Derivadas Parciais. Sumário. 1 Funções de Várias Variáveis. Raimundo A. R. Rodrigues Jr. 1 de agosto de Funções de Duas Variáveis.

Transcrição

1 Derivadas Parciais Raimundo A. R. Rodrigues Jr 1 de agosto de 2016 Sumário 1 Funções de Várias Variáveis Funções de Duas Variáveis Grácos Curvas de Nível Funções com Três ou Mais Variáveis Derivadas Parciais Funções de duas variáveis Funções de mais de duas variáveis Derivadas de Ordem Superior Exercícios Funções de Várias Variáveis 1.1 Funções de Duas Variáveis Denição: Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais (x, y) de um conjunto D, um único valor real denotado por f (x, y). O conjunto D é o domínio de f, e sua imagem, o conjunto de valores possíveis de f, ou seja, {f (x, y) (x, y) D}. Exemplo 1 Determine os domínios das seguintes funções e calcule f (3, 2). (a) f (x, y) = x + y + 1 x 1 (b) f (x, y) = x ln (y 2 x) 1

2 (a) f (3, 2) = = 6 2 D = {(x, y) x + y + 1 0, x 1} (b) f (3, 2) = 3 ln ( ) = 3 ln 1 = 0 D = { (x, y) x < y 2} Exemplo 2 Determine o domínio e a imagem de f (x, y) = 9 x 2 y 2 D = { (x, y) 9 x 2 y 2 0 } = { (x, y) x 2 + y 2 9 } I = {z 0 z 3} = [0, 3] 1.2 Grácos Denição: Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráco de f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em R 3 tal que z = f (x, y) e (x, y) pertençam a D. Exemplo 3 Esboce o gráco da função f (x, y) = 6 3x 2y. O gráco de f tem a equação z = 6 3x 2y, ou 3x + 2y + z = 6, que representa um plano. Fazendo y = z = 0 temos (2, 0, 0), e analogamente temos (0, 3, 0) e (0, 0, 6). 2

3 A função do Exemplo 3 é um caso especial da função f (x, y) = ax + by + c e é chamada função linear. O gráco de uma função tem a equação z = ax + by + c ou ax + by z + c = 0, é um plano. 1.3 Curvas de Nível Denição: As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas com equação f (x, y) = k, onde k é constante (na imagem de f). Uma curva de nível f (x, y) = k é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais o valor de f é k. Em outras palavras, ela mostra onde o gráco de f tem a altura k. Exemplo 4 A gura abaixo mostra um mapa de contorno para uma função f. Utilize-o para estimar os valores de f (1, 3) e f (4, 5). f (1, 3) 73 f (4, 5) 56 Exemplo 5 Esboce o gráco das curvas de nível da função f (x, y) = 6 3x 2y para os valores k = 6, 0, 6, 12. As curvas de nível são 6 3x 2y = k ou 3x + 2y + (k 6) = 0 As quatro curvas de nível particulares pedidas com k = 6, 0, 6, 12 são 3x + 2y 12 = 0 3

4 3x + 2y 6 = 0 3x + 2y = 0 3x + 2y + 6 = 0 Exemplo 6 Esboce o gráco das curvas de nível das funções g (x, y) = 9 x 2 y 2 para k = 0, 1, 2, 3 As curvas de nível são 9 x2 y 2 = k e x 2 + y 2 = 9 k Funções com Três ou Mais Variáveis Denição: Uma função f com três variáveis é uma regra que associa a cada tripla ordenada (x, y, z) de um conjunto D R 3 um único valor real denotado por f (x, y, z). Exemplo 7 Determine o domínio de f (x, y, z) = ln (z y) + xy sin z D = { (x, y, z) R 3 z > y } Exemplo 8 Determine as curvas de superfície da função f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 4

5 Fazer exercício da pag 336, numeros 1 a 7 x 2 + y 2 + z 2 = k 2 Derivadas Parciais 2.1 Funções de duas variáveis Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções f x e f y denidas por f x (x, y) = lim h 0 f (x + h, y) f (x, y) h f y (x, y) = lim h 0 f (x, y + h) f (x, y) h Notações para as Derivadas Parcias Se z = f (x, y), escrevemos f x (x, y) = f x = f x = z f (x, y) = x x = f 1 = D 1 f = D x f f y (x, y) = f y = f y = z f (x, y) = y y = f 2 = D 2 f = D y f Regra para Determinar as Derivadas Parciais de z = f (x, y) 1. Para determinar f x, trate y como uma constante e derive f (x, y) com relação a x. 2. Para determinar f y, trate x como uma constante e derive f (x, y) com relação a y. Exemplo 9 Se f (x, y) = x 3 + x 2 y 3 2y 2, encontre f x (2, 1) e f y (2, 1). Respostas: 16 e 8 Exemplo 10 ( ) x Se f (x, y) = sin, calcule f 1 + y x e f y. ( ) ( ) x 1 x Resposta: cos. 1 + y 1 + y e cos x. 1 + y (1 + y) 2 5

6 Exemplo 11 Determine z x e z y se z é denido implicitamente como uma função de x e y pela equação x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1 Resposta: z x = x2 + 2yz z 2 + 2xy e z y = y2 + 2xz z 2 + 2xy 2.2 Funções de mais de duas variáveis e podemos também escrever Exemplo 12 u f (x 1,..., x i 1, x i + h, x i+1,..., x n ) f (x 1,..., x i,..., x n ) = lim x i h 0 h Determine f x, f y e f z se f (x, y, z) = e xy ln z. u = f = f xi = f i = D i f x i x i Resposta: f x = ye xy ln z, f y = xe xy ln z e f z = exy z. 2.3 Derivadas de Ordem Superior (f x ) x = f xx = f 11 = x (f x ) y = f xy = f 12 = y (f y ) x = f yx = f 21 = x (f y ) x = f yy = f 22 = y ( ) f = 2 f x x = 2 z 2 x 2 ( ) f = 2 f x y x = ( ) f = 2 f y x y = 2 z y x 2 z x y ( ) f = 2 f y y = 2 z 2 y 2 Exemplo 13 Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f (x, y) = x 3 + x 2 y 3 2y 2 6

7 Resposta: f xx = 6x + 2y 3 e f xy = 6xy 2 f yx = 6xy 2 e f yy = 6x 2 y 4 Teorema de Clairaut Suponha que f seja denida em uma bola aberta D que contenha o ponto (a, b). Se as funções f xy e f yx forem ambas contínuas em D, então f xy (a, b) = f yx (a, b) Derivadas parciais de ordem 3 ou maior também podem ser denidas. Por exemplo, f xyy = (f xy ) y = y ( ) 2 f = 3 f y x y 2 x e usando o Teorema de Clairaut podemos mostrar que f xyy = f yxy = f yyx se essas funções forem contínuas. Exemplo Calcule f xxyz se f (x, y, z) = sin (3x + yz). Resposta: f xxyz = 9 cos (3x + yz) + 9yz sin (3x + yz) 2.4 Exercícios Exercícos de derivadas parciais Exercício 1 Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. f (x, y) = y 5 3xy f (x, y) = x 4 y 3 8x 2 y f (x, t) = e t cos πx f (x, t) = x ln t f (x, y, z) = y x + y + z ; f y (2, 1, 1) f (x, y) = xy 2 x 3 y; f x e f y utilizando limites 7

8 f (x, y) = x x + y 2 ; f x e f y utilizando limites x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 1, z x e z y e z = xyz, z x e z y 8