14.5 A Regra da Cadeia. Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

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1 14.5 A Regra da Cadeia Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

2 A Regra da Cadeia Lembremo-nos de que a Regra da Cadeia para uma função de uma única variável nos dava uma regra para derivar uma função composta: se y = f (x) e x = g (t), onde f e g são funções diferenciáveis, então y é uma função indiretamente diferenciável de t e Para as funções de mais de uma variável, a Regra da Cadeia tem muitas versões, cada uma delas fornecendo uma regra de diferenciação de uma função composta. 3

3 A Regra da Cadeia A primeira versão (Teorema 2) lida com o caso onde z = f (x, y) e cada uma das variáveis x e y é, por sua vez, uma função de duas variáveis t. Isso significa que z é indiretamente uma função de t, z = f (g (t), h (t)), e a Regra da Cadeia dá uma fórmula para diferenciar z como uma função de t. Presumimos que f é diferenciável. 4

4 A Regra da Cadeia Lembremo-nos de que este é o caso quando f x e f y são contínuas. Como frequentemente escrevemos z/ x no lugar de f / x, podemos reescrever a Regra da Cadeia na forma 5

5 Exemplo 1 Se z = x 2 y + 3xy 4, onde x = sen 2t e y = cos t, determine dz/dt quando t = 0 SOLUÇÃO: A Regra da Cadeia fornece Não é necessário substituir as expressões por x e y em termos de t. 6

6 Exemplo 1 Solução continuação Nós simplesmente observamos que quando t = 0, temos x = sen 0 = 0 e y = cos 0 = 1. Portanto, 7

7 A Regra da Cadeia Vamos considerar agora a situação onde z = f (x, y), mas x e y são funções de outras duas variáveis s e t: x = g(s, t), y = h(s, t). Então z é indiretamente uma função de s e t e desejamos determinar z / s e z / t. Lembre-se de que para calcular z / t mantemos s fixo e calculamos a derivada ordinária de z em relação a t. Portanto, aplicando o Teorema 2, obtemos 8

8 A Regra da Cadeia Argumento análogo serve para z / s, e assim demonstramos a seguinte versão da Regra da Cadeia. O Caso 2 da Regra da Cadeia contém três tipos de variáveis: s e t são variáveis independentes, x e y são chamadas de variáveis intermediárias, e z é a variável dependente. 9

9 A Regra da Cadeia Observe que o Teorema 3 tem um termo para cada variável intermediária e que cada um desses termos se assemelha à Regra da Cadeia unidimensional na Equação 1. Para lembrar a Regra da Cadeia, é útil desenhar o diagrama em árvore da Figura 2. Figura 2 10

10 A Regra da Cadeia Desenhamos os ramos da árvore saindo da variável dependente z para as variáveis intermediárias x e y a fim de indicar que z é uma função de x e y. Então, desenhamos os ramos saindo de x e y para as variáveis independentes s e t. Em cada ramo indicamos a derivada parcial correspondente. Para determinar z / s, nós determinamos o produto das derivadas parciais ao longo de cada caminho de z a s e somamos esses produtos: 11

11 14.6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

12 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente Nesta seção, introduzimos um tipo de derivada, chamada derivada direcional, que nos permite encontrar a taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis em qualquer direção. 3

13 Derivadas Direcionais 4

14 Derivadas Direcionais Lembremo-nos de que, se z = f (x, y), as derivadas parciais f x e f y são definidas como e representam as taxas de mudança de z nas direções x e y, ou seja, na direção dos vetores de unidade i e j. 5

15 Derivadas Direcionais Suponha que queiramos determinar a taxa de variação de z em (x 0, y 0 ) na direção de um vetor unitário arbitrário u = a, b. (Veja a Figura 2.) Para fazê-lo, devemos considerar a superfície S com equação z = f (x, y) (o gráfico de f) e tomar z 0 = f (x 0, y 0 ). Então o ponto P(x 0, y 0, z 0 ) está em S. Um vetor unitário u = a, b = cos, sen Figura 2 6

16 Derivadas Direcionais O plano vertical que passa por P na direção de u intercepta S em uma curva C. (Veja a Figura 3.) Figura 3 7

17 Derivadas Direcionais A inclinação da reta tangente T a C em P é a taxa de variação de z na direção de u. Se Q(x, y, z) é outro ponto em C e P, Q são as projeções de P, Q sobre o plano xy, então o vetor é paralelo a u e, portanto = hu = ha, hb Para alguma escalar h. Logo, x x 0 = ha, y y 0 = hb, portanto, x = x 0 + ha, y = y 0 + hb, e 8

18 Derivadas Direcionais Se tomarmos o limite quando h 0, obteremos a taxa de variação de z na direção de u, que é chamada derivada direcional de f na direção de u. Comparando a Definição 2 com as Equações, vemos que, se u = i = 1, 0, então D i f = f x e se u = j = 0, 1, então D j f = f y. Em outras palavras as derivadas parciais de f relacionada a x e y são apenas casos especiais da derivada direcional. 9

19 Derivadas Direcionais Quando calculamos a derivada direcional de uma função definida por uma fórmula, geralmente usamos o seguinte teorema. 10

20 Derivadas Direcionais Se o vetor unitário u faz um ângulo com o eixo x positivo (como na Figura 2), então podemos escrever u = cos, sen e a fórmula do Teorema 3 fica D u f (x, y) = f x (x, y) cos + f y (x, y) sen Figura 2 Um vetor unitário u = a, b = cos, sen 11

21 O Vetor Gradiente 12

22 Os Vetores Gradientes Observe no Teorema 3 que a derivada direcional de uma função diferenciável pode ser escrita como o produto escalar de dois vetores: D u f (x, y) = f x (x, y)a + f y (x, y)b = f x (x, y), f y (x, y) a, b = f x (x, y), f y (x, y) u O primeiro vetor no produto escalar ocorre não somente no cômputo da derivada direcional, mas também em muitas outras situações. Assim, daremos a ele um nome especial (o gradiente de f ) e uma notação especial (grad f ou f, que lemos del f ). 13

23 Os Vetores Gradientes 14

24 Exemplo 3 Se f (x, y) = sen x + e xy, então f (x, y) = f x, f y = cos x + ye xy, xe xy e f (0, 1) = 2, 0 Como essa notação de vetor gradiente, podemos reescrever a Equação 7 para a derivada direcional de uma função diferenciável como 15

25 Os Vetores Gradientes Isso expressa a derivada direcional na direção de u como a projeção escalar do vetor gradiente em u. 16

26 Maximizando a Derivada Direcional 24

27 Maximizando a Derivada Direcional Suponha que tenhamos uma função f de duas ou três variáveis e consideramos todas as derivadas direcionais possíveis de f em um ponto determinado. Isso nos dará a taxa de variação de f em todas as direções possíveis. Podemos então perguntar: em qual dessas direções f varia mais rapidamente e qual a taxa máxima de variação? A resposta é dada pelo seguinte teorema. 25

28 Exemplo 6 (a) Se f (x, y) = xe y, determine a taxa de variação de f no ponto P(2, 0) na direção de P a. (b) Em que direção f tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação? SOLUÇÃO: (a) Primeiro calcularemos o vetor gradiente: f (x, y) = f x, f y = e y, xe y f (2, 0) = 1, 2 26

29 Exemplo 6 Solução continuação O vetor unitário na direção de = 1,5, 2 é u = logo a taxa de variação de f na direção que vai de P a Q é D u f (2, 0) = f (2, 0) u (b) De acordo com o Teorema 15, f aumenta mais depressa na direção do gradiente f (2, 0) = 1, 2. A taxa máxima de variação é f (2, 0) = 1, 2 = 27

30 Importância do Vetor Gradiente 37

31 Importância do Vetor Gradiente Vamos resumir agora as maneiras pelas quais o vetor gradiente é importante. Primeiro, consideramos uma função f de três variáveis e um ponto P(x 0, y 0, z 0 ) em seu domínio. Por um lado, sabemos do Teorema 15 que o vetor gradiente f (x 0, y 0, z 0 ) dá a direção de um aumento mais rápido de f. Por outro, sabemos que f (x 0, y 0, z 0 ) é ortogonal à superfície de nível S de f por P. (Consulte a Figura 9.) Figura 9 38

32 Importância do Vetor Gradiente Essas duas propriedades são compatíveis intuitivamente porque, quando nos afastamos de P em uma superfície de nível S, o valor da função f não se altera. Parece razoável que, se nos movermos em uma direção perpendicular, obteremos o maior aumento. De maneira semelhante, consideramos uma função f de duas variáveis e um ponto P(x 0, y 0 ) em seu domínio. Novamente, o vetor gradiente f (x 0, y 0 ) dá a direção de um aumento mais rápido de f. Da mesma forma, pelas considerações semelhantes à nossa discussão dos planos tangente, pode ser mostrado que f (x 0, y 0 ) é perpendicular à curva do nível f (x, y) = k que passa por P. 39

33 Importância do Vetor Gradiente Mais uma vez, isso é intuitivamente plausível porque os valores de f continuam constantes à medida que movemos ao longo da curva. (Veja a Figura 11.) Figura 11 40

34 Importância do Vetor Gradiente Se considerarmos um mapa topográfico de um morro e se f (x, y) representar a altura acima do nível do mar do ponto de coordenadas (x, y), então a curva de aclive máximo pode ser desenhada na Figura 12, fazendo-a perpendicular a todas as curvas de contorno. Figura 12 41

35 Importância do Vetor Gradiente Os sistemas de computação algébrica têm comandos que traçam vetores gradientes. Cada vetor gradiente f (a, b) é traçado do ponto (a, b). A Figura 13 mostra esse gráfico (chamado campo vetorial gradiente ) para a função f (x, y) = x 2 y 2 superimposto em um mapa de contorno de f. Como esperado, os vetores gradientes apontam ladeira acima e são perpendiculares às curvas de nível. Figura 13 42