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1 Professor: Edney Melo ALUNO(A): Nº TURMA: TURNO: DATA: / / COLÉGIO: 1. Cálculo Diferencial Em vários ramos da ciência, é necessário algumas vezes utilizar as ferramentas básicas do cálculo, inventadas por Newton, para descrever os fenômenos físicos. O uso do cálculo é fundamental no tratamento de vários problemas na mecânica newtoniana, na eletricidade e no magnetismo. Nesta nota de aula, enunciamos simplesmente algumas propriedades básicas e regras práticas que devem ser uma revisão útil para o estudante. Inicialmente, é necessário especificar uma função que relaciona uma variável a outra variável (por exemplo, uma coordenada como função do tempo). Suponha que uma das variáveis seja chamada y (a variável dependente) e a outra, x (a variável independente). Poderíamos ter uma relação funcional como Se a, b, c e d são constantes especificadas, então y pode ser calculado para qualquer valor de x. Lidamos geralmente com funções contínuas, isto é, aquelas para as quais y varia suavemente com x. A derivada de y em relação a x é definida como o limite das inclinações das cordas traçadas entre dois pontos na curva y contra x, quando x se aproxima de zero. Matematicamente, escrevemos essa definição como em que y e x são definidos como x = x 2 x 1 e y = y 2 y 1 (conforme a figura abaixo). É importante observar que dy/dx não significa dy dividido por dx, mas é simplesmente uma notação para o processo-limite da derivada como definida pela equação acima. Uma expressão útil para lembrar quando y(x) = ax n, em que a é uma constante e n é qualquer número positivo ou negativo (inteiro ou fracionário), é Se y(x) é uma função polinomial ou algébrica de x, aplicamos a equação anterior para cada termo no polinômio e tomamos d[constante]/dx = 0. Nos exemplos 1 a 4, calculamos as derivadas de várias funções. -Exemplo 1: Suponha que y(x) seja dada por Em que a e b são constantes. Segue-se então que de forma que

2 Substituindo isso na equação que traduz a definição de derivada, obtém-se - Exemplo 2: Encontre a derivada de Solução: Aplicando a equação na qual está contida a definição de derivada a cada termo independentemente, e lembrando que d/dx (constante) = 0, temos: 2. Propriedades especiais da derivada - A derivada do produto de duas funções. Se uma função f(x) é dada pelo produto de duas funções, digamos, g(x) e h(x), então a derivada de f(x) é definida como: - A derivada da soma de duas funções. Se uma função f(x) é dada pela soma de duas funções, digamos, g(x) e h(x), então a derivada de f(x) é definida como: - A regra da cadeia do cálculo diferencial. Se y = f(x) e x = g(z), então dy/dz pode ser escrita como o produto de duas derivadas: - A derivada segunda. A derivada segunda de y em relação a x é definida como a derivada da função dy/dx (a derivada da derivada). È escrita geralmente como: - Exemplo 3: Encontre a derivada em relação a x da função Solução: Podemos reescrever a função da seguinte forma e aplicando a propriedade da derivada do produto, temos: 2

3 - Exemplo 4: Uma fórmula útil a partir da derivada do produto é a derivada do quociente de duas funções. Mostre que: Solução: Podemos escrever o quociente entre as duas funções com sendo gh -1 e aplicando as propriedades já conhecidas, temos: 3. Tabela de derivadas Algumas das derivadas de funções utilizadas mais comumente estão listadas na tabela abaixo. 3

4 4. Cálculo integral Pensamos na integração como o inverso da derivação. Como um exemplo, considere a expressão: que foi o resultado da diferenciação da função no exemplo 1. Podemos escrever a expressão inicial da seguinte forma e obter y(x) pelo somatório de todos os valores de x. Matematicamente, escrevemos essa operação inversa como: Para a nossa função analisada, temos que: em que c é uma constante de integração. Esse tipo de integral é chamado de integral indefinida porque seu valor depende da escolha de c. Uma integral indefinida geral I(x) é definida como: em que f(x) é chamado de integrando e f(x) = di(x)/dx. Para uma função contínua geral f(x), a integral pode ser descrita como a área sob a curva limitada por f(x) e pelo eixo x, entre dois valores especificados de x, digamos, x 1 e x 2, como na figura a seguir. A área do elemento sombreado mais escuro é de aproximadamente f(x i ) x i. Se somamos todos esses elementos de área de x 1 até x 2 e tomamos o limite dessa soma quando x i 0, obtemos a área exata sob a curva limitada por f(x) e pelo eixo x, entre os limites x 1 e x 2 : Integrais do tipo definido por essa equação são chamadas integrais definidas. Uma integral comum que surge em várias situações práticas possui a forma 4

5 Esse resultado é óbvio, pois a diferenciação do lado direito em relação a x fornece f(x) = x n diretamente. Se os limites de integração são conhecidos, essa integral torna-se uma integral definida e é escrita como: Exemplos: 5. Integração parcial Algumas vezes é útil aplicar o método de integração parcial (também chamado de integração por partes ) para calcular certas integrais. O método utiliza a propriedade que: em que u e v são escolhidas cuidadosamente de forma a reduzir uma integral complexa em uma mais simples. Em muitos casos, várias reduções têm de ser feitas. Considere a função Ela pode ser calculada integrando duas vezes por partes. Primeiro, se escolhermos u = x 2, v = e x, obtemos: Agora, no segundo termos, escolhendo u = x, v = e x, obtém-se: 6. A diferencial exata Outro método útil para lembrar é a utilização da diferencial exata, na qual procuramos uma mudança de variável tal que a diferencial da função seja a diferencial da variável independente aparecendo no integrando. Por exemplo, considere a integral Esta se torna fácil de calcular se escrevemos a diferencial como d(cos x) = - (sen x) dx. A integral torna-se então: Se mudarmos agora de variável, fazendo y = cos x, obtemos: 5

6 7. Tabela de Integrais A tabela a seguir lista algumas integrais indefinidas úteis. Logo desta tabela está sendo fornecida uma tabela de integrais das probabilidades de Gauss muitos utilizadas no tratamento estatístico da termodinâmica e da mecânica quântica, e outras integrais definidas. 6

7 8. Aplicações do cálculo diferencial e integral na Física A seguir resolveremos alguns problemas bem simples de Física que envolvem cálculo diferencial e integral. É ideal que você acompanhe passo a passo os problemas, desde a escolha do elemento diferencial até o método de integração utilizado. - Problema 1: Uma caixa de areia inicialmente em repouso, é puxada pelo chão por uma corda onde a tensão não pode ultrapassar 1100N. O coeficiente de atrito estático entre o chão e a caixa é 0,35. Qual deverá ser o ângulo da corda em relação à horizontal, de forma a permitir puxar a maior quantidade de areia possível? Solução: A maior dificuldade será colocar a caixa em movimento. Devemos encontrar o ângulo adequado para que a força externa seja suficiente para equilibrar a força de atrito estático máximo. Quando a caixa estiver prestes a se mover, a força resultante ainda será nula, logo: 7

8 Note que a força peso é uma função do ângulo θ e o nosso problema pede o valor desse ângulo para que o peso seja máximo. Uma função possui um valor máximo quando a derivada neste ponto de máximo é nula (ou seja, quando a inclinação da reta tangente é nula). Logo o peso será máximo quando sua derivada em relação a θ for nula, logo temos: - Problema 2: Calcule o centro de massa de uma haste com uma distribuição uniforme de massa, de comprimento L e massa M. Observação: O centro de massa de um sistema de partículas, por definição é dado por: Solução: Vamos considerar um elemento de massa dm de largura dx localizado na posição x. Como a distribuição de massa é uniforme, podemos dizer que: - Problema 3: Calcule o centro de massa de um fio em forma de arco de raio R, ângulo θ 0 e massa M. Solução: Como definido no problema anterior, temos: 8

9 Considerando que a distribuição de massa no fio é uniforme, podemos encontrar uma relação entre a quantidade infinitesimal de massa dm e o ângulo dθ que delimita essa massa, usando a proporção a seguir: A posição ( x, y ) de um elemento de massa genérico dm é pode ser expressa como: Desse modo termos: e de modo equivalente: A partir desses resultados podemos o centro de massa de outras figuras semelhantes: i. Um quarto de círculo θ 0 = π/2. ii. Um semicírculo θ 0 = π. iii. Um círculo θ 0 = 2 π. - Problema 4: Observa-se no dia-a-dia que objetos quentes e frios se esfriam o aquecem até a temperatura do ambiente ao seu redor. Se a diferença de temperatura T ente um objeto e o seu ambiente ( T = T Obj T Amb ) não 9

10 for muito grande, a taxa de resfriamento ou de aquecimento de um objeto é proporcional, aproximadamente, a essa diferença de temperatura; ou seja: onde A é constante. O sinal negativo aparece porque T diminui com o tempo se T for positivo e aumenta com o tempo se T for negativo. Essa equação é conhecida como a Lei de resfriamento de Newton. a) De que fatores depende A? Qual é a sua unidade? b) Se em algum instante t = 0 a diferença de temperatura for T 0, mostre que em um instante posterior ela será Solução: a) A constante A depende principalmente da condutividade térmica do objeto. O lado esquerdo da equação tem unidades de temperatura sobre tempo, e desse modo, a unidade de A é o inverso de tempo: s -1. b) Da equação diferencial, encontramos que: e quando integramos: ou seja Considerando as condições iniciais: chegamos a: - Problema 5: Vamos considerar uma haste de largura desprezível e massa M distribuída uniformemente ao longo do seu comprimento L. Uma partícula de massa m está colocada a uma distância s da haste, como mostra a figura a seguir. Calcule a força de interação gravitacional entre a haste e a massa pontual. Solução: Devemos calcular a força que um elemento de massa dm da haste exerce sobre a partícula. Essa força é dirigida para a haste e tem módulo: A força total que a haste exercerá sobre a partícula será a soma de todas as contribuições das massas elementares que compõe a haste. Por outro lado existe uma relação entre o elemento de massa dm e o espaço dx que ele ocupa na haste. Como a haste tem a massa distribuída uniformemente, temos a proporção: Desse modo, a força total tem a forma: Fazendo a mudança de variáveis u = L + d - x, encontramos: 10

11 ou seja - Problema 6 ( Vocês terão uma semana para resolver esse problema. No final da semana colocarei a solução completa do mesmo no click-professor, ok! Boa sorte e trabalho.) Vamos considerar uma haste de largura desprezível e massa M distribuída uniformemente ao longo do seu comprimento L. Uma partícula de massa m está colocada a uma distância s da haste, como mostra a figura abaixo. Utilizando cálculo diferencial e integral, encontre a força de interação gravitacional entre a haste e a massa pontual. 11