MATEMÁTICA CADERNO 2 SEMIEXTENSIVO E. FRENTE 1 Álgebra. n Módulo 5 Módulo de um Número Real. 5) I) x + 1 = 0 x = 1 II) 2x 7 + x + 1 0
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1 MATEMÁTICA CADERNO SEMIEXTENSIVO E ) I) x + 0 x II) x 7 + x + 0 FRENTE Álgebra n Módulo Módulo de um Número Real ) x 6x + < não tem solução, pois a 0, "a Œ ) A igualdade x x x +, com x + 0, é verificada para: ọ ) x x x + x x 0 x ou x ọ ) x + x + x + x + x 0 x 0 ou x Assim, o conjunto solução da equação é { ; 0; } e a soma dos valores de x é igual a. 6) Assim, x 7 + x + 0 x ) V {x Œ / x } Resposta: V {x Œ x } 7) I) x 0 fi ( + x) ( x) 0 x 0 x e x 0 0 x. II) x 0 fi ( + x) ( ( )) 0 ( + x) ( + x) 0 ( + x) 0 V x Œ x < ou x > ) I) x + 0 x II) x + x + "x Œ e x 0 fi x 0 O conjunto solução da inequação é S {x Œ x } 8) Lembrando que x x se x 0 e x x se x 0, temos: ) a 0 e b 0 fi a b ab + a b ab + ) a 0 e b 0 fi a b ab + a b ab + ( ) ( ) ) a 0 e b 0 fi a b ab + a b ab ( ) + () ( ) a b ab ) a 0 e b 0 fi + a b ab ( ) + ( ) (+ ) Assim, x + x + x 7 Então, sendo a e b dois números reais diferentes de zero, a a b ab expressão algébrica + resulta ou. a b ab
2 9) I) x + 0 x II) Se x fi f(x) x. x + x. (x + ) III) Se x fi f(x) x. x + x. ( x ) ) I) O gráfico da função g: definida por g(x) x é IV) O gráfico da função definida por x. (x + ), para x f(x) x. x + é: x. ( x ), para x II) O gráfico da função h: definida por h(x) x é 0) a) é falsa, pois se x e y, tem-se x < y e x > y b) é verdadeira c) é falsa, pois se x e y, tem-se x + y e x + y + 7 d) é falsa, pois x 0 para todo x Œ e) é falsa, pois se x < 0, então x x III) O gráfico da função f: definida por f(x) x f(x) x é ) x < < x < < x < < x < ) x x x 8 x 6) I) O gráfico da função g(x) x x + é ) x x ou x ) x x + < < x x + < < x x + x x + < x x + 6 > 0 x x + < 0 II) O gráfico da função f(x) x x + x x + é x < ou x > < x < ou < x < < x <
3 7) I) x x 0 x ou x II) Se x < ou x >, tem-se x x > 0 e x x f(x) x x x x x x III) Se < x <, tem-se x x < 0 e x x f(x) (x x ) x x x x Assim, o gráfico da função f é: ) B A ) I) B B t 0 II) A B t n Módulo 6 Matrizes Definição e Operações x + x x y + y y 7) + 0 z t + 0 z z t t ) Se a matriz A é de ordem x e a ij i. j, então: a a a... A a a a... 6 i j, se i j ) A matriz de ordem x com a ij, é: i + j, se i j a a a +.. a a a ) Lembrando que o produto de matrizes de ordens n x m e p x q existe se m p e resulta numa nova matriz de ordem n x q. Pode-se observar que: A n x m. B p x q C n x q iguais resultado I) Verdadeira, pois A x. B x C x x 0 ) A + B II) Falso, pois A x. B x não existe III) Verdadeira, pois A x. B x C x X A B + X ) I) + C X A B + X + 6C X A + B + 6C II) Para as matrizes A, B e C dadas no enunciado, tem-se: X x 9) Se A é uma matriz x e B uma matriz n x m, tem-se: I) Existe A. B se, e somente se, n II) Existe B. A se, e somente se, m
4 0) ( ). ( ) () ) I) AB II) BA III) AB BA 6 0 ) I) Se A é uma matriz x e a ij ( ) j, tem-se: A a a a II) Se B é uma matriz x e b ij ( ) i, tem-se:.. b.. B.. b.... b.. III) O elemento c da matriz C A. B é dado por: c a. b + a. b + a. b ( ). ( ) +. + ( 8). ( ) ) Sendo A e A.B, devemos ter a b c B, tal que: d e f fi a b c 8. fi d e f Portanto, a soma dos elementos da primeira coluna da matriz B é a + d. 0 ) Para A e I, tem-se: 0 I) A A. A. II). A. 0 III). I. 0 a + d a + d 0 9 IV) A +. A. I a d ) I). 0 x 0 II). y. Logo, x + y n Módulo 7 Determinantes Propriedades, Teorema de Laplace e Regra de Chió ) 0 x x x x x x + x 0 x 7 ou x A solução positiva, x, é um número primo. ) x + 0 x 0 y y x y + y x + x. x y.y x(x + ) y(y + ) x y x + x y y 0 x y y x Observe que a expressão da alternativa a está correta, pois trata-se de uma soma de matrizes, porém, não é equivalente à expressão dada no enunciado que é uma soma de determinantes. x ) x x x x ( x) x ( x) ( x) 0 ( x). ( x ) 0 ( x). ( x) 0 x ou x 0 fi x 0, pois deve-se ter x 0 x fi fi S {0} ) Se a matriz A é quadrada de ordem com, então: a ij i j, para i j a ij i j, para i j I) A a a a a y x y + y 0 y III) fi x y + 0 x ) A nova matriz obtida, de acordo com o enunciado, é, e o determinante dessa matriz é x.
5 II) det A ( ) + 6 6) I) A x. B x. x x x x x x x + x II) det(a x. B) 0 fi fi ( x). ( + x) ( x). ( x) x 6x x + x + 6x 6x 0 0x x + 0 x + x 0 x ou x Resposta: x ou x 7) 7 x x x x + x x + + x 7 7x + 7 7x x 9 Resposta: V {9} 8) I) A B t fi x 0 fi y + z y z x x y 0 fi z x y 0 z y + z x II) x y z ) + a 0 ( + a). ( a) + 0 a a + 0 a a ou a 0) I) A. B I fi. a b 0 0 a a fi b b 0 0 ) I) M + k. I + k k 0 0 k + k + k II) det(m + k. I) 0 fi 0 fi fi ( + k). ( + k) k + k + k + 0 k + 7k + 0 k ou k ) D a b, pois cada troca de c d c d a b d c b a filas paralelas provoca a troca do sinal do valor do deter - minante. Observe que, inicialmente, trocaram de posição a ạ e a ạ linhas e, finalmente, trocaram de posição a ạ e a ạ colunas. ) I) x a b, pois trata-se do determinante de c d a c b d uma matriz e da sua transposta, cujos valores são iguais. II) y a c ( ).. ( ).. x 6x b d a c b d y 6x III) x x 6 ) I) det A fi a m b n c p. a m b n a m b n c p c p II) det B. m a n b m a n b p c p c. ( ). a m b n c p. ( ). + k + k fi a a 0 b 0 b a b ) Se A é uma matriz quadrada de ordem e det A 6, então: det(a) x 97 fi. det A x 97 fi fi 6. ( 6) x x 97 x II) Para a e b, tem-se A a III) det A + b IV) det A det (A. A) det A. det A ( ). ( ) 6) O determinante da matriz A t (transposta de A) é igual ao determinante da matriz A, pode ser expressa matemati - camente por det(a t ) det A
6 a b b c c a a b b c 0 7) D b c c a a b b c c a 0 0 c a a b b c c a a b 0 x + x + x x + a x + b x a b 8) y y + a y + b y a b z z + a z + b z a b.( ) + + x a. b. y a. b. 0 0, pois a ạ e a ạ colunas são z iguais. m + m + m + m + 9) m + m + m + m + 0, pois a ạ e a ạ m + m + m + m +.( ) + + a a 0 a 0 a ) a 0 a > 0 0 a a Multiplicando a ạ, a ạ e a ạ coluna por e somando-as à ạ coluna, tem-se: a + a a 0 a a 0 a + 0 a 0 a a + 0 a > 0 (a + ). 0 a > 0 a + a a a a Multiplicando a ạ linha por ( ) e somando-a às outras linhas, tem-se: a a 0 0 a a a (a + ). > 0 0 a a a (a + ).. ( ) +. a a 0 a a 0 (a + )... [( a) a ] > 0 > 0 (a + ). ( a + a a ) > 0 (a + ). ( a) > 0 < a <, pois o gráfico da função f(a) (a + ). ( a) é do tipo a a colunas são proporcionais. 0) Na matriz A, tem-se a e o seu cofator 0 é dado por: A ( ) +. ( ) x x x x x x x ) 0. ( ) +. x 0 x x. ( ). x. x 0. ( ). x. x.. 0, para qualquer x Œ, pois 0 (filas paralelas iguais) x 0 x x ) 0. ( ) +. x 8 0 x log x x 0 8 x. ( ). (x 6x) 0.. x. (x 6) 0 x 0 ou x 6 0 x 0 ou x 8 ou x ) Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, são verdadeiras as seguintes propriedades: I) det A det A t II) det(a. B) det A. det B III) det(a ) det(a. A) det A. det A (det A) IV) det A. det A t det A. det A (det A) Não é verdadeira a afirmação det(a + B) det A + det B ) I) A x fi det A x x II) B 0 x fi det B x x III) det (A. B) 0 fi det A. det B 0 fi fi (x ). ( x ) 0 x 0 ou x 0 x ou x 0 x ou x ou x 0 6) det(a ) det(a. A) det A. det A (det A) 6
7 7) Para A e B, tem-se: 0 0 I) A. B II) n det(ab) 0, pois a ạ e a ạ linha são proporcionais. III) Para n 0, tem-se 7 n 7 0 Resposta: 8) I) A fi det A 0 II) B a b fi det B ad bc c d III) det(ab) 0 fi det A. det B 0 fi fi. (ad bc) 0 ad bc 0 sen x 8 9) 0 sen x cotg x 0 sen x. cos x 0 fi 0 0 cos x cos x fi cos x 0, pois sen x 0 (observe que cotg x sen x não existe para sen x 0, consequentemente, o determinante dado não poderia ser calculado). Assim, cos x 0 x + n., n Œ Para 0 x, o menor valor de x é obtido fazendo n 0, que resulta x. 0) Seja M, então: I) det M. II) M III) M (M ) t M é a matriz dos cofatores. IV) M M M det M ) Se as matrizes são inversas uma da outra, então: A B I x y x ( ) + y + x ( ) + y x + y + x + y x + x 0 x x + y y 0 y + y ) Seja A, então: a b c d I) A A I 0 0 a b c d 0 0 a + 0 c b + 0 d 0 a + ( ) c 0 b + ( ) d 0 0 a b c d 0 0 a, b 0, c 0, d, então A II) A + A III) (A + A ) ( ) ( ) ( ) 0 0 IV) (A + A ) ( ) ( ) () Assim, (A + A ) 8 A ) Se M, então: I) det M II) A ( ) + ( ) ( 0) 0 0 Se b b for o elemento da. linha e. coluna matriz inversa, então: A b b det M 7
8 ) Se A admite inversa, det A x x 0 x x x 0 0 6x + x 0 x ( x + ) 0 x 0 e x Como a matriz A é quadrada de ordem, então: det (A) det A 8 det A Assim, det B 8 det A III) det B det B 8 det A 8 ) I) Se B, seja B, então: 0 a b c B B I 0 a b c d 0 0 a + 0 c b + 0 d a b d a c b d 0 0 a c b d 0 0 7) I) det A det A det A II) det A x x + x x x x x 0 8) (X A) t B [(X A) t ] t B t a b 0 a b 0 b d c d B 0 X A B t X A A B t A X I B t A X B t A II) A B C C 0 C III) A B + C IV) det (A B + C) 8 ( ) ) a) A B a + b 0 a + b c + d 0 c + d A B a c a b c d 0 b) B A 0 a b c a + c b + d 0 a + c 0 b + d B A a + c c a + b c + d d b + d d c) AB BA a a + b a + c b + d c c + d c d 6) I) A det A 0 0 II) B A det B det (A) a a + c a + b b + d c c c + d d c 0 a d 8
9 n Módulo 8 Sistemas Lineares ) x + y x + y z x + z Regra de Cramer D ( ) D D x D x 0 0 D x m x x m D D y m m m + m + D y m + y y m + D D z 0m 0 m m m + D y ( ) ( ) D y 0 D z ( ) D z D x D y D z x ; y ; z D D D S { ; ; } ) D z 0m 0 z z m D S {( m ; m + ; m )} ax + y + az a bx + y + b z b cx + y + c z c D (b a)(c b)(c a) a a b a c c a a b a c c ) x + z x + y + z y z D D z (b a)(c b)(c a) a a b a c c Determinante de D z observe que é idêntico ao determinante da matriz incompleta (D) pois os resultados das equações coicidem com os coeficientes de z. D x x 0 0 D x D 7 ) x + y + z x + y + z x + y + az ) D y 7 y 0 D y 7 0 D 7 D z 7 z 0 D z 7 0 D 7 x 0 + y 0 + z 0 ( ) + ( ) + 7 x + y + z m x y z m z + y z m + D D x m m m + m 6) Para que o sistema tenha uma única solução (SPD) basta que o determinante dele seja não nulo (D 0). D 0 a 0 a a x + y + z x + y + z x + y + z a D a 0 (para a ) D x D x 0 D x 0 x D
10 D y ) D y 0 D y 0 y y D 0 D z D z 60 D z 60 z z D 0 S {(; ; )} I) Se o perímetro do setor circular é igual ao perímetro do quadrado, então, x + R + R R x R II) Pela definição de medida de arco, em radianos, temos: x R a R R 7) kx y x + ky a) Se (k; k) é solução então k k k k + k k k k k + k k k 0 k + k 0 ) k ou k k k ou k b) Para k a solução será (k; k) (; 6) e portanto x + y comp ( AB) 0 cm a r 0 cm Resposta: rad FRENTE Trigonometria n Módulo Funções Trigonométricas de um Ângulo Audo ) C.. R.. cm 0. cm Resposta: 0. cm 6). rad, rad 80 rad 0,09 rad Resposta: 0,09 rad 7) comp ( AB) cm cm ) a fi, r 0 cm r r, Resposta: 0 cm 0. rad ) I) a 0 rad 80 6 comp ( AB) comp ( AB) II) a fi r 6 cm comp ( AB). cm, cm,7 cm 6 I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min 0. 0 fi x 7, 7 0 min x 60 II) x + a 0 fi a 0 x Resposta: 0 Resposta:,7 cm 0
11 8) ) I) Verdadeira, pois para o ponteiro das horas, temos: tempo ângulo 60 min 0 t. 0 t fi a graus t min x 60 II) Verdadeira, pois para t, temos: a graus 6 I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min 0. 0 fi x 7, 7 0 min x 60 III) Verdadeira, pois: II) x + a 90 fi a 90 x Resposta: 8 0 9) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min fi x min x 60 Portanto, x + a fi + a 6 a I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min fi x 0 min x 60 II) x + a 0 fi a 0 x 0 Resposta: IV) Verdadeira, pois em minutos o ponteiro dos minutos percorre da volta, assim, a extremidade descreve 60 um arco de... R..,. 0 cm,6 cm, pois R 0 cm é a medida do ponteiro e corresponde ao raio da circunferência. 0) ) a) fi , portanto, a ạ 70 determinação positiva é b) 0 60 fi 0. ( 60 ) 0, assim, a ạ determinação negativa é 0, 0 portanto, a ạ determinação positi - va é I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min 0. 0 fi x 7, 7 0 min x 60 II) x + a 90 fi a 90 x c) fi. +, portanto, a ạ determinação positiva é Respostas: a) 80 ; b) 0 ; c)
12 ) Os arcos côngruos de 60 são do tipo 60 + n. 60, com n Œ. Assim, os arcos positivos menores que 00, são: I) Para n fi II) Para n fi III) Para n fi IV) Para n fi Resposta: 00, 660, 00 e 80 7) ) a) n. (n Œ ) b) + n. (n Œ ) c) + n. (n Œ ) d) + n. (n Œ ) e) 0 + n. 60 (n Œ ) f) 00 + n. 60 (n Œ ) 8) comp ( AB) 0 cm a r cm Resposta: rad ) a) + n. (n Œ ) b) n. (n Œ ) c) + n. (n Œ ) d) + n. (n Œ ) e) n. (n Œ ) f) + n. (n Œ ) g) ± + n. (n Œ ) h) ± + n. (n Œ ) i) ± 0 + n. 60 (n Œ ) I) Se a corda AB mede 0 cm, então, o triângulo OAB é equilátero, portanto, A ^OB a 60 comp ( AB) comp ( AB) II) a fi r 0 cm comp( AB) Resposta: 0 0 cm cm rad 6) n Módulo 6 Funções Trigonométricas no Ciclo Trigonométrico ) Para x variando de 0 a 60, a expressão (6 sen x) assume valor mínimo quando sen x é máximo, ou seja, quando sen x. Assim, para sen x, tem-se 6 sen x 6 ) I) fi 0 é ạ determinação positiva II) sen 90 sen 0 sen 60 Resposta: 7 7., ) I), II)., 6,8
13 Resposta: V ; 7) sen x 7 III), < 6 < 6,8 fi < 6 < fi 7 fi sen < sen 6 < sen fi < A < 0 ) sen ; sen ; sen ; ; sen ; n ; ; ; é uma sequência estritamente decres - cente, de termos positivos e tende a zero. ) sen x 0 Para 0 x, temos x 7 ou x 6 Resposta: V 7 ; 6 6 8) sen x cos x fi 6 6 fi sen x, pois x Œ ọ quadrante 6 9) x sen q fi x x x Resposta: x Para 0 x, temos x 0 ou x ou x Resposta: V {0; ; } 0) cossec x sen x sen x 6) sen x Para 0 x, temos x ou x Para 0 x, temos x ou x 6 Resposta: V ; 6 6 6
14 ) sen x 7) Para "x Œ, temos: cos x 0 cos x 0 cos x + cos 8 x 8 Dessa forma: +, 8) I),7 II), A solução geral da equação, nesses pontos, é: x + n. ou x + n. 6 6 III),7 0,8 Resposta: x Œ x + n. ou x + n. (n Œ ) 6 6 sen 90 + cos 60 + sen 70. cos 80 ) E cos 0 + sen ( ). ( ) + 0 Resposta: ) Para x, temos: cos x + sen x sen x y cos x + sen x cos + sen sen ( ) + cos + sen IV) Observando a figura, tem-se: cos,7 < cos, < cos, < cos 0,8 fi fi cos < cos, < cos < cos Assim, se F(x) cos x, conclui-se que F < F(,) < F( ) < F 9) cos x ) Como cos x para "x Œ e >, não existe arco x tal que cos x 7 ) I) + fi é a ạ determinação positiva II). + fi é a ạ determinação positiva III) sen. cos () sen. cos 7 ( ). ( ) Resposta: Para 0 x, temos x Resposta: V {} 0) cos x 6) cos x fi. cos x fi fi. cos x + fi fi f(x) fi Im(f) [ ; ]
15 Para 0 x, temos x ou x Resposta: V ; ) sen x. cos x 0 sen x 0 ou cos x 0 ) sec x cos x cos x Para 0 x, temos x 0 ou x Resposta: V {0; } ) sec x cos x cos x A solução geral da equação, nesses pontos, é: x 0 + n. n. Resposta: V x Œ x n., n Œ ) cos x cos x ± ± ± Para 0 x, temos x ou x Resposta: V ; ) cos x A solução geral da equação, nesses pontos é x + n. Resposta: V x Œ x + n., n Œ 6) Para x, temos: A sen x + cos x tg x sen + cos tg Resposta: zero A solução geral da equação, nesses pontos, é: x ± 6 + n. Resposta: V x Œ x ± + n, n Œ 6 7) Para x, temos: x x sen +. tan. cos x sen +. tan 6. cos
16 +... ) I) II) III) IV) cos 0 + sen 80 + tg 70 cos 0 + sen 90 + tg ) Se é raiz da equação tg x m. cos x + sen x 0, então: tg m. cos sen 0 () m. + 0 m + 0 m + 0 m ) I) fi a Œ sen a < 0 ọ quadrante cos a < 0 II) fi fi b Œ cos b < 0 ọ quadrante tg b < 0 cos b < 0 sen b > 0 III) fi fi g Œ sen g > 0 ọ quadrante cotg g > 0 sen g > 0 cos g > 0 ) tg x 0 Resposta: 9) Se tg x > 0, x pode pertencer ao ọ ou ọ qua - drantes, pois são os quadrantes nos quais a tangente é positiva. 0) Para x, temos: y cos x + sen x + tg x sec 8x cos + sen + tg sec cos Para 0 x, temos x 0 ou x ou x Resposta: V {0; ; } ) tg x ± tg x ou tg x ) Para 0 x, temos x ou x ou x ou x 7 Resposta: V ; ; ; 7 I) sen 0 sen 60 II) cos 0 cos 60 III) tg 0 tg 60 IV) < < fi sen 0 < cos 0 < tg 0 6) I) cos a sen a fi cos a, pois a Œ ọ quadrante sen a II) tg a cos a 9 6 fi 6
17 7) I) cos x sen x fi 0) tg x fi cos x, pois x Œ ọ quadrante II) tg x sen x cos x 8) cotg x tg x tg x A solução geral da equação, nesses pontos, é: x + n. Resposta: V x Œ x + n., n Œ Para 0 x, temos x ou x Resposta: V ; 9) cotg x tg x tg x. ) Para cossec x, tem-se: I) cossec x fi sen x sen x sen x fi sen 6 x II) cos x sen x III) tg sen x x cos x IV). sen x 9. tg 6 6 x sen x ) sen x cos x tg x cos x Para 0 x, temos x ou x Resposta: V ; Para 0 < x <, temos x ou x Resposta: V ; 7
18 ) cos x + sen x 0 sen x cos x sen x tg x cos x A solução geral da equação é: x + n. x + + n. x + n. Resposta: x Œ x + n., n Œ x 6) Para que a função f(x) tg exista, devemos ter: x + n. x + n. (f) + n., n Œ 7 Para x Œ [0; ], temos x ou x ou x, portanto, soluções. ) sen x Para que a função f(x) sen x + cos x exista, devemos ter sen x + cos x 0 sen x cos x sen x cos x tg x 7) A função y tg(x 0 ) não é definida para x n. 80 x 0 + n. 80 x 60 + n. 90 Sendo 0 < x < 90, temos, para n 0, x 60 Resposta: 60 sen x cos x 8) tg x + cotg x + cos x sen x sen x + cos x sen x. cos x sen x. cos x sen x. cos x 9) Sendo f(x) sen x e g(x) tg x, temos os seguintes gráficos: Assim, o domínio da função é x (f) + n. (n Œ ) + n. ) tg x Os pontos de encontro dos gráficos das funções são as soluções da equação f(x) g(x), assim, temos: sen x sen x sen x tg x sen x sen x 0 cos x cos x sen x 0 sen x 0 ou cos x x n. cos x Para 0 < x <, a equação não tem solução, ou seja, não exis - tem pontos de encontro dos gráficos. Resposta: zero 8
19 0) Se < y <, então: x + x + tg y x + tg y x + tg y x + fi x + x + 0 x tg y x + cotg y x + fi Resposta: x e y x tg y sec x + tg x m. tg x m n ) I) sec x tg x n. sec x m + n m n tg x m + n sec x II) sec x + tg x fi tg y x + m + n + m n m + m.n + n m m.n + n + m + m.n + n + m m.n + n x y tg y x + ) 9 cos x ( ) cos x cos x cos x cos x O menor valor positivo de x para o qual cos x é. 6 cos x ( ) I) cos ) x. cos x cos x cos x cos x. cos x cos x 0. cos x cos x 0 cos x. (. cos x ) 0 cos x 0 ou cos x m.n m.n ) Considerando a função g(x) x x +, tem-se: b I) A abscissa do vértice é x v a II) A ordenada do vértice é y v a Representando graficamente as funções g(x) x x + e f(x) sen x, temos: II) Para 0 x < cos x fi x, cos x 0 não tem solução e ) Como sen t, o valor mínimo de P(t) é obtido quando sen t, isto é: t fi t Como os gráficos não possuem intersecção, a equação sen x x + x f(x) g(x) não tem solução. Resposta: zero 9
20 6) cos x + sen x 0 sen x cos x sen x tg x cos x 9) cos x Para que a função f(x) sen x exista, devemos ter sen x 0 sen x x + n. (f) + n, n Œ 60) sen x sec x cos x sen x cos x cos x 7 Para x Œ [0; ], temos x ou x ou x, portanto, soluções. sen x. cos x cos x sen x. cos x ( sen x) sen x. cos x + sen x sen x. cos x sen x 0 sen x. (cos x sen x) 0 sen x 0 ou cos x sen x 0 sen x 0 ou sen x cos x sen x 0 ou tg x 7) sen x Para que a função f(x) sen x + cos x exista, devemos ter sen x + cos x 0 sen x cos x sen x cos x tg x A solução geral da equação é x n. ou x + n. Resposta: x Œ x n. ou x + n., n Œ Assim, o domínio da função é x (f) + n. (n Œ ) + n. 8) sen x + sen x + sen 6 x sen x sen x sen 6 x sen x ou sen x 6) Para 0 x, temos: I) sen x cossec x II) cos x sen 8 x fi cos x 9 9 sen x III) tg x. cos x. sen x. cos x tg x IV) A cossec x A solução geral da equação é x + n. Resposta: x Œ x + n., n Œ. 6 Resposta: 7 7 0
21 6) sen x + sen x 0 sen x. (sen x + ) 0 sen x 0 ou sen x Para 0 x 0 x, tem-se: I) sen x 0 fi x 0 ou x ou x x 0 ou x ou x III) V 0; ; ;, portanto, são soluções para x Œ [0; ] Resposta: 6) Sendo x um arco do ọ quadrante e cos x, temos: I) sen x cos 9 7 x fi sen x 6 6 II) cos( + x) cos x 7 III) cos( + x) + sen x + Resposta: 7 + II) sen x fi x x cos x + m. sen x 0 6) I) cos x m. sen x. cos x m. sen x II) sen x + cos x fi m m m m m m ± ± ±. ± Resposta: m ± 66) cos x sen x cos x ( cos x) cos x + cos x 0 cos x (impossível) ou cos x x n., n Œ Resposta: {x Œ x n., n Œ } 67) Para x dezenas de certo produto, o lucro L(x) em milhares de reais é obtido por L(x) V(x) C(x). Para x, resulta: L().. sen. cos. 6.. sen + cos cos x sen x m m Portanto, o lucro, em reais, obtido na produção de dezenas dessas peças é ) I) sen x + cos x fi (sen x + cos x) sen x +. sen x. cos x + cos x sen x + cos x. sen x. cos x II) cos x + sen x. sen x. cos x. sen x. cos x. sen x. cos x. sen x. cos x 0 sen x 0 ou cos x 0 sen x 0 ou cos x 0 x n., n Œ Resposta: x Œ x n., (n Œ ) x. 68) A função f(x) sen, em que f(x) é o número de clientes, assume: I) número máximo de clientes, quando sen x. (às 8 horas), igual a: f(8) sen ( ) 700 II) número mínimo de clientes, quando sen x. (às 6 horas), igual a:
22 f(6) sen Portanto, a diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do super mer cado, em um dia completo, é igual a 600. x x 69) cos 0 fi cos fi x fi ± + n., n Œ fi x ± + n., n Œ 6 Para x Œ [ ; ] e n Œ, temos: n Para x Œ [0;], temos: 9 x 0, x, x ou x e Módulo 7 Adição e Subtração de Arcos Arco Duplo ) sen 7 sen ( + 0 ) sen cos 0 + sen 0 cos ) x, x, x ) Fazendo x sen + cos, temos: I) x (sen + cos ) sen +. sen. cos + cos + sen 0 + II) x fi 6 x., pois x > 0 Resposta: 6 Se x + y 90, temos cos y sen x. Então cos x cos y cos x sen x cos x ( cos x) cos x cos x (x é agudo) Portanto: x 0, y 60 e y x 0 ) y sen 0 cos 7 sen( + 60 ) cos( + 0 ) sen. cos 60 + sen 60. cos cos. cos 0 + sen. sen Resposta: 7) Para 0 < z <, tem-se: sen z + sen z 0 sen z ou sen z z ou z ou z 6 6 Assim, a soma dos possíveis valores de z em radianos é + +, que corresponde a ) tg a + tg b Como tg (a b), + tg a. tg b para a x + y e b y obtém-se tg(x + y) tg y tg(x + y y) tg x + tg(x + y). tg y Resposta: tg x sen y sen y ) I) fi 0 < y < cos y 7) Lembrando que sen( x) sen x, "x Œ, temos: sen x sen( x) 0 sen x + sen x 0 sen x ou sen x 0 II) x + y x y fi sen x sen y sen. cos y sen y. cos
23 .. 0 Resposta: (x + y) 6) fi fi tg x tg x + tg y tg x. tg y tg x fi + tg y 99 tg y tg y + 99 tg y 00 tg y 0 tg y 0, 7) I) sen(x + y) + sen(x y) sen x. cos y + sen y. cos x + + sen x. cos y sen x. cos y. sen x. cos y sen x. cos y sen(x + y) + sen(x y) x. cos y II) sen x + cos y sen x + cos y sen x x, pois 0 x < e 0 y < cos y y 0 Resposta: ; 0 8) I) sen 0 sen 0 II) E sen(0 + a) + sen(0 a) sen 0. cos a + sen a. cos sen 0. cos a sen a. cos 0. sen 0. cos a.. cos a cos a Resposta: cos a 9) Se cos x, então: sen + x sen. cos x + sen x. cos. cos x + 0. sen x cos x Resposta: 0 + tg y tg y 0) I) sen( x) sen(0 x) sen 0. cos x sen x. cos 0 sen x II) sen( + x) sen. cos x + sen x. cos sen x III) sen x sen. cos x sen x. cos cos x IV) E sen( x) + sen( + x) sen x + cos x sen x + ( sen x) cos x + cos x. sen x Resposta:. sen x ) I) II) III) sen(8 a) sen(0 a) sen 0. cos a sen a. cos 0 sen a IV) cos a cos. cos a + sen. sen a sen a V) sec 0 sec 0 cos 0 VI) sen(8 a). cos a + sec 0 cos n a fi fi sen a. sen a + cos n a sen a + cos n a sen a cos n a cos a cos n a n Resposta: n ) I) cotg a tg a II) cotg b tg b tg a + tg b III) tg(a + b) tg a. tg b IV) tg(a + b) fi a + b, pois a e b são agudos Resposta: ) Lembrando que cos 0 e sen 0, tem-se:. sen x +. cos x cos 0. sen x + sen 0. cos x sen (x + 0 ). 7 x n. 60 ou x n. 60, n Œ x 0 + n. 60 ou x 90 + n. 60, n Œ Resposta: V {x Œ x 0 + n. 60 ou x 90 + n. 60, n Œ } ) I) sen( x) sen. cos x sen x. cos sen x II) sen + x sen. cos x + sen x. cos x III) Se x, tem-se:. cos. sen ( x). sen + x. ( ). sen x. ( cos x). sen x. cos x sen(x) sen
24 ) I) cos (90 + x) sen x II) cos (80 x) cos x III) cos (60 x) cos x IV) cos (90 x) sen x V) sen (70 + x) cos x VI) sen (90 + x) cos x VII) sen (60 + x) sen x cos(90 + x) + cos(80 x)+cos(60 x) +. cos(90 x) VIII) sen(70 + x) sen(90 + x) cos(90 x) + sen(60 + x) sen x cos x + cos x +. sen x cos x cos x sen x + sen x. sen x sen x tg x. cos x cos x Resposta: tg x 9) I) cos(x + ) cos x II) sen + x cos x III) tg ( x) tg x IV) cos (x + ) + sen + x tg( x) + cotg x cos x + cos x ( tg x) + cotg x tg x + cotg x sen x cos x sen x + cos x + cos x sen x sen x. cos x sen x. cos x. sen x. cos x sen (x) 6) Se a + b 0, então: (cos a + sen b) + (cos b + sen a) cos a +. cos a. sen b + sen b + cos b + +. cos b. sen a + sen a + +. (sen a. cos b + sen b. cos a) +. sen (a + b) +. sen ) Se tg x e tg y, então: tg x tg y tg (x y) + tg x. tg y ) I) sen x sen x sen + x cos x cos x sen x II) cotg x cos x sen x III) cos(80 + x) cos x IV) sec( x) cos( x) cos x sen x.cotg x V) y cos(80 + x). sec( x) sen x cos x. cos x sen x sen x cos x. cos x 0) Se x Œ 0;, então: I) cos(x) fi x x 6 II) sen x sen 6 ) I) sen x fi x 0 90 < x < 80 II) cos(x) cos 00 cos 60 ) cos x sen x. sen x. cos x + sen x cos x 0 cos x sen(x) + (sen x + cos x) sen(x) + sen(x) ) I) 0 x 0 x II) sen x cos x sen(x) fi fi x ou x x ou x 6 sen x III)
25 ) Para sen a, tem-se: sen a + cos 6 a fi + cos a cos 9 a cos a ± a) sen (a). sen a. cos a.. ± ± b) cos (a) cos a sen 9 6 a 7 0) y + sen x. cos x +. sen x cos x + sen (x) Para 0 x 0 x, temos: 0 0 sen (x) sen (x) sen (x) + y 7 O maior valor que y pode assumir é, portanto, igual a. 7 Respostas: a) ± ; b) ) I) sen x fi cos x 0 II) sen(x). sen x. cos x. ( ). 0 0 Resposta: 0 6) Sendo cos x e observando que cos(x) cos x sen x cos x ( cos x). cos x, tem-se: I) cos(x). cos 9 9 x II) cos(x). cos (x). 6 Resposta: ) sen x sen x. cos x e cos x 0 cos x sen x cos x e cos x 0 sen (x) A solução da equação proposta é V Ø, pois sen (x) ). cos (x) cos x. (cos x sen x) cos x. (. cos x ) cos x. cos x cos x. cos x cos x 0 cos x fi cos x, pois cos x Como x Œ ]0; [, tem-se x ou x Resposta: {; } ± 9 8 ) Sendo f(x) cos(x) e g(x) sen x, temos: f(x) + g(x) cos(x) + sen x cos x sen x + sen x sen x + sen x fi 7) y (sen x + cos x) sen x +. sen x. cos x + cos x (sen x + cos x) + (. sen x. cos x) + sen(x) Resposta: + sen(x) 8) y (sen x + cos x + ). (sen x + cos x ) (sen x + cos x) sen x +. sen x. cos x + cos x. sen x. cos x sen(x) 9) sen a cos a fi (sen a cos a) sen a sen a cos a + cos a sen (a) sen (a) sen (a). tg x a ) I) Sendo tg(x), fazendo x, temos: tg x tg a a II) Para tg, temos: a. tg a tg. tg a ) I) cos(x) cos x sen x sen x sen x. sen x II) cos(x) +. sen x + 0. sen x +. sen x + 0 0, assim, não existe x que satisfaça a equação.
26 6) cos x +. sen x + 0 sen x +. sen x + 0 sen x + 0 sen x, assim, a equação não tem solução. Resposta: nenhuma n Módulo 8 Lei dos Senos e dos Cossenos ) De acordo com o enunciado, tem-se a figura a seguir: sen x cos x 7) I) tg x + cotg x + cos x sen x sen x + cos x sen x. cos x sen x. cos x sen x. cos x II) sen (x). sen x. cos x. Resposta: x 8) I) cos + x x cos. cos sen. sen I) sen 0 sen (60 + ) sen 60. cos + sen. cos II) Pela lei dos senos, obtém-se: 0 c 0 c sen 0 sen c 0 c x x 0. cos ( ). sen sen x ) II) Sendo cos (a). sen x a, fazendo a, temos: cos x. sen x III) Para cos x, temos:. sen. sen x x. sen x sen x sen x ± ± ± I) Pela lei dos senos, tem-se: sen sen 0 sen II) sen sen fi fi + b Assim, cos x + sen ± x ) Resposta: ± 6
27 Seja a a medida do ângulo AO^ B (0 < a < ). Pela lei dos cossenos, temos: (AB) (OA) + (OB) (OA) (OB) cos a fi fi 6 () + ()... cos a cos a fi a II) No triângulo ABC, tem-se: AB AB sen 60 fi BC ( ) AB ( ) Resposta: 7) De acordo com o enunciado, tem-se a figura a seguir: ) De acordo com o enunciado, tem-se a figura a seguir: Sendo R, em metros, o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, pela lei dos senos, tem-se: AB 0 R fi R R. sen 60 0 sen ^C sen 60 R. 0 0 R Resposta: 0 m 0 Sendo a a medida do ângulo B ^AC, pela lei dos cossenos, tem-se: ( 9) cos a cos a 70. cos a cos a fi a 60, pois 0 < a < Resposta: 60 8) Sendo a, b e a 60 o ângulo formado pelos lados a e b, a área do triângulo é dada por:. a. b. sen a... sen 60 ) De acordo com o enunciado, tem-se a figura a seguir:... 6 Resposta: 6 Sendo x, em metros, a medida do terceiro lado, pela lei dos cossenos, tem-se: x cos 0 x x x 96 fi x, pois x > 0 Resposta: m 9) De acordo com a lei dos senos e sendo R o raio da circun - ferência que circunscreve o triângulo ABC, temos: 0) AB sen ^C Resposta: R fi R. R 6) I) No triângulo BCP, pela lei dos senos, tem-se: BC PB BC. sen 0 PB. sen fi sen sen 0 fi BC. (6 ). BC ( ) 7
28 I) No triângulo ABD, tem-se: AB AB sen 0 fi AB 0 AD 0 0 < < fi 00 < 0. < 0 II) No triângulo ABC, tem-se: AB 0 0 tg 60 fi x BC x 0 ) ) Utilizando a lei dos cossenos no triângulo ACD obtém-se: ( ) +... cos C ^ cos C ^ 0 cos ^C 0 cos ^C ^C 60 o, pois 0 < ^C < 80 ) I) ^ A + ^B + ^C 80 ^A + ^C 80 ^B II) cos ^B cos (80 ^B) cos (^A + ^C) III) Pela lei dos cossenos, tem-se: b a + c ac cos ^B b a + c ac[ cos (^A + ^C)] b a + c + ac cos (^A + ^C) ) O triângulo ABC é isósceles, pois tem dois ângulos com me - didas iguais a 0. Os dois lados opostos a esses ângulos tam bém têm medidas iguais e cada um mede. A área do triângulo ABC é dada por:. AC. BC. sen A ^CB... sen 0... I) c sen C sen C b c sen B c b fi sen B sen B II) b + c fi (c) + c 9 c + c 9 c 9 c 9 fi c, pois c > 0 III) b c. Resposta: 6 e b sen B 6 A distância x, em km, entre B e C é tal que: x cos 60 o x x x 00 fi fi x 00 0, pois x > 0 ) c a + b ac. cos ^C fi fi c + ( )... cos c c c 0 fi c 0, pois x > 0 Resposta: 0 8
29 6) a) +... cos 8 cos cos 9 9) AC BC b) fi sen b sen a sen 60 sen a. sen a. sen 60. sen a. sen a >, portanto, não existe a. Respostas: a) cos a 9 b) Nas condições propostas, não existe o triângulo. I) No triângulo ABC tem-se: (AC) + fi AC II) No triângulo ACD tem-se: ( ) + x.. x. cos 60 x x 0 fi x, pois x > 0 III) O perímetro, em centímetros, é FRENTE Geometria Plana e Analítica 7) n Módulo Polígonos: Definição, Classificação e Propriedades Sendo BC x, tem-se: x +... cos A fi fi x cos x cos Se é obtuso, isto é, 90 o < < 80 o, então: < cos < 0 fi > cos > 0 fi fi 0 < cos < fi 0 + < cos a < + fi fi < x < 9 fi < x < 7 ) O icoságono tem 0 lados fi n 0 n(n ) 0(0 ) d ) Seja n o número de lados do polígono, então: d n(n ) n n d n 6n n n n n 6n 0 n 9n 0 n 9, pois n > 8) ) O decágono tem 0 lados fi n 0 S i (n ). 80 (0 ) ) a e 6 e a i + a e 80, então: 0 a i cos x cos x 0 cos x cos x 8 ) I) a i a e e a i + a e 80 a e + a e 80 a e 80 a e II) a e fi n 60 n 8 n n Logo, o polígono é o octógono. 9
30 6) III) a ) Seja a o ângulo de cada vértice da estrela e o triângulo isósceles em cada ponta da estrela: 80 a é ângulo externo do polígono de n lados, assim: A figura interna é um hexágono e S e ) I) a e 0 0 n 6 n 8 n n n(n ) 8(8 ) II) d 9. 8) Polígono : n lados e d diagonais Polígono : (n + 6) lados e (d + 9) diagonais (n + 6). (n + 6 ) n(n ) I) + 9 (n + 6). (n + ) n(n ) + 78 n + n + 6n + 8 n n + 78 n + 6n + n 78 8 n 60 n n(n ) ( ) II) d 80 a n. 80 na n (n ). 80 na n a n 6 ) I) S i (n ) n 8 n + n n(n ) ( ) II) d é o total de diagonais III) O número de diagonais que passam pelo centro é n 7 IV) O número de diagonais que não passam pelo centro é ) Então, temos: Polígono : lados e diagonais Polígono : lados e diagonais Como o número de vértices é igual ao número de lados, a soma pedida é x + x x x 6 ) 9) Sendo a o ângulo remanescente, temos: I) S i (n ) a 80 n a a 80 n 60 II) 0 < a < 80 0 < 80 n 60 < < 80 n < < n <, < n <, fi n I) x + x 8 x 8 x II) x + y 80 fi y 80 y 8 Logo, os ângulos medem:, 8, e 8. Resposta:, 8, e 8 0
31 ) x 6/ 6 0) x. x 6 ) a a ) Todo losango é um paralelogramo, pois tem lados opostos paralelos. 6) I) O triângulo APB é isósceles, pois AB AP, então A ^BP A ^PB a. II) P^AB III) No triângulo APB, temos: 0 + a + a 80 a 0 a 7 7) I) O triângulo CDE é isósceles, pois CD CE, então C ^ED C ^DE a II) D ^CE III) a + a a IV) No triângulo CEF, temos: C ^FE 80 C ^FE 0 B ^FD Resposta: 0 AB A B 8 8) fi B C 6 B C BC B C B C Resposta: cm I) 0 x 0x 6 x,6 AB,6 II) 0 y 0y 9 y,9 B C,9 0 III) z 0z 6 z 6, C D 6, B,6 cm, B C,9 cm e C D 6, cm ) x + 0 x + 0 x 8 x 6 (x + 0). (x 6) (x 8)(x + 0) x 6x + 0x 60 x + 0x 8x 60 6x 60 x x+ 6x 00 8x x Resposta: 9) n Módulo 6 Semelhança de Triângulos e Relações Métricas nos Triângulos Retângulos AB BD + BE 0 ) ABD CBE fi fi CB BE BE BE + (BE) 0 (BE) + BE 0 0 fi BE 0 90 I) 9x 80 x x II) 9y 60 y 0 y III) 9z 0 z z 0 AB BC 0 ) ABC EDC fi fi ED DC x x x x, Resposta: m, 0 m e m
32 ) Sendo x a medida do lado do quadrado, temos: BD DE x x BDE BAC fi fi BA AC 9) x x x + x x x 0,7 ) Sendo x, em metros, o comprimento da sombra da estátua, temos: + x x 8 + x x x 8 x 8 x 8 x 8 Resposta: m Sendo x o comprimento do cabo de energia, em metros, temos: x x x 00 fi x 0 0) Sendo x a medida, em metros, de cada lado não-paralelo do trapézio isósceles, temos: x + x 0 m x 0 m ) Sendo x, em metros, a medida de ED, pela semelhança dos triângulos AED e ABC, temos: AE ED x fi x 0 + x x x 0 AB BC x x 0 x 6) ABE CDE fi fi AB AE fi 6 AE AE 08 AE 0 CD CE 0 7 No triângulo ABC, sendo h a medida em metros do trapézio, temos: h + (8 m) (0 m) fi h 6 m ) De acordo com o Teorema de Pitágoras, tem-se: r (r ) + 0 0r r, 7) Sendo x, em metros, a medida do raio do disco voador, então: x 8 x x 6 ) 8) Sendo x, em metros, o comprimento da sombra da moça no chão, temos: x + x,x + x,x, x,x x x,0, De acordo com o Teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo OCE, tem-se: (OE) (OC) + (CE) Assim: (OE) (8) + (8) (OE) (OE) 6 fi OE
33 ) Fazendo AB x, tem-se a figura a seguir: h + (6 x) h x 0 x Logo, x 0 x 9 x x 9 n Módulo 7 Área das Figuras Planas x x x 76 fi x ) ) ) Utilizando a relação (HIP). (ALT) (CAT). (CAT), temos: 6. h 9. h 7, I) CE AB m DE m II) No triângulo ADE, tem-se: ( m) + h ( m) h m III) A área do trapézio é: (AB + CD). h ( m + 8 m). m S 6 m Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo sombreado, tem-se: R R a + + (R a) a R R + ar + + R ar + a ar R ar ar R a R a R ) Considerando as medidas em centímetros, tem-se: 6) I) x + h x + h 9 ( x) + h 0x + x + h 6 x + h 9 x + h 9 0x + x + h 9 0x x + h 9 + h 9 h 9 9 x 9 x 9 x Se h é altura do triângulo ACB relativa ao lado CB, e se x é a medida de CD, então: I) No triângulo ADC, tem-se h + x h 9 x II) No triângulo ADB, tem-se h 9 x h 9 x
34 II) A área do trapézio, em centímetros quadrados, é: (0 + )... S 8 ) I) Sendo S 6 m a área do triângulo equilátero de lado L, em metros, tem-se: L. L S 6. L 6 L 8 II) A altura h, em metros, do triângulo equilátero, é dada por: L. 8. h. III) Sendo A a área do quadrado, em metros quadrados, cuja diagonal, em metros, é d h, tem-se: ) A área sombreada S corresponde à diferença entre a área de S l.. R.. 6) A área S da coroa circular sombreada, em cm, corresponde à diferença entre a área do círculo maior, de raio cm, e a do círculo menor, de raio cm, assim: S ) um quadrado de lado l e da área de um círculo de raio R, assim: d () 6. A ) I) A área do quadrado ABCD é cm, assim, a medida do lado quadrado é l cm II) BD l cm é a diagonal do quadrado BD III) EF FG cm cm IV) A área do triângulo EFG é dada por EF. FG. cm cm cm cm I) A diagonal do quadrado é d R II) A área pedida S corresponde à diferença entre a área do círculo de raio R e a do quadrado de diagonal d, assim: S. R d. Respostas: D 8) I) Se o lado do quadrado ABCD mede cm, o raio do círculo, em centímetros, é R II) A diagonal do quadrado menor, em centímetros, é d R III) A área pedida S, em centímetros quadrados, corresponde à diferença entre a área do círculo de raio R e a do quadrado de diagonal d, assim: d S. R.
35 9) A área S da parte sombreada corresponde à área do quadrado menor, cuja diagonal mede d a, assim: d S (a) a a ) 0) I) A área do quadrado ABCD, em cm, é S II) AE AF, em cm. III) A área do triângulo AEF, em cm, é AE. AF. S 8 IV) A área S do octógono, em centímetros quadrados, é: S S. S. 8 I) fi R ).. II) S.. R.. ( )... (. ) ) I) Se a é a área de cada um dos 6 triângulos equiláteros que formam o hexágono central de área k, então, k 6a. II) A soma das áreas dos triângulos ACE e BDF é 9a + 9a 8a. 6a k ) I) S HEX 6. S OAB fi 6 6. S OAB S OAB S OAB + S OBC. S OAB II) S ABC S OAB O pentágono hachurado tem área S correspondente a dois triângulos equiláteros de lado, assim, tem-se: ). S.
36 I) S HEX 6. S OAB fi 6. S OAB S OAB 6 7) I) O polígono regular de n lados é formado por n triângulos isósceles congruentes, como o da figura a seguir: S OAB + S OBC. S OAB II) S ABC S OAB III) S PENT S HEX S ABC 6) II) Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se: b + a r b r a fi fi b r a b. r a a. a. I) AH HC fi AC. a. S OAB + S OBC. S OAB a. II) S ABC S OAB x. AC III) S ACM x. a. IV) S ABCM. S HEX fi S ABC + S ACM. S HEX fi a. x. a. a. fi III) A área do polígono de n lados é dada por b. a. r a. a n. n. na r a 8) Sendo R o raio do círculo maior (figura I) e r o raio de cada círculo menor (figura II), tem-se: I).. R... r R. r II) s. r III) S. R. (. r). 9. r 9.. r 9. s 9) a x a a + a + x a x a x 8 V) Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACM, temos: (AM) (AC) + x (a. ) + fi AM 7a a a 9a + fi 6 6 a I) M é ponto médio de BC fi N é ponto médio de BD fi MN // CD CD e MN b 6
37 II) A área do triângulo BCD é A b. h h b h MN.. III) A área do triângulo MNP é b. h b. h b. h.. A 8 ) I) Se o ponto A(a ; ) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, então, a a 8 II) Se o ponto B(; b) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, então, b b Resposta: a 8 e b 6) a) reta paralela ao eixo das ordenadas (eixo y) b) reta paralela ao eixo das abscissas (eixo x) 7) S ABC 0) I) S ABC. S ADE S ADE II) Se a razão de semelhança entre duas figuras semelhantes é k, a razão entre as áreas dessas figuras é k, então: S ABC fi fi S ADE BC DE BC BC DE DE n Módulo 8 Coordenadas Cartesianas Ortogonais, Razão de Secção, Alinhamento de Três Pontos e Curvas 8) Representando graficamente os pontos (0; 0), (a; 0), (a; b) e (0; b), com a > b > 0, tem-se: ) Ligando os pontos, na ordem dada, por linhas retas, forma-se um retângulo de área a. b, cujo centro é o ponto a b ; Resposta: retângulo; (a. b) u.a.; a b ; 9) De acordo com o enunciado, tem-se a figura a seguir. ) Para que os pontos A(a; ) e B( ; b) sejam coincidentes, os pares ordenados devem ser iguais, portanto, (a; ) ( ; b) a e b Resposta: a e b ) a) b 0; b) a 0; c) a > 0 e b < 0; d) a b ) Se a < 0 e b > 0, então: I) P(a; b) pertence ao ọ quadrante, pois a < 0 e b < 0 II) Q(b; a) pertence ao ọ quadrante, pois b > 0 e a > 0 Sendo a medida do lado do triângulo equilátero ABC, tem-se, para o vértice C: I) x C II) y C 7
38 0) Observando que o quadrilátero da figura é um paralelogramo de base b e altura h, sua área é dada por b. h. 0, em unidades de área. ) Sendo P(x; 8), Q(; 0) e PQ 8, tem-se: PQ (x ) + ( 8 0) 8 (x ) (x ) + 6 (x ) 0 x 0 x ) ) É falsa, pois pontos de abscissa nula estão no eixo Oy. ) É verdadeira. ) É verdadeira. ) É verdadeira. ) É falsa, pois os pontos da bissetriz dos quadrantes pares são do tipo (a; a) Resposta:, e ) Se P( ; a) pertence ao. quadrante, então a 0, assim, sendo Q(a; ) e PQ, tem-se: PQ (a + ) + (a + ) (a + ) + (a + ) a + a + + a + a + a + 6a 0 0 a + a 0 0 a ou a a, pois a 0 ) AB ( ) + (0 ) AC (0 ) + ( ) AD ( ) + ( ) BE ( ) + ( 0) BF 0 CD ( 0) + ( ) + 9 CG ( 6 0) + ( ) DE ( ) + ( + ) EF (0 + ) + (0 ) B 0 ; AC 7; AD 0; BE 8; BF ; CD ; CG 0; DE 6 ; EF ) De acordo com o enunciado, temos a figura a seguir: 6) Para os pontos A(; ), B( ; ) e C(; ), tem-se: I) AB ( + ) + ( ) II) AC ( ) + ( ) + III) BC ( + ) + ( ) V) O perímetro do triângulo ABC é AB + AC + BC Resposta: + 7) Para os pontos A(; 0), B(; ) e C(8; ), tem-se: I) AB ( ) + (0 ) II) AC (8 ) + ( 0) III) BC ( 8) + ( ) IV)Como AB AC + BC, tem-se que o triângulo ABC é retângulo com catetos AC e BC, assim, sua área é da por AC. BC Respostas: Triângulo retângulo; u.a. 8) Para os pontos A(0; ), B(; ), C(7; ) e D(; ), tem-se: I) AB ( 0) + ( ) + II) III) BC (7 ) + ( ) + CD (7 ) + ( + ) + Existem duas possibilidades para o quadrado ABCD, assim, tem-se: I) Se o centro do quadrado for o ponto (; ), a distância à origem (0; 0) é ( 0) + ( 0) II) Se o centro do quadrado for o ponto (; ), a distância à origem (0; 0) é ( 0) + ( 0) 8 IV) DA ( 0) + ( + ) + V) AC (7 0) + ( ) VI) BD ( ) + ( + ) VII) Como AB BC CD DA (lados congruentes) e AC BD (diagonais congruentes), tem-se que o quadrilátero ABCD é um quadrado. Resposta: Quadrado 8
39 9) Para os pontos A(; ), B( ; ) e C(; 6), tem-se: I) D , 6 assim, os pontos A, B e C não estão alinhados, portanto, são vértices de um triângulo. II) AB ( + ) + ( + ) + 6 III) AC ( ) + (6 + ) IV)BC ( + ) + (6 + ) V) Como AC BC AB, tem-se que o triângulo ABC é isósceles e não equilátero. y P(; ) x Resposta: P(; ) ) Sendo M o ponto médio de AB e, sendo d, a distância entre o portão e o ponto médio de AB, temos: M ; (;) e d ( ) + (9 ) ) Se M(; ) é o ponto médio do segmento AB com A(; ) e B(x B ; y B ), então: 0) Para A( ; 6) e P(; y), tem-se: AP 0 ( + ) + (y 6) (y 6) (y 6) 00 (y 6) 6 y 6 8 ou y xb + y B x B B( ; ) y B y ou y P(; ) ou P(; ) Resposta: P(; ) ou P(; ) ) Se P(x; y) é o ponto equidistante da origem O(0; 0) e dos pontos A(; 0) e B(0; ), então: PB PO PA PO x + (y ) x + y (x ) + y x + y x + (y ) x + y x + y 6y + 9 x + y (x ) + y x + y x x + + y x + y 6y P ; x + 0 6y 9 y x x Resposta: P ; ) Se P(x; y) é o ponto equidistante dos pontos A(0; 0), B(; 7) e C(7; ), então: PA PB PA PC x + y (x ) + (y 7) x + y (x 7) + (y + ) x + y x x + + y y + 9 x + y 0 x + y x x y + y + x y 0 x + 7y x + 7y x + 7y 7x y 9x 7y 7 0x 00 ) Se (; ) é o ponto médio do segmento de extremos (; y) e (x; 7), então: + x y + 7 x x + y + y 6) O centro C( ; ) da circunferência é o ponto médio do diâme tro de extremos P(; 6) e Q(x Q ; y Q ), então: + x Q 6 + y Q Resposta: Q( 0; ) x Q 0 Q( 0; ) y Q 7) No triângulo de vértices A(; 8), B(; ) e C(6; ), tem-se: + 6 I) O ponto médio do lado BC é M ; M(; ) II) O comprimento da mediana AM é dado por AM ( ) + (8 + ) ) No triângulo de vértices A(; ), B(; ) e C( ; ), tem-se: I) O ponto médio do lado AC é + M ; M ; II) O comprimento da mediana BM é dado por 9
40 BM ( + ) + + ) Para os pontos A(; ), B(8; ) e C( ; ), tem-se: D 8 pontos A, B e C são alinhados. Resposta: Sim , assim, os 9) No triângulo de vértices A(0; 0), B(; 7) e C(; ), tem-se: I) O ponto médio do lado BC é M + 7 ; M(; ) II) O comprimento da mediana AM é dado por AM ( 0) + ( 0) M ) Para os pontos A( ; ), B(; ) e C(9; ), tem-se: D 9 pontos A, B e C são colineares , assim, os ) Representando os pontos dados num sistema cartesiano, tem-se a figura a seguir: 0) Sendo A( ; ), B(; 7), C(x C ; y C ) e D(x D ; y D ) os vértices de um paralelogramo e sendo P(; ) o ponto médio das diagonais, tem-se: xa + xc + xc x P I) C(; ) y A + y C + y y C x C y C P xb + xd + xd x P II) D(; ) y B + y D 7 + y y D x D y D P Resposta: (; ) e (; ) ) Representando os pontos dados num sistema cartesiano, tem-se a figura a seguir. Se o ponto P(; m) pertence a um dos lados do triângulo ABC, observa-se que esse lado é AC, assim, A, P e C devem estar alinhados, portanto: m 0 m + 0 m m m O ponto médio da diagonal AC é M(; 0) que coincide com o ponto médio da diagonal BD, assim: xb + xd + xd x M D(9; ) y B + y D + y y D x D 9 y D M 0 ) Para que os pontos A(0; a), B(a; ) e C(; ) sejam vértices de um triângulo, deve-se ter: 0 a a a e a 0 a + a + a 0 a a 0 6) I) P(x 0 ; y 0 ), A( ; ) e B(; ) estão alinhados, então: x 0 y 0 x 0 + y x 0 + y 0 + x 0 + y 0 0 0
41 II) P(x 0 ; y 0 ), C( ; ) e D(; ) estão alinhados, então: x 0 y 0 0 x 0 + y x 0 + y 0 0 x 0 + y III) x 0 + y x 0 + y x 0 y 0 0 x 0 + y A área do quadrilátero é dada por (AC + BD). h ( + ). Resposta: u.a. 0) Representando o quadrilátero no sistema cartesiano, tem-se: x 0 y 0 0 8x x0 y0 0 x 0 y 0 P ; x 0 Resposta: P ; 7) Para os pontos A(0; ), B(; 0) e C( ; ), tem-se: 0 I) D II) A área do triângulo ABC é dada por D 8 8 S 9 8) I) Se B é o ponto em que a reta x + y encontra o eixo x, então y B 0, logo, x B + 0 x B, portanto, B(; 0) II) Se C é o ponto em que a reta x + y encontra o eixo y, então x C 0, logo, 0 + y C y C, portanto, C(0; ) III) Para os pontos A(; ), B(; 0) e C(0; ), tem-se: D IV) A área do triângulo ABC é dada por D 6 6 S 9) Representando o quadrilátero no sistema cartesiano, tem-se: 7 I) A área do triângulo ABC é S 0, II) A área do triângulo ACD é S III) A área do quadrilátero ABCD é S + S 0, +, Resposta:,u.a. ) Para os pontos A(; ), B(; 7) e C(6; ), tem-se: I) AB ( ) + (7 ) II) AC (6 ) + ( ) + 9 III) BC (6 ) + ( 7) + 8 IV)O perímetro do triângulo ABC é V) A área do triângulo ABC é 6 7 Resposta: perímetro área 7 ) Se os pontos A(7; ), B(; ) e C(x; 6), com x inteiro, formam um triângulo de área 9, então: 7 x x x 8 9x x 67 8 ou 9x 67 8 x ou x x, pois x é inteiro 9 Resposta: x
42 ) Se os pontos A ;, B( ; ) e C t; são colineares, então: t 0 + t + t ) A ABC u.a. Resposta: u. a t + 6 6t t 7 t ) Para os pontos A(; ), B(; ) e C(; ), tem-se: D 0, portanto, A, B e C estão alinhados e pertencem ao gráfico da função f(x) x +, pois f(), f() e f() ) A distância real entre o ponto de partida C da joaninha e o de chegada A é o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos m e 6 m. Assim sendo, essa distância d, em metros, é: d ) 9 8) Se A, B e C são vértices de um triângulo, então neces saria - mente: k k k 0 9k k 9) Sendo S a área do triângulo de vértices A(6;8), B(;) e C(8;), temos: S 0) Os pontos A, B e C pertencem a uma mesma reta 0 x x 6 ) Os pontos A, B e P estão alinhados, então: k k + 0 k Portanto:. k + Sendo x a medida do lado da malha quadriculada da figura, a medida do lado da malha quadriculada da figura é x. Assim, A B x, AB x e, portanto, o fator de am pliação da figura para a figura é: A B x AB x
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