Cálculo II. Derivadas Parciais

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1 Cálculo II Derivadas Parciais

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3 (I) (II)

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18 Definição Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções f x e f y definidas por f x ( x, y) lim h 0 f ( x h, y) f( x, y) h f y ( x, y) lim h 0 f ( x, y h) f ( x, y) h

19 Para calcular a derivada parcial 1. Para achar f x, olhe y como constante e diferencie f (x,y) com relação a x. 2. Para achar f y, olhe x como constante e diferencie f (x,y) com relação a y.

20 Notações Se z = f (x,y) escrevemos f ( x, y) f x x f f ( x, y) x x z 1 x f 1 D f Dx f f ( xy, ) f y y f f ( x, y) y y z f 2 y 2 D f Dy f

21 Exemplo 1 Se f ( xy, ) x 3 xy 2 3 2y 2 determine f x (2,1) e f y (2,1)

22 Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais

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28 Interpretação Geométrica

29 Exemplo Se f ( x, y) 4 x 2y ache f x (1,1) e f y (1,1) e interprete esses números como inclinações.

30 Exemplo 1 fx

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32 Exemplo 3 x f f Se f( x, y) sen, calcule e. 1 x y y

33 Funções de mais de uma variável Se u é uma função de n variáveis, u f ( x1, x2, x n ), sua derivada parcial em relação à i-ésima variável x i é u x i f ( x,, x, x h, x,, x ) f ( x,, x,, x ) lim 1 i 1 i i 1 n 1 i n h h

34 Exemplo 1 xy Determine f, f e f se f( x, y, z) e ln z x y z

35 Derivadas parciais de 2ª ordem Se z = f (x,y) usamos as notações 2 2 f f z f x f x x x f11 2 x x 2 x x 2 2 f f f z y f y yy f22 2 y y 2 y y f f y f 2 f 2 z x yx f21 x y xy xy f x y f x y f12 f y x 2 f 2 z y x y x

36 Exemplo 2 Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f ( x, y) x x y 2y

37 Gráfico de fx

38 Gráfico de fy

39 Gráfico de fxx

40 Gráfico de fxy = fyx

41 Gráfico de fyy

42 Teorema de Clairaut Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contém o ponto (a,b). Se as funções f xy e f yx forem ambas contínuas em D, então f ( ab, ) f ( ab, ) xy yx

43 Derivadas de ordem 3 f f xyy xy y 2 f y y x 3 f 2 y x

44 Exemplo 3 Calcule f se f( x, y, z) sen(3 x yz). xxyz

45 Exemplo 2 Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f ( x, y) x x y 2y

46 Diferenciabilidade Lembre-se que uma função f de uma variável é chamada de diferenciável em x 0 se tiver uma derivada em x 0, isto é, se o limite existir. A função f que for diferenciável em um ponto x 0 tem duas propriedades importantes: 1. f(x) é contínua em x 0 2. O gráfico de y=f(x) tem uma reta tangente nãovertical em x 0

47 Queremos ampliar a noção de diferenciabilidade para funções de 2 variáveis, de tal forma que seja válido um análogo natural destas 2 propriedades. Mais precisamente, quando f(x,y) for diferenciável em (x 0, y 0 ) vamos querer que: f(x,y) é contínua em (x 0, y 0 ) A superfície z=f(x,y) tem um plano tangente não vertical em (x 0, y 0 )

48 Seria razoável imaginar que uma função f de 2 variáveis pudesse ser chamada de diferenciável em (x 0, y 0 ) se as duas derivadas parciais existirem em (x 0, y 0 ). Infelizmente esta condição não é forte o suficiente para satisfazer nossos objetivos, uma vez que há funções que tem derivadas parciais em um ponto, mas não são contínuas naquele ponto.

49 Diferenciabilidade Sabemos que o gráfico de uma função derivável constitui uma curva que não possui pontos angulosos, isto é, uma curva suave. Em cada ponto do gráfico temos uma reta tangente única.

50 Similarmente, queremos caracterizar uma função diferenciável de duas variáveis f(x,y) pela suavidade do seu gráfico. Em cada ponto (xo, yo, f(xo,yo)) do gráfico de f deverá existir um único plano tangente, que represente uma boa aproximação de f perto de (xo,yo). Para entendermos o que significa uma boa aproximação para a função f perto de (xo,yo) vamos trabalhar com:

51 h(x)

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60 Assim na situação que existir o plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto (x 0, y 0,f (x 0, y 0 )), esse plano será dado pela equação (7). De maneira informal, dizemos que f(x,y) é diferenciável em (x 0, y 0 ) se o plano dado pela equação (7) nos fornece uma boa aproximação para f(x,y) perto de (x 0, y 0 ). Ou seja quando (x,y) se aproxima de (x 0, y 0 ), a diferença entre f(x,y) e z=h(x,y) se aproxima mais rapidamente de zero. Temos a seguinte definição.

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63 É importante ressaltarmos os seguintes pontos sobre a definição de diferenciabilidade: a) Para provar que uma função é diferenciável em (x 0, y 0 ) usando a definição, devemos mostrar que as derivadas parciais existem em (x 0, y 0 ), e além disso, que o limite da equação (8) é zero. b) Se uma das derivadas parciais não existe no ponto (x 0, y 0 ) f não é diferenciável neste ponto; c) Se o limite dado na equação (8) for diferente de zero ou não existir, f não é diferenciável no ponto (x 0, y 0 ), mesmo se existirem as derivadas parciais nesse ponto.

64 Condições suficientes para a diferencibilidade Teorema1: Se f tiver derivadas parciais de primeira ordem em cada ponto de alguma região circular centrada em (x 0, y 0 ), e se essas derivadas parciais forem contínuas em (x 0, y 0 ), então f é diferenciável em (x 0, y 0 ). Relações entre a diferenciabilidade e a continuidade Teorema 2: Se f é diferenciável em (x 0, y 0 ), então f é contínua em (x 0, y 0 ), O Teorema 2 afirma que para uma função de duas variáveis diferenciabilidade implica em continuidade. Contudo somente a existência das derivadas parciais em um ponto não implica na diferenciabilidade nesse ponto.

65 OBSERVAÇÕES Uma função f(x,y) é diferenciável se suas derivadas parciais são contínuas; Uma função de duas ou mais variáveis pode ter derivadas parciais de 1ª ordem num certo ponto sem ser contínua nesse ponto. Isso pode parecer paradoxal quando comparado com o que ocorre com as funções de uma variável, que sendo deriváveis, são também contínuas. No entanto, o paradoxo é apenas aparente em face da seguinte observação.

66 A existência da derivada f x (x 0, y 0 ) só implica na continuidade da função f(x,, y 0 ) da única variável x, em x=x 0, isto é, a continuidade de f(x,y) no ponto P 0 =(x 0, y 0 ) ao longo de y= y 0. Do mesmo modo, a existência da derivada f y (x 0, y 0 )só garante a continuidade da função f(x,y) no ponto P 0 =(x 0, y 0 ) ao longo da reta de x= x 0. Ao longo de qualquer outra reta ou curva pelo ponto P 0 o comportamento da função pode ser bastante diferente.

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