Mudança de Coordenadas

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1 Mudanças de Coordenadas Mudança de Coordenadas A origem O = (0, 0, 0) e os vetores i, j, k da base canônica de R determinam um sistema de coordenadas: se as coordenadas de um ponto no espaço são (x, y, z), então OP = xi + yj + zk Se considerarmos outro ponto O de R como origem e considerarmos outra base U, U, U de R, o mesmo ponto P será representado por outras coordenadas neste novo sistema De fato, com relação à base {U, U, U } o vetor O P se escreve como O P = x U + y U + z U As novas coordenadas de P neste outro sistema de coordenadas para R são (x, y, z ) z y' x' P U U i k O j O' U y z' x

2 ( ) Exemplo Seja P =,, um ponto de R, em coordenadas canônicas Determine as coordenadas de P no sistema de coordenadas {O, U, U, U }que tem como origem o ponto O = (,, ) e como base os vetores ( ) U =,, 0, ( ) U = 6, 6,, ( ) U =,, Solução: Temos ( ) O P = P O =,, ( = ), 5, ( ) ( 6 6 =,, , 6, ( ),, ) 6 6 (,, ) logo neste sistema de coordenadas P = (, 0, 6) A questão que imediatamente surge em mente é a seguinte: se um ponto P tem coordenadas (x, y, z) em um certo sistema de coordenadas (O, E, E, E ), como encontrar as coordenadas (x, y, z ) deste ponto em relação ao sistema (O, U, U, U )? Para responder a esta pergunta, consideremos por simplicidade o caso em que O = O Então, temos OP = xe + ye + ze e precisamos escrever OP em função de U, U, U Para fazer isso, é primeiro necessário saber escrever E, E, E em função de U, U, U De fato, se segue que E = a U + a U + a U, E = a U + a U + a U, E = a U + a U + a U, OP = x(a U + a U + a U ) + y(a U + a U + a U ) + z(a U + a U + a U ) = (xa + ya + za )U + (xa + ya + za )U + (xa + ya + za )U, ou x y z = a a a a a a a a a x y z

3 A matriz A = (a ij ) que obtivemos é chamada de matriz de mudança de coordenadas da base {E, E, E } para a base {U, U, U } Observe que as colunas de A são exatamente as coordenadas dos vetores E, E, E na base {U, U, U } Portanto, para obter a matriz de mudança de coordenadas A do sistema antigo de coordenadas para o novo sistema de coordenadas, é preciso antes de mais nada obter as coordenadas dos vetores E, E, E que formam a base do antigo sistema de coordenadas em relação à base {U, U, U } do novo sistema de coordenadas Em geral, a situação é a seguinte: escolhe-se por algum motivo três vetores U, U, U no sistema de coordenadas original (em geral, porque existe alguma simetria no problema que faz com que ele seja mais facil e simplesmente descrito em relação às direções dadas por estes três vetores), ou seja, as coordenadas de U, U, U são conhecidas em relação à base {E, E, E }, digamos U = (a, a, a ) = a E + a E + a E, U = (a, a, a ) = a E + a E + a E, U = (a, a, a ) = a E + a E + a E Para conhecer as coordenadas de E, E, E em relação à base {U, U, U } temos, portanto, que resolver os três sistemas lineares (, 0, 0) = a (a, a, a ) + a (a, a, a ) + a (a, a, a ), (0,, 0) = a (a, a, a ) + a (a, a, a ) + a (a, a, a ), (0, 0, ) = a (a, a, a ) + a (a, a, a ) + a (a, a, a ) Estes três sistemas lineares tem a mesma matriz de coeficentes A = a a a a a a ; a a a eles diferem apenas em suas matrizes de coeficientes independentes De fato, os três sistemas lineares são 0 = a a a a a a a a, 0 a a a a 0 = a a a a a a a a, 0 a a a a 0 0 = a a a a a a a a a a a a Como sabemos, a melhor estratégia para resolver vários sistemas lineares que têm uma matriz de coeficientes comum é calcular a inversa desta matriz Mais ainda no nosso caso, nós vemos que 0 0 a a a a a a 0 0 = a a a a a a 0 0 a a a a a a donde isto é, a a a a a a a a a = A = [A ] a a a a a a a a a,

4 Este resultado era de se esperar, pois a matriz A é a matriz de mudança de coordenadas da base {U, U, U } para a base {E, E, E } Exemplo Encontre as coordenadas do ponto P = (4,, ) em relação ao novo sistema de coordenadas cuja origem coincide com a origem (0, 0, 0) e cuja base é dada pelos vetores (,, ), (, 0, 4) e (0,, ) Solução: Formando a matriz A cujas colunas são dadas pelas coordenadas dos vetores da base do novo sistema de coordenadas A = 0 0, 4 sabemos que a matriz A de mudança de coordenadas do sistema {i, j, k} para o novo sistema de coordenadas é a inversa desta matriz Logo, usando qualquer um dos métodos que aprendemos para calcular a inversa de uma matriz, obtemos A = = Assim, as coordenadas de P no novo sistema de coordenadas são 4 4 = isto é, (0,, 7) A situação é muito mais simples quando a base {U, U, U } do novo sistema de coordenadas é uma base ortonormal, pois neste caso temos E i U j = a ji U j U j = a ji, de modo que obtemos a matriz de mudança de coordenadas sem precisar de calcular a inversa de uma matriz: A = E U E U E U E U E U E U E U E U E U Exemplo Encontre as coordenadas do ponto P = (4,, ) em relação ao novo sistema de coordenadas cuja origem coincide com a origem (0, 0, 0) e cuja base é dada pelos vetores ortonormais ( ) U =,, 0, ( ) U = 6, 6,, ( ) U =,, Solução: A matriz A de mudança de coordenadas do sistema {i, j, k} para o novo sistema de coordenadas é dada por A = i U j U k U 0 i U j U k U = i U j U k U 4,

5 Portanto, e as coordenadas de P no novo sistema de coordenadas são = ( 6,, 6, ) Observe neste último exemplo que a matriz A de mudança de coordenadas do sistema {i, j, k} para o sistema {U, U, U } é exatamente a transposta da matriz A de mudança de coordenadas do sistema {U, U, U } para o sistema {i, j, k} De fato, esta última é simplesmente, como vimos acima, a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores U, U, U na base {i, j, k} Como A = [A ], segue que = ou seja, a inversa de A é a sua transposta A Isto não é coincidência Sempre que as colunas de uma matriz formam uma base ortonormal de vetores para R n, a inversa desta matriz é a sua transposta Isso não é difícil de ver: segue da própria definição do produto de matrizes, onde cada elemento da matriz produto pode ser visto como o produto escalar de um vetor-linha da primeira matriz por um vetor-coluna da segunda Proposição Seja {U,, U n } uma base de vetores ortonormais para R n Considere a matriz P = [U U n ] cujas colunas são formadas pelas coordenadas destes vetores Então P = P t, Prova: Temos U P t U [ ] P = U U U n = U n U U U U U U n U U U U U U n U n U U n U U n U n = Matrizes que satisfazem esta propriedade, isto é, cuja inversa é a sua própria transposta, são chamadas matrizes ortogonais Um sistema de coordenadas {O, U, U, U } em que os vetores U, U, U são ortonormais é chamado um sistema de coordenadas ortogonal Como vimos no Exemplo, é muito fácil obter a matriz de mudança de coordenadas da base {i, j, k} para um sistema de coordenadas ortogonal Proposição Sejam U, U, U vetores ortonormais para R Então a matriz de mudança de coordenadas do sistema de coordenadas canônico para o sistema {O, U, U, U } é simplesmente a matriz cujas linhas são os vetores U, U, U Mudança de Coordenadas através de uma Translação no Plano Existem duas maneiras equivalentes de se enxergar uma translação (e o mesmo vale para uma rotação) como uma mudança de coordenadas Na primeira, imaginamos que a transformação é efetuada no sistema de eixos coordenados, isto é, os pontos do plano são considerados imóveis enquanto que os eixos de coordenadas se movem até atingir uma posição final onde são considerados eixos coordenados de um novo sistema de coordenadas, de maneira que um mesmo ponto do plano passa a ser representado por coordenadas diferentes no novo sistema de eixos coordenados Na segunda, imaginamos que os eixos coordenados estão fixados e a transformação é realizada em todos os pontos do plano, isto é, eles passam a ocupar novas coordenadas 5

6 em relação às coordenadas que ocupavam anteriormente (como se fisicamente fossem transportados para novas posições); quando atingem a sua posição final em cada ponto eles tem novas coordenadas, os eixos coordenados que não se moveram são considerados eixos de um novo sistema de coordenadas Ambas as maneiras de enxergar são válidas e úteis Além disso elas são completamente equivalentes em termos matemáticos: tudo o que é realizado por uma também é realizado pela outra Qual delas escolhemos vai depender do problema tratado e principalmente da maneira de raciocinar do estudante, ou seja, com qual modo de pensar ele se sente mais confortável e vê as coisas com mais clareza Suponha que temos coordenadas cartesianas xy no plano O que isso significa? Em primeiro lugar, escolhemos um ponto arbitrário do plano e chamamos este ponto de origem do nosso sistema de coordenadas Usualmente denotamos ele por O Em seguida, a partir dele, traçamos duas retas perpendiculares (ou seja, escolhemos duas retas perpendiculares que se interceptam em O) Estas retas serão chamadas os eixos coordenados do nosso sistema de coordenadas Chamamos uma das retas de eixo x e a outra reta é chamada de eixo y Sabemos medir distâncias no plano, logo sabemos dizer qual é a distância de qualquer ponto em cada eixo coordenado até a origem Em cada eixo coordenado existem exatamente dois pontos que estão à mesma distância da origem De fato, a origem O divide cada uma das retas perpendiculares em duas semi-retas; em outras palavras, divide os dois eixos em dois semi-eixos Pontos de um dos semi-eixos x recebem coordenadas ( a, 0), enquanto que pontos do outro semi-eixo x recebem coordenadas (a, 0), onde a é a distância do ponto no eixo até a origem; o primeiro é chamado o semi-eixo x positivo e o segundo é o semi-eixo x negativo Analogamente, pontos de um dos semi-eixos y recebem coordenadas (0, a), enquanto que pontos do outro semi-eixo y recebem coordenadas (0, a), onde novamente a é a distância do ponto no eixo até a origem; o primeiro é chamado o semi-eixo y positivo e o segundo é o semi-eixo y negativo Como é feita a escolha de qual semi-eixo é o semi-eixo positivo e qual é o semi-eixo negativo? A escolha dos semi-eixos positivos e negativos, chamada orientação dos eixos ou do sistema de coordenadas, é feita de tal modo que quando giramos o eixo x no sentido anti-horário de um ângulo de 90 graus para coincidir com o eixo y, pontos com coordenadas positivas (a, 0) coincidem com pontos com coordenadas positivas (0, a) e pontos com coordenadas negativas ( a, 0) coincidem com pontos com coordenadas negativas (0, a); outro modo de dizer isso é que o semi-eixo x positivo coincide com o semi-eixo y positivo, e o semi-eixo x negativo coincide com o semi-eixo y negativo Um ponto P do plano tem coordenadas x, y se, quando traçamos por este ponto a reta perpendicular ao eixo x, ela vai interceptar este eixo em um ponto com coordenadas (x, 0), e quando traçamos por este ponto a reta perpendicular ao eixo y, ela vai interceptar este eixo em um ponto com coordenadas (0, y) Desta forma, a cada ponto do plano são atribuídas coordenadas de maneira única (i e, diferentes pontos têm coordenadas diferentes e dadas as coordenadas podemos localizar no plano o ponto que têm exatamente estas coordenadas) O que acontece quando transladamos (deslocamos) o sistema de coordenadas xy pelo vetor (a, b)? Obtemos um novo sistema de coordenadas x y cujos eixos são paralelos e na mesma orientação dos eixos do sistema original xy, e cuja origem O ocupa o ponto que tem coordenadas (a, b) no sistema de coordenadas original xy Observe que a única coisa que movemos aqui foram os eixos coordenados Os pontos do plano não foram movidos Em outras palavras, tudo o que fizemos foi escolher outro ponto do plano como origem O de um novo sistema de coordenadas; escolhemos como origem O o ponto do plano que ocupava as coordenadas (a, b) no sistema de coordenadas original A partir desta nova origem, traçamos novos eixos coordenados, ou seja escolhemos duas retas perpendiculares, e escolhemos elas paralelas aos eixos coordenados do sistema original e com a mesma orientação O plano em si (o espaço ambiente) não sofreu nenhuma alteração Assim, um mesmo ponto P no plano pode ser representado em coordenadas em relação ao sistema de coordenadas xy ou em coordenadas em relação ao sistema de coordenadas x y Estas coordenadas serão diferentes quando passamos de um sistema de coordenadas para outro Se conhecemos as coordenadas de um ponto P em relação a um dos sistemas de coordenadas, podemos obter as coordenadas de P em relação ao outro sistema de coordenadas Observe a figura a seguir: 6

7 y y' P y' OP O'P b OO' O' x' O a x' x Se sabemos que um ponto P do plano tem coordenadas (x, y ) no sistema linha (em vermelho), podemos ver que as coordenadas de P em relação ao sistema xy (em preto) são: { x = x + a y = y + b Reciprocamente, se sabemos que um ponto P do plano tem coordenadas (x, y) no sistema xy, podemos ver que as suas coordenadas em relação ao sistema linha são: { x = x a y = y b Podemos pensar também em termos de deslocamentos Façamos o seguinte raciocínio: para sairmos da origem O e chegarmos ao ponto P podemos ir diretamente (vetor OP ) ou podemos passar pela origem do sistema de coordenadas linha, ou seja, podemos ir até essa origem (vetor OO ) e, dela, irmos até P (vetor O P ) Em outras palavras (regra do triângulo para a soma de vetores): Os vetores acima possuem coordenadas dadas por: Logo: OP = OO + O P OP = (x, y), OO = (a, b), O P = (x, y ) 7

8 (x, y) = (x, y ) + (a, b) Concluímos esta seção com a seguinte observação Ao invés de uma mudança de coordenadas, a translação pode ser pensada como uma transformação que desloca todos os pontos do plano pelo vetor (a, b), ou seja, a diferença entre o ponto final e o ponto inicial do deslocamento é exatamente o vetor (a, b) Podemos imaginar esta translação como uma transformação que pega um ponto que ocupava a posição (x, y) e leva ele para a posição (x, y) + (a, b) (os pontos são portanto deslocados a unidades na direção x e b unidades na direção y) Em notação funcional ou notação de transformação, o ponto (x, y) é levado para a posição T (x, y) dada por T (x, y) = (x, y) + (a, b) Se denotarmos [ x X = y ] [ a e V = b ], a transformação de translação pode ser denotada mais sucintamente por O vetor V é chamado o vetor de translação T (X) = X + V Mudança de Coordenadas através de uma Rotação no Plano Ao invés de transladar os eixos coordenados, podemos querer girá-los em torno da origem Esta também é uma mudança de coordenadas No caso da translação, a origem do sistema de coordenadas original é deslocada para um outro ponto Os novos eixos coordenados são paralelos aos eixos coordenados originais Ou seja, o eixo x é paralelo ao x, assim como o eixo y é paralelo ao eixo y No caso de uma rotação, a origem O permanece fixa e os eixos são girados de um ângulo θ, no sentido anti-horário O sistema de coordenadas resultante dessa rotação será também denotado por x y Novamente, apenas os eixos coordenados se movem Os pontos restantes do plano permanecem na mesma posição e são representados por coordenadas diferentes dependendo a que sistema de coordenadas nos referimos, ao sistema xy ou ao sistema x y É como se simplesmente escolhêssemos um outro par de retas perpendiculares a partir da mesma origem, um par de retas fazendo um ângulo θ com o par de retas original Como vimos no início deste texto, quando queremos representar o ponto P em um outro sistema de coordenadas com a mesma origem, basta escolhermos outros vetores canônicos i e j geradores do sistema x y, ou seja, vetores unitários na direção dos eixos coordenados deste sistema (estamos sempre supondo que usamos a mesma escala, isto é, a mesma medida de comprimento nos dois eixos) Ou seja, desta vez representaremos o vetor OP como uma combinação linear de i e j Podemos escrever: OP = xi + yj = x i + y j Precisamos encontrar a relação entre os vetores i e j em relação aos vetores i e j, para podermos determinar x e y em função de x e y, e vice-versa, como fizemos acima Observe a figura a seguir: 8

9 y y' x' j j' i' i x Como i e j são ambos vetores de comprimento, vemos facilmente que: a componente horizontal de i é cos θ e a vertical é sen θ; assim, podemos escrever: i = cos θi + sen θj a componente horizontal de j é cos(θ + 90) = sen θ e a vertical é sen(θ + 90) = cos θ; logo, podemos escrever: j = sen θi + cos θj Substituindo as expressões encontradas para i e j, obtemos Em outras palavras, xi + yj = x [cos θi + sen θj] + y [ sen θi + cos θj] = [x cos θ y sen θ]i + [x sen θ + y cos θ]j { x = x cos θ y sen θ y = x sen θ + y cos θ o que dá as coordenadas x, y em função das coordenadas x, y Isso pode ser escrito em notação matricial como [ ] [ ] [ ] x cos θ sen θ x = y sen θ cos θ y Calculando a inversa da matriz obtida, podemos obter as novas coordenadas x, y em função das coordenadas originais x, y Como esta matriz é uma matriz ortogonal, sua inversa é a sua transposta, portanto [ ] [ x cos θ sen θ y = sen θ cos θ ] [ x y ] 9

10 A matriz [ ] cos θ sen θ R = sen θ cos θ é chamada a matriz de rotação do sistema de coordenadas x, y para o sistema de coordenadas x, y Portanto, temos X = RX e X = R X Ao invés de uma mudança de coordenadas, a rotação pode ser pensada como uma transformação que gira todos os pontos do plano em torno da origem pelo ângulo θ Neste caso, o sistema de coordenados é considerado fixado, não se altera, e RX dá então as novas coordenadas do ponto neste mesmo sistema de coordenadas depois que ele (o ponto) foi girado Em notação de transformação, o ponto X é levado no ponto T (X) que é dado por T (X) = RX Transformações Lineares Definição Uma transformação linear de R n é uma função T : R n R n que satisfaz as seguintes propriedades: (i) T (v + w) = T (v) + T (w) para todos os vetores v, w R n ; (ii) T (αv) = αt (v) para todos os vetores v R n e para todos os escalares α R Uma transformação linear de R n transforma vetores em R n em outros vetores, de uma maneira linear Para começar a entender o que isso quer dizer, note que T transforma a reta que passa pela origem e tem direção v, na reta que passa pela origem e tem direção T (v) Em geral, T transforma planos em planos e subespaços vetoriais em subespaços vetoriais Os próximos exemplos ilustram algumas das diferentes formas que uma transformação linear pode assumir Exemplos Considere os seguintes exemplos de transformações lineares a) A transformação linear T : R R dada por T (v) = 5v Ela é chamada uma dilatação por motivos óbvios: seu efeito é transformar qualquer vetor de IR em um vetor com a mesma direção e sentido, mas com cinco vezes o comprimento original Analogamente, a transformação T : R 4 R 4 dada por T (v) = 7v é uma transformação linear, chamada uma contração, ou seja, ela transforma um vetor de R 4 em um vetor com a mesma direção e sentido, mas com apenas um sétimo do comprimento original [Em geral, dizemos que uma transformação linear T : R n R n definida por T (v) = λv é uma dilatação se λ ; se λ, dizemos que T é uma contração] b) Considere agora a transformação linear T : R R definida por T ((x, y)) = (x, y) Considerando a base {(, 0), (0, )} de R, note que T ((, 0)) = (, 0), enquanto que T ((0, )) = (0, ); ou seja, o efeito de T em vetores que tem a mesma direção de i = (, 0) é um efeito de dilatação, enquanto que seu efeito sobre vetores que tem a mesma direção de j = (0, ) é um de contração; diferente dos casos analizados em (a), temos dilatação em uma direção e contração na outra Geometricamente, T transforma círculos centrados na origem em elipses centradas na origem, cujos eixos maiores tem a direção de i, enquanto que seus eixos menores tem a direção de j c) Defina T : R R por T ((x, y)) = (x, 0) O efeito de T é colapsar vetores na direção j até o vetor nulo, enquanto vetores na direção de i não são tocados Em outras palavras, T faz desaparecer a componente y do vetor, levando todo o espaço R sobre o eixo x T é um exemplo de uma projeção d) Considere a transformação linear T : R R definida por T ((x, y)) = (x cos θ y sin θ, x sin θ + y cos θ) T é uma rotação (anti-horária) do plano R de um ângulo θ Por exemplo, o vetor i = (, 0) é transformado no vetor (cos θ, sin θ), enquanto que o vetor j = (0, ) é transformado no vetor ( sin θ, cos θ) Veja a figura A transformação linear T : R R definida por T ((x, y, z)) = (x cos θ 0

11 y sin θ, x sin θ + y cos θ, z) é uma rotação do plano xy em IR de um ângulo θ em torno do eixo z Note que uma rotação não causa dilatação ou contração em nenhuma direção; é um exemplo de uma transformação linear que conserva comprimentos e distâncias entre pontos (por isso é chamada uma isometria) e) A transformação linear T : R R definida por T ((x, y)) = (x, y) é uma reflexão do plano R em relação ao eixo x A transformação linear T : R R definida por T ((x, y, z)) = (x, y, z) é uma reflexão de R em relação ao plano xy Reflexões são outros exemplos de transformações lineares que conservam comprimentos e distâncias (ou seja, são também isometrias) Os exemplos acima dão uma idéia dos efeitos de uma transformação linear em R n : em geral uma transformação linear é uma combinação de dilatações, contrações, rotações e reflexões Ou seja, alguns subespaços podem ser dilatados, outros contraídos, outros apenas girados com relação a algum eixo de rotação, enquanto que outros são simplesmente refletidos Da mesma maneira que um subespaço é completamente especificado uma vez que conhecemos uma base para ele (pois todo vetor do subespaço se escreve, de maneira única, como uma combinação linear dos vetores da base), da mesma forma uma transformação linear é completamente conhecida uma vez que os seus efeitos sobre os vetores da base são conhecidos Para entender isso, dada uma transformação linear T : R n R n, escolha uma base {e, e,, e n } para R n Todo vetor v R n se escreve de maneira única na forma v = x e + x e + + x n e n para alguns escalares determinados x,, x n Então, usando as propriedades definidoras de uma transformação linear, temos que T (v) = T (x e + x e + + x n e n ) = T (x e ) + T (x e ) + + T (x n e n ) = x T (e ) + x T (e ) + + x n T (e n ) Portanto, dado v, para saber o que é T (v) basta saber o que são T (e ), T (e ),, T (e n ) A utilidade desta observação fica ainda mais clara uma vez que empregarmos notação matricial Note que T (e ), T (e ),, T (e n ) são vetores de R n, logo eles também se escrevem como combinação linear dos vetores e, e,, e n da base Assim, devem existir escalares a ij tais que T (e ) = a e + a e + + a n e n, T (e ) = a e + a e + + a n e n, T (e n ) = a n e + a n e + + a nn e n Lembrando que podemos identificar vetores (x, x,, x n ) de R n com matrizes-coluna x x, x n segue que T (v) = T ((x, x,, x n )) é dada através da multiplicação da matriz A = (a ij ) e a matriz coluna (x, x,, x n ): a a a n x a a a n x T (v) = Av = a n a n a nn x n

12 Em outras palavras, dada uma base {e, e,, e n } de R n, podemos identificar uma transformações linear de R n com uma matriz n n Note que as colunas de A são exatamente as coordenadas de T (e ), T (e ),, T (e n ) na base {e, e,, e n } Exemplos Vamos encontrar as matrizes das transformações lineares dos exemplos acima com relação às bases-padrão de R n a) A transformação linear T : R R, T (v) = 5v, com relação à base {i, j, k} é representada pela matriz diagonal A = Assim, se quisermos encontrar as coordenadas de T ((,, )), ou seja, as coordenadas do vetor de R em que o vetor (,, ) é transformado através de T, basta calcular T ((,, )) = = Similarmente, a transformação T : R 4 R 4, T (v) = 7v, é representada na base {(, 0, 0, 0), (0,, 0, 0), (0, 0,, 0), (0, 0, 0, )} pela matriz diagonal A = b) A transformação linear T : R R, T ((x, y)) = (x, y), é representada na base {i, j} pela matriz diagonal A = ( 0 0 c) T :IR IR, T ((x, y)) = (x, 0), e representada na base {i, j} pela matriz diagonal ( ) 0 A = 0 0 d) A rotação T : R R, T ((x, y)) = (x cos θ y sin θ, x sin θ + y cos θ), é representada na base {i, j} pela matriz ( ) cos θ sin θ A = sin θ cos θ Por exemplo, se θ = π/ (rotação anti-horária por um ângulo de 60 ), a matriz de rotação é ( ) e T ((, )) = ( A = ) ) (, ) ( = ) +

13 A rotação T : R R, T ((x, y, z)) = (x cos θ y sin θ, x sin θ + y cos θ, z), é representada na base {i, j, k} por cos θ sin θ 0 A = sin θ cos θ e) T : R R, T ((x, y)) = (x, y), é representada na base {i, j} pela matriz ( ) 0 A = 0 A transformação linear T : R R, T ((x, y, z)) = (x, y, z), é representada na base {i, j, k} por A = A escolha da base é fundamental A mesma transformação linear terá evidentemente diferentes representações matriciais para diferentes escolhas de base Conforme a escolha da base, a matriz pode assumir uma forma mais simples ou mais complicada Exemplo Considere a transformação linear T : R R definida por ( T ((x, y, z)) = 8 x 4 y z, x + y + z, 8 x + 4 y ) 8 z Esta transformação linear é representada na base {i, j, k} pela matriz A = Mas, se tomarmos os vetores V = (,, ), V = (, 0, ) e V = (,, 0), notamos o seguinte: T V = A = 4 8 = 4 = 4V, T V = A 0 = 0 = 0 V, T V = A = 4 = = V Note que os vetores V, V, V são L I, logo eles também formam uma base para R De acordo com os cálculos que fizemos acima, a transformação linear T é representada com relação à base {V, V, V } pela matriz B = , 0 0 uma matriz diagonal!

14 Portanto, dada uma transformação linear, é uma tarefa importante encontrar um sistema de coordenadas em que ela é representada na forma mais simples possível Esta forma simples imediatamente nos dá informações que caracterizam a transformação linear dada No exemplo dado acima, um simples olhar em B nos diz que a transformação é uma dilatação em duas direções (com coeficientes de dilatação 4 e, respectivamente) e uma reflexão seguida de dilatação (com coeficiente ) na terceira direção; já da forma de A por si só, não é possível obter nenhuma informação útil 4