Flexão Vamos lembrar os diagramas de força cortante e momento fletor

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1 Flexão Vamos lembrar os diagramas de força cortante e momento fletor Elementos longos e retos que suportam cargas perpendiculares a seu eixo longitudinal são denominados vigas. Vigas são classificadas de acordo com o modo como são apoiadas. 1

2 Flexão Como sabemos, as tensões de cisalhamento e momento podem ser representadas em gráficos denominados diagramas de esforço cortante e de momento fletor. Neste exemplo, direções positivas indicam que a carga distribuída age para baixo na viga e a força cortante interna provoca uma rotação em sentido horário. Vamos lembrar como resolver:

3 Exemplo 1 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga dada. 3

4 Solução: Um diagrama de corpo livre do segmento esquerdo é mostrado abaixo. A aplicação das equações de equilíbrio produz no segmento AB: F y 0; M 0; P V P M x (1) () No segmento esquerdo da viga, que se estende até a distância x na região BC, temos: P P F y 0; P V 0 V (3) L P P M 0; M P x x M L x (4) 4

5 O diagrama do esforço e corte descrito pelas equações 1 e 3 O diagrama de momento fletor descrito pelas equações e 4 5

6 Exemplo Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura. 6

7 Solução: Calculamos as reações no apoio. A carga distribuída é substituída por sua força resultante. L w w L w x w 0 0 ou () ; (1) 0 1 0; M x x L x w x w L w L M x L L w V V x L x w w L F y A intensidade da carga triangular na seção é determinada por cálculo proporcional: A resultante do carregamento distribuído é determinada pela área sob o diagrama: 7

8 Diagrama do esforço de corte determinado pela equação 1 Diagrama do momento fletor determinado pela equação 8

9 Exemplo 3 Represente graficamente os diagramas do esforço cortante e do momento fletor para a viga mostrada a seguir 9

10 Solução: Duas regiões devem ser consideradas para descrever o esforço de cisalhamento e o momento da viga inteira. 0 x 1 5 m, F y 0; M 0; 5,75V 805,75x 0 V 1 5,75kN M 0 M (1) 5,75x 80 knm () 1 5 m x M 1 F 10 m, y 0; 0; 5, ,75x M x 5V 0 V 15,75 5x 15 x 5 5x 5,5x 15,75x 9,5 knm (4) x 5 M kn (3) 0 10

11 Diagrama do esforço de corte determinado pelas equações 1 e 3 Diagrama do momento fletor determinado pelas equações e 4 11

12 Método gráfico para construir diagramas de esforço cortante e momento fletor Regiões de carga distribuída Essas duas equações proporcionam um meio conveniente para se obter rapidamente os diagramas de força cortante e momento fletor para uma viga: inclinação do diagrama de força cortante em cada ponto dv dx w x intensidade da carga distribuída em cada ponto inclinação do diagrama de momento em cada ponto dm V dx Cisalhamento (força cortante) em cada ponto 1

13 Podemos integrar essas áreas entre quaisquer dois pontos para determinar as mudanças nos diagramas: mudança no esforço de corte V w xdx área sob a carga distribuída mudança no momento M V xdx área sob o diagrama de força cortante 13

14 Regiões de força e momento concentrados Alguns dos casos comuns de carregamento: 14

15 Exemplo 4 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 15

16 Solução: As reações são mostradas no diagrama de corpo livre : De acordo com a convenção de sinal, em x = 0, V = +P e em x = L, V = P. Visto que w = 0, a inclinação do diagrama de força cortante será zero, portanto: dv dx w 0 em todos os pontos Para o diagrama de força cortante de acordo com a convenção de sinal, em x = 0, M = PL e em x = L, M = 0. O diagrama de força cortante indica que o cisalhamento é positivo constante. Portanto, dm dx V P emtodos os pontos 16

17 Exemplo 5 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 17

18 Solução: A reação no apoio fixo é mostrada no diagrama de corpo livre: Visto que não existe nenhuma carga distribuída na viga, o diagrama de força cortante terá inclinação nula em todos os pontos. Pelo diagrama de força cortante, a inclinação do diagrama de momento será nula. V = 0. 18

19 Exemplo 6 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 19

20 Solução: A reação nos apoios foram calculadas e são mostradas no diagrama de corpo livre: A carga distribuída na viga é positiva, porém decrescente. Portanto, a inclinação é negativa decrescente. A curva do diagrama de momento que apresenta esse comportamento de inclinação é uma função cúbica de x. 0

21 Deformação por flexão de um elemento reto Analisaremos vigas submetidas exclusivamente a esforços de flexão. Supomos que a seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se deforma por flexão (somente por flexão, sem esforços de cisalhamento). O esforço de flexão provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado. 3

22 Deformação por flexão de um elemento reto Existe um plano no interior da viga onde os elementos longitudinais não apresentam variação de comprimento (superfície neutra). Ela define os eixos neutros. A deformação longitudinal varia linearmente a partir do eixo neutro (onde é zero). A lei de Hooke permite calcular as tensões normais desenvolvidas, devidas às deformações longitudinais (quando o material é homogêneo). 4

23 A fórmula da flexão Um desenvolvimento relativamente simples permite obter a fórmula da flexão, a partir da igualdade do momento interno resultante M na seção transversal e o momento produzido pela distribuição linear das tensões normais em torno do eixo neutro. My I σ = tensão normal no membro M = momento interno I = momento de inércia y = distância perpendicular ao eixo neutro Pela regra da mão direita, na figura, o sinal negativo é de compressão já que age na direção negativa de x. 5

24 Exemplo 8 A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção transversal nessa localização. 6

25 Solução: O momento máximo interno na viga é M,5 knm. 7

26 I Por razões de simetria, o centroide C e, portanto, o eixo neutro, passa a meia altura da viga, e o momento de inercia é I Ad , ,50,0 0,50,00 0,16 0,00,3 6 4 m Aplicando a fórmula da flexão, para c = 150 mm, máx Mc I,5 0,15 301,3 10 ; máx 6 11, MPa (Resposta) 8

27 Exemplo 9 A viga mostrada na figura tem área de seção transversal em forma de um canal. Determine a tensão de flexão máxima que ocorre na viga na seção a a. 9

28 Solução: O momento interno resultante deve ser calculado em torno do eixo neutro da viga na seção a a. O eixo neutro passa pelo centroide, portanto: y ya A 0,1 0, 0,015 0,01 0,00,5 0, 0,015 0,00,5 0,05909m 59,09 mm Aplicando a equação do equilíbrio de momento sobre o eixo neutro, temos M NA 1,0 0,05909 M 0 M 4,859kNm 0;,4 O momento de inércia sobre o eixo neutro é I ,6 3 0,50,0 0,50,00, ,01 3 0,0150, 0,0150, 0,1 0, m 30

29 A tensão de flexão máxima ocorre nos pontos mais afastados do eixo neutro. máx Mc I 4,859 0, 0, ,610 16, MPa (Resposta) 31

30 Flexão assimétrica Momento aplicado ao longo do eixo principal Acontece quando a carga não é aplicada num dos planos de simetria. Podemos expressar a tensão normal resultante (após um desenvolvimento um pouco mais elaborado que o utilizado o caso anterior), em qualquer ponto da seção transversal, em termos gerais, como y, z = coordenadas do ponto medidas em relação a y, z M M z y yz M y, M z = componentes do momento interno resultante direcionados ao longo dos eixos y e z I z I y I y, I z = momentos principais de inércia calculados σ = tensão normal no ponto em torno dos eixos y e z 3

31 Orientação do eixo neutro no caso assimétrico O ângulo α do eixo neutro pode ser determinado a partir da equação anterior, considerando que no eixo neutro σ = 0. Assim: I z tg tg I y 33

32 Exemplo 10 Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 knm. Determine a tensão normal máxima na viga e a orientação do eixo neutro. 34

33 Solução: Ambas as componentes do momento são positivas. Assim temos M M y z 15cos30 15sen30 7,50 knm 1,99 knm Para este caso temos: z za A 0,050,1 0,04 0,115 0,030, 0,1 0,04 0,030, 0,0890m 35

34 Pelo teorema dos eixos paralelos, são: I I Ad, os principais momentos da inércia I I z y ,1 0,04 0,030, 0, ,040,1 0,1 0,040,089 0, ,0,03 0,0,030,115 0,089 1,3910 m m 4 A maior tensão de tração ocorre em B e a maior tensão de compressão ocorre em C. B C M I z z y M I 7,5 0,1 0,5310 7,5 0,0 0,5310 y y z 6 6 1,99 0,041 74,8 MPa 5 1,3910 1,99 0,089 90,3 MPa 5 1,39 10 (Resposta) 36

35 Em geral, y é o eixo para o momento principal de inércia mínimo, e z é o eixo para o momento principal de inércia máximo. 6 0,5310 tg 6 13, ,6 tg60 37

36 Vigas compostas Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas compostas. O método anterior é aplicável, com algumas modificações. Transformaremos um material no outro utilizando o fator de transformação, que é uma razão entre os módulos dos diferentes materiais que compõem a viga. No caso de concreto armado consideramos que o concreto sob tração não oferece nenhuma resistência (todo o esforço recairá sobre as barras de ferro). Exemplos. 38

37 Exemplo11 Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = knm, determine a tensão normal nos pontos B e C. Considere E mad = 1 GPa e E aço = 00 GPa. 39

38 Solução: Transformaremos a seção de madeira em outra feita inteiramente de aço, com a seguinte relação para sua largura b: 1 baço nbmad mm 00 A seção transformada é mostrada na figura abaixo. A localização do centroide (eixo neutro) é y ya A 0,01 0,00,150 0,095 0,0090,15 0,00,15 0,0090,15 0,03638m 40

39 Portanto, o momento de inércia em torno do eixo neutro é I NA ,150,0 0,150,00, ,01 9, ,0090,15 0,0090,150,095 0, m Aplicando a fórmula da flexão, a tensão normal em B e C é B' C 0,17 0, , , , ,6 MPa 7,87MPa (Resposta) 1 A tensão normal na madeira em B é B n B' 8,56 1,71MPa (Resposta)

40 Exemplo 1 A viga de concreto armado tem a área de seção transversal como mostra a figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 60 kn m, determine a tensão normal em cada uma das hastes de reforço de aço e a tensão normal máxima no concreto. Considere E aço = 00 GPa e E conc = 5 GPa. 4

41 Solução: A área total de aço é A aço A' na 1,5 98mm Ela equivale a uma área de concreto hipotético que resiste à tração de: aço mm 3 Agora consideramos somente está área para resistir à tração e como o eixo neutro se encontra na mesma posição do centroide ~ ya 0 h' 300h' h' 0 h' 5,37h' 0.949,33 0 h' 10,90 mm 43

42 O momento de inércia da seção transformada, calculado em torno do eixo neutro, é I , , , ,9 788,6710 mm Aplicando a fórmula da flexão à seção transformada, a tensão normal máxima no concreto é My I , conc 9,0 MPa (Resposta) máx 6 788,6710 ' conc , , ,3 MPa A tensão normal em cada uma das duas hastes é: aço n ' conc 3 3 1,3 169,84MPa (Resposta) 44

43 Vigas curvas Anteriormente assumimos que todos os elementos longitudinais tem o mesmo comprimento (vigas retas). Quando a viga não é reta, a variação linear da deformação específica ao longo da seção transversal não é mais válida (mas as seções planas continuam planas). Na figura é apresentado o corte longitudinal de uma viga curva. O plano xy é o plano de flexão e é um plano de simetria. Centroide e eixo neutro não coincidem mais. Como seção plana permanecem plana após a flexão, então a deformação longitudinal é proporcional a sua distância à superfície neutra, ou seja: δ = δ i y (a) O comprimento indeformado de qualquer elemento longitudinal é portanto a equação (a) fica: ρε = r iε i L f Li Lembrando que a deformação é Li e que = L f - L i Desta relação se obtém a distribuição das tensões normais: ε = r iε i b y = r iε i ρ b y R y = σ E Tensões de flexão e deformações específicas não são lineares com y!!! b y b 45

44 Vigas curvas A posição da superfície neutra é obtida a partir da condição F x = 0, ou seja: A σ da = r iσ i b A y ρ da = 0 Como y = R -, onde R- raio da superfície neutra, r i σ i b A R ρ ρ da = 0 Em geral a equação (b) deveria ser resolvida para cada caso particular. No caso de uma seção transversal retangular de largura t teremos: Como R é constante: r i r 0 r R ρ 0 r ρ tdρ = R 0 tdρ tdρ = 0 r i ρ r i R = r 0 r i ln r 0 ri (b) 46

45 Vigas curvas O momento interno resultante M r obtém-se em termos da tensão normal de flexão a partir da equação de equilíbrio M = 0, ou seja: M r = A (σ da) y = r iσ i b A y ρ da = r iσ i b A R ρ da ρ O valor de R obtido em (b) deve ser substituído em (c) (para cada caso particular). Uma forma conveniente de reescrever a equação (c) é: M r = r iσ i b A R ρ da R R ρ ρ Onde a segunda integral é zero (por (b)), assim teremos: A da (c) M r = r iσ i b A yda = r iσ i b A y c Onde y c é a coordenada y do centroide da área de seção transversal A, medida a partir do eixo neutro. Substituindo r iσ i b ρσ por y obtemos a tensão normal em qualquer ponto da viga curva σ = M ry ρay c = M r y (R y)ay c

46 Vigas curvas A partir da equação (b) é fácil verificar que o calculo de R se resume a obter a integral abaixo para as diferentes geometrias (caso a seção da viga não seja retangular). Na equação abaixo r R A A da r Onde: R - raio da superfície neutra A área da seção transversal r distância ao centro de curvatura 48

47 A integral pode ser calculada para várias geometrias de seção transversal. 49

48 Exemplo 13 A barra curva tem área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Se estiver sujeita a momentos fletores de 4 kn m, determine a tensão normal máxima desenvolvida na barra. 50

49 Solução: Visto que esse momento tende a diminuir o raio de curvatura da barra, ele é negativo (Regra). Assim, a área total da seção transversal é 1 3 A 0,05 0,050,03 3,510 m A localização do centroide é determinada em relação ao centro de curvatura, ponto 0. r ~ ra A 0,05 0,5 (0,05) (0,03) 0,5 0,6-3 3,510 r ~ ra A 0,3308 m A localização do eixo neutro (R): Para o retângulo, A da r 0.5 0,05 ln 0. da 0,050,8 Para o triângulo, r 0,8 0,5 A 0,11157 m 0,8 ln 0,05 0,8 0,008867m 51

50 Assim, a locação do eixo neutro é determinada por R A A da/ r 3 0,314m 3,510 0, , Aplicando a fórmula da viga curva para calcular a tensão normal em B e A, σ = My ρay c = My (R y)ay c Lembrando que: y c = coordenada y do centroide da área de seção transversal A, medida a partir do eixo neutro B A M Ar M Ar B A R r r R R r B A r R 40,314 0, 3 0, 0, ,314 0,80 3 0,800, ,5 10 3, MPa 19 MPa (Resposta) 5

51 Concentrações de tensão A tensão normal máxima em cada uma das descontinuidades ocorre na seção que passa pela menor área de seção transversal. Uma vez que K for obtido, a tensão de flexão máxima é determinada por máx K Mc I 53

52 Exemplo 14 A transição na área da seção transversal da barra de aço é obtida por filetes de redução. Se a barra for submetida a um momento fletor 5 kn m, determine a tensão normal máxima desenvolvida no aço. A tensão de escoamento é σ e = 500 MPa. 54

53 Solução: Pela geometria da barra, r h , w h ,5 Portanto K é 1,45 assim: máx K Mc I 1, ,04 0,00, MPa Este resultado indica que o aço permanece na região de deformação elástica, visto que a tensão está abaixo da tensão de escoamento (500 MPa). Vejamos agora o exemplo de uma liga metálica... 55

54 Exemplo 15 Uma viga é feita de uma liga de titânio cujo diagrama tensão-deformação pode ser aproximado, em parte, por duas retas. Se o comportamento do material for o mesmo sob tração e sob compressão, determine o momento fletor que pode ser aplicado à viga e que fará com que o material, nas partes superior e inferior da viga, seja submetido a uma deformação de 0,050 mm/mm. 56

55 Solução: O ponto onde se desenvolve a tensão elástica máxima esta a uma distância de (por geometria, ver figura da distribuição da deformação): 0,05 1,5 0,01 y y 0,3 cm 3 mm As resultantes (Tração e Compressão) e suas posições são determinadas como mostrado: T 1 y 1 C 1 0, , 1,1 11,0 mm ,6 kn 57

56 T y T y 3 3 C 0,3 C , 0,9 9 mm ,3 0, mm kN ,5 kn O momento produzido por essa distribuição de tensão normal em torno do eixo neutro é, portanto, M 33, , , knmm 5,40 knm (Resposta) 58

57 Exemplo 16 A viga mostrada na figura está sujeita a um momento inteiramente plástico de M p. Se esse momento for removido, determine a distribuição de tensão residual na viga. O material é elástico perfeitamente plástico e tem tensão de escoamento de σ e = 50 MPa. 59

58 Solução: A partir de cálculos, temos. Portanto, I 8, mm 4 máx Mc I ; adm , ,1 N/mm 85,1MPa Como esperado, r y. O ponto de tensão normal nula foi determinado por proporção. 81, y y 109,61mm 60