Aula 32. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

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1 Superfícies de Revolução e Outras Aplicações Aula 32 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 29 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma Engenharia Mecânica

2 Considere um sólido S obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada por y = f(x), onde f(x) 0, e pelas retas y = 0,x = a e x = b. Seja P = (x i ) uma partição do intervalo [a,b] e seja c i [x i 1,x i ] o ponto médio do i-ésimo intervalo, c i = (x i +x i 1 )/2. Se o retângulo com base x i = (x i x i 1 ) e altura f(c i ) é girado ao redor do eixo y, então o resultado é uma casca ciĺındrica cujo volume é V i = (2πc i )f(c i ) x i = [circunferência][altura][espessura].

3 Portanto uma aproximação para o volume V de S é dada pela soma dos volumes dessas seções: V n V i = i=1 n (2πc i )f(c i ) x i. i=1 Esta aproximação torna-se melhor quando P = max 1 i n x i 0. Então definimos o volume do sólido S obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada por y = f(x), onde f(x) 0, y = 0,x = a e x = b por V = 2π lim P 0 n i=1 b c i f(c i ) x i = 2π xf(x)dx. a

4 Exemplo Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada por y = 2x 2 x 3 e y = 0. V = 2π = 2π xf(x)dx = 2π 2 0 x(2x 2 x 3 )dx (2x 3 x 4 )dx = 2π( ) = 16 5 π.

5 Queremos definir o comprimento de uma curva. Se a curva é uma poligonal, podemos facilmente encontrar seu comprimento somando os comprimentos dos segmentos de reta que formam a poligonal. Agora suponhamos que a curva C seja o gráfico da função y = f(x), onde f é derivável e a x b. Seja P = (x i ) uma partição de [a,b]. Então a poligonal com vértices (x i,f(x i )) é uma aproximação para C. O comprimento da curva C é aproximadamente o comprimento da poligonal, e a aproximação torna-se melhor quando P 0.

6 O comprimento da poligonal é L(P) = n i=1 (x i x i 1 ) 2 +(f(x i ) f(x i 1 )) 2. Aplicando o Teorema do Valor Médio em cada intervalo [x i 1,x i ], existe um c i (x i 1,x i ) tal que f(x i ) f(x i 1 ) = f (c i )(x i x i 1 ) = f (c i ) x i.

7 Segue L(P) = n i=1 ( x i ) 2 +(f (c i ) x i ) 2 = n i=1 (1+(f (c i )) 2 x i. Então, definimos o comprimento da curva C por L = lim P 0 n i=1 b (1+(f (c i )) 2 x i = 1+[f (x)] 2 dx. a

8 Exemplo Calcule o comprimento de arco de y = x 3/2, 1 x 4. Como y = f(x), temos f (x) = 3 2 x1/2, e assim, L = x dx. Fazendo, u = x, então du = 9 4 dx. Quando x = 1, u = 13 4 ; quando x = 4, u = 10. Portanto, L = 4 10 [ udu = 9 13/4 93 u3/2 = /2 13/4 27 ( ) ] 13 3/2. 4

9 Exercício: Calcule o comprimento da curva y = 2 1 x 2, 0 x. [R : π/4]. 2

10 Uma superfície de revolução é formada quando uma curva é girada ao redor de uma reta. Tal superfície é a fronteira lateral de um sólido de revolução já discutido anteriormente.

11 Considere um tronco de cone circular reto, de geratriz g, raio da base maior r 1 e raio da base menor r 2. Esta é a superfície de revolução obtida pela revolução de um segmento em torno de um eixo. m r 2 g r 1

12 A área lateral, A T, do tronco de cone é dada por A T = π(r 1 +r 2 )g = 2πrg, onde r = 1 2 (r 1 +r 2 ).

13 Podemos então calcular a área de uma superfície gerada pela revolução de uma poligonal plana em torno de um eixo deste plano pois a área desta superfície é a soma das áreas laterais de troncos de cones. Seja A a área lateral da superfície gerada pela rotação da poligonal da figura abaixo. Então temos

14 r 1 l 1 r 2 l 2 r n l n A = 2πr 1 l πr n l n

15 Agora vamos deduzir a área lateral de um sólido de revolução qualquer em torno do eixo x pela aproximação da soma das áreas laterais de vários troncos de cone.

16 Consideremos f definida e positiva em [a, b] com derivada contínua em (a,b). Seja P = (x i ) uma partição de [a,b]. Consideremos a poligonal com vertices (x i,f(x i )) e girando-a ao redor do eixo x obtemos uma aproximação para a superfície. A área de cada tronco de cone é A i = 2π f(x i)+f(x i 1 ) 2 1+[f (c i )] 2 x i, onde c i [x i 1, x i ], como foi feito anteriormente. Quando x i é pequeno temos que f(x i ) f(c i ) e também f(x i 1 ) f(c i ) pois f é contínua.

17 Portanto, A i 2πf(c i ) 1+[f (c i )] 2 x i, e então uma aproximação para a área da superfície é n i=1 2πf(c i ) 1+[f (c i )] 2 x i. Esta aproximação torna-se melhor quando P 0. Então definimos a área da superfície obtida por rotação, ao redor do eixo x, da curva y = f(x), f(x) 0, a x b, como S= lim P 0 i=1 n 2πf(c i ) 1+[f (c i )] 2 x i =2π b a f(x) 1+[f (x)] 2 dx.

18 Exemplo Encontre a área da superfície obtida pela rotação da curva y = R 2 x 2, R x R, ao redor do eixo x. Temos f x (x) = e assim, R 2 x2, R S = 2π = 2π R R R R 2 x 2 1+ x2 R 2 x 2 dx R 2 x 2 2 R R 2 x dx = 2Rπ 1dx = 4πR 2. 2 R

19 O Centro de massa de uma curva e o Teorema de Pappus Inicialmente definimos o ponto médio de um segmento como o seu centro de massa. Assim o centro de massa de uma poligonal é dado por:

20 y l 1 (x 1,y 1 ) (x c,y c) (x n,y n) l n x x c = c l 1 x 1 + +c l n x n c l 1 + +c l n = l 1 x 1 + +l n x n l 1 + +l n y c = c l 1 y 1 + +c l n y n c l 1 + +c l n = l 1 y 1 + +l n y n l 1 + +l n

21 x 1 l 1 x 2 l 2 x n l n A = 2πx 1 l πx n l n = 2π (x 1l 1 +x 2 l 2 + +x n l n ) l 1 + +l n = 2πx c L, L = l 1 + +l n Semelhantemente, para a rotação em torno do eixo x L A = 2πy c L

22 Um processo de passagem ao limite (tomando mais e mais pontos sobre a curva) resulta no seguinte resultado Theorem (Teorema de Pappus) Se uma linha plana gira em torno de um eixo de seu plano a área da superfície gerada é igual ao comprimento dessa linha multiplicado pelo comprimento da circunferência descrita por seu centro de massa. Isto é A = 2πy c L = 2π b a f(x) 1+f (x) 2 dx b a 1+f (x) 2 dx para a rotação em torno do eixo x ou b a A = 2πx c L = 2π x 1+f (x) 2 dx b a 1+f (x) 2 dx para a rotação em torno do eixo y. b a b a 1+f (x) 2 dx 1+f (x) 2 dx

23 Área do Toro R r A c = 2πr 2πR = 4π 2 Rr