AULA 04 ENERGIA POTENCIAL E POTENCIAL ELÉTRICO. Eletromagnetismo - Instituto de Pesquisas Científicas

Transcrição

1 ELETROMAGNETISMO

2 AULA 04 ENERGIA POTENCIAL E POTENCIAL ELÉTRICO

3 Se um carga elétrica se move de um ponto à outro, qual é o trabalho realizado sobre essa carga? A noção de mudança de posição nos remete à noção de trabalho. A definição de trabalho é a integral do espaço variado por um objeto quando uma força é aplicada sobre ele. Assim, escrevemos: W A B = A B F d r Se o objeto em questão for uma carga elétrica q 0, e supondo que queremos trazer essa carga do infinito (r ) para uma posição r, o trabalho para mover essa carga será: r q 0 q 1 W = 4πε 0 r² dr Essa integral nos fornece a chamada energia potencial elétrica (U).

4 Resolvendo essa integral: U = q 0q 1 4πε 0 r Portanto, podemos definir, de modo geral, a energia potencial elétrica como: U r = r q 0 E d r Onde F = q 0 E. A unidade de medida da energia potencial elétrica é o joule ( J ). A força elétrica é uma força conservativa. Isso quer dizer que o trajeto feito pelas cargas elétricas é indiferente para o cálculo do trabalho (energia potencial). Em outras palavras, o trabalho depende apenas do ponto final e inicial.

5 Se tomarmos a energia potencial por unidade de carga, teremos o chamado potencial elétrico (V). Assim, o definimos como: V = U q 0 A unidade de medida do potencial elétrico é o joule/coulomb ou volt (V). Quando tratamos de cargas elementares, é conveniente usar como unidade de medida de energia o elétron-volt (ev). O elétron-volt é definido como a energia cinética adquirida por um elétron quando submetido à tensão de 1 volt. Portanto, 1 ev = 1, J.

6 Temos uma esfera condutora carregada. Sabemos que as cargas buscam a estabilidade e fazem isso na superfície externa da esfera. Logo, o campo elétrico no interior da esfera tem de ser zero (a lei de Gauss nos mostrou isso). Para um ponto P a uma distância r da esfera, o potencial é: V P = Q 4πε 0 r

7 Da definição de potencial, podemos escrever uma nova equação para o trabalho, de modo que: W = q 0 V Como vimos, o potencial é a energia potencial elétrica por unidade de carga. Logo, temos que: U r r q 0 E V r = = d r q 0 q 0 V r = r E d r Se tomarmos dois pontos fixos, então a variação do potencial será: ΔV = V f V i = r i r f E d r

8 Na figura ao lado temos uma carga positiva q. Temos dois pontos mostrados, sendo eles o ponto P e o ponto Q. Note que se calcularmos o potencial para esses dois pontos, encontraremos o mesmo valor. É fácil perceber isso pois os dois estão à mesma distância da carga q. Dizemos que P e Q estão sobre uma mesma superfície equipotencial. A superfície equipotencial é aquela onde todos os pontos tem o mesmo valor de potencial. É importante ressaltar, porém, que nem sempre dois pontos numa mesma equipotencial estarão à mesma distância da carga. A distância só será a mesma se tivermos uma única carga. Para um dipolo, por exemplo, as coisas são diferentes.

9 Na figura ao lado, é mostrado as linhas equipotenciais (superfícies equipotenciais) de um dipolo.

10 O GRADIENTE DO POTENCIAL A notação de trabalho nos diz que o mesmo é um escalar, e não um vetor. Logo, podemos escrever: W = Fdcosθ Já que o produto escalar pode ser escrito em termos do cosseno do ângulo entre os dois vetores. Agora, olhemos para o diagrama de uma superfície equipotencial. As linhas de campo elétrico são perpendiculares às linhas de superfície equipotenciais.

11 Se uma carga se move através de uma superfície equipotencial, então o trabalho sobre ela tem de ser zero. A razão é que, pelo fato do campo elétrico ser sempre perpendicular às linhas equipotenciais, então o ângulo entre eles é noventa graus, e o cosseno se torna zero. Outro modo de visualizar isso é movendo uma carga através de um percurso fechado de modo que a posição final esteja na mesma equipotencial. Assim: Logo: V f V i = A A E d r = 0 W = q 0 V A V A = 0

12 Agora vamos atentar para o seguinte: escrevemos a variação do potencial elétrico em termos da integral do produto do campo elétrico com o deslocamento ΔV = V B V A = A B E d r Logo, pela relação entre derivadas e integrais, obtemos: dv dr = E Ou em termos vetoriais: dv r = E(r) dr Portanto, se a integral do campo nos fornece o potencial, então a derivada do potencial nos fornece o campo.

13 Quando escrevemos a derivada do potencial em termos de r, estamos generalizando a derivação em termos de determinada direção. Para um caso tridimensional escrevemos: E = V V V x + y + x y z z O lado direito da nossa equação nada mais é do que o gradiente do potencial elétrico. Assim: E = V Assim, outra unidade para o campo elétrico é o volt por metro (V/m).

14 Se no interior de um condutor o campo elétrico é zero, então a derivada do potencial é zero. Isso quer dizer que o potencial deve ser constante (lembre-se que a derivada de uma constante é zero!). Portanto em qualquer ponto no interior de um condutor o potencial será o mesmo. Isso está representado no gráfico a seguir.

15 Portanto existe uma blindagem elétrica no interior de um condutor. Se você está dentro de um automóvel e um raio cai no mesmo, você não tomará choque (em hipótese alguma tente sair do carro ou acenar para alguém, você pode acabar tocando na carroceria!). Esse mecanismo de blindagem é chamado de gaiola de Faraday.

16 POTENCIAL DE VÁRIAS CARGAS O potencial de uma única carga a uma distância r é dado por: V r = q 4πε 0 r Graficamente, representamos os potenciais como:

17 Mas qual será o potencial em um ponto P se tivermos várias cargas? Ao lado temos cargas dispostas aleatoriamente. A carga q i (uma carga qualquer) produz um potencial em P dado por: V i r = 4πε 0 r r i Podemos aplicar o princípio da superposição para o potencial resultante devido às outras cargas. Mas note que o potencial é um escalar, portanto, a soma que devemos fazer é escalar (graças ao bom Pai). Assim: V P = i q i q i 4πε 0 r r i

18 Agora, vamos supor que queremos trazer várias cargas do infinito até uma determinada configuração. Logo, teremos de realizar trabalho sobre essas cargas. Portanto, a energia potencial será: q i q j U ij = 4πε 0 r i r j Mas perceba que U ij é igual a U ji, pois temos o mesmo par de cargas. Com isso, podemos tomar a média da energia (isso impede que contemos o mesmo par de cargas duas vezes): U = 1 2 i,j i j q i q j 4πε 0 r ij

19 No sistema ao lado, temos que q 1 = q, q 2 = 4q e q 3 = 2q. Queremos determinar a energia potencial desse sistema. Vamos supor que q 1 esteja em repouso e que iremos mover as outras duas cargas do infinito até a posição mostrada. Trazemos, primeiro, a carga q 2 e a colocamos no lugar. Agora trazemos a carga q 3 e a colocamos no ponto mostrado. Para mover essa ultima carga é necessário fazer um trabalho igual a soma dos trabalhos para aproximar q 3 de q 1 e aproximar q 3 de q 2. Por fim, a energia do sistema é a soma das energias potenciais dos três pares de cargas (aproximar 2 de 1, 3 de 1 e 3 de 2): U = U 12 + U 13 + U 23 U = 1 4q 2 + 2q 2 8q 2 = 10q2 4πε 0 4πε 0 d

20 Podemos reescrever a energia de um sistema de cargas da seguinte forma: q i q j = 1 1 q j q 4πε 0 r ij 2 i = 1 q 4πε 0 r ij 2 i V( r i ) i j i i U = 1 2 i,j i j O que fizemos foi tirar a carga q i em evidência e assim encontramos o potencial. Mas e se tivermos uma distribuição contínua de cargas? Como vimos para o caso do campo elétrico, aplicar o princípio da superposição não é uma boa ideia. Somar infinitas cargas pode ocupar um pouco de tempo. Assim, necessitamos aplicar uma integração. Se tivermos uma densidade de cargas dada por ρ(r ), a energia será dada por: U = 1 2 ρ r V r dv Note que nessa equação dv é uma integral de volume, mas V é o potencial!

21 POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGAS Mas é claro que não existem infinitas cargas num condutor. Portanto não é necessário calcular o potencial de infinitas cargas. Mas a quantidade que existe já é o suficiente para fazer o princípio da superposição ser inviável. Assim como fizemos com o campo elétrico para uma superfície, iremos integrar o potencial de todas as cargas na superfície. Nesse ponto, creio que não será necessária demonstrar passo a passo o que farei. Isso não é preguiça minha (mentira!) mas é apenas um cálculo a mais do que já fizemos com o campo elétrico.

22 Comecemos analisando uma barra com cargas elétricas. Qual o potencial no ponto P gerado pelas cargas presentes na barra? Como a barra possui um comprimento podemos usar a densidade linear, de modo que dq = λdx. A distância de um elemento de carga dq até o ponto P é dado pela hipotenusa r do triângulo. Portanto, da definição de potencial: L 1 λdx V = 0 4πε 0 x 2 + d 2 Note que estamos integrando da origem da barra até o fim da barra, ou de 0 a L. Fazendo a integral em função de x: V = λ ln L + L2 + d 2 4πε 0 d

23 Quando calculamos o campo elétrico gerado por um disco no ponto P encontramos que o mesmo vale: E z = σ z 1 2ε 0 R 2 + z 2 1/2 Sabemos que o potencial é dado por: V = E d r Atente que d r é o diferencial da posição do ponto P e não do raio. Portanto, para o caso do nosso disco, d r = d z. Assim, podemos integrar nosso campo em função de z e obter o potencial para o disco carregado: V z = σ 2ε 0 R 2 + z 2 1/2 z

24 Para calcular o potencial gerado por um anel carregado podemos simplesmente integrar o campo como fizemos anteriormente. Para um anel, o campo elétrico é: E = 1 qx 4πε 0 a 2 x + x2 3/2 Logo, integrando em termos de x: V x = 1 q 4πε 0 a 2 + x 2

25 Até esse ponto vimos como calcular o campo elétrico e o potencial elétrico formado por cargas distribuídas numa superfície. Agora, como são distribuídas essas cargas? Será que a distribuição é uniforme? Até agora estudamos esferas, discos, anéis, mas e se tivermos um objeto com uma geometria um pouco diferente? Será que a distribuição será uniforme como nesses casos anteriores?