Cálculo Diferencial e Integral 2: Derivadas direcionais e o vetor gradiente

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1 Cálculo Diferencial e Integral 2: Derivadas direcionais e o vetor gradiente Jorge M. V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP

2 1 Derivadas direcionais 2 3

3 Lembrete: derivadas parciais!

4 Definição das derivadas parciais Direção do vetor i = (1, 0) (eixo x) f x (x 0, y 0 ) = lim h 0 f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ) h Direção do vetor j = (0, 1) (eixo y) f y (x 0, y 0 ) = lim h 0 f (x 0, y 0 + h) f (x 0, y 0 ) h

5 Derivadas direcionais

6 Definição das derivada direcional Direção do vetor unitário u = (a, b) f (x 0 + ha, y 0 + hb) f (x 0, y 0 ) D u (x 0, y 0 ) = lim, h 0 h se esse limite existir.

7 Se g(h) = f (x 0 + ha, y 0 + hb), então g (0) = D u (x 0, y 0 ) Se x = x 0 + ha e y = y 0 + hb, então g(h) = f (x, y) e g (h) = f x (x, y)a + f y (x, y)b g (0) = f x (x 0, y 0 )a + f y (x 0, y 0 )b D u (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )a + f y (x 0, y 0 )b Fórmula para determinar a derivada direcional D u (x, y) = f x (x, y)a + f y (x, y)b

8 Exemplo 1 Se u é um vetor unitário que faz um ângulo π/6 com o eixo x positivo e se f (x, y) = x 3 3xy + 4y 2, determine D u f (1, 2). São dados cos(π/6) = 3/2 e sen(π/6) = 1/2 Resp.:

9 : f (x, y) f (x, y) = (f x (x, y), f y (x, y)) = f x (x, y) i + f y (x, y) j D u f (x, y) = f (x, y) u = f (x, y) cos θ, sendo θ o ângulo entre u e f (x, y) O valor máximo de D u f (x, y) ocorre quando u tem a mesma direção de f (x, y).

10 Exemplo 2 Se f (x, y) = xe y determine ( ) a taxa de variação no ponto P(2, 0) na 1 direção de P a Q 2, 2. Em que direção f tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação? Resp.: D u f (2, 0) = 1. Direção do vetor (1, 2) e taxa máxima de 5

11 O vetor gradiente é normal às curvas de nível f (x, y) = k ao longo de uma curva r(t) = x(t) i + y(t) j f (x(t), y(t)) = k f x x (t) + f y y (t) = 0 f (x(t), y(t)) r (t) = 0

12 Mapa topográfico de um morro

13 Gradiente a uma superfície F (x, y, z) = k Superfície F (x, y, z) = k contendo um ponto P(x 0, y 0, z 0 ) Curva contida na superfície passando por P: r(t) = (x(t), y(t), z(t)), sendo r(t 0 ) = (x 0, y 0, z 0 ) F (x(t), y(t), z(t)) = k F r (t) = 0 ou F (x 0, y 0, z 0 ) r (t 0 ) = 0 O gradiente é perpendicular a qualquer curva na superfície

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15 Seja um plano tangente à superfície em P 0 (x 0, y 0, z 0 ). Seja P(x, y, z) um ponto arbitrário do plano tangente, então Equação do plano F (x 0, y 0, z 0 ) P 0 P = 0 F x (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 )+F y (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 )+F z (x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) = 0 Caso particular: z = f (x, y) F (x, y, z) = f (x, y) z = 0

16 Equações da reta normal ao plano tangente Equação vetorial P 0 P = t F (x 0, y 0, z 0 ), t + Equações paramétricas: x = x 0 + F x (x 0, y 0, z 0 )t y = y 0 + F y (x 0, y 0, z 0 )t z = z 0 + F z (x 0, y 0, z 0 )t, t +

17 Exemplo 3 Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao elipsóide x y 2 + z2 9 = 3 no ponto P 0 ( 2, 1, 3).

18 Exercícios Derivadas direcionais 1) Determine a taxa de variação máxima de f (x, y) = xe y + 3y no ponto (1,0) e a direção que isso ocorre. 2) Determine a direção onde f (x, y) = x 4 y x 2 y 3 decresce mais rápido no ponto (2, 3) 3) Determine as direções em que a derivada direcional de f (x, y) = x 2 + senxy no ponto (1, 0) tem valor 1. 4) A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como sendo a origem. A temperatura no ponto (1,2,2) é 120 o. (a) Determine a taxa de variação de T em (1,2,2) em direção ao ponto (2,1,3). (b) Determine a partir do ponto (1,2,2) a direção de maior crescimento da temperatura

19 Exercícios Derivadas direcionais 5) Suponha que em uma região do espaço o potencial elétrico seja dado por V (x, y, z) = 5x 2 3xy + xyz Determine a taxa de variação do potencial em (3,3,5) na direção do vetor v = (1, 1, 1). Em que direção V varia mais rapidamente em P? E qual é a taxa máxima de variação em P? 6) Seja f (x, y) uma função de duas variáveisque tenha derivadas parciais contínuas e considere os pontos A(1,3), B(3,3), C(1,7) e D(6,15). A derivada direcional em A na direção do vetor AB é 3 e a derivada direcional em A na direção do vetor AC é 26. Determine a derivada direcional em A na direção do vetor AD.

20 Exercícios Derivadas direcionais 7) Mostre que a reta normal à esfera x 2 + y 2 + z 2 r 2 passa pelo centro da esfera. 8) Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superfíce x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 21 no ponto (4,-1,1).