6.3. Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas

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1 APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO 6.3 Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas Nesta seção aprenderemos como aplicar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume de um sólido.

2 VOLUMES POR CASCAS CILÍNDRICAS Alguns problemas de volume são muito difíceis de lidar pelos métodos da seção anterior.

3 VOLUMES POR CASCAS CILÍNDRICAS Vamos considerar o problema de encontrar o volume de um sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região limitada por y = 2x 2 - x 3 e y = 0.

4 VOLUMES POR CASCAS CILÍNDRICAS Se a fatiarmos perpendicularmente ao eixo y, obteremos uma arruela. Mas para calcularmos Os raios interno e externo da arruela, teríamos de resolver a equação cúbica y = 2x 2 - x 3 para x em termos de y; e isto não é fácil.

5 VOLUMES POR CASCAS CILÍNDRICAS Felizmente, existe um método chamado Método das Cascas Cilíndricas, que é mais fácil de usar em casos como esse. A Figura mostra uma casca cilíndrica de raio interno r 1, raio externo r 2, e altura h.

6 O seu volume V é calculado pela subtração do volume V 1 do cilindro interno do volume V 2 do cilindro externo.

7 Assim, temos: V = V V π = πr h r h = π ( r r ) h = π ( r + r)( r r) h r + r = 2 π 2 1 hr ( r ) 2 1 2

8 Fórmula 1 Se fizermos r = r 2 r 1 (a espessura da 1 casca) e r = ( ) 2 r2 + r1 (o raio médio da casca), então a fórmula para o volume de uma casca cilíndrica se torna: V = 2π rhδr E pode ser memorizada como: V [circunferência][altura][espessura]

9 Agora, considere S como o sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região limitada por y = f(x) [onde f(x) 0], y = 0, x = a e x = b, onde b > a 0.

10 Dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos [x i -1, x i ] de mesma largura e consideramos x i o ponto médio do i-ésimo subintervalo. Δx

11 Se o retângulo com base [x i - 1, x i ] e altura f ( x i ) é girado ao redor do eixo y, então o resultado é uma casca cilíndrica com raio médio x i altura f ( x i ), e espessura x.

12 Assim, pela Fórmula 1 seu volume é: V = (2 π x )[ f( x )] Δx i i i Portanto, uma aproximação para o volume V de S é dada pela soma dos volumes dessas cascas: n n = Δ V V 2 π x f( x ) x i i i i= 1 i= 1

13 Essa aproximação parece tornar-se melhor quando n. Mas, pela definição de integral, sabemos que: n lim 2 πxi f( xi) Δ x= 2 πx f( x) dx n a = i 1 b

14 Fórmula 2 Então, a seguinte definição parece plausível: O volume do sólido na Figura, obtido pela rotação em torno do eixo y da região sob a curva y = f(x) de a até b, é: V = b a 2 π xf( x) dx onde 0 a < b

15 Usando o argumento das cascas cilíndricas, a Fórmula 2 parece razoável, porém mais tarde seremos capazes de demonstrá-la.

16 A melhor maneira para se lembrar da Fórmula 2 é pensar em uma casca típica, cortada e achatada como na Figura. Com raio x, circunferência 2πx, altura (x), e espessura x ou dx: b 2 π x f ( x) dx a 123 ( ) { [ ] { circumference height thickness

17 Esse tipo de argumento será útil em outras situações, tais como quando giramos em torno de outras retas além do eixo y.

18 Exemplo 1 Ache o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região limitada pory =2x 2 - x 3 e y = 0.

19 Exemplo 1 Do esboço da Figura, vemos que uma casca típica tem raio x, circunferência 2πx, e altura f(x) = 2x 2 -x 3.

20 Exemplo 1 Então, pelo método das cascas, o volume é: V = x x x dx 2 ( )( 2 3 2π 2 ) 3 4 = 2 x (2 x x ) dx ( π ) = 2π x ( ) = 2π 8 = x π

21 Pode-se verificar que o método das cascas dá a mesma resposta que o método das fatias. A Figura mostra o gráfico gerado pelo computador do sólido do qual calculamos o volume no Exemplo 1. Exemplo 1

22 OBSERVAÇÃO Comparando a solução do Exemplo 1 com as observações no começo desta seção, vemos que o método das cascas cilíndricas é muito mais prático que o método das arruelas para esse problema. Não tivemos de encontrar as coordenadas do máximo local e não tivemos de resolver a equação da curva para x em termos de y. Contudo, em outros exemplos, utilizar os métodos da seção anterior podem ser mais fáceis.

23 Exemplo 2 Ache o volume de um sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região entre y = x e y = x 2.

24 Exemplo 2 A região e uma casca típica são mostradas na Figura. Vemos que a casca tem raio x, circunferência 2πx, e altura x - x 2.

25 Exemplo 2 Então o volume é: 1 V = x x x dx 0 ( )( 2 2π ) 1 0 ( 2 3 x ) = 2π x dx 3 4 x x π = 2π =

26 Como o exemplo a seguir mostra, o método das cascas cilíndricas funciona bem também quando giramos ao redor do eixo x. Simplesmente temos de desenhar um diagrama para identificar o raio e a altura da casca.

27 Exemplo 2 Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva y = de 0 a 1. x Esse problema foi resolvido usando-se os discos no Exemplo 2 da Seção 6.2.

28 Exemplo 3 Para usar as cascas reescrevemos como x = y 2. y = x Pela rotação em torno do eixo x, vemos que uma casca típica tem raio y, circunferência 2πy, e altura 1 - y 2.

29 Então, o volume é: 1 V = y y dy 0 ( )( 2 2π 1 ) π ( ) 0 = y y dy 2 4 y y π = 2π = Exemplo 3 Neste exemplo, o método do disco foi mais simples.

30 Exemplo 4 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x - x 2 e y = 0 emtornodaretax = 2.

31 Exemplo 4 A Figura mostra a região e a casca cilíndrica formada pela rotação em torno da reta x = 2, esta tem raio 2 -x, circunferência 2π(2 -x), e altura x - x 2.

32 O volume do sólido é: Exemplo V = 2π 2 x x x dx 1 0 ( )( 2 ) ( 3 2 ) = 2π x 3x + 2x dx 4 1 x 3 2 = 2π + = π x x 4 2 0