscritos e Circunscritos. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Módulo Quadriláteros Quadriláteros Inscritos e Circunscritos 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Quadriláteros Quadriláteros Incritos e Circunscritos Exercício 5. Determine o valor de x

Leia mais

1. Trigonometria no triângulo retângulo

1. Trigonometria no triângulo retângulo UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Trigonometria I Prof.: Rogério

Leia mais

3. Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula:

3. Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula: 1. O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB 4, BC e BF. O seno do ângulo HAF é igual a b) c) d) e) 1 1 10 10. Considere o triângulo retângulo ABD Então,

Leia mais

Geometria Analítica - AFA

Geometria Analítica - AFA Geometria Analítica - AFA x = v + (AFA) Considerando no plano cartesiano ortogonal as retas r, s e t, tais que (r) :, (s) : mx + y + m = 0 e (t) : x = 0, y = v analise as proposições abaixo, classificando-

Leia mais

Exercícios de exames e provas oficiais

Exercícios de exames e provas oficiais mata Exercícios de exames e provas oficiais. Na figura, está representado, no plano complexo, um quadrado cujo centro coincide com a origem e em que cada lado é paralelo a um eixo. Os vértices deste quadrado

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA. Marque no cartão-resposta anexo, a única opção correta correspondente a cada questão.

PROVA DE MATEMÁTICA. Marque no cartão-resposta anexo, a única opção correta correspondente a cada questão. PÁG0 PROVA DE MATEMÁTICA Marque no cartão-resposta anexo, a única opção correta correspondente a cada questão 1 Daniel tem ração suficiente para alimentar quatro galinhas durante 18 dias No fim do 6 o

Leia mais

Geometria Analítica retas equações e inclinações, distância entre dois pontos, área de triângulo e alinhamento de 3 pontos.

Geometria Analítica retas equações e inclinações, distância entre dois pontos, área de triângulo e alinhamento de 3 pontos. Geometria Analítica retas equações e inclinações, distância entre dois pontos, área de triângulo e alinhamento de pontos. 1. (Ufpr 014) A figura abaixo apresenta o gráfico da reta r: y x + = 0 no plano

Leia mais

NOTAÇOES A ( ) 2. B ( ) 2^2. C ( ) 3. 7 D ( ) 2^ 3- E ( ) 2. Q uestão 2. Se x é um número real que satisfaz x3 = x + 2, então x10 é igual a

NOTAÇOES A ( ) 2. B ( ) 2^2. C ( ) 3. 7 D ( ) 2^ 3- E ( ) 2. Q uestão 2. Se x é um número real que satisfaz x3 = x + 2, então x10 é igual a NOTAÇOES R : conjunto dos números reais N : conjunto dos números naturais C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária: i2 = z : módulo do número z E C det A : determinante da matriz A d(a,

Leia mais

Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo Época especial

Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo Época especial Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo 017 - Época especial Proposta de resolução Caderno 1 1. Como 3π 9,7 então vem que 9, < 3π < 9,3, pelo que, de entre as opções apresentadas, o número 9,3 é a única aproximação

Leia mais

Módulo Quadriláteros. Relação de Euler para Quadrilátero. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Módulo Quadriláteros. Relação de Euler para Quadrilátero. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Módulo Quadriláteros Relação de Euler para Quadrilátero 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Quadriláteros Relação de Euler para Quadriláteros Exercícios de Fixação Exercício 6. No triângulo

Leia mais

Colégio Santa Dorotéia

Colégio Santa Dorotéia Colégio Santa Dorotéia Área de Disciplina: Ano: º Ensino Médio Professor: Elias Bittar Atividade para Estudos Autônomos Data: 6 / 3 / 017 Valor: xxx pontos Aluno(a): Nº: Turma: QUESTÃO 1 (UFMG) Observe

Leia mais

MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA

MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira MÓDULO 13 Circunferência e Círculo Circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a um ponto fixo (centro) são iguais a uma

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA. 2) Obtenha o ponto P do eixo das ordenadas que dista 10 unidades do ponto Q (6, -5).

GEOMETRIA ANALÍTICA. 2) Obtenha o ponto P do eixo das ordenadas que dista 10 unidades do ponto Q (6, -5). GEOMETRIA ANALÍTICA Distância entre Dois Pontos Sejam os pontos A(xA, ya) e B(xB, yb) e sendo d(a, B) a distância entre eles, temos: Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem: [d

Leia mais

PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria

PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria QUESTÕES DISCURSIVAS Questão 1. (PROFMAT-2012) As figuras a seguir mostram duas circunferências distintas, com centros C 1 e C 2 que se intersectam nos pontos A e

Leia mais

Lista de Estudo para a Prova de 1º Ano. Prof. Lafayette

Lista de Estudo para a Prova de 1º Ano. Prof. Lafayette Lista de Estudo para a Prova de 1º Ano Prof. Lafayette 1. Um triângulo ABC é retângulo em A e os ângulos em B e C são, respectivamente, de 30 e 60. A hipotenusa mede 4. a) Faça um desenho representativo.

Leia mais

= a = x x ) Se a 75%b então. x x 3x + 12 x 12 e x Logo, a divisão deverá ser feita a partir de 01/01/2016.

= a = x x ) Se a 75%b então. x x 3x + 12 x 12 e x Logo, a divisão deverá ser feita a partir de 01/01/2016. MATEMÁTICA 1 c Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 4 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha frascos de detergentes

Leia mais

Colégio Santa Dorotéia

Colégio Santa Dorotéia Área de Disciplina: Ano: º Ensino Médio Professor: Elias Atividades para Estudos Autônomos Data: 8 / 3 / 019 Valor: xx,x pontos Aluno(a): Nº: Turma: QUEST 1 (UFG) Observe a figura: Nessa figura, o segmento

Leia mais

Exercícios de Matemática Geometria Analítica

Exercícios de Matemática Geometria Analítica Eercícios de Matemática Geometria Analítica. (UFRGS) Considere um sistema cartesiano ortogonal e o ponto P(. ) de intersecção das duas diagonais de um losango. Se a equação da reta que contém uma das diagonais

Leia mais

a média de gols da primeira rodada, M G a média de gols das duas primeiras rodadas e x o número de gols da segunda rodada, tem-se 15 + x 15 M G

a média de gols da primeira rodada, M G a média de gols das duas primeiras rodadas e x o número de gols da segunda rodada, tem-se 15 + x 15 M G MATEMÁTICA O número de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol foi 5,,,, 0 e. Na segunda rodada, serão realizados mais 5 jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados

Leia mais

1. A imagem da função real f definida por f(x) = é a) R {1} b) R {2} c) R {-1} d) R {-2}

1. A imagem da função real f definida por f(x) = é a) R {1} b) R {2} c) R {-1} d) R {-2} 1. A imagem da função real f definida por f(x) = é R {1} R {2} R {-1} R {-2} 2. Dadas f e g, duas funções reais definidas por f(x) = x 3 x e g(x) = sen x, pode-se afirmar que a expressão de (f o g)(x)

Leia mais

a a a a a a c c c Trigonometria I Trigonometria I E dessa semelhança podemos deduzir que:

a a a a a a c c c Trigonometria I Trigonometria I E dessa semelhança podemos deduzir que: UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA. Trigonometria no triângulo

Leia mais

Áreas IME (A) (B) (C) (D) 104 (E) e 2

Áreas IME (A) (B) (C) (D) 104 (E) e 2 Áreas IME 1. (IME 010) Seja ABC um triângulo de lados AB, BC e AC iguais a 6, 8, e 18, respectivamente. Considere o círculo de centro O isncrito nesse triângulo. A distância AO vale: 104 (A) 6 104 (B)

Leia mais

UFSC. Matemática (Violeta) 21) Resposta: 38. Comentário. 01. Incorreta. f(0, 3) = f(0, 4) = Correta. m < 0 m 1 2 < 0.

UFSC. Matemática (Violeta) 21) Resposta: 38. Comentário. 01. Incorreta. f(0, 3) = f(0, 4) = Correta. m < 0 m 1 2 < 0. UFSC Matemática (Violeta) 1) Resposta: 8 01. Incorreta. f(0, ) = f(0, ) = 0 0. Correta. m < 0 m 1 < 0 1 Logo, f m = m 1 m 1 < m 1 < m 0. Correta. Pela função f(x) = x x z 08. Incorreta. Im(f) = z 16. Incorreta.

Leia mais

ENSINO SECUNDÁRIO 11.º ANO. 1. Pela lei dos Senos, tem-se que: = 5. De onde se tem = Logo, a opção correta é a opção (C).

ENSINO SECUNDÁRIO 11.º ANO. 1. Pela lei dos Senos, tem-se que: = 5. De onde se tem = Logo, a opção correta é a opção (C). ENSINO SECUNDÁRIO.º ANO M A T E M Á T I C A A: R E S O L U Ç Ã O D O TR A B A L H O I N D I V I D U A L P R O F E S S O R C A R L O S MI G U E L SA N T O S. Pela lei dos Senos, tem-se que: De onde se tem

Leia mais